第一章 三角函数（知识归纳与题型突破）（28题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记·巧练（北师大版2019必修第二册）

第一章 三角函数 知识归纳与题型突破（28题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点1.函数的周期性 1．一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D，且满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期． 2．如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正　数，那么这个最小正数就称作函数y＝f(x)的最小正周期． 知识点2.角的概念推广 1．角的概念：平面内一条射线绕着它的端点旋转到终止位置，形成角． 2．角的分类：按逆时针方向旋转形成的角叫正角，按顺时针 方向旋转形成的角叫负角．如果一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角． 知识点3.象限角 在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 知识点4.终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝ {β|β＝α＋k·360°，k∈Z}　_，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 知识点5.度量角的两种制度 角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制 1度的角 周角的为1度的角，记作1° 弧度制 定义 以　弧度　为单位来度量角的单位制 1弧度的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 rad 知识点6.弧度数的计算 1．正角：正角的弧度数是一个正数． 2．负角：负角的弧度数是一个　负数． 3．零角：零角的弧度数是　0　． 4．如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝． 知识点7.角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝　360°　 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 知识点8.扇形的弧长和面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 1．弧长公式：l＝α·R． 2．扇形面积公式：S＝lR＝α·R2． 知识点9.任意角的正弦函数和余弦函数 1．给定任意角α，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，则v＝sin a ，u＝cos a． 2．利用角的终边上任意一点的坐标定义正、余弦函数 如图所示，在角α终边上任取一点P(x，y)，设|OP|＝r，则sin α＝ ＝，cos α＝ ＝_． 知识点10.正弦函数、余弦函数的基本性质 1．定义域：R． 2．最大(小)值：当α＝2k+(k∈Z)时，正弦函数v＝sin α取得最大值1； 当α＝2k(k∈Z) 时，正弦函数v＝sin α取得最小值1 . 当α＝2k(k∈Z) 时，余弦函数u＝cos α取得最大值1；当α＝(2k+1) (k∈Z) 时，余弦函数取得最小值1． 3．值域：[1,1]． 4．周期性：对任意k∈Z，sin (α＋2kπ)＝sin a，α∈R；对任意k∈Z，cos (α＋2kπ)＝ cos a ，α∈R，最小正周期为 2. 5．单调性：正弦函数在区间(k∈Z) 上单调递增， 在区间(k∈Z) 上单调递减． 余弦函数在区间[2k] (k∈Z) 上单调递增， 在区间[] (k∈Z)上单调递减． 知识点11.三角函数值的符号 规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 知识点12.公式一 名称 符号语言 文字语言 公式一 sin(α＋k·2π)＝sinα(k∈Z) cos(α＋k·2π)＝cosα(k∈Z) tan(α＋k·2π)＝tanα(k∈Z) 终边相同的角的同一三角函数的值相等 知识点13.角的对称 (1)角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，如图(a)； (2)角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，如图(b)； (3)角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，如图(c)． 知识点14.诱导公式 公式二 sin(π＋α)＝ －sinα cos(π＋α)＝ －cosα tan(π＋α)＝ tanα 公式三 sin(－α)＝ －sinα cos(－α)＝ cosα tan(－α)＝ －tanα 公式四 sin(π－α)＝ sinα cos(π－α)＝ －cosα tan(π－α)＝ －tanα 知识点15.五点法作图 画函数y＝sin x，x∈[0，2π]的五个关键点是：(0，0)，　　(π，0)　，(2π，0)． 知识点16.正弦函数的性质 定义域 R　 值域 [－1，1] 周期性 最小正周期　2π　 奇偶性 奇函数 单调性 在区间(k∈Z)上单调递增， 在区间　(k∈Z)上单调递减 最大(小)值 当x＝2kπ＋，k∈Z时，最大值为1； 当x＝2kπ＋，k∈Z时，最小值为－1. 知识点17.余弦函数的图象 (1)余弦曲线 余弦函数y＝cosx，x∈R的图象叫做余弦曲线． (2)余弦函数图象的画法 ①要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移个单位长度即可，这是由于cosx＝sin. ②用“五点法”画余弦曲线y＝cosx在[0，2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．将所得图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)． 知识点18.余弦函数y＝cos x，x∈R的性质． 函数性质 y＝cos x 定义域 R 值域 　[－1，1]　 奇偶性 偶函数 单调性 当x∈[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)　时，函数是递增的； 当x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)时，函数是递减的 周期性 最小正周期是2π 最值 当x＝2kπ(k∈Z)时，y的最大值为1； 当x＝2kπ＋π(k∈Z)　时，y的最小值为－1 对称轴 x＝kπ(k∈Z)　 对称中心 　(k∈Z) 知识点19.参数φ，ω，A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 (1)φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 (2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响 (3)A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 知识点20.由函数y＝sinx的图象得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的途径 由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． (1)先平移后伸缩 y＝sinx的图象y＝sin(x＋φ)的图象 y＝sin(ωx＋φ)的图象y＝Asin(ωx＋φ)的图象． (2)先伸缩后平移 y＝sinx的图象y＝sinωx的图象 y＝sin(ωx＋φ)的图象y＝Asin(ωx＋φ)的图象． 知识点21.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质 定义域 (－∞，＋∞) 值域 [－A，A] 周期 T＝ 奇偶性 当φ＝kπ，k∈Z时为奇函数 当φ＝kπ＋，k∈Z时为偶函数 当φ≠，k∈Z时为非奇非偶函数 图象的对称轴 直线x＝＋－，k∈Z 求法：令ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z可求 图象的对称中心 对称中心：－，0，k∈Z 求法：令ωx＋φ＝kπ，k∈Z可求 单调性 求法：令－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z可求单调递增区间 求法：令＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z可求单调递减区间 知识点22.正切函数的定义 根据函数的定义，比值是x的函数，称为x的正切函数，记作y＝tan x，其中定义域． 知识点23.正切函数的诱导公式 tan (kπ＋α)＝tan α(k∈Z) tan (－α)＝－tan α tan (π＋α)＝tan α tan (π－α)＝－tan α tan ＝－ tan ＝． 知识点24.正切函数的图象 (1)正切函数的图象． (2)正切函数y＝tanx，x∈R，x≠＋kπ，k∈Z的图象叫做正切曲线． (3)正切函数的图象特征 正切曲线是被与y轴平行的一系列直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的． 知识点25.正切函数的性质 (1)正切函数的性质 函数 y＝tanx 定义域 值域 R 周期 最小正周期为 π 奇偶性 奇函数 单调性 在每一个开区间(k∈Z)上都单调递增 (2)函数y＝tanωx(ω≠0)的最小正周期是 ． 知识点27.三角函数模型应用的步骤 三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决． 步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题． 这里的关键是建立数学模型_，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式． 知识点28.三角函数模型的拟合应用 我们可以利用搜集到的数据，做出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题． 03 题型归纳 题型1.周期性的判断 1.（20-21高一·全国·课后作业）下列函数图像中，不具有周期性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数图像的识别、周期现象 【分析】根据周期函数图像的特点，即图像具有重复性，即可判断出答案． 【详解】因为C选项中之间的图像在前后都没有重复出现， 所以C选项的函数图像不具有周期性， 故选：C． 2.（20-21高一下·全国·课后作业）如图所示的是一个单摆，让摆球从A点开始摆，最后又回到A点，单摆所经历的时间是一个周期T，则摆球在的运动过程中，经历的时间是（    ） A． B．T C． D． 【答案】B 【知识点】周期现象 【分析】利用周期的特点判断. 【详解】整个运动刚好是一个周期， 所以经历的时间是一个周期T， 故选：B 3.体操中有“后空翻转体720度”的动作，其中“转体720度”是转体（    ）． A．1周 B．2周 C．3周 D．4周 【答案】B 【知识点】周期现象 【分析】根据转体动作名称的实际意义得解. 【详解】在现实中，“转体720度”是转体2周， 故选：B. 方法归纳 一些变化是不是周期变化，其判断的依据是周期变化的特征，即每次都以相同的间隔出现，而且变化是无差别的重复出现． 题型2.利用周期性求函数值 4.（21-22高一下·陕西西安·期中）时针经过一小时，转过了（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】任意角的概念 【分析】根据弧度制的基本概念求解即可. 【详解】时针顺时针旋转，转过一圈(12小时)的角度为， 则时针经过一小时，转过了. 故选：B 5.（20-21高一下·全国·课后作业）钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在（    ） A．8点处 B．10点处 C．11点处 D．12点处 【答案】B 【知识点】周期现象 【分析】利用时钟的周期为60分钟,分析100分是多少个周期,由此即可得到答案. 【详解】一个周期是60分钟,则100分钟是一个周期,故100分钟后分针指在10点处. 故选：B 6.（2021高一·全国·专题练习）喜洋洋从家步行到学校，一般需要10分钟，则10分钟时间钟表的分针走过的角度是（　　） A．30° B．﹣30° C．60° D．﹣60° 【答案】D 【知识点】任意角的概念 【分析】根据分针旋转方向结合任意角的定义即可求出 【详解】因为分针为顺时针旋转，所以10分钟时间钟表的分针走过的角度是 . 故选：D． 