1.1.4等腰三角形 课件2024-2025学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明 北师大版八年级数学（下） 1.1.4 等腰三角形 学习目标：（1分钟） 1、掌握等边三角形的判定定理及直角三角形的性质定理。 2、进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。 3、注意分类讨论数学思想的应用。 1、有一个角是 的等腰三角形是等边三角形. ∵AB=AC,∠B= (已知). ∴△ABC是等边三角形 ( ). A C B 600 有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形 60° 60° 2、三个角都相等的三角形是 等边三角形 ∵∠A=∠B=∠C(已知), ∴△ABC是 (三个角都相等的三角形是等边三角形). 等边三角形 A C B 3、在直角三角形中, 如果有一个锐角等于 ,那么它所 对的直角边等于斜边的一半. 30° ∵∠ACB=900,∠A= . ∴BC= AB. ( ) 30° 在直角三角形中, 30 °角所对的直角边等于斜边的一半 300 A B C D 自学指导1（1分钟） 自学课本P10-11例4之前,完成下列问题 学生自学，教师巡视（8分钟） 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 定理: 有一个角是600的等腰三角形是等边三角形. ∵AB=AC,∠B=600 ∴△ABC是等边三角形 A C B 600 定理:三个角都相等的三角形是等边三角形。 ∵∠A=∠B=∠C ∴△ABC是等边三角形 几何语言： A C B 几何语言： 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 ∵∠ACB=900,∠A=300. ∴BC= AB. A B C 300 思考： ____________ 定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300, 那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何语言： 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 2．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF�的形状是（ ） A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 D A 自学检测1：(6分钟) 3.房梁的一部分如右图所示,其中 BC⊥AC,∠A=300,AB=7.4m,点D是AB的 中点,DE⊥AC,垂足为E.则BC= , DE= . B E C D A 300 3.7m 1.85m 证明：如果等腰三角形的底角为150，那么腰上的高是腰长的一半。 自学指导2:（1分钟） 阅读课本P11-12例4.思考如何求证下面命题。 学生自学，教师巡视（5分钟） A B D 150 150 C 2、已知:如图,等腰三角形的底角为150,腰长为2a. 则腰上的高是 . C A B D 150 150 2a 2a 1.如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB， 垂足分别为D，E，如果AB=8cm，则BD=_____cm， ∠BDE=_______,BE=_____cm. 4 30° 2 自学检测 2：（5分钟） a 解：在△ABC中， ∵AB=AC, ∠ACB= ∠B= ∠150 ∴ ∠DAC= ∠B+ ∠ACB=150+150=300. ∵CD是腰AB上的高， ∴ ∠ADC=900. ∵CD= AC ∴CD= ×2a=a 2、已知:如图,等腰三角形的底角为150,腰长为2a. 求腰上的高. A B D 150 150 2a 2a C A B C D 如图，已知Rt△ABC中∠ACB=90°，BC= AB。 求证：∠BAC=30° 证明：如图,延长BC至D,使CD=BC 连接AD 讨论，更正，点拨（4分钟） “在直角三角形中, 如果有一条直角边等于斜 边的一半.那么这条直角边所对的锐角等于300。” 是真命题吗？试证明之。 ∴AB=BD ∵AC垂直平分BD ∴AB=AD 则AB=BD=AD，△ABD是等边三角形 即∠B=60° 则∠BAC=30° 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 一、等边三角形的判定: 定义：三边都相等的三角形是等边三角形. 定理：有一个角是600的等腰三角形是等边三角形. 定理：三个角都相等的三角形是等边三角形. 二、特殊的直角三角形的性质: 定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 小结 （1分钟） 1．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（ ） A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm 2．如图，E是等边△ABC中AC边上的点,∠1=∠2， BE=CD，则对△ADE的形状最准确的判断是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．