第4单元 第4节 相似三角形（含位似）(课件PPT)-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（河北专用）

2025河北 数 学 课堂精讲册 1 第四单元 三角形 第四节 相似三角形（含位似） 2 一阶 教材知识全梳理 3 考点1 比例的性质、成比例线段、黄金分割 1.比例的性质 基本性质 （1）若，则 ；（交叉相乘） （2）若（，，，都不为0），则 ①__ 等比性质 若，则 合比性质 若，则， 4 【技巧点拨】常用“设 法”求解比例相关问题. 【典例】已知，求 的值. 解：设， 则②____，③____， ④____， ⑤_________ ⑥__. 5 2.成比例线段 对于四条线段<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与 另两条线段的比相等，如<m></m>（即<m></m>），我们就说这四条线段成比例. 特别地，如果<m></m>，即<m></m>，就把<m></m>叫做<m></m>，<m></m>的比例中项. 【特别提醒】成比例线段是有顺序的，如：线段<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>是成比例线段， 但线段<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>不一定是成比例线段. . . 6 3.黄金分割 如图，点把线段分成两条线段和 ，且⑦________，那么就说线 段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与 的比叫黄 金比，即 . 7 考点2 平行线分线段成比例 内容 几何表述 基本 事实 两条直线被一组平 行线所截，所得的 对应线段成比例 如图， ， 则， ⑧____， ⑨____ _____________________________________________ 8 内容 几何表述 推论 平行于三角形一边 的直线截其他两边 （或两边的延长 线），所得的对应 线段成比例 如图，， 则 ， ⑩___ ____________________________________________ ______________________________________ 续表 9 考点3 相似三角形的性质与判定（重点） 性质 （1）相似三角形的对应角⑪______，对应边⑫________； （2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于⑬________； （3）相似三角形的周长比等于⑭________，面积比等于⑮______________ 相等 成比例 相似比 相似比 相似比 的平方 10 判 定 方法 图示 几何表述 平行于三角形一边的 直线和其他两边相 交，所构成的三角形 与原三角形相似 ______________________________ ， 三边⑯________的两 个三角形相似 ， 成比例 11 判 定 两边成比例且⑰____相等的两个三角形相似 __________________ ， ， 两角分别⑱______的 两个三角形相似 ____________ ， ， 夹角 续表 相等 12 【技巧点拨】相似三角形的判定思路： （1）有平行截线，直接判定相似； （2）有一对等角<m></m> （3）有两边成比例<m></m> （4）有两个直角三角形<m></m> 13 【易错提醒】“”和“与相似”的区别： 当两个三角形用“ ”连接时，对应顶点已确定，只有一种情况； 当用文字“与 相似”表达时，对应顶点不确定，需要分类讨论. 【链接】小专题培优 六种常见相似模型，见分层进阶练习册P84. 14 考点4 相似多边形 概 念 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么 这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比 性 质 （1）相似多边形的对应角⑲______，对应边⑳________； （2）相似多边形的周长比等于㉑________，面积比等于㉒________ ______ 相等 成比例 相似比 相似比的平方 15 考点5 位似 概 念 如图，如果一个图形上的点，， ，， 和另一个图形上的点 ，， ，， 分别对应，并且它们的连线，， ， ， 都经过同一点，且 ，那么这两个 图形叫做位似图形，点 是位似中心 _________________________________ 16 性 质 （1）位似图形是相似图形，具有相似图形的所有性质； （2）对应点的连线所在直线都经过同一点； （3）对应边互相平行或在同一条直线上； （4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 ㉓_________； （5）在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画一个与原图 形位似的图形，使它与原图形的相似比为，那么原图形上的点 对应的位似图形上的点的坐标为㉔_____________________ （注意：有同侧和异侧两种情况） 相似比 或 . . 【特别提醒】位似必相似，相似不一定位似. 17 考点6 相似三角形的实际应用 运用相似三角形的有关性质可解决现实生活中的实际问题，如： ①利用光的反射定律求物体的高度； ②利用影子计算建筑物的高度：同一时刻，物高和影长成正比，即 . 18 二阶 追本溯源练考点 19 考点1 比例的性质、成比例线段、黄金分割 1. （冀教九上P61T1改编）若 ，则下列式子成立的是 __________.（填序号） ；；；；； ； . 20 2. （北师九上P79随堂练习T3改编）已知，，， 是成比例线段， 其中，，，则线段的长为__ . 21 【变式】下列各组中的四条线段成比例的是( ) D A. 1，1，2，3 B. 3，6，4，7 C. 5，6，7，8 D. 2，3，6，9 22 考点2 平行线分线段成比例（2021.26） 3. （人教九下P29探究改编）如图， ，直线，与 这三条平行线分别交于点，，和点 ，，．已知，， ，则 的长为___． 2 23 【变式】下面是小明画线段 的三等分点的步骤（如图）： （1）以 为端点画一条射线； （2）用圆规在射线上依次截取3条等长线段， ，，连接 ； （3）过点，分别作的平行线，交线段 于点，， 就是线段 的三等分点． 这个过程体现的数学依据是____________________. 平行线分线段成比例 24 考点3 相似三角形的性质与判定（10年10考；2024.25（3）①， 2023.26，2022.18（2）、26（2）） 4. （北师九上P91例2改编）在中，，分别是 的边 ，上的点，连接 . 图1 （1）如图1，若，， ， 则___， __； 25 （2）如图1，若是的中点，，，，那么 和 是相似三角形吗？____（填“是”或“否”）；依据是___________ ___________________________； 是 两边成比例 且夹角相等的两个三角形相似 图2 （3）如图2，当点与点重合时，若 ，，， 则 _______． 图1 26 考点4 相似多边形 5. （人教九下P28T6改编）将边长为4，6，6的等腰三角形、边长 为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各 得到一个新图形，它们的对应边的间距均为1，则新图形与原图形相似的 有___个. 2 27 考点5 位似（2020.8） 6. （人教九下P51T5改编）在平面直角坐标系中， 的三个顶 点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，将 缩小后得到的与的对应边的比为，则点的对应点 的坐 标为________________. 或 28 考点6 相似三角形的实际应用（2021.8） 7. （冀教九上P89做一做改编）同学们在物理课上做“小孔成像” 实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光 屏之间距离的一半，当蜡烛火焰的高度为时，所成的像的火焰 的高度为_____ . 29 三阶 分层设问攻重难 30 重难点 相似三角形的相关证明与计算 8.如图，在中，点，分别在边，上， 与相交于点，且， （1）求证： ； 证明：， . 又， . 31 （2）求证： ； 证明：， . 由（1）可知， , ， ， ， ， . 32 （3）若，，求线段 的长； 解图1 解：过点作于点，交于点，连接 ， 如解图1， ， ， ，即为 的垂直平分线， ， . 由（2）可知， ， ， ， 33 ， . ， ， ， . ， ， ， . 解图1 ， ， ， ， . （4）若是等边三角形，把题干中的“， ”改为 “，，”，求 的边长. 解： 是等边三角形， ， . 在和中， ， . 又， ， ， ， . 过点作于点 ，如解图2. ， ， 解图2 ， ， ， ，即的边长为 . 温馨提示 请完成分层进阶练习册P81~P83习题 37 38 $$