方法归纳 判断函数周期性的三个常用结论 (1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2a是它的一个周期． (2)f(x＋a)＝(a≠0)，则函数f(x)为周期函数，2a是它的一个周期． (3)f(x＋a)＝－(a≠0)，则函数f(x)为周期函数，2a是它的一个周期． 题型3.任意角的概念及应用 7.（24-25高一上·河南新乡·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．第一象限的角是锐角 B．第二象限角必大于第一象限角 C．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等 D．1弧度角的大小与圆的半径无关 【答案】D 【知识点】由已知角所在的象限确定某角的范围、弧度的概念、弧长的有关计算 【分析】根据象限角的定义判定A、B，由弧度和弧长得定义及相关公式判断C、D. 【详解】A，第一象限角指终边落在第一象限的角的集合，有正有负， 而锐角仅指大于小于的角，故A错误； B，为第二象限的角，为第一象限的角，显然不满足，故B错误； C，圆心角为1弧度的扇形的弧长为，与半径有关， 半径不相等，则扇形的弧长不相等，故C错误； D，由弧度的定义得，弧度的大小与圆的半径无关，它由比值唯一确定，故D正确. 故选：D 8.（22-23高一下·山东·阶段练习）若，，则终边所在象限为（    ） A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限 【答案】B 【知识点】用弧度制表示角的集合、确定已知角所在象限 【分析】直接作出其终边所经过的象限图形即可. 【详解】经过第三象限，则反向延长其终边射线经过第一象限， 故经过一三象限， 故选：B. 9.（24-25高一上·天津·期末）已知角顶点为坐标原点，始边与x的非负半轴重合，若，则的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】确定已知角所在象限 【分析】由即可得. 【详解】，故的终边在第四象限. 故选：D. 方法归纳 与角的概念有关问题的解决方法 正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． 题型4.终边相同的角 10.（24-25高一上·海南海口·阶段练习）在的范围内，与终边相同的角是 ． 【答案】 【知识点】找出终边相同的角 【分析】利用终边相同的角的定义求解即可. 【详解】由， 可得在的范围内，与终边相同的角是. 故答案为：. 11.已知角，则角的终边落在第 象限. 【答案】一 【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限 【分析】根据终边相同角及象限角的定义判断即可. 【详解】因为，所以角的终边与的终边重合， 又为第一象限角，所以角的终边落在第一象限. 故答案为：一 12.（23-24高一下·上海徐汇·期中）的角属于第 象限. 【答案】一 【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限 【分析】根据终边相同的角的性质即可求解. 【详解】由于，且为第一象限角， 故的角属于第一象限角， 故答案为：一 方法归纳 (1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤 ①写出在[0°，360°)内相应的角；②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；③根据条件能合并一定合并，使结果简洁． (2)终边相同角常用的三个结论 ①终边相同的角之间相差360°的整数倍；②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍． 题型5.象限角与区域角的表示 13.（22-23高一下·广西钦州·阶段练习）集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】当取偶数时，确定角的终边所在的象限；当取奇数时，确定角的终边所在的象限，再根据选项即可确定结果． 【详解】集合中， 当为偶数时，此集合与表示终边相同的角，位于第一象限； 当为奇数时，此集合与表示终边相同的角，位于第三象限. 所以集合中角表示的范围为选项B中阴影所示. 故选：B. 14.（24-25高一上·全国·课后作业）集合中角的终边在单位圆中的位置（阴影部分）是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】确定已知角所在象限 【分析】分为偶数和奇数两种情况讨论即可. 【详解】当，时，，.此时角的终边位于第一象限靠近轴的区域； 当，时，，.此时角的终边位于第三象限靠近轴的区域. 故选：C 15.（24-25高一上·江苏·阶段练习）与角终边相同的角的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】找出终边相同的角 【分析】根据终边相同的角定义判断即可. 【详解】一般来说，角度、弧度不能混用，故A，D错误， 与角终边相同的角的集合是，B错误，C正确， 故选：C 方法归纳 区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步： (1)按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； (2)由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，并将该范围内的区域角表示为{x|α<x<β}，其中β－α<360°； (3)起始、终止边界对应角α、β再加上360°的整数倍，即得区域角的范围． 题型6.角度与弧度的换算 16.（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）化成弧度制为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角度化为弧度 【分析】由角度，弧度转化公式可得答案. 【详解】因，则. 故选：D 17.（22-23高一·全国·课堂例题）把下列各角从度化为弧度： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】角度化为弧度 【分析】根据角度制和弧度制之间的换算关系求解. 【详解】（1）； （2）． 18.（23-24高一下·广东广州·期中）已知终边经过点，则可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知三角函数值求角、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】先由题意推出是第四象限角，接着求出即可得解. 【详解】因为， 所以，故点P在第四象限，则由题意是第四象限角， 又因为， 所以可能是. 故选：C. 方法归纳 进行角度制与弧度制的互化的原则和方法 (1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝rad和1 rad＝°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝°；n°＝n·. 提醒：(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写． (2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数． (3)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度． 题型7.用弧度制表示角的集合 19.（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】找出终边相同的角、用弧度制表示角的集合 【分析】代入终边相同的角的集合，即可求解. 【详解】与角终边相同的角的集合是，当时，. 故选：B 20.（23-24高一上·天津河西·期末）已知是第一象限角，那么不可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【知识点】确定n分角所在象限、用弧度制表示角的集合 【分析】由题意可得，由此得，讨论k的取值，即分、、进行讨论，即可确定答案. 【详解】由题意是第一象限角，即， 故， 当时，，是第一象限角； 当时，，是第二象限角； 当时，，是第三象限角； 故不可能是第四象限角， 故选：D 21.（22-23高一上·陕西咸阳·阶段练习）下列命题： 第四象限的角可表示为 第二象限角大于第一象限角 将表的分针拨快分钟，则分针转过的角为 若是第二象限角，则的终边在第一象限． 其中真命题的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【知识点】任意角的概念、确定n分角所在象限、用弧度制表示角的集合 【分析】根据象限角的表示方法判断①，举反例判断②，根据角的定义判断③，举反例判断④，由此确定正确选项. 【详解】对于A,，第四象限的角可表示为，所以①错， 对于B，大小为的角在第二象限，大小为的角在第一象限，但，所以②错， 对于C，将表的分针拨快分钟，则分针转过的角为所以③错， 对于D，大小为的角在第二象限，但的终边在第三象限；所以④错， 所以真命题的个数为0， 故选：A. 状元随笔　(1)用弧度数表示与角α终边相同的角连同角α在内的集合为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}． (2)用弧度数表示区域角时，先把角度换算成弧度，再写出与区域角的终边相同的角的集合，最后用不等式表示出区域角的集合，对于能合并的应当合并． 题型8.弧长公式和扇形面积公式的应用 22.（24-25高一上·吉林长春·期末）扇形圆心角为2，弧长为12cm，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】根据扇形的圆心角和弧长求出半径，再根据扇形的面积公式即可求解. 【详解】因为扇形圆心角为2，弧长为12cm， 所以扇形的半径， 所以扇形的面积为. 故选：. 23.（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知一个扇形的圆心角为，它的弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】根据已知条件，结合弧长公式和扇形面积公式，即可求解. 【详解】因为扇形的圆心角为，它的弧长为，设扇形的半径为， 又，所以， 所以该扇形的面积. 故选：B. 24.（24-25高一上·云南大理·阶段练习）若扇形的面积为，半径为1，则扇形的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】结合扇形的面积公式求解即可. 【详解】设扇形圆心角为，则，又，解得. 故选：B. 状元随笔　在求解的过程中要注意：①看清角的度量制，选用相应的公式；②扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长或面积的最值问题，通常转化为某个函数的最值问题． 方法归纳 弧长公式和扇形面积公式的应用类问题的解决方法：①将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化，因此解决这些问题通常采用弧度制．一般地，在几何图形中研究的角，其范围是(0，2π)；②利用α，l，R，S四个量“知二求二”代入公式． 题型9.已知角，求三角函数值 25.（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】诱导公式一、诱导公式二、三、四 【分析】利用诱导公式将转化为锐角，然后再计算出结果. 【详解】. 故选：A. 26.（24-25高一上·新疆伊犁·期末）的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式一 【分析】根据诱导公式及特殊角的三角函数值得解. 【详解】， 故选：C 27.（24-25高一上·河北石家庄·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】诱导公式一 【分析】使用三角函数的诱导公式求解即可. 【详解】 故选：B. 方法归纳 作出角α的终边与单位圆相交，求出交点坐标，利用正、余弦函数的定义求解． 题型10.已知角α终边上一点求三角函数值 28.（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知角的顶点与直角坐标系原点重合，始边与x轴非负半轴重合，其终边上有一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据三角函数的定义计算可得，再利用诱导公式计算. 【详解】，则， 则. 故选：A. 29.（24-25高一上·陕西榆林·期末）若角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式五、六 【分析】由条件，根据三角函数定义求，结合诱导公式求结论. 【详解】角的终边过点， 则点到原点的距离， 所以， 所以． 故选：A． 30.（24-25高三上·宁夏·期中）已知角的终边经过，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据三角函数的定义即可求解，再结合诱导公式即可判断． 