1.1.1 等腰三角形 课件-2024-2025学年北师大版数学八年级下册

1.1.1 等腰三角形 北师大版八年级数学（下） 第一章 三角形的证明 学习目标（１分钟） 1、掌握判定三角形全等的公理和定理 2、三角形全等的性质； 3、掌握等腰三角形的性质。 4cm 5cm 7cm 5cm 7cm 4cm 7cm 5cm 4cm 已知一个三角形的三条边分别为4cm、5cm、7cm 。你能否画出这个三角形吗？它们一定全等吗？ 判定公理1：三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”注：S代表边 复习导入 A B C 图① 已知一个三角形的两个角和一条边，那么这两个角与这一条边的位置关系有几种可能的情况？ 分析:不妨先固定两个角，再确定一条边 两角：∠A、∠B 一边： A B C 图③ A B C 图② AB AC 或 BC 60° 80° 60° 80° 2cm 2cm 若三角形的两个内角分别是60°和80°，它们所夹的边为2cm，你能画出这个三角形吗? 判定公理2：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA” 两角及对边 60° 80° 60° 80° 2cm 2cm 若三角形的两个内角分别是60°和80°,且60°所对的边为2cm，你能画出这个三角形吗? 判定公理3：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS” 两角及对边 两边及夹角 三角形两边分别为2.5cm，3.5cm，它们所夹的角为40°，你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？ 3.5cm 2.5cm 40° A B C 3.5cm 2.5cm 40° D E F 判定公理4：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”. 自学指导1(1分钟) 认真自学课本P2 “议一议”之前的内容， 思考并完成： 学生自学，教师巡视(3分钟) 1、全等三角形的判定方法有：____、___、____、___； 其中____、_____和_____是判定公理，_____是判定 定理。 2、全等三角形的性质： 全等三角形__________相等、__________相等。 3、完成课本P2“想一想”。 SSS SAS ASA AAS SSS SAS ASA AAS 对应边 对应角 1、如图，已知，∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF， （1）若以“SAS”为依据，还须添加 的一个条件为 ___________； （2）若以“ASA”为依据，还须添加 的一个条件为 ____________； （3）若以“AAS”为依据，还须添加 的一个条件为 ____________； A B C D E F BC＝EF ∠BAC＝∠EDF ∠C＝∠F 自学检测1(7分钟) 2、已知：如图，CD⊥AB，BE⊥AC， 垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点， ∠1=∠2，图中全等的三角形共有( ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 D 3.已知在△ABC和△DEF中，AC=DF,CB=FE,∠A=∠D,则△ABC和△DEF一定全等吗? A B C D E F ∠C=∠DFE 解：不一定全等，如图： 一定全等 E 4.(P4“知识技能”T1)已知：如图，AB=CD，AD=CB 求证：∠A=∠C 证明：如图，连接BD 在△BAD和△DCB中 ∵AB=CD( ) AD=CB( ) BD=DB( ) ∴△BAD≌△DCB（ ） ∴∠A＝∠C( ) 已知 已知 公共边 SSS 全等三角形对应角相等 证明：∵BE=CF ∴BE+EC=CF+EC, 即BC=EF ∵AB=DE,AC=DF ∴△ABC≌△DEF（SSS） ∴∠A＝∠D 5.(P4“知识技能”T2) 已知：如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB=DE， AC=DF,BE=CF. 求证：∠A=∠D 在△ABC与△EDB中， AB=ED ∠ABC=∠EDB BC=DB 6、如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB． 求证：∠A=∠E． 证明：∵BC∥DE， ∴∠ABC=∠BDE． ∴△ABC≌△EDB（SAS） ∴∠A=∠E． 