第一章 三角函数（易错训练与压轴训练）（4易错+7压轴）-2024-2025学年高一数学单元速记·巧练（北师大版2019必修第二册）

第一章 三角函数 易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一、弧长的有关计算 1 易错题型二、已知角，求三角函数值 3 易错题型三、已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算 4 易错题型四、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 6 压轴题型一、扇形中的最值问题 8 压轴题型二、三角函数值、三角函数的化简、求值 9 压轴题型三、三角函数在生活中的应用 12 压轴题型四、三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 17 压轴题型五、弧长的有关计算、扇形中的最值问题 20 压轴题型六、正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性 23 压轴题型七、函数零点的个数求参数范围 26 02 易错题型 易错题型一、弧长的有关计算 例题：（24-25高一上·江苏·阶段练习）若扇形面积为，圆心角为，那么该扇形的弧长为 . 【答案】 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】根据扇形的弧长与面积公式求解即可. 【详解】设该扇形的半径为，则，则，故弧长为. 故答案为： 巩固训练1.（24-25高一上·吉林·期末）已知扇形的周长是8cm，半径为2cm，则该扇形所对圆心角的弧度是（   ） A．1rad B．4rad C．3rad D．2rad 【答案】D 【知识点】弧长的有关计算 【分析】设扇形所对圆心角为，根据弧长公式得到方程，解得即可. 【详解】设扇形所对圆心角为，依题意可得，解得， 即该扇形所对圆心角的弧度是rad. 故选：D 2.（23-24高一上·四川凉山·期末）已知扇形的周长为15，圆心角为3弧度，则扇形的半径是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】弧长的有关计算 【分析】根据扇形周长和弧长公式求解即可. 【详解】因为扇形的周长为15，所以， 又因为，，所以， 所以，解得， 故选：B. 3.（24-25高一上·吉林长春·期末）扇形圆心角为2，弧长为12cm，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】根据扇形的圆心角和弧长求出半径，再根据扇形的面积公式即可求解. 【详解】因为扇形圆心角为2，弧长为12cm， 所以扇形的半径， 所以扇形的面积为. 故选：. 易错题型二、已知角，求三角函数值 例题：（24-25高一上·新疆伊犁·期末）的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式一 【分析】根据诱导公式及特殊角的三角函数值得解. 【详解】， 故选：C 巩固训练1.（22-23高二下·贵州黔东南·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】特殊角的三角函数值、已知弦（切）求切（弦） 【分析】由余弦值和角的范围求出特殊角，再求角的正切. 【详解】已知，，则，所以. 故选：C 2.（24-25高三上·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，角以为始边，且终边经过点，则 . 【答案】/ 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【详解】∵角的终边经过点，则，， 故答案为：. 易错题型三、已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算 例题：（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，求下列各式的值 (1) (2) 【答案】(1)4 (2) 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）分子分母同时除以将弦化切即可求解. （2）利用将式子进行变形为分式齐次式形式，再进行弦化切即可求解. 【详解】（1）由题. （2）因为， 故 . 巩固训练1.（22-23高二下·贵州遵义·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】把左右两边进行平方，再根据同角三角函数基本关系即可得到答案. 【详解】，. 故选：C. 2.（广西玉林四校（玉一玉实北高容高）2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算 【分析】根据给定条件，可得，将切化弦，再利用齐次式法计算即可. 【详解】因为， 则，所以， 则， 所以． 故选：D. 易错题型四、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 例题：（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）为了得到的图象，只需把正弦曲线上所有点的（   ） A．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 【答案】B 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】根据正弦函数图象的伸缩变换即可得结果. 【详解】由， 因此只需把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变． 故选：B. 巩固训练1.（2024高二下·天津河东·学业考试）要得到函数，的图象，只需将函数，的图象（    ） A．所有点横坐标扩大2倍，纵坐标不变 B．所有点横坐标缩小，纵坐标不变 C．所有点纵坐标缩小，横坐标不变 D．所有点纵坐标扩大2倍，横坐标不变 【答案】B 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】根据函数图像伸缩变换规则即可解决. 