【详解】由于角的终边经过，故， 故， ， 故A，D错误，B，C正确， 故选：BC． 方法归纳 已知α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法 (1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值． (2)在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin α＝，cos α＝. 已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便． (3)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 题型11.正、余弦函数值的符号判断及应用 31.（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）若，则点位于第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】根据象限角判断三角函数值的符号，即可得结果. 【详解】因为，则， 所以点位于第二象限. 故选：B. 32.（23-24高一上·安徽·期末）若，则为（    ） A． 第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第一、三象限角 D．第一、四象限角 【答案】D 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】根据三角函数在各个象限的符号判断即可. 【详解】因为，所以同号， 在第一象限时， 在第四象限时， 所以是第一、四象限角，而二、三象限两函数值异号. 故选：D. 33.（22-23高一下·陕西西安·阶段练习）点在平面直角坐标系中位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】根据象限角的三角函数值的符号分析判断. 【详解】因为，即4为第三象限角，2为第二象限角， 可知，所以点在平面直角坐标系中位于第三象限. 故选：C. 方法归纳 一个角的正、余弦函数值的符号取决于这个角的终边所在的象限，可用口诀简记为“一全正，三全负，二正弦，四余弦”(即第一象限角的正、余弦值全为正值，第三象限角的正、余弦值全为负值，第二象限角的正弦值为正，第四象限角的余弦值为正． 题型12.利用诱导公式化简 34.（2024高三·全国·专题练习）如果，满足，那么下列式子中正确的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】正切函数的诱导公式、诱导公式二、三、四、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据诱导公式逐项判断即可. 【详解】因为，所以，故①正确，②错误； ，故③正确，④错误； ，⑤正确． 故选：C 35.（24-25高一上·天津河东·期末） ． 【答案】 【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用诱导公式化简，即可求值. 【详解】 故答案为：. 36.（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）在“①；②；③点在角的终边上”这三个条件中，选择其中一个，解决下面问题： (1)求的值； (2)若角的终边在第一象限.求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）选①②，根据诱导公式化简，选③根据正切的定义求解，均可得，再根据同角三角函数的关系求解即可； （2）根据诱导公式，结合同角三角函数的关系求解即可. 【详解】（1）选①：则； 选②：则， 即，故； 选③：点在角的终边上则； 则. （2）因为角的终边在第一象限，，则， ， 故. 方法归纳 三角函数式化简的关键是抓住2kπ＋α(k∈Z)，－α，α±π，π－α这几组的诱导公式，它们的特点都是同名间的关系，不同的是符号的变化． 题型13.利用诱导公式求值 37.（24-25高一上·甘肃酒泉·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】诱导公式一、诱导公式二、三、四 【分析】利用诱导公式化简求值即可. 【详解】由诱导公式可得，. 故选：B 38.（24-25高一上·吉林长春·期末）计算（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式一、诱导公式二、三、四 【分析】根据诱导公式化简求解. 【详解】. 故选：D. 39.（24-25高一上·江苏·阶段练习）的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式一、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六 【分析】由题意利用诱导公式求解即可. 【详解】. 故选：. 方法归纳 利用诱导公式求值的两个关注点 (1)角的变化：对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一． (2)函数名称：对于kπ±α和±α这两套诱导公式，切记前一套公式不变名，后一套公式变名． 题型14.利用诱导公式化简 40.（24-25高一上·云南大理·阶段练习）已知，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算、诱导公式二、三、四 【分析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式可求tanα的值，进而利用同角三角函数基本关系式化简所求即可代入计算求值得解． 【详解】. 故选：D． 41.（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）已知角和的终边关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据题意，然后根据诱导公式逐项判断即可. 【详解】因为角和的终边关于x轴对称，可得. 对于A，由，A正确； 对于B，由，B错误； 对于C，由，C正确； 对于D，由，D错误. 故选：AC 42.（24-25高一上·江苏·阶段练习）（1）解不等式； （2）已知，求的值； （3）化简：. 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据对数函数的单调性与定义域求解即可； （2）根据同角三角函数的关系求解即可； （3）根据诱导公式结合同角三角函数的关系求解即可. 【详解】（1）则，解得. （2）. （3） . 方法归纳 对于角α＋，其中n＝1，2，3，4，…，k(k∈Z)的诱导公式：当n取奇数时，公式的等号两边一个是正弦函数，另一个是余弦函数；当n取偶数时，公式的等号两边都是正弦函数或都是余弦函数，其符号由角所在的象限决定． 题型15.用五点法作函数y＝A sin x＋b(A≠0)，x∈[0，2π]的简图 43.（2021·河南郑州·二模）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为， C．函数的一个单调递减区间为 D．若将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数记为，则是奇函数 【答案】D 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、相位变换及解析式特征、求sinx型三角函数的单调性 【分析】通过最高点得到的值，通过周期求出的值，通过五点法求出的值，得到函数的解析式，通过三角函数的性质逐一判断即可. 【详解】根据函数的部分图象， 可得，， ． 结合五点法作图，可得，，，故A错误； 不等式，即，， 求得，故不等式的解集为，，故B错误； 当时，，没有单调性，故C错误； 将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数记为 ，则是奇函数，故D正确． 故选：D. 44.（2023高三·全国·专题练习）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】五点法画余弦函数的图象 【分析】根据五点作图法结合余弦函数的图象即可得解. 【详解】由“五点法”作图知：令，，，，， 解得，即为五个关键点的横坐标. 故选：B. 45.（23-24高一上·陕西宝鸡·阶段练习）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（    ） A．0，，π，，2π B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 【答案】A 【知识点】五点法画余弦函数的图象 【分析】结合“五点法”作图特征，直接求出结论即可. 【详解】函数的最小正周期为， 用“五点法”作的图象，即作函数在上的图象， 所以五个关键点的横坐标为0，，π，，2π. 故选：A 方法归纳 用五点法画函数y＝A sin x＋b(A≠0)，x∈[0，2π]的简图的步骤： (1)列表： x 0 π 2π y＝sin x 0 1 0 －1 0 y＝A sin x＋b b A＋b b －A＋b b (2)描点：在平面直角坐标系中描出(0，b)，，(π，b)，，(2π，b)五个点． (3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来． 题型16.正弦函数的基本性质 46.（22-23高一下·北京怀柔·期中）函数的图象相邻的两条对称轴之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦函数对称性的其他应用、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】确定函数的周期，再根据周期确定对称轴的距离. 【详解】，则，则相邻的两条对称轴之间的距离是. 故选：C. 47.（2024高二上·云南·学业考试）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】由正弦函数的周期公式求出即可； 【详解】由周期公式可得最小正周期为， 故选：C. 48.（23-24高一下·广东清远·期末）弹簧挂着的小球作上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米的关系可用函数（，）来确定，其图象如图所示，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】由函数图象得到周期，利用公式可求的值. 【详解】函数（，），由图象可知， 最小正周期，则有. 故选：C 方法归纳 (1)形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)，可利用T＝求周期． (2)比较大小：利用诱导公式转化为自变量在同一单调区间上． (3)求形如：y＝a sin x＋b的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性求解． 题型17.余弦函数的基本性质 49.（24-25高一上·吉林四平·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在上有最小值 D．直线是函数的一条对称轴 【答案】BC 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求cosx（型）函数的最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据图象得到解析式，利用余弦函数的性质逐项判断即可. 【详解】由图可知，，函数的最小正周期， ∴，∴． 将点代入解析式中可得， ∴，解得， ∵，∴，∴，故A错误. ∵， ∴函数的图象关于点对称，故B正确. 当时，，∴，即最小值为，故C正确． ∵， ∴直线不是函数图象的一条对称轴，故D错误. 故选：BC． 50.（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）当时，函数与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【知识点】余弦函数图象的应用、正切函数图象的应用 【分析】作出函数在上的图象与在的图象即可得解. 【详解】作出函数在上的图象与在的图象，如图， 观察图象，得函数与函数的图象的交点个数为2. 故选：C 51.（24-25高三上·福建三明·阶段练习）若函数的图象与函数的图象的任意三个连续交点都是一个正三角形的三个顶点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正弦函数图象的应用、余弦函数图象的应用、正切型三角函数图象的应用 【分析】解法一，令，可得，不妨取，1，2，得三个连续的交点依次为，，，求得的高，再根据与图象求得的高，建立方程求得结果.解法二，在同一平面直角坐标系中，作出函数和的图象，求得的高为，可得的边长为4即的周期为4，得解. 【详解】解法一 由，令，得， 所以，不妨取，1，2，得三个连续的交点依次为，，， 因为为正三角形，为的边长，为的高， 由正弦函数、余弦函数的图象可知在和的图象的交点处， 所以的高为， 所以， 解得． 