第2部分 专题1 新定义题(课件PPT)-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学分层进阶练习册（河北专用）

2025河北 数 学 分层进阶练习册 1 第二部分 2025河北重难专题必练 专题一 新定义题 （10年7考；2024.12.15.16，2023.25，2022.25） 2 类型 考情分析 专题概述 技巧点拨 定义新 概念 2024.12、16， ， ， 新定义问题在2024年河 北中考中出现了3次，故尤为 重要. 它是以已学过的知识为 出发点，通过类比、引申、 拓展，给出新的数学概念 （或数学运算、方法），或 将一些能与初中知识衔接的 高中“新知识”结合示例呈现 解决新定义问题时，一般要先正确理解新定义的概念、运算或方法，再将此作为解题的依据，将问题转化为已学知识进行求解 定义新 运算 2017.19 定义新 方法 2024.15 3 类型 1 定义新概念（10年5考；2024.12、16，2023.25，2022.25） 1.（2024沧州孟村县模拟）质数是只有1和它本身两个因数的自然数，规定： 1既不是质数也不是合数.如果两个质数相差2，那么称这两个质数为“孪生 质数”.在10以内的质数中任意取一个数，这个数与5是“孪生质数”的概率为 ( ) A A. B. C. D. 【解析】10以内的质数有2，3，5，7，共4个，而， ， 的“孪生质数”为3和7，共2个， 在10以内的质数中任意取一个数，这 个数与5是“孪生质数”的概率为 . 4 2.（2024石家庄模拟）有公共端点的两条线段， 组成一条折线 ，若该折线上一点 把这条折线分成相等的两部分， 我们把这个点叫做这条折线的“折中点”.已知是折线 的“折中 点”，为线段的中点，，，则线段 的长是 ( ) C A. 2 B. 4 C. 2或14 D. 4或14 5 【解析】当点D在线段上时，如解图1.∵E为线段 的中点， ，，， 是折线的“折中点”，， ；当点D在线 段上时，如解图2.∵E为线段的中点， ， ，，是折线 的“折中点”， ,.综上所述，线段 的长是 2或14. 解图1 解图2 6 3.（2024遂宁）如图1，与满足， ， ， ，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”.如图 2，在中，，点，在线段上，且 ，则图中共 有“伪全等三角形” ( ) D A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 7 【解析】，.在和 中， ， ， ，，，和 是一对“伪全 等三角形”.同理可得，和是一对“伪全等三角形”； 和 是一对“伪全等三角形”；和 是一对“伪全等三角形”， 图中的“伪全等三角形”共有4对. 8 4.（2024邯郸三模）在平面直角坐标系中，若点 的横坐标和纵坐标相等， 则称点为“完美点”.已知二次函数，是常数， 的图象上有且只有一个“完美点”，，且当 时，函数 的最小值为，最大值为1，则 的取值范围是 ( ) C A. B. C. D. 9 【解析】令，即 ，由 题意，得，即 ， 又 方程的根为，， ， ，如解图，该函数图象的顶点坐标为 ，与轴的交点坐标为 ，由对称性可知，该函数图象也经过点 当时，函数的最小值为 ，最大 值为1， . 10 5.（2024泸州）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移 个单位长度，再绕原点按逆时针方向旋转 角度，这样的图形运 动叫做图形的变换.如：点按照变换后得到点 的坐 标为，则点按照变换后得到点 的坐标为 ____________. ， 11 【解析】由题意知，将点 向上平移2个单位长度 所得点的坐标为.如解图，连接,过点 作 轴于点，则，.在 中， ， ， .连接,由旋转可知， ， ， .过点作轴的垂线，垂足为 ，则 ， 是等腰直角三角形.又 ，， 点的坐标为， . 12 6.（2023保定清苑区二模）定义：，分别为两个图形， 上任意一点， 当线段的长度存在最小值时，就称该最小值为图形和 的“近距离”； 当线段的长度存在最大值时，就称该最大值为图形和 的“远距离”. 请你在理解上述定义的基础上，解决下面问题： 如图，在平面直角坐标系中，点，， ， . 13 （1）线段与线段 的“近距离”为___； 4 （2）的圆心在轴正半轴上，半径为1，若与 相切于点，则与线段的“近距离”为___，此时 与四边形 的“远距离”为___. 2 6 【解析】 点，，，， ， ， 线段与线段 的“近距离”为4； 【解析】与相切于点，圆心在轴正半轴上，与 轴相 切，与线段的“近距离”为， 与四 边形 的“远距离”为6. 14 7.（2024唐山一模）数学课上老师给出规定：如果两个数的平方差能被4整 除，我们称这个算式是“佳偶和谐式”. 小亮写出如下算式：； ； . 发现：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”. （1）验证： 是“佳偶和谐式”； 证明： ， 是“佳偶和谐式”. 15 （2）证明：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳 偶和谐式”； 证明：设这两个连续偶数分别为， ， 则 ， 任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”. 