第3单元 第4节 反比例函数及其应用(课件PPT)-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（河北专用）

2025河北 数 学 课堂精讲册 1 第三单元 函数 第四节 反比例函数及其应用 2 一阶 教材知识全梳理 3 考点1 反比例函数的图象与性质（重点） 解析式 为常数，，也可以为或 取值范围 ， 的符号 大致图象 _________________________________ _________________________________ 所在象限 ①________ ②________ 一、三 二、四 4 图象特征 双曲线，无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交. 越大，离坐标轴越远 图象上点的 坐标特征 横坐标与纵坐标的积恒为③___ 增减性 在④__________内，随 的增大而⑤______ 在⑥__________内，随 的增大而⑦______ 对称性 中心对称：关于⑧______成中心对称 轴对称：关于直线 和直线⑨________对称 每个象限 减小 每个象限 增大 原点 续表 的符号 5 【特别提醒】反比例函数的图象只在每个分支上具有增减性，不能认为在 整个自变量取值范围内增大（或减小）. 【技巧点拨】比较双曲线上点的纵坐标大小时，需要分情况讨论：①若两 点在同一象限，则根据函数增减性来比较；②若两点在不同象限，则根据 所在象限的纵坐标的符号来比较，正数 负数. 6 考点2 反比例函数中 的几何意义 1.<m></m>的几何意义 如图，过双曲线<m></m>上任一点<m></m>分别作<m></m>轴，<m></m>轴的垂 线段<m></m>，<m></m>，所得矩形<m></m>的面积 <m></m>. 7 2.与<m></m>的几何意义有关的面积计算 一点一垂线 一点两垂线 两点一垂线 ___________________________________________________ ___________________________ ⑩_ ____ _____________________________________________________ ___________________________ ⑪____ ___________________________________________________________ ⑫____ 8 两点两垂线 两曲一平行 ______________________________________________ ⑬______ __________________________________ ⑭ __________ _____________________________ ⑮ _________ _______________________________ ⑯______________ _________________________________ ⑰ ____________ 续表 9 【特别提醒】（1）利用 的几何意义解题时，通常过图象上的点向坐标轴 作垂线；（2）因为有正、负之分，所以用 表示三角形或四边形的面积 时，要给 加绝对值. . . 10 考点3 反比例函数解析式的确定 方法1：用待定系数法确定反比例函数的表达式； 方法2：利用的几何意义确定反比例函数的表达式（一定要注意 的正 负）． 11 考点4 反比例函数的实际应用（重点） 1.行程问题：速度 ，路程一定时，速度与时间成反比例关系； 2.销售问题：销量 ，销售额一定时，销量与售价成反比例关系； 3.面积问题（以矩形为例）：长 ，面积一定时，长与宽成反比例关 系； 4.表格数据类问题：当给出， 的多组对应值，且每组对应值的乘积相同 时，是关于 的反比例函数； 12 5.跨学科问题： ①压强 ，压力一定时，压强与受力面积成反比例关系； ②电流 ，电压一定时，电流与电阻成反比例关系； ③密度 ，质量一定时，密度与体积成反比例关系. 【特别提醒】一般情况下，在反比例函数的实际应用题中， 都是大于0 的， 的取值范围也是大于0的，图象只在第一象限. 13 考点5 反比例函数与一次函数的综合 1.判断同一平面直角坐标系中反比例函数与一次函数的图象 假设法：针对每一个选项中的图象，先假设一次函数的图象正确，由此确 定<m></m>的符号，再根据<m></m>的符号判断反比例函数的图象，若符合，则图象正确； 若出现矛盾，则图象不正确. 14 2.反比例函数<m></m>的图象与一次函数<m></m>的图象的交点个数问题 （1）图象判断法 函数类 型 与 同号 与 异号 结论 反比例 函数与 正比例 函数 _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ 若 ①与 同号，必有2 个交点，且两交点关 于⑱______成中心对 称； ②与 异号，无交点 原点 15 函数类 型 与 同号 与 异号 结论 反比例 函数与 一次函 数 _______________________ _______________________ _______________________ _________________________ 与 同号，必有 ⑲___个交点； 与 异号，交点可 能有2个，1个或0个 （2）联立解析式判断法 令 ，化简得一元二次方程，根据根的判别式与0的大小关系判 断交点个数. 