解法二：如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数和的图象， 设两图象的三个连续交点分别为A，B，C，连接，，， 则为正三角形，过点作，垂足为， 由正弦函数、余弦函数的图象可知在和的图象的交点处， 所以， 所以，所以的最小正周期，即，所以． 故选：A． 方法归纳 (1)判断函数的奇偶性时，必须先检查其定义域是否关于原点对称．如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，那么该函数必为非奇非偶函数． (2)判断与余弦函数有关的函数的奇偶性时，要注意两个方面，一是函数的定义域是否关于原点对称；二是注意三角函数诱导公式的合理利用． 题型18.“五点法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象 52.（20-21高一·全国·课后作业）用“五点法”画的图象时，下列哪个点不是关键点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】五点法画正弦函数的图象 【分析】根据五点作图法得到五个关键点，得到答案. 【详解】五点作图法在内的五个关键点为 ，可知不是关键点． 故选：A 53.（2022高一·全国·专题练习）用“五点法”作y＝2sinx的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】五点法画正弦函数的图象 【分析】根据与的关系进行判断即可． 【详解】与对应五点的横坐标相同，则五点法对应五点的横坐标， 故选：A． 54.（21-22高一·全国·课前预习）函数，的简图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=Asinx+B的图象 【分析】利用五点作图法可得出函数，的简图. 【详解】列表： 观察各图象发现A项符合． 故选：A. 方法归纳 五点法作函数y＝A sin (ωx＋φ)(x∈R)图象的步骤 (1)列表，令ωx＋φ＝0，，π，，2π，依次得出相应的(x，y)值． (2)描点． (3)连线得函数在一个周期内的图象． (4)左右平移得到y＝A sin (ωx＋φ)，x∈R的图象． 题型19.三角函数的图象变换 55.（24-25高一上·天津南开·期末）要得到函数的图象，可以将函数的图象(    ) A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】C 【知识点】诱导公式五、六、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】利用诱导公式化简并变形得，然后根据图象的平移变换判断即可. 【详解】，， 所以的图象向右平移个单位长度得到的图象. 故选：C. 56.（24-25高一上·天津武清·期末）函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据三角函数图象变换得到答案. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度得到， 故选：D. 57.（24-25高一上·江苏南京·期末）将函数图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据给定的图象变换直接求出解析式即可. 【详解】将函数图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 所得图象的函数解析式为. 故选：B 方法归纳 解决三角函数图象变换问题的关键是明确左右平移的方向和平移量以及横纵坐标伸缩的量，在变换中平移变换与伸缩变换的顺序不同得到的解析式也不同，这点应特别注意，否则就会出错． 题型20.求函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式 58.（24-25高一上·天津南开·期末）函数，其中，（），（a，），它的图象如图所示，则的解析式为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】y=Asinx+B的图象 【分析】将点与的坐标代入函数表达式，建立关于的方程组即可求解. 【详解】点与代入中， 可得，解得，. 故选：A． 59.（24-25高三上·天津滨海新·期中）已知函数的最小正周期为，则在的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】根据函数的最小正周期求出，即可得到函数解析式，再根据的取值范围，求出的范围，最后根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以，解得，所以， 当，则， 所以当，即时取得最小，即. 故选：A 60.（陕西省西安市2024-2025学年高一上学期1月期末质量监测数学试题）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、二倍角的余弦公式、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】先将化简得，再根据三角函数图象变化得到答案. 【详解】， 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得， 再将所得的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 则， 故选：B. 方法归纳 根据三角函数的图象求y＝A sin (ωx＋φ)的解析式 (1)A：一般可由图象上的最高点、最低点的纵坐标来确定|A|. (2)ω：因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω.图象上相邻的两个对称中心间的距离为，相邻的两条对称轴之间的距离为，相邻的对称轴与对称中心之间距离为. (3)φ：①把图象上的一个已知点的坐标代入来求．②寻找“五点作图法”中的某一点来求，具体如下：利用“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时，令ωx ＋φ＝0；利用“第二点”(即图象的“峰点”)时，令ωx ＋φ＝；利用“第三点”(即图象下降时与x轴的交点时，令ωx ＋φ＝π；利用“第四点”(即图象的“谷点”)时，令ωx ＋φ＝；利用“第五点”时，令ωx ＋φ＝2π.注意：要观察题目所给图象是否适合用“五点作图法”． 题型21.函数y＝A sin (ωx＋φ)性质的综合应用 61.（2024高二上·山东枣庄·学业考试）要得到的图象，只需把图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B．横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标变为原来的倍，横坐标不变 D．纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变 【答案】A 【知识点】诱导公式五、六、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】根据诱导公式可得，再根据三角函数的伸缩变换求解即可. 【详解】因为， 所以要得到的图象， 只需把图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变. 故选：A. 62.（2024高一上·全国·专题练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图（1）．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（单位：m）和时间t（单位：s）的函数关系为，如图（2）．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（    ） A． B． C．1s D． 【答案】D 【知识点】三角函数在生活中的应用、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】先确定函数的一个周期，再解不等式求另一个周期，最后计算总时间即可. 【详解】由题意得，，故函数的周期为，，可得，令，解得，故总时间为， 综上在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为. 故选：D 63.（24-25高三上·四川眉山·阶段练习）函数的图象向右平移个长度单位得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】首先求出的解析式，法一：根据的取值范围，求出，结合正弦函数的单调性求出的取值范围，即可得解；法二：求出函数的单调递增区间，即可得到，从而求出的取值范围，即可得解. 【详解】函数的图象向右平移个单位即可得到 的图象， 法一：当时，， 若在区间上单调递增，则，解得， 即的最大值为； 法二：令， 解得， 所以函数的单调递增区间为， 依题意可得，所以，即的最大值为. 故选：B. 方法归纳 1．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧 (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)确定函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝A sin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间． 2．求三角函数值域的常用方法 (1)求解形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sin x(或cos x)≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性． (2)求解形如y＝a sin2x＋b sinx＋c(或y＝a cos2x＋b cosx＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域、最值即可．求解过程中要注意t＝sin x(或cos x)的有界性． 题型22.利用正切函数诱导公式求值 64.（23-24高一下·上海杨浦·期中）若，则的值是 . 【答案】2 【知识点】正切函数的诱导公式、诱导公式二、三、四 【分析】直接利用诱导公式计算即可. 【详解】根据诱导公式知：. 故答案为：2. 65.（23-24高一下·全国·课后作业）求值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】正切函数的诱导公式 【分析】（1）（2）（3）由正切函数的诱导公式依次求解即可. 【详解】（1）； （2）； （3）． 66.（23-24高一上·河南商丘·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、利用定义求某角的三角函数值、正切函数的定义 【分析】根据题意分别判断充分性，必要性从而可求解. 【详解】必要性：若，则，，故必要性不满足； 充分性：若，则，故充分性满足； 故“”是“”的充分不必要条件，故A正确. 故选：A. 方法归纳 给角求值，关键是利用诱导公式将任意角的三角函数值转化为锐角，通常是特殊角的三角函数值． 题型23.正切函数的图象及应用 67.（21-22高一·全国·课后作业）关于函数的说法中正确的是（    ） A．定义域是， B．图像关于点对称 C．图像关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】AB 【知识点】正切函数的定义、求正切型三角函数的单调性、求正切（型）函数的对称中心 【分析】利用正切函数的图像与性质以及“整体代换”的方法进行求解. 【详解】对于A，因为函数，由，， 得，，故A正确； 对于B，函数，因为，所以图像关于点对称， 故B正确； 对于C，函数，所以函数不存在对称轴，故C错误； 对于D，函数，因为，所以，又区间不是函数的单调递增区间，故D错误． 故选：AB. 68.（20-21高一·全国·课后作业）[多选题]下列函数中，同时满足：①在上是增函数；②为奇函数；③周期为的函数有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】求sinx的函数的单调性、求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的最小正周期、正切函数的定义 【分析】对各选项中三角函数的单调性、周期性、奇偶性进行验证，即可得到结果. 【详解】因为是周期为，且是奇函数，又在上单调递增函数，可知在上是增函数，故选项A正确； 因为是偶函数，故B不满足； 因为是周期为的周期函数，故C不满足； 因为是奇函数，且周期， 令，所以， 所以函数的递增区间为，所以函数在上是增函数，故D正确； 故选：AD． 69.（2023高二下·湖南·学业考试）函数在一个周期内的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】正切函数图象的应用 【分析】由正切函数的图象与性质判断， 【详解】由正切函数的图象与性质可知在上单调递增，图象为A， 故选：A 方法归纳 解决与正切函数图象有关的问题，必须熟练画出正切函数y＝tan x，x∈的图象，求自变量x的范围时，要注意是否包含端点值，切记正切函数的最小正周期为π. 