不能确定形状 3．△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，则CD= ____． 当堂训练 :15分钟 C B 1cm 4.若等腰三角形一腰上的高是腰长的一半，则其顶角的 度数为 。 30°或150° 5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AE为BC边上的中线． 求证：△ABE是等边三角形． 证明：∵∠BAC=90°，∠C=30° ∴AB= BC，∠B=60° ∵AE为BC边上的中线 ∴BE= BC ∴AB=BE ∴△ABE是等边三角形 6.已知：如图，△ABC是等边三角形,D.E分别是BC,AC上的点,且AE=CD,BE和AD相交于P,BQ⊥AD, 垂足是Q, (1)求∠BPD的度数; (2)求证:BP=2PQ. A C D B P E Q 60° 提示:利用(1)结论证明∠PBQ=30° 即可证 A C D B P E Q 解: （1）∵AB=AC=BC ∴∠BAC=∠C=600 ∵AE=CD ∴△ABE≌△CAD(SAS) ∴∠1=∠2 ∵∠BPD=∠1+∠3 ∴∠BPD=∠2+∠3=600 1 2 3 (2)证明：∵BQ⊥AD ∴∠BPD+∠4=900 由(1)知∠BPD=600 ∴∠4=300 ∴BP=2PQ 4 6.已知：如图，△ABC是等边三角形,D.E分别是BC,AC上的点,且AE=CD,BE和AD相交于P,BQ⊥AD, 垂足是Q, (1)求∠BPD的度数; (2)求证:BP=2PQ. （选做题）矩形ABCD中,AB=6,BC=8,先把它对折,折痕为EF展开后再折成如图所示,使点A落在EF上的点A'处,求第二次折痕BG的长. A B C E D G A' F A′B= AB=3 ∴∠1=300 ∴∠2=∠3=300 在Rt△ABG中，设AG=x，则BG=2x 又勾股定理得 （2x)2-x2=62 解得x=2 ∴BG=2x= 解：由折叠可知EF⊥AB BF= A B C E D G A' F 3 6 1 2 3 4 （选做题）矩形ABCD中,AB=6,BC=8,先把它对折,折痕为EF展开后再折成如图所示,使点A落在EF上的点A'处,求第二次折痕BG的长. A B C E D G A' F (选做题)如图（1），在△ABC中，AB=AC，∠A=36°． （1）直接写出∠ABC的度数； （2）如图（2），BD是△ABC中∠ABC的平分线． ①找出图中所有等腰三角形（等腰三角形ABC除外）并选其中一个写出推理过程；                                                         ②在直线BC上是否存在点P，使△CDP是以CD为一腰的等腰三角形？如果存在，请在图（3）中画出满足条件的所有的点P，并直接写出相应的∠CPD的度数；如果不存在，请说明理由． (选做题):如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30° 点D是直线BC上的一个动点，连接AD，并以AD为边在AD的右侧作等边△ADE． （1）如图①，当点E恰好在线段BC上时，请判断线段DE和BE的数量关系，并结合图①证明你的结论； （2）当点E不在直线BC上时，连接BE，其它条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请结合图②给予证明；若不成立，请直接写出新的结论； F 一、等边三角形的判定: 定义：三边都相等的三角形是等边三角形. 定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形. 定理:三个角都相等的三角形是等边三角形. 二、特殊的直角三角形的性质: 定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 板书 证明：在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. A B C D ∵∠ACB=90°，∠BAC=30° ∴∠ACD=90°，∠B=60° ∵AC=AC ∴ △ABC≌△ADC (SAS) ∴AB=AD ∴△ABD是等边三角形。 ∴BC= BD= AB 如图，已知：Rt△ABC中∠ACB=90°，∠BAC=30° 求证：BC= AB。 证明：如图，延长BC至D,使CD=BC， 连接AD 证明：在△ABC中， ∵AB=AC,∠B=150, ∴∠ACB= ∠B= ∠150(______________________) ∴ ∠DAC= ∠B+ ∠ACB=150+150=300. ∵CD是腰AB上的高， ∴ ∠ADC=900. ∵CD= AC(___________________________________) ∴CD= AB 求证：如果等腰三角形的底角为150，那么腰上的高是腰长的一半。 已知：如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=150，CD是腰AB上的高. 求证：CD= AB A B D 150 150 C 等边对等角 在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 $$