第七章 相交线与平行线（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记•巧练（广东专用，人教版2024）

第七章 相交线与平行线（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列图形中，与是内错角的是（   ） A． B． C． D． 2．下列语句中，正确的是（   ） A．相等的角一定为对顶角 B．不是对顶角的角一定不相等 C．不相等的角一定不是对顶角 D．有公共顶点且和为的两个角一定为邻补角 3．如图已知，于，则图中表示点到直线的距离的线段的条数是（ ）    A． B． C． D． 4．如图，一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，三角板不动，三角板可绕点旋转，则下列结论：①随的变化而变化；②当时，一定垂直于．其中正确的结论是（   ） A．①正确，②正确 B．①错误，②正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②错误 5．、、为同一平面内的三条直线，若与不平行，与不平行，那么与（   ） A．一定不平行 B．一定平行 C．一定互相垂直 D．可能相交或平行 6．（跨学科试题·物理）当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射．如图，一束光线沿射入液面，在点处发生折射，折射光线为，点为的延长线上一点，若入射角，折射角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．平行于同一条直线的两直线平行 B．同旁内角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 8．如图，点，，在一条直线上，要根据“同旁内角互补，两直线平行”判定，需添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 9．下列语句中不是命题的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．连结A、B两点 C．两直线与第三条直线相交，同位角相等 D．不平行的两条直线有一个交点 10．已知，如图，，则，，之间的关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15 分. 11．观察图形，点到直线的距离是线段 的长． 12．已知直线和相交于点，射线于点，且，则的度数为 度． 13．如图所示，若，，和互余，则 ， ． 14．“如果，，那么”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 15．下列现象是数学中的平移的是 （填序号）． ①苹果垂直从树上落下；②汽车在平直的公路上行驶；③骑自行车时轮胎的滚动；④卫星绕地球运动． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题 7分，共21分. 16．按要求完成下列问题，其中画图不写作法． (1)画出从点P到水渠边的最短距离，并说明道理． (2)过点P画出的平行线，这样的平行线有几条，为什么？ （1）道理： ． （2）理由： ． 17．如图，在平面直角坐标系中，， (1)在图中画出向右平移5个单位，向下平移2个单位后的． (2)写出点，，的坐标． (3)求的面积． 18．如图，．试判断与是否平行，并说明理由． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19．如图，直线、相交于点，，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 20．如图，已知，，试探究与的位置关系，并说明理由． 21．【探究】如图①，已知， （1）若，，求的度数； （2）求证：； 【应用】如图②，已知，若，，，则_____________． 5、 解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22．图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）； (2)联想探索：如图3，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为，宽为，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含，的式子表示）． (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，若道路宽为4米，则剩余的耕地面积为 平方米． 23．阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 相交线与平行线（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列图形中，与是内错角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了内错角，关键是掌握内错角的边构成“”形． 根据内错角定义∶两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线(截线)的两旁，则这样一对角叫做内错角进行解答即可． 【详解】解∶A、与不是内错角，故此选项不符合题意； B、与不是内错角，故此选项不符合题意； C、与不是内错角，故此选项不符合题意； D、与是内错角，此选项符合题意； 故选∶D． 2．下列语句中，正确的是（   ） A．相等的角一定为对顶角 B．不是对顶角的角一定不相等 C．不相等的角一定不是对顶角 D．有公共顶点且和为的两个角一定为邻补角 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角和邻补角的定义，解题的关键是掌握相关的定义．对顶角：有公共端点且两条边互为反向延长线的两个角互为对顶角，对顶角相等；邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角；据此解答即可． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，本选项错误，不符合题意； B、不是对顶角的角也可能相等，本选项错误，不符合题意； C、不相等的角一定不是对顶角，本选项正确，符合题意； D、有公共顶点且和为的两个角不一定是邻补角，本选项错误，不符合题意． 故选：C． 3．如图已知，于，则图中表示点到直线的距离的线段的条数是（ ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，根据定义作出判断即可． 【详解】解：∵，即，， ∴图中表示点到直线的距离的线段有：表示点A到的距离是线段的长度； 表示点B到的距离是线段的长度； 表示点C到的距离是线段的长度； 表示点A到的距离是线段的长度； 表示点B到的距离是线段的长度． ∴图中表示点到直线的距离的线段的条数是5， 故选：B. 4．