题型24.正切函数的单调性问题 70.（24-25高一上·吉林延边·期末）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在其定义域上是增函数 C．的定义域为 D．若，则 【答案】ACD 【知识点】求正切型三角函数的单调性、求正切（型）函数的周期、求正切（型）函数的定义域 【分析】根据正切函数的性质依次求出函数的最小正周期、定义域、单调区间即可求解． 【详解】A：，函数的最小正周期为，故A正确； B：，，解得， 所以函数在上单调递增，故B错误； C：由，，得，， 所以函数的定义域为，故C正确； D：，得，，解得，，故D正确. 故选：ACD 71.（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）已知函数，则下列命题中正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．图象的对称中心为 D．的单调递增区间为 【答案】ACD 【知识点】求正切型三角函数的单调性、求正切（型）函数的周期、求正切（型）函数的对称中心 【分析】根据正切函数的图象及性质解决即可． 【详解】由题知，函数， 对于A，所以的最小正周期为，故A正确； 对于B，的定义域满足，即 所以的定义域为，故B错误； 对于C，图象的对称中心应满足，即 所以图象的对称中心为，故C正确； 对于D，的单调递增区间应满足，即， 所以的单调递增区间为，故D正确； 故选：ACD 72.（24-25高三上·重庆·阶段练习）下列函数是奇函数，且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】由奇函数及单调性逐项判断即可. 【详解】，奇函数且在上单调递增，正确； ，当时，无意义，错误； ，，， 显然，即不是奇函数，错误； ，当时，无意义，错误； 故选：A 方法归纳 求函数y＝A tan (ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法 ①若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ<kπ＋，k∈Z，解得x的范围即可． ②若ω<0，可利用诱导公式先把y＝A tan (ωx＋φ)转化为y＝A tan [－(－ωx－φ)]＝－A tan (－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可． 题型25.运用正切函数单调性比较大小 73.（陕西省西安市2024-2025学年高一上学期1月期末质量监测数学试题）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较正切值的大小、比较对数式的大小 【分析】利用对数函数单调性和正切函数单调性即可比较大小. 【详解】∵对数函数在上单调递增，，即； 同理，对数函数在上单调递增，，即； ∵函数在上单调递增，且，，即. 综上，. 故选：C. 74.（湖南省永州市2024-2025学年高一上学期末质量检测数学试卷）下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、比较余弦值的大小、比较正切值的大小、比较对数式的大小 【分析】根据指数函数的性质判断A，根据对数函数的性质判断B，利用诱导公式及余弦函数的性质判断C，利用诱导公式及正切函数的性质判断D. 【详解】对于A：因为在定义域上单调递减，所以，故A错误； 对于B：因为在定义域上单调递增，所以，故B错误； 对于C：，， 又在上单调递减，所以，即，故C错误； 对于D：，， 又在上单调递增，所以，所以，故D正确. 故选：D. 75.（24-25高一上·甘肃白银·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用换底公式化简计算、对数函数单调性的应用、比较正切值的大小、比较对数式的大小 【分析】由换底公式化简，并判断，由对数函数的性质判断，根据正切函数的单调性可判断，得解. 【详解】由题意得，． 因为函数在上单调递增，所以， 即．故． 故选：D. 方法归纳 运用正切函数单调性比较大小的方法 ①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． ②运用单调性比较大小关系． 题型26.正切函数图象与性质的综合应用 76.（24-25高一上·天津河东·期末）设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求正切（型）函数的周期、正切函数对称性的应用 【分析】根据对称中心结合正切函数性质可得，进而可求最小正周期. 【详解】因为函数的图象的一个对称中心为， 则，解得， 且，所以函数的最小正周期为， 对于选项A：若，此时，不合题意，故A错误； 对于选项B：若，此时，不合题意，故B错误； 对于选项C：若，解得，故C正确； 对于选项D：若，此时，不合题意，故D错误； 故选：C. 77.（24-25高三上·广东潮州·阶段练习）已知函数（，）的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的图象与轴的交点坐标为 D．函数的图象关于直线对称 【答案】AD 【知识点】正切函数图象的应用、由正切函数的周期求值、正切函数对称性的应用 【分析】观察图象确定函数的周期，结合周期公式求，判断A，根据时，函数无意义，求，判断B，再求判断C，结合对称的性质及正切函数性质判断D. 【详解】A：由图可知，的最小正周期， 又，所以，故，故A正确； B：由图象可知时，函数无意义，故， 由，得，故B错误； C：由上分析可得：，所以， 即的图象与轴的交点坐标为， 故C错误； D：因为， 所以 所以函数的图象关于直线对称，D正确. 故选：AD. （78.24-25高三上·吉林·期末）已知函数的部分图象如图所示（分隔直线右侧函数的零点为），则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B． C． D．函数在上单调递增 【答案】BC 【知识点】正切函数图象的应用、求正切型三角函数的单调性、求正切（型）函数的周期 【分析】根据给定的函数图象，求出周期及，进而求出解析式，再根据正切函数的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，由图可知，函数的最小正周期为，故A错误； 对于B，由，所以， 因为，则，则， 因为，则，故B正确； 对于C，，又，所以，所以 所以，故C正确； 对于D，由，得， 而，即时，没有意义，故D错误； 故选：BC. 方法归纳 解答正切函数图象与性质问题时应注意的两点 (1)对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴． (2)单调性：正切函数在每个(k∈Z)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的． 题型27.三角函数模型在物理中的应用 79.（24-25高一上·全国·课后作业）已知现代600千瓦风力发电机上，每个扇叶长度为20m，对应塔高（旋转中心距离地面的高度）为60m，扇叶逆时针方向每分钟旋转27转．若点为扇叶尖上一点，当位于最低点时开始计时，则离地面的距离（单位：m）与其转动时间（单位：s）的函数关系式为（    ）（角速度圆半径转过的弧度/运动时间） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用 【分析】依题意建系，设，理解题意可得的值，代入点，求出，结合选项即得. 【详解】以旋转中心为原点，扇叶长度为半径建立平面直角坐标系． 由题意可得点作匀速圆周运动的角速度为， 可得秒后点旋转过的弧度为， 设函数，由题可得， 所以，当时，， 代入可得，则得， 则. 故选：A. 80.（21-22高二下·山东烟台·阶段练习）一半径为3.6米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1.8米.已知水轮按逆时针做匀速转动，每60秒转动一圈，如果当水轮上点P从水面浮现时（图中点位置）开始计时，则下列判断正确的有（    ） A．点P第一次到达最高点需要20秒 B．在水轮转动的一圈内，有40秒的时间，点P在水面的上方 C．当水轮转动95秒时，点P在水面上方，点P距离水面1.8米 D．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，点P距离水面0.9米 【答案】ABC 【知识点】周期现象、三角函数在生活中的应用 【分析】结合周期性以及角度判断出正确答案. 【详解】设水面为， 过作直径，垂足为， 依题意米，所以，， 第一次到达最高点需要的时间为秒，A选项正确. 根据对称性可知，由运动到，需要时间秒，B选项正确. 当水轮转动秒时，位置与秒时相同， 秒转过的角度为， 如图中的位置，其中，故此时在水面上方，距离水面的距离等于米，C选项正确. 当水轮转动秒时，位于的位置，距离水面米，D选项错误. 故选：ABC 81.（21-22高三上·山东菏泽·期中）一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米.已知水轮按逆时针做匀速转动，每秒转动一圈，如果当水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，则下列判断正确的有（    ） A．点第一次到达最高点需要秒 B．在水轮转动的一圈内，有秒的时间，点在水面的上方 C．当水轮转动秒时，点在水面上方，点距离水面米 D．当水轮转动秒时，点在水面下方，点距离水面米 【答案】BC 【知识点】周期现象 【分析】利用周期和角度的关系求解. 【详解】如图所示： 作OM垂直于水面， 则OM=1.8，,, A.点第一次到达最高点需要转，时间是，故错误； B.，则点在水面的上方的时间是，故正确； C.，则点P转动了，点P在图中位置，在水面上方，点距离水面米，故正确； D. 当水轮转动秒时，转动了，点P在图中位置，在水面下方，点距离水面1.8米， 故选：BC 方法归纳 处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题． 题型28.建立三角函数模型 82.（24-25高一上·全国·课后作业）如图，在匀强磁场中，一不计重力的带电粒子在磁场作用下逆时针做匀速圆周运动，以运动轨迹的中心为圆心，建立坐标系，已知轨迹半径为3cm，粒子旋转一周需要的时间为2s．若从点处开始计时，则该带电粒子运动的过程中与轴所在平面的距离与时间的函数关系式可以为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角函数在物理学中的应用 【分析】根据表示距离为非负数排除AC,根据函数的单调性可判断BD. 【详解】由题意知，表示距离为非负数，A，C错误； 粒子从起始位置开始运动，到轴的距离逐步增加，达到最大值后开始减小， 中，当时，，函数单调递增，满足题意，B正确； 中，当时，，函数单调递减，D错误． 故选；B 83.（24-25高三上·浙江绍兴·阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里可从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，均匀设置有48个座舱（按顺时针依次编号为1至48号），开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min.甲、乙两户家庭去坐摩天轮，甲家庭先坐上了1号座舱，乙家庭坐上了号座舱，若从乙家庭坐进座舱开始计时，10min内（含10min）出现了两户家庭的座舱离地面高度一样的情况，则的最小值是（   ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】根据给定条件，设乙家庭转动出现了两户家庭的座舱离地面高度一样，借助对称性求出，再结合两个相邻座舱对应弧所对圆心角即可得解. 【详解】设乙家庭转动出现了两户家庭的座舱离地面高度一样，，只需考查旋转的第一周内即可， 而摩天轮的座舱每分钟转动，则乙家庭的座舱转过的弧度数为， 摩天轮的两个相邻座舱中点间的圆弧所对圆心角为，甲家庭的座舱转过的弧度数为， 依题意，甲乙两户家庭的座舱关于摩天轮垂直于地面的轴对称，则， 整理得，当且仅当时取等号， 所以的最小值是17. 故选：B 方法归纳 整理数据，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型． 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 三角函数 知识归纳与题型突破（28题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点1.函数的周期性 1．一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D，且满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期． 2．如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正　数，那么这个最小正数就称作函数y＝f(x)的最小正周期． 知识点2.角的概念推广 1．角的概念：平面内一条射线绕着它的端点旋转到终止位置，形成角． 