第4单元 第5节 等腰三角形和直角三角形(课件PPT)-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（河北专用）

2025河北 数 学 课堂精讲册 1 第四单元 三角形 第五节 等腰三角形和直角三角形 2 一阶 教材知识全梳理 3 考点1 等腰三角形和等边三角形的性质与判定（重点） 等腰三角形 等边三角形 性 质 （1）边：两腰①______， 如图， ； （2）等边对等角： 两个底角②____， 如图， ③___； （3）三线合一：顶角平分线、 底边上的中线、底边上的高 ④__________； （1）边：三条边⑦______，如图， ； （2）角：三个内角都⑧______，并 且每一个角都等于⑨_____，如图， ____ ； 相等 相等 相等 相互重合 相等 60 4 等腰三角形 等边三角形 性 质 （4）对称性：是⑤____对称图 形，有⑥___条对称轴，对称轴 是底边上的高所在直线； （5）面积： （3）对称性：是⑪____对称图形， 有⑫___条对称轴，对称轴是三边上 的高所在直线； （4）面积：⑬_ __ 轴 轴 3 续表 5 等腰三角形 等边三角形 判 定 （1）定义：有两边相等的三角 形是等腰三角形； （2）等角对等边：有两个角相 等的三角形是等腰三角形 （1）定义：三条边都相等的三角形 是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边 三角形； （3）有一个角是⑭_____的等腰三角 形是等边三角形 【技巧点拨】等腰三角形的“三线合一”是一条重要性质，在证明和计算中， 往往作为辅助线，需灵活添加. 续表 6 【特别提醒】等腰三角形中的分类讨论： （1）遇角需讨论（顶角和底角） 已知等腰三角形的一个角为 ，求顶角或底角的度数时： 若为钝角，则 为顶角，底角的度数为⑮_ ___________； 若为直角，则 为顶角，该三角形为等腰直角三角形，底角的度数为 ⑯_____； 若 为锐角，则应分两种情况讨论： 情况一:当 为顶角时，底角的度数为⑰_ ___________； 情况二:当 为底角时，顶角的度数为⑱___________. 7 （2）遇边需讨论（腰和底） 已知等腰三角形的两边长分别为， ，求周长时，分两种情况： 情况一： 若 ，则周长为⑲________， 若 ，则不能构成三角形； 情况二： 若 ，则周长为⑳________， 若 ，则不能构成三角形. 当 为腰长时 当 为腰长时 8 考点2 直角三角形的性质与判定（重点） 性 质 （1）两锐角之和等于㉑_____，如图， ㉒_____； _（2）斜边上的中线等于斜边的㉓______， 如图，若 是斜边上的中线，则㉔___ ； （3） 角所对的直角边等于斜边的㉕______， 如图，若，则㉖_ _；（含 角的直角三角形的三边之比为㉗_________） （4）勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为， ，斜边 长为 ，那么㉘_____________. 一半 一半 9 【知识拓展】在直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则这 条直角边所对的角等于 （选填题可直接用结论，解答题应用时需 先证明） 10 判 定 （1）有一个角等于㉙_____的三角形是直角三角形（定义）； （2）有两个角㉚______的三角形是直角三角形； （3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为，， （<<），且满足㉛_____________，那么这个三角形是直角三角形. 【知识拓展】某边上的中线等于该边的一半的三角形是直角三角形 互余 面 积 公 式 ㉜_ ____㉝_____（其中，为两直角边长， 为斜边长， 为斜边上的高）. 【技巧点拨】通常用等面积法求直角三角形的边长或高 11 【特别提醒】 （1）已知直角三角形的两边长，求第三边长时，若没有明确直角边和斜 边，则需分类讨论； （2）已知三角形为直角三角形，当未明确直角顶点时，需分类讨论. 12 【知识拓展】 1.勾股定理的拓展应用：如图1，2，3，若直角三角形的三边长分别记为 <m>，</m><m></m>，<m></m>，分别以三条边为边向外作等边三角形、正方形、半圆，则有 <m></m>； 图1 图2 图3 13 2.勾股定理的证明有以下几种思路：（图中的直角三角形（除图6中的等腰 直角三角形）均全等，记直角三角形的三边长分别为，， ） （1）赵爽弦图：如图4， ； 图4 14 （2）毕达哥拉斯拼图：如图5， ； 图5 15 （3）伽菲尔德总统拼图：如图6， . 图6 16 考点3 等腰直角三角形的性质与判定（重点） 性 质 （1）两条直角边㉞______，如图， ； （2）两个底角㉟______，且都等于㊱_____， 如图， . 【技巧点拨】等腰直角三角形的三个内角的度数分别为㊲__________ ____，三边之比为㊳_________ 相等 相等 ，， 判 定 （1）有一个角等于㊴_____的等腰三角形是等腰直角三角形； （2）有两个角等于㊵_____的三角形是等腰直角三角形； （3）有一个角等于㊶_____的直角三角形是等腰直角三角形； （4）有㊷____________相等的直角三角形是等腰直角三角形 两边或两角 17 面 积 公 式 （其中为腰长，为底边长， 为底边上的 高） ____________________________ 续表 【链接】（1）小专题培优 与中点有关的辅助线作法，见分层进阶练 习册P89；与角平分线有关的常见模型，见分层进阶练习册P91；直角三角 形斜边上的高的应用，见分层进阶练习册P93;（2）已知直角边，利用尺 规作等腰直角三角形，见本册P100. 18 二阶 追本溯源练考点 19 考点1 等腰三角形和等边三角形的性质与判定（10年12考；2024. 10、25（1），2023.5、13、15，2022.26） 1. （冀教八上P153做一做改编）如图，在 中， 于点 . （1）若 . ①___， ___； ②的面积为____，点到直线 的距离为_ __； ③过点作于点，则_ __，点到 的距离为___. 4 3 12 20 （2）若有一个内角为，则 ____________. 或 （3）若 ，则是______三角形，__， _ ___， 的面积为_ ____. 等边 21 考点2 直角三角形的性质与判定（10年23考；2024.22、25， 2023.11、24、26，2022.18、26） 2. （北师八下P13T2改编）如图，在 中，， ，是的中点，若 ，则___，___， ____，点到 所在直线的距离为_ __. 2 1 22 考点3 等腰直角三角形的性质与判定（10年5考；2024.23，2022.16） 3. （冀教九上P125B组T1改编）如图，在 中，， ，，则 的面积为____. 23 三阶 分层设问攻重难 24 重难点 等腰三角形的相关证明与计算 4.如图1，在中，，,分别为,上的点，连接 . 图1 （1）若. ① _____； ②若为等腰三角形，则 的度数 为___________________. 或或 25 （2）若为边上的中线，，， ，求 的面积. 图1 解：，为 边上的中线， ， ， . ， . 26 如解图，过点作于点 . ， ， ， . 27 （3）如图2，以为一边在的左侧作，使 ， ，交于点，连接 . 图2 ①求证： 是等腰三角形； 证明： ， ，即 . 在和 中， ， . 28 图2 ， ， . ， ， ， 是等腰三角形. 29 ②若是边长为10的等边三角形，为边的中点，为 上一动点， 连接，直接写出 长的最小值. 图2 解：长的最小值为 . 【解法提示】 为等边三角形， .由（3）①知， ，是等腰三 角形， ， 是等边三角形， ， 为边的中点，平分 ， ，， 30 图2 ， ， ，是的中点， 是 上的动点，当时，的长取得最小值. 在 中，，长的最小值为 . 31 温馨提示 请完成分层进阶练习册P87~P88习题 32 33 $$