【详解】根据函数图像伸缩变换规则,图像所有点纵坐标不变,横坐标缩小为原来的即可得到. 故选:B. 2.（2024高二上·贵州·学业考试）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【知识点】相位变换及解析式特征 【分析】根据余弦函数图象平移规律进行求解即可. 【详解】因为函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到的图象. 故选：A 03 压轴题型 压轴题型一、扇形中的最值问题 例题：（24-25高一上·重庆万州·阶段练习）已知一扇形的周长为40，则这个扇形面积的最大值是 . 【答案】 【知识点】扇形中的最值问题 【分析】根据扇形弧长和半径的关系，将扇形面积表示为关于的二次函数，求最值. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，则，， 则， 当时，扇形面积最大，最大值为. 故答案为： 巩固训练1.（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）周长为40的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是 . 【答案】 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、扇形中的最值问题 【分析】设出扇形所在圆半径，借助扇形面积公式建立函数关系，再求出最大值即得. 【详解】设扇形所在圆半径为，则该扇形弧长，， 于是该扇形的面积，当且仅当时取等号， 所以当时，扇形的面积最大，此时扇形的圆心角等于. 故答案为： 2.（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为； (1)若，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径. 【答案】(1) (2)，， 【知识点】弧长的有关计算、扇形中的最值问题 【分析】（1）利用弧长公式可得答案； （2）利用周长和面积公式，结合二次函数可得答案. 【详解】（1）， . （2）由已知得，， 所以，， 所以当时，面积取得最大值， 此时，所以. 压轴题型二、三角函数值、三角函数的化简、求值 例题：（24-25高一上·云南大理·阶段练习）（1）已知角的终边上有一点，且，求； （2）已知函数，设，求的值． 【答案】（1）答案见解析；（2） 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）由条件利用任意角的三角函数的定义，求出的值． （2）由条件利用诱导公式可得，再结合，求得． 【详解】解：（1）∵已知的终边上有一点，∴，再由， 可得，求得． 由于，当时，． 当时，． （2）∵已知函数， ∵，则． 巩固训练 1.（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．为第三象限角的充要条件为 B．若为第二象限角，则为第一或第三象限角 C． D． 【答案】BD 【知识点】探求命题为真的充要条件、已知角或角的范围确定三角函数式的符号、由三角函数式的符号确定角的范围或象限、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用三角函数角在各象限三角函数值的正负，以及角在各象限范围，诱导公式，同角三角函数基本关系，判断四个选项即可. 【详解】对于A，当为第三象限角时，，所以， 反之，当时，则有 ①当，为第三象限角， ②当时，为第二象限角，故A错误； 对于B，若为第二象限角，即，， 则，，则为第一或第三象限角，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D， ，故D正确； 故选：BD. 2.（24-25高一上·江苏镇江·期末）（1）若为第一象限角，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2） 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）利用诱导公式求出，结合给定条件求出具体角度，再代入得到所求式子的结果即可. （2）利用诱导公式对给定式子合理变形，结合给定条件代入求解即可. 【详解】（1）因为，所以，解得， 因为是第一象限角，所以， 所以. （2）因为， 所以， 因为， 所以 所以. 压轴题型三、三角函数在生活中的应用 例题： （24-25高一上·全国·课后作业）如图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向．两点分别位于该齿轮的主动轮与被动轮上，初始位置如图①所示，两点到两齿轮中心所在直线的距离随时间的变化满足如图②所示的函数图象，已知主动轮转动一圈的时间小于被动轮转动一圈的时间，则两点再次同时回到初始位置所经过的时间为 s． 【答案】4 【知识点】三角函数在物理学中的应用 【分析】根据题意有被动轮和主动轮同时转动，转动时间相同，据此可以得到周期，由此可得两点再次同时回到初始位置的时间. 【详解】设主动轮、被动轮的周期分别为，则， 故，所以，故需要经过4s，同时回到起点． 故答案为： 巩固训练1.（24-25高一上·甘肃兰州·期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，许多地方的摩天轮已成为当地的地标性建筑，如天津永乐桥摩天轮号称天津之眼，深圳快乐港湾摩天轮是亚洲最大的摩天轮.游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动后距离地面的高度为，转一周大约需要. (1)已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 【答案】(1) (2) 【知识点】解余弦不等式、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求； （2）化简，根据求解出的范围，由此可知结果； 【详解】（1）由题意可知：摩天轮最高点距离地面，最低点距离地面， 所以，所以， 又因为转一周大约需要，所以， 所以， 又因为， 所以且，所以， 所以； （2）因为， 令，则， 又因为，则，所以， 所以，且， 故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有最佳视觉效果. 