2．角的分类：按逆时针方向旋转形成的角叫正角，按顺时针 方向旋转形成的角叫负角．如果一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角． 知识点3.象限角 在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 知识点4.终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝ {β|β＝α＋k·360°，k∈Z}　_，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 知识点5.度量角的两种制度 角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制 1度的角 周角的为1度的角，记作1° 弧度制 定义 以　弧度　为单位来度量角的单位制 1弧度的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 rad 知识点6.弧度数的计算 1．正角：正角的弧度数是一个正数． 2．负角：负角的弧度数是一个　负数． 3．零角：零角的弧度数是　0　． 4．如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝． 知识点7.角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝　360°　 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 知识点8.扇形的弧长和面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 1．弧长公式：l＝α·R． 2．扇形面积公式：S＝lR＝α·R2． 知识点9.任意角的正弦函数和余弦函数 1．给定任意角α，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，则v＝sin a ，u＝cos a． 2．利用角的终边上任意一点的坐标定义正、余弦函数 如图所示，在角α终边上任取一点P(x，y)，设|OP|＝r，则sin α＝ ＝，cos α＝ ＝_． 知识点10.正弦函数、余弦函数的基本性质 1．定义域：R． 2．最大(小)值：当α＝2k+(k∈Z)时，正弦函数v＝sin α取得最大值1； 当α＝2k(k∈Z) 时，正弦函数v＝sin α取得最小值1 . 当α＝2k(k∈Z) 时，余弦函数u＝cos α取得最大值1；当α＝(2k+1) (k∈Z) 时，余弦函数取得最小值1． 3．值域：[1,1]． 4．周期性：对任意k∈Z，sin (α＋2kπ)＝sin a，α∈R；对任意k∈Z，cos (α＋2kπ)＝ cos a ，α∈R，最小正周期为 2. 5．单调性：正弦函数在区间(k∈Z) 上单调递增， 在区间(k∈Z) 上单调递减． 余弦函数在区间[2k] (k∈Z) 上单调递增， 在区间[] (k∈Z)上单调递减． 知识点11.三角函数值的符号 规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 知识点12.公式一 名称 符号语言 文字语言 公式一 sin(α＋k·2π)＝sinα(k∈Z) cos(α＋k·2π)＝cosα(k∈Z) tan(α＋k·2π)＝tanα(k∈Z) 终边相同的角的同一三角函数的值相等 知识点13.角的对称 (1)角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，如图(a)； (2)角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，如图(b)； (3)角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，如图(c)． 知识点14.诱导公式 公式二 sin(π＋α)＝ －sinα cos(π＋α)＝ －cosα tan(π＋α)＝ tanα 公式三 sin(－α)＝ －sinα cos(－α)＝ cosα tan(－α)＝ －tanα 公式四 sin(π－α)＝ sinα cos(π－α)＝ －cosα tan(π－α)＝ －tanα 知识点15.五点法作图 画函数y＝sin x，x∈[0，2π]的五个关键点是：(0，0)，　　(π，0)　，(2π，0)． 知识点16.正弦函数的性质 定义域 R　 值域 [－1，1] 周期性 最小正周期　2π　 奇偶性 奇函数 单调性 在区间(k∈Z)上单调递增， 在区间　(k∈Z)上单调递减 最大(小)值 当x＝2kπ＋，k∈Z时，最大值为1； 当x＝2kπ＋，k∈Z时，最小值为－1. 知识点17.余弦函数的图象 (1)余弦曲线 余弦函数y＝cosx，x∈R的图象叫做余弦曲线． (2)余弦函数图象的画法 ①要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移个单位长度即可，这是由于cosx＝sin. ②用“五点法”画余弦曲线y＝cosx在[0，2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．将所得图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)． 知识点18.余弦函数y＝cos x，x∈R的性质． 函数性质 y＝cos x 定义域 R 值域 　[－1，1]　 奇偶性 偶函数 单调性 当x∈[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)　时，函数是递增的； 当x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)时，函数是递减的 周期性 最小正周期是2π 最值 当x＝2kπ(k∈Z)时，y的最大值为1； 当x＝2kπ＋π(k∈Z)　时，y的最小值为－1 对称轴 x＝kπ(k∈Z)　 对称中心 　(k∈Z) 知识点19.参数φ，ω，A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 (1)φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 (2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响 (3)A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 知识点20.由函数y＝sinx的图象得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的途径 由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． (1)先平移后伸缩 y＝sinx的图象y＝sin(x＋φ)的图象 y＝sin(ωx＋φ)的图象y＝Asin(ωx＋φ)的图象． (2)先伸缩后平移 y＝sinx的图象y＝sinωx的图象 y＝sin(ωx＋φ)的图象y＝Asin(ωx＋φ)的图象． 知识点21.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质 定义域 (－∞，＋∞) 值域 [－A，A] 周期 T＝ 奇偶性 当φ＝kπ，k∈Z时为奇函数 当φ＝kπ＋，k∈Z时为偶函数 当φ≠，k∈Z时为非奇非偶函数 图象的对称轴 直线x＝＋－，k∈Z 求法：令ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z可求 图象的对称中心 对称中心：－，0，k∈Z 求法：令ωx＋φ＝kπ，k∈Z可求 单调性 求法：令－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z可求单调递增区间 求法：令＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z可求单调递减区间 知识点22.正切函数的定义 根据函数的定义，比值是x的函数，称为x的正切函数，记作y＝tan x，其中定义域． 知识点23.正切函数的诱导公式 tan (kπ＋α)＝tan α(k∈Z) tan (－α)＝－tan α tan (π＋α)＝tan α tan (π－α)＝－tan α tan ＝－ tan ＝． 知识点24.正切函数的图象 (1)正切函数的图象． (2)正切函数y＝tanx，x∈R，x≠＋kπ，k∈Z的图象叫做正切曲线． (3)正切函数的图象特征 正切曲线是被与y轴平行的一系列直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的． 知识点25.正切函数的性质 (1)正切函数的性质 函数 y＝tanx 定义域 值域 R 周期 最小正周期为 π 奇偶性 奇函数 单调性 在每一个开区间(k∈Z)上都单调递增 (2)函数y＝tanωx(ω≠0)的最小正周期是 ． 知识点27.三角函数模型应用的步骤 三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决． 步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题． 这里的关键是建立数学模型_，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式． 知识点28.三角函数模型的拟合应用 我们可以利用搜集到的数据，做出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题． 03 题型归纳 题型1.周期性的判断 1.（20-21高一·全国·课后作业）下列函数图像中，不具有周期性的是（    ） A． B． C． D． 2.（20-21高一下·全国·课后作业）如图所示的是一个单摆，让摆球从A点开始摆，最后又回到A点，单摆所经历的时间是一个周期T，则摆球在的运动过程中，经历的时间是（    ） A． B．T C． D． 3.体操中有“后空翻转体720度”的动作，其中“转体720度”是转体（    ）． A．1周 B．2周 C．3周 D．4周 方法归纳 一些变化是不是周期变化，其判断的依据是周期变化的特征，即每次都以相同的间隔出现，而且变化是无差别的重复出现． 题型2.利用周期性求函数值 4.（21-22高一下·陕西西安·期中）时针经过一小时，转过了（    ） A． B． C． D． 5.（20-21高一下·全国·课后作业）钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在（    ） A．8点处 B．10点处 C．11点处 D．12点处 6.（2021高一·全国·专题练习）喜洋洋从家步行到学校，一般需要10分钟，则10分钟时间钟表的分针走过的角度是（　　） A．30° B．﹣30° C．60° D．﹣60° 方法归纳 判断函数周期性的三个常用结论 (1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2a是它的一个周期． (2)f(x＋a)＝(a≠0)，则函数f(x)为周期函数，2a是它的一个周期． (3)f(x＋a)＝－(a≠0)，则函数f(x)为周期函数，2a是它的一个周期． 题型3.任意角的概念及应用 7.（24-25高一上·河南新乡·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．第一象限的角是锐角 B．第二象限角必大于第一象限角 C．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等 D．1弧度角的大小与圆的半径无关 8.（22-23高一下·山东·阶段练习）若，，则终边所在象限为（    ） A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限 9.（24-25高一上·天津·期末）已知角顶点为坐标原点，始边与x的非负半轴重合，若，则的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 方法归纳 与角的概念有关问题的解决方法 正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． 题型4.终边相同的角 10.（24-25高一上·海南海口·阶段练习）在的范围内，与终边相同的角是 ． 11.已知角，则角的终边落在第 象限. 12.（23-24高一下·上海徐汇·期中）的角属于第 象限. 方法归纳 (1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤 ①写出在[0°，360°)内相应的角；②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；③根据条件能合并一定合并，使结果简洁． (2)终边相同角常用的三个结论 ①终边相同的角之间相差360°的整数倍；②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍． 题型5.象限角与区域角的表示 13.（22-23高一下·广西钦州·阶段练习）集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（      ） A． B． C． D． 