1.1.3等腰三角形课件2024-2025学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明 北师大版八年级数学（下） 1.1.3 等腰三角形 1、掌握等腰三角形的判定定理“等角对等边”； 2、能够应用等腰三角形的判定定理； 3、初步了解反证法的证明步骤，会用反证法证明简单的数学问题。 学习目标(１分钟) 自学指导1(2分钟) 教师巡视，学生自学(5分钟) 阅读课本P8 “想一想”前内容，解决下列问题: 1.在一个三角形中，相等的边所对的角_________. 反之，相等的角所对的边_________,如何证明？ 2.阅读例2，掌握证明等腰三角形的书写格式. (简称为：等角对等边） 相等 相等 自学检测1(6分钟) 1、如果一个三角形的两个内角为80°和50°，则这是一个_____三角形。 等腰 2、如果一个三角形三个外角的比是3：3：2，则这是一个（ ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 D 3、如图，在△ABC中，已知点D，E分别在AB，AC上，且BE=CD,∠1=∠2 证明：△ABC为等腰三角形。 A B C E D ︶ ︶ 2 1 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 3、如图，在△ABC中，已知点D，E分别在AB，AC上，且BE=CD,∠1=∠2 证明：△ABC为等腰三角形。 A B C E D ︶ ︶ 2 1 证明：在△BCD与△CBE中， ∵ BE=CD ∠1=∠2 BC=CB ∴ △BCD≌△CBE（SAS） ∴ ∠ABC=∠ACB ∴ AB=AC（等角对等边） ∴ △ABC为等腰三角形 阅读课本P8-9“想一想”至例3，思考： 1.什么叫反证法？ 2.阅看例3，思考反证法的一般步骤有哪些? 自学指导2(1分钟) 教师巡视，学生自学(5分钟) 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立. 这种证明方法称为反证法 已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于 。 自学检测2(5分钟) 证明：假设这五个数（a、b、c、d、e）都小于 ，即a＜ ， b＜ ， c＜ ， d＜ ，e＜ 这与题目相矛盾，因此五个数都小于 ，则假设不成立，所以，这五个数中至少有一个大于或等于 ＜ ＜ 1 一、等腰三角形的判别方法 1、有两边相等的三角形 2、等角对等边 小结（3分钟） 二、反证法的一般步骤: 假设要证命题的结论不成立 所以假设不成立 即假设命题结论的反面成立 与已知条件矛盾 假设 推理得出的结论 或与定理，定义，公理矛盾 即所证命题成立 推理、论证 得出结论 当堂训练（15分钟） 1、底角是顶角一半的等腰三角形是________三角形。 3、用反证法证明：在三角形的内角中， 至少有一个角大于或等于60°时，第一步应该假设 . 等腰直角 三角形三个内角都小于60° 2、如图，∠A=360，∠DBC=360， ∠C=720，则∠1= ，∠2= ， 图中有 个等腰三角形. 360 720 3 4、如图所示，点E、F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O. (1)求证：AB＝DC； (2)试判断△OEF的形状，并说明理由. 4、如图所示，点E、F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O. (1)求证：AB＝DC； (2)试判断△OEF的形状，并说明理由. 证明:(1)∵BE＝CF， ∴BE＋EF＝CF＋EF， ∴BF＝CE ∴∠A＝∠D，∠B＝∠C ∴△ABF≌△DCE ∴AB＝DC 解:(2)△OEF为等腰三角形.理由如下： ∵△ABF≌△DCE ∴∠AFB＝∠DEC ∴△OEF为等腰三角形。 5、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC，垂足为P，EP交AB于点F. 求证：△AEF是等腰三角形. ∟ A B C P E F 证明：∵AB=AC（已知） ∴∠B=∠C（等边对等角） ∵EP⊥BC（已知） ∴∠FPB=∠EPC=900 ∴∠PFB=∠PEC（三角形内角和定理） ∵∠PFB=∠AFE(对顶角相等) ∴∠AEF=∠AFE(等量代换) ∴△AEF是等腰三角形 1、如图，已知：∠MON=30°，点A1 、A2 、A3 …在射线ON上，点B1 、B2 、B3 …在射线OM上，△A1 B1 A2 、△A2 B2 A3 、△A3 B3 A4 …均为等边三角形，若OA1 =1，则△A6 B6 A7 的边长为______． 选做题 32 2、如图，⊿ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE//BC，分别交AB、AC于点D、E，求证：BD+EC=DE （选做题）如图，⊿ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE//BC，分别交AB、AC于点D、E，求证：BD+EC=DE 证明： ∵ DE//BC ∴∠OBC=∠DOB，∠OCB=∠EOC ∵ BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB ∴∠DBO=∠DOB=∠OBC, ∠ECO=∠EOC=∠OCB ∴BD=DO，CE=OE ∴BD+EC=DO+OE=DE （等角对等边） 板书设计 1.1.3 等腰三角形 1、有两个底角相等的三角形为等腰三角形。 2、反证法的一般步骤。 猜想与归纳（证明方法一） 已知⊿ABC中，∠ABC=∠ACB，求证：AB=AC 证明： 作AD⊥BC，垂足为D，则∠ADB=∠ADC=90° 在△ABD和△ACD中， △ABD≌△ACD（AAS） ∠ABC=∠ACB ∠ADB=∠ADC=90° AD= AD ∵ ∴ AB=AC ∴ D 思考：还有其他证法吗？ 猜想与归纳（证明方法二） 已知⊿ABC中，∠ABC=∠ACB，求证：AB=AC 证明： 作∠BAC的角平分线AD，则∠BAD=∠CAD 在△ABD和△ACD中， △ABD≌△ACD（AAS） ∠ABC=∠ACB ∠BAD=∠CAD AD= AD ∵ ∴ AB=AC ∴ D 思考：能做BC的中线加以证明吗？ 例2 已知：如图1-8，AB=DC，BD=CA， 求证：△AED是等腰三角形 A B D C E 证明：在△ABD和△DCA中， AB=DC BD=CA AD=DA ∴△ABD≌△DCA(SSS) ∴∠ADB=∠DAC（全等三角形对应角相等） ∴AE=DE（等角对等边） ∴△ADE是等腰三角形 例3 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角。 已知：△ABC 求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角 证明：假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角， 不妨设∠A和∠B是直角，即∠A=90°，∠B=90° 于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180° 这与三角形内角和定理相矛盾， 因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立. 所以，一个三角形中不能有两个直角. 假设命题的反面成立 推理得出矛盾 否定假设 得出原命题成立 阅读课本P8-9想一想至例3，思考什么叫反证法？ 反证法的步骤。 3、用反证法证明：在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于６０° 已知：如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角， 求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角大于或等于６０度 Ａ 证明： 假设 ∠Ａ＿＿６０°，∠Ｂ＿＿６０°， ∠Ｃ＿＿６０° 则∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＜１８０0 这与＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾 所以假设命题＿＿＿＿＿＿， 所以，所求证的结论成立． ＜ ＜ ＜ 三角形的内角和等于１８０° 不成立 Ｂ Ｃ $$