如图，一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，三角板不动，三角板可绕点旋转，则下列结论：①随的变化而变化；②当时，一定垂直于．其中正确的结论是（   ） A．①正确，②正确 B．①错误，②正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②错误 【答案】D 【分析】本题考查了三角板的角度计算；①依据，即可得到； ②画出图形，根据，，即可求出的度数，根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时与的位置关系． 【详解】解：①， ， ，是定值；故①错误． ②设，则． 如图 ， ， ， ， ， ． 如图 由①可知，， ， 解得：， 即， 此时不垂直于故②错误． 故选：D． 5．、、为同一平面内的三条直线，若与不平行，与不平行，那么与（   ） A．一定不平行 B．一定平行 C．一定互相垂直 D．可能相交或平行 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线的位置关系，在同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交． 根据关键语句“若与不平行， 与不平行，”画出图形，图形有两种情况，根据图形可得答案． 【详解】根据题意可得图形： 根据图形可知：若与不平行，与不平行，则与可能相交或平行， 故选：D． 6．（跨学科试题·物理）当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射．如图，一束光线沿射入液面，在点处发生折射，折射光线为，点为的延长线上一点，若入射角，折射角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查对顶角相等，关键是根据对顶角相等得出解答． 根据对顶角相等得出，进而解答即可． 【详解】解∶因为点在延长线上， 所以， 所以． 故选A． 7．在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．平行于同一条直线的两直线平行 B．同旁内角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线公理推论，根据平行线公理推论进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴这说明了平行于同一条直线的两直线平行， 故选A． 8．如图，点，，在一条直线上，要根据“同旁内角互补，两直线平行”判定，需添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．，根据内错角相等，两直线平行可得，故不符合题意； B．，根据同旁内角互补，两直线平行可得，故符合题意； C．，根据两同位角相等，两直线平行可得，故不符合题意； D．，根据同旁内角互补，两直线平行可得，故不符合题意； 故选B． 9．下列语句中不是命题的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．连结A、B两点 C．两直线与第三条直线相交，同位角相等 D．不平行的两条直线有一个交点 【答案】B 【分析】本题考查了命题：判断一件事情的语句叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．命题都是由题设和结论两部分组成的．根据命题的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．两点之间，线段最短，是命题，故A不符合题意； B．连接A，B两点，为描述性语言，不是命题，故B符合题意； C．两直线与第三条直线相交，同位角相等，是命题，故C不符合题意； D．不平行的两条直线有一个交点，是命题，故D不符合题意． 故选：B． 10．已知，如图，，则，，之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键． 作，根据平行线的性质可得，，然后由整理后可得答案． 【详解】解：如图，作，    ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 即． 故选：C． 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15 分. 11．观察图形，点到直线的距离是线段 的长． 【答案】/ 【分析】本题考查了垂线段最短，结合图形，得出线段是垂线段，即可作答． 【详解】解：依题意，结合图形，得出线段是垂线段， ∴点到直线的距离是线段的长， 故答案为：． 12．已知直线和相交于点，射线于点，且，则的度数为 度． 【答案】或 【分析】本题考查了对顶角、邻补角、角的计算，熟记概念并准确画图是解题的关键． 根据垂直的定义求出，然后求出或，再根据邻补角或对顶角相等即可解答． 【详解】解：分为两种情况： 如图： ， ， 又， ， ； 如图： ， ， ， ， 又直线和相交于点， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 13．如图所示，若，，和互余，则 ， ． 【答案】 【分析】由平行线的性质可知，根据和互余可求得，最后根据平行线的性质可求得．本题主要考查的是平行线的性质、余角的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． ∵和互余， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：；． 14．“如果，，那么”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】本题考查命题真假的判断，写逆命题；先写出命题的逆命题，再判断即可． 【详解】解：命题“如果，，那么”的逆命题是：如果，那么，； 当，那么，或，； 故逆命题错误； 故答案为：假． 15．下列现象是数学中的平移的是 （填序号）． ①苹果垂直从树上落下；②汽车在平直的公路上行驶；③骑自行车时轮胎的滚动；④卫星绕地球运动． 【答案】①② 【分析】此题考查的知识点：平移的概念；平移，是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．平移不改变图形的形状和大小．图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等． 【详解】①、苹果垂直从树上落下，只沿着竖直方向向下改变，是平移； ②、汽车在平直的公路上行驶，只沿着水平方向改变，是平移； ③、骑自行车时轮胎的滚动 ，是沿着圆做圆周运动，不是平移，是旋转； ④、卫星绕地球运动，是沿着圆做圆周运动，不是平移，是旋转； 故答案为①② 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题 7分，共21分. 16．按要求完成下列问题，其中画图不写作法． (1)画出从点P到水渠边的最短距离，并说明道理． (2)过点P画出的平行线，这样的平行线有几条，为什么？ （1）道理： ． （2）理由： ． 