2.（24-25高一上·全国·课后作业）某地区的一种特产水果最早一批在每年11月上市，上市初期产量较低，因此价格居高且逐渐上涨，中期产量增大时价格逐渐下跌，后期又由于供应量不足价格上涨，其销售价格（单位：元/千克）随着月份的变化满足函数（，其中1表示十一月份，2表示十二月份，…），经调查统计，一月份该水果的平均销售价格为10元/千克，五月份该水果的平均销售价格为6元/千克． (1)求函数的解析式； (2)若该水果价格小于7元/千克时，果农就会联合批发商积极拓宽外销渠道，则每年哪几个月份需要采取外销策略？ 【答案】(1) (2)每年4月、5月、6月这三个月需要采取外销策略 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】（1）根据，，代入运算求解即可； （2）令，可得，结合正弦函数运算求解即可. 【详解】（1）由题意可得：，解得， 所以． （2）令，即， 则，解得， 因为，则，故可取6，7，8， 因此每年4月、5月、6月这三个月需要采取外销策略． 3.（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条.行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句.讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型，x表示时间，车辆驾枝人员血液酒精含量测值： 驾驶行为类别 阈值（mg/100mL） 饮酒驾车 醉酒驾车 根据上述条件，回答以下问题： (1)试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？ (2)试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间x以整小时计）（参考数据：，） 【答案】(1)1.5小时，最大值是53毫克/百毫升 (2)6小时 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】（1）在时，取得最大值，由正弦函数性质求解； （2）在时，解不等式可得． 【详解】（1）由图可知，当函数取得最大值时，. 此时. 当时，即时，函数取得最大值为， 故喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是53毫克/百毫升; （2）由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以驾车，此时， 由，即， 解得， ，的最小值为6，故某人故喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车. 压轴题型四、三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 例题：（24-25高一上·吉林长春·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. (1)求； (2)求的值. 【答案】(1)，， (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）利用三角函数的定义即可求得结果. （2）用诱导公式化简完将（1）的结果代入即可. 【详解】（1）因为角的终边经过点，由三角函数的定义知 ， ， （2）由诱导公式，得 巩固训练1.（（24-25高一上·甘肃·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求，，； (2)求的值． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据三角函数定义结合诱导公式求解； （2）利用诱导公式化简，从而得解. 【详解】（1）因为角的终边经过点，由三角函数的定义知 ， ， ，； （2）由诱导公式，得 ． 2.（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数的定义及诱导公式化简计算得解. （2）由已知及（1）中信息，利用诱导公式求出，即可得解． 【详解】（1）依题意，，，， 所以 . （2）依题意，，则，， 所以. 压轴题型五、弧长的有关计算、扇形中的最值问题 例题：（21-22高一上·江苏苏州·期末）立德中学拟建一个扇环形状的花坛（如图），该扇环面由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后可通过点的两条直线段围成.按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆环所在圆的半径为10米，设计小圆环所在圆的半径为米，圆心角为（弧度），当时， 米；现要给花坛的边缘（实线部分）进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，则花坛每平方米的装饰费用的最小值为 元（）. 【答案】 / 【知识点】弧长的有关计算、扇形中的最值问题、扇形弧长公式与面积公式的应用、基本（均值）不等式的应用 【分析】由题意可得，，当时，解得，再结合换元法，以及基本不等式的公式，即可求解. 【详解】由题意可得，，解得， 当时，解得， ， 装饰费为 故， 令，， 则， ∵，当且仅当，即，即时，等号成立， ∴的最小值为， 花坛每平方米的装饰费用最小为元. 故答案为：5；. 【点睛】关键点点睛：题意可得，，得是解决本题的关键. 巩固训练1.（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）如图1所示的是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱塘江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征善新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是会徽的几何图形，设的长度是，的长度是，几何图形的面积为，扇形的面积为，已知，. (1)求； (2)若几何图形的周长为4，则当为多少时，最大？ 