2 续表 16 3.反比例函数<m></m>与一次函数<m></m>组成的不等式问题 （此类题的设题背景通常为反比例函数和一次函数的图象有两个交点） 步骤 举例 （1）确定反比例函数与一次函数图象的两个交点的横坐标 ， _____________________________________________________ （2）分区：过两个交点分别作𝑦 轴的平行线，连同𝑦 轴将坐标平面分为四部分（简记：砍三刀，分四段） 区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ 17 步骤 举例 （3）观察函数图象找 答案：根据图象在上方 的函数值比图象在下方 的函数值大，在各区域 内找相应的 的取值范 围 若 ，则位于区域 Ⅰ，Ⅲ， 的取值范围为 或 ； 若 ，则位于区域 ⑳_______， 的取值范围 为㉑___________________ _____________________________________________________ 【链接】小专题培优 反比例函数综合，见分层进阶练习册P49. Ⅱ，Ⅳ 或 续表 18 二阶 追本溯源练考点 19 考点1 反比例函数的图象与性质（10年6考；2023.17，2022.12） 1. （北师九上P159T1改编）已知反比例函数 的图象如图所示. （1） 的取值范围是_______； （2）若该反比例函数的图象经过点 ，则： ①下列点中，也在该反比例函数的图象上的是_______； （填字母编号） ；；， ；；； . ②当时， 的取值范围是____________； 当时， 的取值范围是_______________； 或 20 （3）若点，， 都在该反比例函数的图象上，且 ，则，，的大小关系为_____________.（用“ ”连 接） 21 考点2 反比例函数中 的几何意义 2. （冀教九上P137B组T1改编）双曲线 和如图所示，是 上一点，分别过点作轴于点，轴于点 ， 与交于点，则___， ___， ___， ___. 1 3 6 2 22 考点3 反比例函数解析式的确定（10年3考；2023.17） 3. （冀教九上P133B组T1改编）已知反比例函数 . （1）若该函数的图象过点 ，则该反比例函数的解析式为_ ______； （2）若该函数的图象同时过点， ，则该反比例函数的解 析式为_ ______； （3）如图，为该反比例函数图象上一点，且矩形 的面 积为3，则这个反比例函数的解析式为_ _______． 23 考点4 反比例函数的实际应用（10年4考；2024.7） 4. （冀教九上P140A组T2改编）在物理学中，功率表示做功的快慢， 功与做功时间的比叫做功率，即所做的功一定时，功率 与做功所用 的时间 成反比例函数关系，图象如图所示，下列说法不正确的是 ( ) C A. 与的函数关系式为 B. 当时， C. 当时， D. 随 的增大而减小 24 考点5 反比例函数与一次函数的综合 5. （冀教九上P144T3改编）在同一直角坐标系中，函数 与 的大致图象可能为( ) B A. B. C. D. 25 6. （人教九下P9T5改编）已知双曲线与直线 交于 ，两点，则点 的坐标为________. 26 7. （人教九下P22T10改编）已知一次函数 和反比例函数 . （1）若 . ①这两个函数图象有___个交点，交点坐标为________________； ②当时， 的取值范围是___________________. 2 和 或 （2）若这两个函数图象没有交点，则 的取值范围是________. 27 三阶 分层设问攻重难 28 重难点 反比例函数与一次函数的综合 8.如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于 点，与轴的负半轴交于点，且 . （1） 的长为___； （2）点 的坐标为________； 29 （3）求反比例函数和一次函数的表达式； 解：将代入，得 , ， 反比例函数的表达式为 . 将，代入 ， 得解得 一次函数的表达式为 . 30 （4）若是反比例函数的图象上的一点，且 ，求 点 的坐标； 解：设点的坐标为，其中 . ， ， ， 点的坐标为 . 31 （5）若点与点关于轴对称，那么在轴上存在一点，使得 的值最小，求出此时点 的坐标； 解图1 解：如解图1，连接 . 点与点关于轴对称， ， ， 当，，三点共线时，的值最小，此时点 为一次函数的图象与轴的交点. 在 中，令，得， 当的值最小时，点 的坐标为 . 32 （6）若是一次函数图象上一动点，当最短时，求点 的坐标. 解图2 解：由“垂线段最短”可知，当时， 最短. 如解图2，设与轴的交点为，过点作 于点 ，过点作轴于点 . 在中，令，得 ， . ， . 33 ， . ， ， . 又 ， ， ，即 ， ， ， 点的坐标为 . 解图2 温馨提示 请完成分层进阶练习册P47~P48习题 35 36 $$