第2单元 第3节 一元二次方程及其应用(课件PPT)-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（河北专用）

2025河北 数 学 课堂精讲册 1 第二单元 方程（组）与不等式（组） 第三节 一元二次方程及其应用 2 一阶 教材知识全梳理 3 考点1 一元二次方程的相关概念及一般形式 概 念 只含有①____个未知数，并且 未知数的最高次数是②___的 ③______方程 举例： ④____一元二次方程； ⑤_______一元二次方程（填“是”或“不是”） 一 般 形 式 _____________________________________________________________________________________ 举例： 方程 的二次项系数是 ⑥___，一次项系数是⑦_____， 常数项是⑧_____ 一 整式 是 不是 4 【特别提醒】若题目中有“一元二次方程 ”，则必然隐含 着这一条件.若未说明方程类型，则需分 时是一元一次方程和 时是一元二次方程两种情况讨论. 5 考点2 一元二次方程的解法 1.基本思路：降次，即将二次方程化为一次方程. 2.解法 以练代讲 解方程：（1） ； 解： ， 或 ， 解得， . 6 （2） ； 解：配方，得 ， ， ， . 7 （3） ； 解：将方程化为一般形式为 ， 则，， ， ， ， 即， . 8 （4） （此题易错，需注意！） 解：移项，得 ， 因式分解，得 ， 于是得或 ， 解得， . 9 解法总结 解法 适用情形 方程的解 直接开平方 法 形如或 的 形式 或 配方法 二次项系数化为1后，一次项系数为偶数，形如 ，配方后为⑨___________________ ⑩_______________ 10 解法 适用情形 方程的解 公式法 适用于所有一元二次方程，应先化为一般形式 . 【特别提醒】（1）确定，， 的 值时要带符号；（2）需先判断 的值与0的大小关系：若 ⑪___0，则套用公式求解； 若 ⑫___0，则方程无解 ⑬_ __________ 因式分解法 能化成 的形式 ⑭___, ⑮___ 续表 11 【特别提醒】用因式分解法解一元二次方程时，要先将右边的式子移至左 边，再进行因式分解.不能在等号两边同时约去含有⑯________的公因式， 避免丢根. 未知数 . . 12 考点3 一元二次方程根的判别式 判别式与方程根的关系（根的判别式为，用 表示）： （1） 一元二次方程 有两个 ⑰________的实数根； （2） 一元二次方程 有两个 ⑱______的实数根； （3） 一元二次方程 ⑲ _______实数根. 不相等 相等 没有 13 【特别提醒】在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母， 那么要加上二次项系数不为0这个限制条件. . . 14 考点4 一元二次方程根与系数的关系（2022版课标去掉*，调整 为考查内容） 如果一元二次方程的两根分别是， ，那么 ⑳_ ___， ㉑__. 【特别提醒】使用一元二次方程根与系数的关系的前提： （1） ㉒___0；（2） ㉓___0. 15 考点5 一元二次方程的实际应用（重点） 1.解一元二次方程实际问题的步骤：审、设、列、解、验、答. 2.常见类型及等量关系 常见类型 等量关系 变化率 问题 设为原来的量， 为变化后的量. （1）若平均增长率为，增长次数为2，则 ； （2）若平均下降率为 ，下降次数为2，则㉔______________ 16 常见类型 等量关系 面积 （小路） 问题 在矩形中，设阴影部分的宽为， 则图1中 ㉕__________________， 图2中㉖______________， 图3中 ㉗______________ ________________________________________ 续表 17 常见类型 等量关系 每每 问题 （1）常用公式：①每件利润 每件售价-㉘__________； ②总利润 每件利润×㉙__________； （2）每每问题中，单价每涨元，少卖件，则涨价 元时，少卖的数量为㉚_ ____ 每件成本 销售总量 续表 18 常见类型 等量关系 循环、 传播 问题 （1）病毒传播类问题： 若初始数据为，每次传播个，则第一轮后共有 个，第二轮后共有㉛__________个； （2）握手、单循环赛问题： 若共有 人，则握手（单循环赛）总次数为㉜_ ______； （3）互赠礼物问题： 若共有 人，则送礼物总份数为㉝_________ 续表 19 二阶 追本溯源练考点 20 考点1 一元二次方程的概念及一般形式 1. （人教九上P4T1改编）已知关于 的方程 . （1）若该方程是一元二次方程，则 的取值范围是_________； （2）若该方程是一元一次方程，则 的值是____； （3）若 ，则该方程的二次项是____，二次项系数是___，一次项是 _____，一次项系数是____，常数项是___. 1 2 21 考点2 一元二次方程的解法 2. （北师九上P56T2改编）选择合适的方法解下列一元二次方程： （1） ； 解：， ， ， . 22 （2） ； 解：移项，得 ， 配方，得， 即 ， ， ， . 23 （3） ； 解：，， ， ， ， ， . 24 （4） ． 解：移项，得 ， 因式分解，得 ， 或 , ， . 25 考点3 一元二次方程根的判别式（10年5考） 3. （冀教九上P42B组T1改编） 已知关于 的方程 . （1）若该方程有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 _ ________________； （2）若该方程有两个相等的实数根，则 的值是_ _； （3）若该方程没有实数根，则 的取值范围是_ ______； 且 26 （4）若该方程有两个实数根，则 的取值范围是_ _______________； （5）若该方程有实数根，则 的取值范围是_ ______； （6）若 ，则该方程的根的情况是______________________. 且 有两个不相等的实数根 已知关于 的方程 . 27 考点4 一元二次方程根与系数的关系 4. （人教九上P16例4改编）已知关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 . （1）若 ，则： ①___， ___； ② ___； ③ ___； ④ ___； ⑤ ___； ⑥ ___； ⑦ ____. （2）若，则 的值为_ __. 28 考点5 一元二次方程的实际应用（2024.9，2020.23（2）） 5. （冀教九上P50A组T1改编）根据下列问题列方程： （1）一个微信群里共有 名成员，他们互为好友，每名成员都分别给其他 成员发了一条消息，这样一共产生132条消息，则可列方程:______________. （2）某厂今年一月份的产量为500吨，三月份的产量为720吨.由于产品价格 上涨迅速，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950 万元. ①设平均每月产量的增长率为 ，则可列方程：___________________； ②设平均每月营业额的增长率为 ，则可列方程：_____________________ __________________. 29 6. （北师九上P55T1改编）某品牌童装平均每天可售出20件，每件 盈利40元．为了迎接国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量， 增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：若每件童装降价1元，则每 天可多售出2件.如果每天要销售这种童装盈利1 200元，那么每件童装应降 价多少元？ （1）设每件童装降价 元，那么降价后，平均每天就可多售出____件，一 天可售出__________件，每件盈利_________元； 30 （2）列方程求解上述问题. 解：根据题意，得 ， 整理，得 ， 解得， . 要扩大销售量，尽快减少库存， . 答：每件童装应降价20元. 31 温馨提示 请完成分层进阶练习册P28~P29习题 32 33 $$