【答案】(1)3 (2) 【知识点】扇形中的最值问题、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】（1）通过弧长比可以得到与的比，再利用扇形面积公式即可求解； （2）由题意得，，然后利用基本不等式求最值即得. 【详解】（1）由，则，， 所以，即，， . （2）由（1）知，， 几何图形的周长为， ，当且仅当，即时，最大值为1. 巩固训练2.（23-24高一下·北京·阶段练习）（1）一条弦的长等于它所在圆的半径，求弦和劣弧所组成的弓形的面积; （2）一扇形的周长为，那么扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大?并求出最大值? 【答案】（1）；（2）扇形半径，扇形圆心角为，扇形面积最大值. 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形中的最值问题 【分析】（1）要怕给定条件，求出劣弧所对的圆心角，再求出扇形面积及三角形面积即得. （2）设出扇形的半径，结合已知建立函数关系，借助二次函数求解即得. 【详解】（1）如图，在圆中，弦，则是正三角形，，边上的高为， 因此，而扇形面积为， 所以弦和劣弧所组成的弓形的面积是.    （2）设扇形的半径为，则扇形弧长， 扇形面积，当且仅当时取等号， 所以扇形半径，扇形的圆心角为时，扇形面积取得最大值. 压轴题型六、正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性 例题：（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）设函数. (1)求的最小正周期，图象的对称中心； (2)求的单调递减区间. 【答案】(1)；. (2)，. 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求余弦（型）函数的最小正周期、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】（1）根据周期公式求周期，令，，求得对称轴； （2）根据余弦函数单调区间求法求出单调区间. 【详解】（1）的最小正周期为； 令，，解得，， 故的图象的对称中心为. （2）令，， 解得，， 故的单调递减区间为，. 巩固训练1.（21-22高一·全国·课后作业）已知函数的最小正周期为． (1)求的值； (2)将函数的图像向左平移个单位长度，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，求的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为． 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求图象变化前（后）的解析式、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】（1）利用三角函数的周期公式可得答案； （2）利用三角函数图像平移规律、伸缩变换得到函数的图像的解析式，再利用正弦函数的单调性可得答案. 【详解】（1）由题意，知，所以； （2）由（1），知， 将函数的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像， 再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图像， 由，得； 由，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 巩固训练2.（23-24高一下·云南红河·开学考试）已知函数，. (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在上的值域. 【答案】(1) (2). 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、三角恒等变换的化简问题、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，再利用整体代入法即可得解； （2）由定义区间和函数解析式，结合正弦函数的性质即可得解. 【详解】（1）， 由，解得， 所以函数的单调递减区间为. （2）因为，则， 所以，故， 所以函数在上的值域为. 压轴题型七、函数零点的个数求参数范围 例题：（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知函数，若方程在区间上恰有3个实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、正切函数图象的应用 【分析】借助正切型函数的图象性质计算即可得. 【详解】当时，， 则由题意可得在上有3个实数根， 即可得， 解得，即的取值范围是. 故选：C. 巩固训练1.（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、余弦函数图象的应用 【分析】根据条件求出的范围，结合余弦函数的图象可求的取值范围. 【详解】当时，． 因为在上有且仅有2个零点， 所以，解得． 故选：C． 巩固训练2.（21-22高一下·北京·阶段练习）已知函数， 为的零点，为图象的对称轴，且在区间上单调，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】根据已知可得为正奇数，且，进而分别从选项中最大奇数开始代入解析式，检验在区间上单调，可得的最大值. 【详解】解：函数，为的零点，为图象的对称轴， ，即， ，，即为正奇数. 在区间上单调， ，即. ①当时，，， . 此时，，在区间上，， 在区间上不单调，故不满足题意； ②当时，，， . 此时，，在区间上，， 在区间上不单调，故不满足题意； ③当时，，， . 此时，，在区间上，， 在区间上单调递减，故满足题意. 则的最大值为. 故选：B. 巩固训练3.