14.（24-25高一上·全国·课后作业）集合中角的终边在单位圆中的位置（阴影部分）是（   ） A． B． C． D． 15.（24-25高一上·江苏·阶段练习）与角终边相同的角的集合是（   ） A． B． C． D． 方法归纳 区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步： (1)按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； (2)由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，并将该范围内的区域角表示为{x|α<x<β}，其中β－α<360°； (3)起始、终止边界对应角α、β再加上360°的整数倍，即得区域角的范围． 题型6.角度与弧度的换算 16.（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）化成弧度制为（    ） A． B． C． D． 17.（22-23高一·全国·课堂例题）把下列各角从度化为弧度： (1)； (2)． 18.（23-24高一下·广东广州·期中）已知终边经过点，则可能是（    ） A． B． C． D． 方法归纳 进行角度制与弧度制的互化的原则和方法 (1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝rad和1 rad＝°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝°；n°＝n·. 提醒：(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写． (2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数． (3)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度． 题型7.用弧度制表示角的集合 19.（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 20.（23-24高一上·天津河西·期末）已知是第一象限角，那么不可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 21.（22-23高一上·陕西咸阳·阶段练习）下列命题： 第四象限的角可表示为 第二象限角大于第一象限角 将表的分针拨快分钟，则分针转过的角为 若是第二象限角，则的终边在第一象限． 其中真命题的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 状元随笔　(1)用弧度数表示与角α终边相同的角连同角α在内的集合为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}． (2)用弧度数表示区域角时，先把角度换算成弧度，再写出与区域角的终边相同的角的集合，最后用不等式表示出区域角的集合，对于能合并的应当合并． 题型8.弧长公式和扇形面积公式的应用 22.（24-25高一上·吉林长春·期末）扇形圆心角为2，弧长为12cm，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 23.（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知一个扇形的圆心角为，它的弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 24.（24-25高一上·云南大理·阶段练习）若扇形的面积为，半径为1，则扇形的圆心角为（    ） A． B． C． D． 状元随笔　在求解的过程中要注意：①看清角的度量制，选用相应的公式；②扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长或面积的最值问题，通常转化为某个函数的最值问题． 方法归纳 弧长公式和扇形面积公式的应用类问题的解决方法：①将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化，因此解决这些问题通常采用弧度制．一般地，在几何图形中研究的角，其范围是(0，2π)；②利用α，l，R，S四个量“知二求二”代入公式． 题型9.已知角，求三角函数值 25.（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）（   ） A． B． C． D． 26.（24-25高一上·新疆伊犁·期末）的值是（   ） A． B． C． D． 27.（24-25高一上·河北石家庄·期末）（   ） A． B． C． D． 方法归纳 作出角α的终边与单位圆相交，求出交点坐标，利用正、余弦函数的定义求解． 题型10.已知角α终边上一点求三角函数值 28.（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知角的顶点与直角坐标系原点重合，始边与x轴非负半轴重合，其终边上有一点，则（    ） A． B． C． D． 29.（24-25高一上·陕西榆林·期末）若角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 30.（24-25高三上·宁夏·期中）已知角的终边经过，则（   ） A． B． C． D． 方法归纳 已知α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法 (1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值． (2)在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin α＝，cos α＝. 已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便． (3)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 题型11.正、余弦函数值的符号判断及应用 31.（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）若，则点位于第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 32.（23-24高一上·安徽·期末）若，则为（    ） A． 第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第一、三象限角 D．第一、四象限角 33.（22-23高一下·陕西西安·阶段练习）点在平面直角坐标系中位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 方法归纳 一个角的正、余弦函数值的符号取决于这个角的终边所在的象限，可用口诀简记为“一全正，三全负，二正弦，四余弦”(即第一象限角的正、余弦值全为正值，第三象限角的正、余弦值全为负值，第二象限角的正弦值为正，第四象限角的余弦值为正． 题型12.利用诱导公式化简 34.（2024高三·全国·专题练习）如果，满足，那么下列式子中正确的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1 B．2 C．3 D．4 35.（24-25高一上·天津河东·期末） ． 36.（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）在“①；②；③点在角的终边上”这三个条件中，选择其中一个，解决下面问题： (1)求的值； (2)若角的终边在第一象限.求的值. 方法归纳 三角函数式化简的关键是抓住2kπ＋α(k∈Z)，－α，α±π，π－α这几组的诱导公式，它们的特点都是同名间的关系，不同的是符号的变化． 题型13.利用诱导公式求值 37.（24-25高一上·甘肃酒泉·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 38.（24-25高一上·吉林长春·期末）计算（   ） A． B． C． D． 39.（24-25高一上·江苏·阶段练习）的值是（   ） A． B． C． D． 方法归纳 利用诱导公式求值的两个关注点 (1)角的变化：对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一． (2)函数名称：对于kπ±α和±α这两套诱导公式，切记前一套公式不变名，后一套公式变名． 题型14.利用诱导公式化简 40.（24-25高一上·云南大理·阶段练习）已知，则的值等于（   ） A． B． C． D． 41.（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）已知角和的终边关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 42.（24-25高一上·江苏·阶段练习）（1）解不等式； （2）已知，求的值； （3）化简：. 方法归纳 对于角α＋，其中n＝1，2，3，4，…，k(k∈Z)的诱导公式：当n取奇数时，公式的等号两边一个是正弦函数，另一个是余弦函数；当n取偶数时，公式的等号两边都是正弦函数或都是余弦函数，其符号由角所在的象限决定． 题型15.用五点法作函数y＝A sin x＋b(A≠0)，x∈[0，2π]的简图 43.（2021·河南郑州·二模）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为， C．函数的一个单调递减区间为 D．若将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数记为，则是奇函数 44.（2023高三·全国·专题练习）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ） A． B． C． D． 45.（23-24高一上·陕西宝鸡·阶段练习）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（    ） A．0，，π，，2π B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 方法归纳 用五点法画函数y＝A sin x＋b(A≠0)，x∈[0，2π]的简图的步骤： (1)列表： x 0 π 2π y＝sin x 0 1 0 －1 0 y＝A sin x＋b b A＋b b －A＋b b (2)描点：在平面直角坐标系中描出(0，b)，，(π，b)，，(2π，b)五个点． (3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来． 题型16.正弦函数的基本性质 46.（22-23高一下·北京怀柔·期中）函数的图象相邻的两条对称轴之间的距离是（    ） A． B． C． D． 47.（2024高二上·云南·学业考试）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 48.（23-24高一下·广东清远·期末）弹簧挂着的小球作上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米的关系可用函数（，）来确定，其图象如图所示，则的值是（    ） A． B． C． D． 方法归纳 (1)形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)，可利用T＝求周期． (2)比较大小：利用诱导公式转化为自变量在同一单调区间上． (3)求形如：y＝a sin x＋b的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性求解． 题型17.余弦函数的基本性质 49.（24-25高一上·吉林四平·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在上有最小值 D．直线是函数的一条对称轴 50.（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）当时，函数与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 51.（24-25高三上·福建三明·阶段练习）若函数的图象与函数的图象的任意三个连续交点都是一个正三角形的三个顶点，则（    ） A． B． C． D． 方法归纳 (1)判断函数的奇偶性时，必须先检查其定义域是否关于原点对称．如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，那么该函数必为非奇非偶函数． (2)判断与余弦函数有关的函数的奇偶性时，要注意两个方面，一是函数的定义域是否关于原点对称；二是注意三角函数诱导公式的合理利用． 题型18.“五点法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象 52.（20-21高一·全国·课后作业）用“五点法”画的图象时，下列哪个点不是关键点（    ） A． B． C． D． 53.