第3单元 第5节 二次函数的图象与性质(课件PPT)-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（河北专用）

2025河北 数 学 课堂精讲册 1 第三单元 函数 第五节 二次函数的图象与性质 2 一阶 教材知识全梳理 3 考点1 二次函数的概念及三种表达形式 概念 三种表达形式 一般地，形如，， 是常数， 的函数，叫做二次函数.其中， 是自变量，，， 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项 ______________________________________ _________________________________________ __________________________________________________ 4 考点2 二次函数的图象与性质（重点） 解析式 的符号 大致图象 _____________________________________ _____________________________________ 开口方向 开口向①____ 开口向②____ 对称轴 直线③_ ________ 上 下 5 𝑎 的符号 𝑎>0 𝑎<0 顶点坐标 ④_ ____________ 增减性 在对称轴左侧，随 的增大而⑤______； 在对称轴右侧，随 的增大而⑥______ 在对称轴⑦______，随 的增大而增大； 在对称轴⑧______，随 的增大而减小 减小 增大 左侧 右侧 最值 当⑨_ ________时， 取得最 ⑩____值，最⑪____值为 ⑫_ ______ 当⑬_ ________时， 取得最 ⑭____值，最⑮____值为 ⑯_ ______ 小 小 大 大 6 【技巧点拨】比较抛物线上两点的纵坐标大小的方法： 方法 适用情形 解题步骤 代值 比较 法 抛物线解析式、点 的横坐标均已知 直接将点的横坐标代入抛物线的解析式，求出 对应的纵坐标，进行比较即可 7 方法 适用情形 解题步骤 图象 比较 法 抛物线解析式或点的横坐标中存在参数 综合利用抛物线的开口方向、增减性及点与抛物线对称轴的距离进行比较： （1）若两点在对称轴的同侧，则根据抛物线的开口方向和随 的变化趋势进行判断； （2）若两点在对称轴的异侧，则根据抛物线的开口方向和两点与对称轴的距离进行判断： ①当 时，点与对称轴的距离越小，纵坐标越⑰___； ②当 时，点与对称轴的距离越小，纵坐标越⑱___ 【特别提醒】当 的符号不确定时，需要进行分类讨论. 小 大 续表 8 考点3 二次函数图象与系数的关系 开口方向 （由 决定） 开口向上⑲_____；开口向下 ⑳_____. 越大，开口越小; 相同，说明抛物线的开口大小相同； 和 的图象关于㉑_____对称 轴 对称轴 （由， 决定） 对称轴在轴左侧（即， 同号）； 对称轴是轴（即 ㉒_____）； 对称轴在轴右侧 ㉓_ ________（即， ㉔______） 简记： 左同右异 异号 9 与 轴的交点 （由 决定） 与轴正半轴相交 ； 过原点 ㉕______； 与轴负半轴相交 ㉖______ 与 轴的交点个数 （由 决定） 与轴有两个交点 ； 与轴有一个交点 ； 与轴无交点 ㉗_____________ 续表 10 其他特殊关系 （先把含，， 的项移到等式或不等式的一边） 看到， 比较 和1的大小 看到， 比较 和㉘____的大小 看到 ， 找当时， 的值 看到， 找当 ㉙____时， 的值 看到 ， 找当时， 的值 看到， 找当 ㉚____时， 的值 续表 【链接】（1）小专题培优 含参函数图象过定点问题，见分层进阶练 习册P55；（2）二次函数的最值问题，见分层进阶练习册P58. 11 考点4 二次函数解析式的确定（重点） 1.基本方法：待定系数法； 2.步骤：设解析式 代入已知点的坐标，得方程（组） 解方程（组） 得解析式； 12 3.根据已知条件，设合适形式的解析式 已知条件 应设解析式 任意三个点的坐标 一般式： 顶点坐标 其他点坐标 顶点式：㉛______________ 与 轴的两个交点的坐标 ， 其他点坐标 交点式： ㉜_________________ 13 【技巧点拨】（1）当抛物线与轴的两个交点的坐标为， 时， 抛物线的对称轴为直线；（2）当已知抛物线与 轴的一个交点坐 标对称轴时，可求出抛物线与 轴的另一个交点的坐标，仍可设交点式. 【链接】小专题培优 函数解析式的求法，见分层进阶练习册P56. 14 考点5 二次函数图象的几何变换（重点） 1.二次函数（一般式）图象的平移 平移前图象的 解析式 平移方向 平移后图象的解析式 口诀 向左平移 个单 位长度 左 右 ， 自变量 向右平移 个单 位长度 ㉝___________________ _______ 15 向上平移 个单 位长度 ㉞_________________ 上 下 ， 常数项 向下平移 个单 位长度 ㉟_________________ 续表 16 2.二次函数（顶点式）图象的平移、翻折（对称）与旋转 变换前图象的解析 式及顶点坐标 变换方式 变换后 的 值 变换后的 顶点坐标 变换后图象的 解析式 ， 向左平移 个单 位长度 向右平移 个单 位长度 ㊱_______ ___________ 向上平移 个单 位长度 ㊲_______ ___________ 17 变换前图象的解析 式及顶点坐标 变换方式 变换后 的 值 变换后的 顶点坐标 变换后图象的 解析式 ， 向下平移 个单 位长度 ㊳_______ ___________ 沿 轴翻折 （关于 轴对称） ㊴_______ ____________ 沿 轴翻折 （关于 轴对称） ㊵_______ _______ 续表 18 变换前图象的解析 式及顶点坐标 变换方式 变换后 的 值 变换后的 顶点坐标 变换后图象的 解析式 ， 绕顶点旋转 ㊶_______ ____________ 绕原点旋转 ㊷_______ ____________ 续表 【技巧点拨】二次函数的图象在变换过程中，图象开口大小不变，即 不变. 19 考点6 二次函数与一元二次方程的关系 1.抛物线与 轴的交点问题 （1）抛物线与轴的交点的横坐标 一元二次方程 ㊸_________________的解； （2）抛物线与轴的交点个数 一元二次方程 ㊹_________________的解的个数. 20 2.