（24-25高三上·贵州·期中）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点对称，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】由题意可得函数的解析式，根据三角函数的性质，可得答案. 【详解】由题意得，且， 由，得， 因为，所以的最小值为3. 故选：C. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 三角函数 易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一、弧长的有关计算 1 易错题型二、已知角，求三角函数值 2 易错题型三、已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算 2 易错题型四、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 3 压轴题型一、扇形中的最值问题 3 压轴题型二、三角函数值、三角函数的化简、求值 4 压轴题型三、三角函数在生活中的应用 5 压轴题型四、三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 7 压轴题型五、弧长的有关计算、扇形中的最值问题 8 压轴题型六、正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性 9 压轴题型七、函数零点的个数求参数范围 10 02 易错题型 易错题型一、弧长的有关计算 例题：（24-25高一上·江苏·阶段练习）若扇形面积为，圆心角为，那么该扇形的弧长为 . 巩固训练1.（24-25高一上·吉林·期末）已知扇形的周长是8cm，半径为2cm，则该扇形所对圆心角的弧度是（   ） A．1rad B．4rad C．3rad D．2rad 2.（23-24高一上·四川凉山·期末）已知扇形的周长为15，圆心角为3弧度，则扇形的半径是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3.（24-25高一上·吉林长春·期末）扇形圆心角为2，弧长为12cm，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 易错题型二、已知角，求三角函数值 例题：（24-25高一上·新疆伊犁·期末）的值是（   ） A． B． C． D． 巩固训练1.（22-23高二下·贵州黔东南·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高三上·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，角以为始边，且终边经过点，则 . 易错题型三、已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算 例题：（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，求下列各式的值 (1) (2) 巩固训练1.（22-23高二下·贵州遵义·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 2.（广西玉林四校（玉一玉实北高容高）2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题）已知，则（   ） A． B． C． D． 易错题型四、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 例题：（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）为了得到的图象，只需把正弦曲线上所有点的（   ） A．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 巩固训练1.（2024高二下·天津河东·学业考试）要得到函数，的图象，只需将函数，的图象（    ） A．所有点横坐标扩大2倍，纵坐标不变 B．所有点横坐标缩小，纵坐标不变 C．所有点纵坐标缩小，横坐标不变 D．所有点纵坐标扩大2倍，横坐标不变 2.（2024高二上·贵州·学业考试）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 03 压轴题型 压轴题型一、扇形中的最值问题 例题：（24-25高一上·重庆万州·阶段练习）已知一扇形的周长为40，则这个扇形面积的最大值是 . 巩固训练1.（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）周长为40的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是 . 2.（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为； (1)若，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径. 压轴题型二、三角函数值、三角函数的化简、求值 例题：（24-25高一上·云南大理·阶段练习）（1）已知角的终边上有一点，且，求； （2）已知函数，设，求的值． 巩固训练 1.（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．为第三象限角的充要条件为 B．若为第二象限角，则为第一或第三象限角 C． D． 2.（24-25高一上·江苏镇江·期末）（1）若为第一象限角，求的值； （2）若，求的值. 压轴题型三、三角函数在生活中的应用 例题： （24-25高一上·全国·课后作业）如图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向．两点分别位于该齿轮的主动轮与被动轮上，初始位置如图①所示，两点到两齿轮中心所在直线的距离随时间的变化满足如图②所示的函数图象，已知主动轮转动一圈的时间小于被动轮转动一圈的时间，则两点再次同时回到初始位置所经过的时间为 s． 巩固训练1.（24-25高一上·甘肃兰州·期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，许多地方的摩天轮已成为当地的地标性建筑，如天津永乐桥摩天轮号称天津之眼，深圳快乐港湾摩天轮是亚洲最大的摩天轮.