11 自学指导2(1分钟) 认真自学课本P2“议一议”- P3的内容， 思考并完成： 学生自学，教师巡视(3分钟) 1、等腰三角形的性质定理： 等腰三角形的_________相等。简述为____________. 2、认真自学P3的证明过程，思考：还有其它证明方法吗？ 3、等腰三角形顶角的_________、底边上的_______及 底边上的______互相重合（简称为“三线合一”）。 两个底角 等边对等角 角平分线 中线 高 自学检测2(6分钟) 2、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36° BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平 分线，则图中的等腰三角形有_____个 3、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点 下列结论中不正确的是（ ） A.∠B=∠C B.AD⊥BC C.AD平分∠BAC D.AB=2BD 5 A C B D 1、在△ABC中，AB=AC. (1)若∠A=40°，则∠C=_______ (2)若∠B=72°，则∠A=_______ 70° 36° D A C B D E 4.(P4“知识技能”T3) 如图，在△ABC中，∠BAC=108°，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，求∠BAD的度数. 解：∵AB=AC,∠BAC=108°，AD⊥BC ∴AD平分∠BAC ∴∠BAD＝ ∠BAC=54° 5.(P4“数学理解”T4)如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，点E是AD上一点.连接BE，CE.请找出图中所有相等的角. 解：图中相等的角有： ①∠ABC=∠ACB ②∠BAD=∠CAD ③∠BED=∠CED ④∠EBD=∠ECD ⑤∠AEB=∠AEC ⑥∠ABE=∠ACE ⑦∠ADB=∠ADC 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一). A C B D 1 2 (1)∵AB=AC, ∠1=∠2(已知). ∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一） (2)∵AB=AC, BD=CD (已知). ∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一） (3)∵AB=AC, AD⊥BC(已知). ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一） 在等腰三角形的条件下：轮换条件∠1=∠2, AD⊥BC,BD=CD,可得三线合一的三种不同形式的运用. 讨论、更正、点拨（5分钟） 等腰三角形是哪三线合一？ 几何语言： 小结（1分钟） 1、全等三角形的判定方法有：____、___、____、___； 其中____、_____和_____是判定公理，_____是判定 定理。 2、全等三角形的性质： 全等三角形__________相等、__________相等。 SSS SAS ASA AAS SSS SAS ASA AAS 对应边 对应角 3、等腰三角形的性质定理： 等腰三角形的_________相等。简述为____________. 4、等腰三角形推论： 等腰三角形顶角的_________、底边上的_______及 底边上的________互相重合。（三线合一） 两个底角 等边对等角 角平分线 中线 高线 当堂训练(15分钟) 2.如图2，△BDC′是将矩形ABCD，沿对角线BD折起得到的，图中（包括实线、虚线图形），共有全等三角形（ ） A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 C 1.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图1，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ） A、SSS B、SAS C、ASA D、AAS A 图1 图3 图2 3.如图3,在△ABC中, AB=AC ,D为BC上一点,且DA=DC ,  BD=BA ,则∠B = 36° B A C D 5.如图，在△ABC中，AB=AC， ∠B=700，点D为BC的中点， 求∠BAD的度数。 解：∵AB=AC (已知) ∴∠C=∠B=700 (等边对等角) ∴∠BAC=1800-700-700=400 ∴∠BAD= ∠BAC =200 ∵点D为BC的中点（已知） (等腰三角形三线合一) 4.