16 （3）小红通过小亮的结论推广得到一个命题：任意两个偶数的平方差都 能被4整除，它们的算式都是“佳偶和谐式”.直接判断此命题是真命题还是 假命题（无需写推导过程）. 解：该命题是真命题. 17 类型 2 定义新运算（2017.19） 8.从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从 个不同 元素中取出个元素的组合数，用符号 表示.已知“!”是一种数学运算符 号，且，， ， ， ，若公式，， 为正 整数，则 为 ( ) D A. 28 B. 64 C. 70 D. 84 【解析】 . 18 9.（2024威海）定义新运算： ①在平面直角坐标系中，，表示动点从原点出发，先沿着 轴正方向 或负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向 或 负方向平移个单位长度.例如，动点从原点出发，先沿着 轴负方 向平移2个单位长度，再沿着轴正方向平移1个单位长度，记作， . ②加法运算法则：，，，，其中，，， 为 实数. 19 若，，， ，则下列结论正确的是 ( ) B A. ， B. ， C. ， D. ， 【解析】由题意，得，，解得， . 20 10.4个数，，，排列成 ，我们称之为二阶行列式.规定它的运算 法则为.若，则 ___. 1 【解析】利用题中新定义，得 ，整理，得 ，解得 . 21 11.定义一种法则“ ”如下：例如： ， .若，则 的取值范围是_________. 【解析】由题意，得，解得 . 22 12.（2024河北模拟）定义：不大于实数的最大整数称为 的整数部分， 记作，如， .按照此规定： （1） ____； 【解析】，， ； （2）若，则 的取值范围是__________. 【解析】，， . 23 13.多解法 （2017河北19题4分）对于实数，，我们用符号， 表 示，两数中较小的数，如，，因此，{-， }= ______；若，，则 _______. 2或 24 【解析】,,{- ， .方法一：， ，当 时， ，不可能得出最小值为1， 当时，，则 ，解 得，（不合题意，舍去）;当 时，，则，解得 （不合题意，舍去），.综上所述，的值为2或 .方法二：在同 一坐标系内，作出函数与 的图象如解图1.令 ，，其图象如解图2，则当时，自变量 的值为 2或 . 25 14.（2024石家庄外国语学校模拟）定义新运算“”： ，如 . （1）求 的值; 解：由题意，得 . （2）直接写出一组，的值，使，且 ; 解：，.（答案不唯一，满足且 即可） （3）若，求 的值. 解： ， ， 解得 . 26 类型 3 定义新方法（2024.15） 15.区别于十进制，古巴比伦使用的是60进制.这与他 们独特的计数方式有关，如图,右手4根手指的12个 指关节表示，另一只手用五根手指表示 倍.如：当古巴比伦人左手伸出1根手指，右手大拇 D A. 7 B. 25 C. 21 D. 29 【解析】由题意，得， 表示的十进制数字是29. 指掐中第八指关节时，表示的数是 .若当其左手伸出两根手指， 右手大拇指掐中第五指关节时，表示的十进制数字是 ( ) 27 16.为了求 的值，可令 ，则 ， 因此，所以 . 仿照以上推理,计算出 的值是 ( ) D A. B. C. D. 【解析】设 ，则 ，因此 ，所以 . 28 17.数学文化 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积 的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的 三边长分别为,,，记 ，则其面积 ， 这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.若， ，则此三角形的面积可 以是 ( ) C A. B. 6 C. D. 5 29 【解析】，，，， ， . 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ， 当时，取最大值， . 30 18.（2024河北15题2分）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多 位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算.淇淇受其启发，设计了 如图1所示的“表格算法”，图1表示 ，运算结果为3 036.图2表示一 个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现 有数据进行推断，正确的是 ( ) 31 A. “20”左边的数是16 B. “20”右边的“ ”表示5 C. 运算结果小于6 000 D. 运算结果可以表示为 √ 32 【解析】设这个三位数与这个两位数分别为和 ， 如解图1.由题意，得，，，， ，即 ， 当时，, 不是正整数，不符合题意，故舍 去； 解图1 33 当时，，，, ，如解图2，则A.“20”左边 的数是 ，故本选项不符合题意；B.“20”右边的“ ”表示4， 故本选项不符合题意； 上面的数应为， 运算结果可以表示为 ， 故D选项符合题意;当时，计算结果大于 ， 故C选项不符合题意.故选D. 解图2 34 35 $$