游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动后距离地面的高度为，转一周大约需要. (1)已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 2.（24-25高一上·全国·课后作业）某地区的一种特产水果最早一批在每年11月上市，上市初期产量较低，因此价格居高且逐渐上涨，中期产量增大时价格逐渐下跌，后期又由于供应量不足价格上涨，其销售价格（单位：元/千克）随着月份的变化满足函数（，其中1表示十一月份，2表示十二月份，…），经调查统计，一月份该水果的平均销售价格为10元/千克，五月份该水果的平均销售价格为6元/千克． (1)求函数的解析式； (2)若该水果价格小于7元/千克时，果农就会联合批发商积极拓宽外销渠道，则每年哪几个月份需要采取外销策略？ 3.（24-25高一上·福建龙岩·阶段练习）电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条.行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句.讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型，x表示时间，车辆驾枝人员血液酒精含量测值： 驾驶行为类别 阈值（mg/100mL） 饮酒驾车 醉酒驾车 根据上述条件，回答以下问题： (1)试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？ (2)试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间x以整小时计）（参考数据：，） 压轴题型四、三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 例题：（24-25高一上·吉林长春·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. (1)求； (2)求的值. 巩固训练1.（（24-25高一上·甘肃·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求，，； (2)求的值． 2.（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为. (1)求的值； (2)若，求的值. 压轴题型五、弧长的有关计算、扇形中的最值问题 例题：（21-22高一上·江苏苏州·期末）立德中学拟建一个扇环形状的花坛（如图），该扇环面由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后可通过点的两条直线段围成.按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆环所在圆的半径为10米，设计小圆环所在圆的半径为米，圆心角为（弧度），当时， 米；现要给花坛的边缘（实线部分）进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，则花坛每平方米的装饰费用的最小值为 元（）. 巩固训练1.（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）如图1所示的是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱塘江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征善新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是会徽的几何图形，设的长度是，的长度是，几何图形的面积为，扇形的面积为，已知，. (1)求； (2)若几何图形的周长为4，则当为多少时，最大？ 巩固训练2.（23-24高一下·北京·阶段练习）（1）一条弦的长等于它所在圆的半径，求弦和劣弧所组成的弓形的面积; （2）一扇形的周长为，那么扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大?并求出最大值? 压轴题型六、正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性 例题：（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）设函数. (1)求的最小正周期，图象的对称中心； (2)求的单调递减区间. 巩固训练1.（21-22高一·全国·课后作业）已知函数的最小正周期为． (1)求的值； (2)将函数的图像向左平移个单位长度，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，求的单调区间． 巩固训练2.（23-24高一下·云南红河·开学考试）已知函数，. (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在上的值域. 压轴题型七、函数零点的个数求参数范围 例题：（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知函数，若方程在区间上恰有3个实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固训练1.（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 巩固训练2.（21-22高一下·北京·阶段练习）已知函数， 为的零点，为图象的对称轴，且在区间上单调，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 巩固训练3.（24-25高三上·贵州·期中）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点对称，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 / 学科网（北京）股份有限公司 $$