如右图,已知△ABC中,CD平分∠ACB 交AB于D,又DE∥BC,交AC于E,若DE=4cm， AE=5cm,则AC等于 （ ） A.1cm B.4cm C.5cm D.9cm D 6.如图,在△ABC中,∠B=90°, M是AC上任意一点（M与A不重合） MD⊥BC,交∠BAC的平分线于点D, 求证：MD=MA. 7.如图，△ABC中，AC=BC，点D在BC上，作∠ADF=∠B，DF 交外角∠ACE的平分线CF于点F. (1)求证：CF∥AB； (2)若∠CAD=20∘，求∠CFD的度数。 G 6.如图,在△ABC中,∠B=90°, M是AC上任意一点（M与A不重合） MD⊥BC,交∠BAC的平分线于点D, 求证：MD=MA. 证明：∵MD⊥BC且∠B=90° ∴AB∥MD， ∴∠BAD=∠D 又∵AD为∠BAC的平分线 ∴∠BAD=∠MAD ∴∠D=∠MAD ∴MA=MD 7.如图，△ABC中，AC=BC，点D在BC上，作∠ADF=∠B，DF 交外角∠ACE的平分线CF于点F. (1)求证：CF∥AB； (2)若∠CAD=20∘，求∠CFD的度数。 (1)证明： ∵AC=BC ∴∠B=∠BAC ∵∠ACE=∠B+∠BAC ∴∠BAC= ∠ACE ∵CF平分∠ACE ∴∠ACF=∠ECF= ∠ACE ∴∠BAC=∠ACF ∴CF∥AB (2)解:∵∠BAC=∠ACF， ∠B=∠BAC， ∠ADF=∠B ∴∠ACF=∠ADF ∵∠ADF+∠CAD+∠AGD=180∘, ∠ACF+∠F+∠CGF=180∘ 又∵∠AGD=∠CGF ∴∠F=∠CAD=20∘ G 2.如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，AE=6，求四边形AFDE的周长. 1.如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上,∠BAD=30°,在AC上取点E，使AE=AD,求∠EDC的度数。 （选做题） 1 2 1.如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上,∠BAD=30°,在AC上取点E，使AE=AD,求∠EDC的度数。 ∴2∠EDC=30° ∴∠EDC=15° 解：∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵AD = AE ∴∠1=∠2 又∵∠1+∠EDC= ∠B+∠BAD ∠2=∠C+ ∠EDC ∠BAD=30° ∴∠B+∠EDC+∠EDC=∠B+30° 1 2 （选做题） 2.如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，AE=6，求四边形AFDE的周长. 解：∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD=∠FAD，且DF∥AE ∴∠EAD=∠ADF，∴∠FAD=∠ADF ∴AF=FD. 同理，可得AE=ED，∠EAD=∠EDA ∴在△ADE和△ADF中， ∴△ADE≌△ADF（ASA） ∴AE=AF，DE=DF 综上，AE=ED=DF=AF=6 ∴四边形AFDE的周长为4AE=4×6=24. A B C D ┓ ┓ ┓ 等腰三角形底边上任一点 到两腰的距离和 等于一腰上的高。 E F H DE+DF=CH 如图所示，已知在△ABC中，AB=AC，DF⊥AB，点D是 BC边上的一点，DE⊥AC，CH⊥AB. 试探究DE、DF、CH三条线段之间的数量关系； 提示：连接AD，用△ABC面积相等可得 板书设计： 1.1.1 等腰三角形 一、三角形全等的判定： SSS、SAS、ASA、AAS 二、等腰三角形: 性质：等边对等角 A C B 推论： 三线合一 定理: 等腰三角形的两个底角相等. (等边对等角) 已知：如图, 在△ABC中, AB=AC. 求证：∠B=∠C. 证明：取BC的中点D, 连接AD. 在△ABD和△ACD中 ∵AB=AC, BD=CD, AD=AD ∴△ABD≌△ACD (SSS) ∴∠B=∠C （全等三角形的对应角相等） C B A 证法一: 已知：如图, 在△ABC中, AB=AC. 求证：∠B=∠C. 证法一: C B A D 证明：过点A作∠A的角平分线交BC于点D. 在△ABD和△ACD中 ∵AB=AC, ∠BAD=∠CAD, AD=AD ∴△ABD≌△ACD (SAS) ∴∠B=∠C （全等三角形的对应角相等） 证法二: 定理: 等腰三角形的两个底角相等. (等边对等角) 已知：如图, 在△ABC中, AB=AC. 求证：∠B=∠C. C B A D 证法二: 已知：如图, 在△ABC中, AB=AC. 求证：∠B=∠C. 点拨：此题还有多种证法，不论怎样证，依据都是全等的基本性质。 $$