抛物线与直线 的交点问题 （1）抛物线与直线的交点的横坐标 一元二次方 程㊺_________________的解； （2）抛物线与直线的交点个数 一元二次方程 ㊻_________________的解的个数. 21 的取值 关系 图示 当 时 如图1，抛物线 与直线㊼______交点 方程 ㊽__________ ______________________________________________ 当 时 如图2，抛物线 与直线 有㊾___个交点 方程 有㊿__________的实数根 图1 图2 没有 无实数根 1 两个相等 以 为例： 22 当 时 如图3，抛物线 与直线有51___个交点 方程 有52____________的实数根 _______________________________________ 图3 2 两个不相等 续表 23 3.抛物线<m></m>与直线<m></m>的交点问题 可转化为一元二次方程<m></m>的解的问题. 24 4.二次函数 与不等式的关系（拓展） 不等式 解集 图示 （以 为例） 抛物线 位于直线 上方对应的点的横坐标的取值范围（如图，解集为53_______________） ________________________________________ 抛物线 位于直线 下方对应的点的横坐标的取值范围（如图，解集为54____________） 或 25 二阶 追本溯源练考点 26 考点1 二次函数的概念及三种表达形式 1. （北师九下P40例2改编） 已知二次函数的解析式为 ， 将其化为顶点式是________________， 化为交点式是___________________. 27 考点2 二次函数的图象与性质（10年10考；2024.26，2023.16、 23（1），2022.23（1）） 2. （冀教九下P56T3改编）已知抛物线 . （1）该抛物线开口向____，对称轴是直线______，与 轴有___个交点， 交点坐标是_______________，与 轴的交点坐标是______，有最____ （填“大”或“小”）值，最____值为___，顶点坐标为______； 下 2 和 大 大 4 28 （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出该抛物线： 第2题图 第2题解图 （3）当时，随的增大而______，最大值为___； 当 时， 的取值范围是____________； 增大 3 （4）若抛物线经过点和，则___ ；若抛物线经过点 和，则___.（填“ ”“ ”或“ ”） 已知抛物线 . 29 考点3 二次函数图象与系数的关系 3.如图，抛物线与轴负半轴交于点 ，对 称轴为直线 ，则以下结论中正确的是______________.（填序号） . . ； ； ； ； ； ； ； ⑧一元二次方程 有实数根； ⑨若，，都是抛物线上的点，则 ； （ 为任意实数）. 30 考点4 二次函数解析式的确定（10年3考） 4. （人教九上P57T6改编）已知抛物线 . （1）若抛物线与轴交于点和 ， 则抛物线的对称轴是___________； （2）若抛物线的顶点坐标为，且经过点 ， 则其解析式是__________________； （3）若抛物线经过点和 ， 则其解析式是_________________； 直线 31 （4）若抛物线的对称轴为直线，且经过点 ， 则其解析式是_ ________________． 32 考点5 二次函数图象的几何变换（2024.26（2）,2022.23（2）） 5. （冀教九下P35B组T1改编）已知抛物线 ，求 出符合下列要求的解析式（化为一般形式） （1）将该抛物线向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的解析式为 _________________； （2）将该抛物线向右平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为 _________________； （3）将该抛物线沿 轴翻折，得到的新抛物线的解析式为_______________； 33 （4）将该抛物线绕原点旋转 ，得到的新抛物线的解析式 为________________. 【拓展设问】将该抛物线向下平移 个单位长度，若得到的抛物 线与轴只有一个交点，则 的值为___. 4 34 考点6 二次函数与一元二次方程的关系 6. （北师九下P53T4改编）如图，一次函数 和二次函数 的图象交于点和点 . （1）方程 的解为_________________； ， （2）方程 的解为_________________； ， （3）不等式 的解集是____________； （4）若，则方程 的实数根的个数为___. 2 35 三阶 分层设问攻重难 36 重难点 二次函数的性质综合题 7.点,都在二次函数 的图象上， 且 . （1）将该二次函数的表达式化为顶点式是_________________； （2）该二次函数的图象的对称轴为直线______，顶点坐标为________. 37 （3）若该二次函数的图象经过点 . ①直接写出该二次函数的表达式； 解：该二次函数的表达式为 . ②若，则___；（填“”“”或“ ”） 点都在二次函数 的图象上， 且 . 38 ③若，求点 的坐标. 解：，两点关于直线对称， . ，， . 将代入，得 ， 点的坐标为 . 点都在二次函数 的图象上， 且 . 39 （4）若， ，求该二次函数的表达式； 解：，， . 将，分别代入 ， 得， ， ， ， 该二次函数的表达式为 . 点都在二次函数 的图象上， 且 . 40 （5）若且 时，该二次函数的最大值与最小值的差为1， 点，在二次函数图象的对称轴的异侧，直接写出 的取值范围. 解： . 【解法提示】， 二次函数的图象开口向上.由（2）可知，二次 函数图象的顶点坐标为.又 点， 在二次函数图象的对称轴的异 侧，， 点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧， 当 时，函数在处取得最小值 当 时，函数 的最大值与最小值的差为1， 当 时，函数的最大值为0. 41 ，则，即，解得 ， 函数的最大值为， ， ； ②若，则，即 ，解得， 函数的最大值为， ，. 综上所述， 的取值范围为. 温馨提示 请完成分层进阶练习册P51~P54习题 43 44 $$