（2022高一·全国·专题练习）用“五点法”作y＝2sinx的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（　　） A． B． C． D． 54.（21-22高一·全国·课前预习）函数，的简图是（    ） A． B． C． D． 方法归纳 五点法作函数y＝A sin (ωx＋φ)(x∈R)图象的步骤 (1)列表，令ωx＋φ＝0，，π，，2π，依次得出相应的(x，y)值． (2)描点． (3)连线得函数在一个周期内的图象． (4)左右平移得到y＝A sin (ωx＋φ)，x∈R的图象． 题型19.三角函数的图象变换 55.（24-25高一上·天津南开·期末）要得到函数的图象，可以将函数的图象(    ) A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 56.（24-25高一上·天津武清·期末）函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 57.（24-25高一上·江苏南京·期末）将函数图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 方法归纳 解决三角函数图象变换问题的关键是明确左右平移的方向和平移量以及横纵坐标伸缩的量，在变换中平移变换与伸缩变换的顺序不同得到的解析式也不同，这点应特别注意，否则就会出错． 题型20.求函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式 58.（24-25高一上·天津南开·期末）函数，其中，（），（a，），它的图象如图所示，则的解析式为（   ） A．， B．， C．， D．， 59.（24-25高三上·天津滨海新·期中）已知函数的最小正周期为，则在的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 60.（陕西省西安市2024-2025学年高一上学期1月期末质量监测数学试题）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 方法归纳 根据三角函数的图象求y＝A sin (ωx＋φ)的解析式 (1)A：一般可由图象上的最高点、最低点的纵坐标来确定|A|. (2)ω：因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω.图象上相邻的两个对称中心间的距离为，相邻的两条对称轴之间的距离为，相邻的对称轴与对称中心之间距离为. (3)φ：①把图象上的一个已知点的坐标代入来求．②寻找“五点作图法”中的某一点来求，具体如下：利用“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时，令ωx ＋φ＝0；利用“第二点”(即图象的“峰点”)时，令ωx ＋φ＝；利用“第三点”(即图象下降时与x轴的交点时，令ωx ＋φ＝π；利用“第四点”(即图象的“谷点”)时，令ωx ＋φ＝；利用“第五点”时，令ωx ＋φ＝2π.注意：要观察题目所给图象是否适合用“五点作图法”． 题型21.函数y＝A sin (ωx＋φ)性质的综合应用 61.（2024高二上·山东枣庄·学业考试）要得到的图象，只需把图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B．横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标变为原来的倍，横坐标不变 D．纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变 62.（2024高一上·全国·专题练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图（1）．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（单位：m）和时间t（单位：s）的函数关系为，如图（2）．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（    ） A． B． C．1s D． 63.（24-25高三上·四川眉山·阶段练习）函数的图象向右平移个长度单位得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 方法归纳 1．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧 (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)确定函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝A sin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间． 2．求三角函数值域的常用方法 (1)求解形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sin x(或cos x)≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性． (2)求解形如y＝a sin2x＋b sinx＋c(或y＝a cos2x＋b cosx＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域、最值即可．求解过程中要注意t＝sin x(或cos x)的有界性． 题型22.利用正切函数诱导公式求值 64.（23-24高一下·上海杨浦·期中）若，则的值是 . 65.（23-24高一下·全国·课后作业）求值： (1)； (2)； (3)． 66.（23-24高一上·河南商丘·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 方法归纳 给角求值，关键是利用诱导公式将任意角的三角函数值转化为锐角，通常是特殊角的三角函数值． 题型23.正切函数的图象及应用 67.（21-22高一·全国·课后作业）关于函数的说法中正确的是（    ） A．定义域是， B．图像关于点对称 C．图像关于直线对称 D．在区间上单调递增 68.（20-21高一·全国·课后作业）[多选题]下列函数中，同时满足：①在上是增函数；②为奇函数；③周期为的函数有（    ） A． B． C． D． 69.（2023高二下·湖南·学业考试）函数在一个周期内的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   方法归纳 解决与正切函数图象有关的问题，必须熟练画出正切函数y＝tan x，x∈的图象，求自变量x的范围时，要注意是否包含端点值，切记正切函数的最小正周期为π. 题型24.正切函数的单调性问题 70.（24-25高一上·吉林延边·期末）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在其定义域上是增函数 C．的定义域为 D．若，则 71.（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）已知函数，则下列命题中正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．图象的对称中心为 D．的单调递增区间为 72.（24-25高三上·重庆·阶段练习）下列函数是奇函数，且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 方法归纳 求函数y＝A tan (ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法 ①若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ<kπ＋，k∈Z，解得x的范围即可． ②若ω<0，可利用诱导公式先把y＝A tan (ωx＋φ)转化为y＝A tan [－(－ωx－φ)]＝－A tan (－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可． 题型25.运用正切函数单调性比较大小 73.（陕西省西安市2024-2025学年高一上学期1月期末质量监测数学试题）若，，，则（    ） A． B． C． D． 74.（湖南省永州市2024-2025学年高一上学期末质量检测数学试卷）下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 75.（24-25高一上·甘肃白银·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 方法归纳 运用正切函数单调性比较大小的方法 ①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． ②运用单调性比较大小关系． 题型26.正切函数图象与性质的综合应用 76.（24-25高一上·天津河东·期末）设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（   ） A． B． C． D． 77.（24-25高三上·广东潮州·阶段练习）已知函数（，）的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的图象与轴的交点坐标为 D．函数的图象关于直线对称 （78.24-25高三上·吉林·期末）已知函数的部分图象如图所示（分隔直线右侧函数的零点为），则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B． C． D．函数在上单调递增 方法归纳 解答正切函数图象与性质问题时应注意的两点 (1)对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴． (2)单调性：正切函数在每个(k∈Z)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的． 题型27.三角函数模型在物理中的应用 79.（24-25高一上·全国·课后作业）已知现代600千瓦风力发电机上，每个扇叶长度为20m，对应塔高（旋转中心距离地面的高度）为60m，扇叶逆时针方向每分钟旋转27转．若点为扇叶尖上一点，当位于最低点时开始计时，则离地面的距离（单位：m）与其转动时间（单位：s）的函数关系式为（    ）（角速度圆半径转过的弧度/运动时间） A． B． C． D． 80.（21-22高二下·山东烟台·阶段练习）一半径为3.6米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1.8米.已知水轮按逆时针做匀速转动，每60秒转动一圈，如果当水轮上点P从水面浮现时（图中点位置）开始计时，则下列判断正确的有（    ） A．点P第一次到达最高点需要20秒 B．在水轮转动的一圈内，有40秒的时间，点P在水面的上方 C．当水轮转动95秒时，点P在水面上方，点P距离水面1.8米 D．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，点P距离水面0.9米 81.（21-22高三上·山东菏泽·期中）一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米.已知水轮按逆时针做匀速转动，每秒转动一圈，如果当水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，则下列判断正确的有（    ） A．点第一次到达最高点需要秒 B．在水轮转动的一圈内，有秒的时间，点在水面的上方 C．当水轮转动秒时，点在水面上方，点距离水面米 D．当水轮转动秒时，点在水面下方，点距离水面米 方法归纳 处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题． 题型28.建立三角函数模型 82.（24-25高一上·全国·课后作业）如图，在匀强磁场中，一不计重力的带电粒子在磁场作用下逆时针做匀速圆周运动，以运动轨迹的中心为圆心，建立坐标系，已知轨迹半径为3cm，粒子旋转一周需要的时间为2s．若从点处开始计时，则该带电粒子运动的过程中与轴所在平面的距离与时间的函数关系式可以为（    ）    A． B． C． D． 83.（24-25高三上·浙江绍兴·阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里可从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，均匀设置有48个座舱（按顺时针依次编号为1至48号），开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min.甲、乙两户家庭去坐摩天轮，甲家庭先坐上了1号座舱，乙家庭坐上了号座舱，若从乙家庭坐进座舱开始计时，10min内（含10min）出现了两户家庭的座舱离地面高度一样的情况，则的最小值是（   ） A．16 B．17 C．18 D．19 方法归纳 整理数据，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型． 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$