【答案】(1)图形见解析，道理：点到直线，垂线段最短 (2)图形见解析，理由：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】（1）根据点到直线，垂线段最短，过点P作PD⊥AB于点D，则PD即为所求； （2）根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点P作PD⊥AB于点D，则PD即为所求； 理由：点到直线，垂线段最短； （2）解：过点P作PE∥AB，则PE即为所求． 这样的平行线有1条， 理由：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，平行线的公理，熟练掌握点到直线，垂线段最短；过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题的关键． 17．如图，在平面直角坐标系中，， (1)在图中画出向右平移5个单位，向下平移2个单位后的． (2)写出点，，的坐标． (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】题目主要考查图形的平移，坐标与图形及利用网格求三角形面积，熟练掌握平移作图是解题关键． （1）根据平移的作图方法作出图形即可； （2）根据（1）中图形即可得出点的坐标； （3）利用网格求三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）由图得：； （3）由图得：的面积为：． 18．如图，．试判断与是否平行，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，理解并掌握平行线的判定定理是解题关键．先根据两直线平行内错角相等，可得，然后由，根据等量代换可得，然后根据同位角相等两直线平行，即可得到． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19．如图，直线、相交于点，，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂直定义和对顶角相等的知识，属于基础题，掌握相关概念正确推理计算是解题关键． （1）根据对顶角相等可得，然后利用角的和差计算求解； （2）根据垂直定义及角的和差关系列式计算即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 20．如图，已知，，试探究与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，先根据同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行得到，再根据平行于同一直线的两直线平行可得． 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴． 21．【探究】如图①，已知， （1）若，，求的度数； （2）求证：； 【应用】如图②，已知，若，，，则_____________． 【答案】（1）；（2）见解析；【应用】． 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，利用平行公理作出辅助线是解本题的关键． （1）如图所示，过点P作，首先得到，求出，然后证明出，即可得到； （2）根据得到，根据得到，进而求解即可； 应用：过点P作，延长到点M，由（2）得，进而得到，同理得到，进而求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，过点P作， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 应用：如图所示，过点P作，延长到点M， 由（2）得，， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 由（2）得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：138． 5、 解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22．图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）； (2)联想探索：如图3，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为，宽为，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含，的式子表示）． (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，若道路宽为4米，则剩余的耕地面积为 平方米． 【答案】(1)， (2)或 (3)448 【分析】本题主要考查了平移变换、矩形面积等知识点，利用平移的性质，把不规则的图形拆分或拼凑为基本图形计算面积成为解题的关键． （1）依据平移变换可知，图1，图2中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为10米，宽为4米，进而得出其面积即可； （2）依据平移变换可知，图3中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为a个单位，宽为个单位的长方形，进而得出其面积； （3）依据平移变换可知，图4中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为28米，宽为16米的长方形，进而得出其面积． 【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为， 则平方米，平方米； ∴． 故答案为：40，=． （2）解：如图3，长方形的长为32米，宽为20米，小路的宽度是1米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方单位． 故答案为：． （3）解：如图4，长方形的长为，宽为，道路宽为4米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方米． 故答案为：448． 23．阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）调整平面镜，使得两面镜子达到平行（合理即可） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． （1）根据等角的余角相等解答即可； （2）根据平行线的性质求解即可； （3）根据潜望镜的原理，平行线的性质进行分析即可． 【详解】（1）证明：， ，， ； （2），理由如下： ，，， ， ， ； （3）因为潜望镜它是根据光的折射，而潜望镜是要改变光的传播方向的，光线无法顺利通过，说明没有与光线平行，需要调整平面镜，的位置，使得两面镜子，达到平行（合理即可）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$