第1部分 第3单元 小专题培优9 反比例函数综合(课件PPT)-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学分层进阶练习册（河北专用）

2025河北 数 学 分层进阶练习册 1 第一部分 单元分层进阶练 第三单元 函数 小专题培优9 反比例函数综合 （10年3考；2023.17） 2 类型 1 双曲线与直线或线段的交点问题 （含台阶问题） 1.开放性设问 （2023河北17题2分）如图，已知点 ，，反比例函数 图象的一支 与线段有交点，写出一个符合条件的 的整数值： ____________________________________. 3（答案不唯一，为3至9的整数均可） 【解析】把代入，得，把代入 ，得 ，，可以取3（答案不唯一, 为3至9的整数 均可）. 3 【变式1】 如图，在平面直角坐标系中，矩形 的 面积为4，反比例函数的图象与边， 有交点，请写出一个符合条件的 的整数值：_________ _________. 2（答案不唯一） 【解析】 双曲线在第一象限，， 小于4就符 合题意，不妨取 . 4 【变式2】 如图所示，的三个顶点分别为 ， ，，若反比例函数 在第一象限内的图 象与有交点，则 的取值范围是____________. 【解析】当反比例函数的图象过点 时， ；当反比例函数的图象过点 时， ， . 5 2.（2020河北19题6分）如图是8个台阶的示意图， 每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角 的顶点记作为的整数 ，函数 的图象为曲线 . （1）若过点，则 _____； 当过点时，，解得 ； 【解析】 每个台阶的高和宽分别是1和2，， ， ，，，， ， . 6 （2）若过点，则它必定还过另一点，则 ___； 5 【解析】若过点，则，解得，， 还过点 ，即 ； 7 （3）若曲线使得 这些点分布在它的两侧， 每侧各4个点，则 的整数值有___个. 7 【解析】若曲线使得 这些点分布在它的两 侧且每侧各4个点，则在的一侧， ， ，，在的另一侧. 当经过点和 时， ，当经过点和 时， ，， 的整数值有7个. 8 【变式1】 如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高 和宽分别是1和2，将每个台阶拐角的顶点叫做拐点， 记作为的整数，函数 的图象 8 【解析】 每个台阶的高和宽分别是1和2，， ， ，，，， ， 横、纵坐标的积为8的点有、和 ，横、纵坐标的积为6 的点有和，横、纵坐标的积为12的点有和，曲线 同时经过的拐 点最多， . 为曲线.当曲线同时经过的拐点最多时， 的值为___. 9 【变式2】 如图，的直角顶点 的坐标 为，顶点，在直线 上， 且轴，双曲线为常数， 位于第一象限. 10 （1）当经过点时，点______（填“在”或“不在”） 上； 不在 将代入，得， 双曲线的解析式为 ，当 时，， 点不在双曲线 上； 【解析】的直角顶点的坐标为，轴， 轴， 设，.对于，将代入，得 ， ，.令，解得， . 11 （2）若点是线段 上横坐标为整数的点 （不与点，重合），双曲线 使这六个点分布在 它的两侧，且两侧的点的个数比为1，则 的取值 范围为______________________. 或 【解析】 点是线段上横坐标为整数的点（不与点， 重 合），的坐标分别为、、、、 、 ，它们的横、纵坐标的积按大小顺序排列为4，7，9，9，10，10.若 要满足两侧的点的个数比为的条件，则的取值范围为 或 . 12 3.（2021河北19题4分）用绘图软件绘制双曲线 与动直线 ，且交于一点，图1为 时的视窗情形. 图1 （1）当时，与 的交点坐标为________； 【解析】当，即时，，解得，与 的交点 坐标为 ； 13 （2）视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点 始终在 视窗中心. 例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为 原来的，其可视范围就由及 变成了 及 （如图2）. 当和时，与的交点分别 是点和，为能看到在 和之间的一整段 图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变 为原来的 ，则整数 ___. 4 图1 图2 14 【解析】当，即时，，解得， 点 的坐标为；当，即时， ，解得 ， 点的坐标为 要能看到在， 之间的一整 段图象，，解得， 整数 . 15 4.（2024衡水桃城中学二模）在平面直角坐标系中， 已知，， 三点如图所示. （1）若反比例函数的图象过点，， 中的两 点，则不在反比例函数图象上的是点___； 【解析】由题图可知，，， ， ， 反比例函数的图象过点，，点 不在 反比例函数图象上； 16 （2）当反比例函数的图象与线段 （含端点）有且只有一个公共点 时， 的取值范围是___________________. 或 【解析】设直线的解析式为，代入， 的坐标得解得 直线 的解 析式为，令 ，整理得 ，当反比例函数的图象与直线 有且只有一个公共 点时，，，解得 ，由（1）可知， 当时，反比例函数图象过点，当 时，反比例函数图象过 17 点， 时，反比例函数的图象 与线段 （含端点）有且只有一个公共点.综上所述， 当反比例函数 的图象与线段（含端点）有且 只有一个公共点时， 的取值范围是或 . 类型 2 双曲线与其他线条所围区域内的整点问题 5.（2024邯郸广平县三模）横、纵坐标都为整数的点称为 整点.若双曲线 （如图）与双曲线 之间只有两个整点（不含边界）， 则满足条件的 的值不可能是( ) B A. 2 B. 3 C. 5.5 D. 6 19 【解析】A.当 时，两双曲线之间只有两个整点 、，是满足条件的 值，不符合题意；B.当 时，两双曲线之间没有整点，不满足条件，故符合 题意；C.当 时，两双曲线之间只有两个整点 、，是满足条件的 值，不符合题意；D.当 时，两双曲线之间只有两个整点、 ，是 满足条件的 值，不符合题意.故选B. 20 6.（2024石家庄长安区一模）如图，直线 及反比例函数 的图象与两坐标轴之间的 阴影部分（不包括边界）有5个整点（横、纵坐标都 为整数），则 的取值可能是( ) C A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【解析】直线过点，.把 代入，得 ，此时阴影部分 （不包括边界）有，，，，，共5个整点， 的取值可能是4. 21 7.规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点叫做整点.如 图，点，都在反比例函数 的图象上. （1）___， ___； 4 4 【解析】 点，都在反比例函数 的图象上， ，， ； 22 （2）已知，过点， 作直线交双 曲线于点，连接 ，若阴影区域 （不包括边界）内有4个整点，则 的取值范围是 ___________. 【解析】 点，， 直线的解析式为 ，由 ，可知，阴影区域（不包括边界）内4个整点为 ， ，，，把代入，得 ，解得 ，把代入，得，解得， 若阴 影区域（不包括边界）内有4个整点，则的取值范围是 . 23 24 $$