第十六章 二次根式（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（人教版，云南专用）

第十六章 二次根式（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 3．若有意义，则的值为（   ） A．2 B．3 C．1 D． 4．若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．现将一个面积为的正方形的一组对边缩短，就成为一个长方形，这个长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 7．下面的推导中开始出错的步骤是（    ） 因为，① ，② 所以.③ 所以.④ A．① B．② C．③ D．④ 8．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 9．下列各组二次根式中，属同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．估计的值应在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 11．下列运算正确的是（　　） A． B．（a3）3=a6 C．-a2·（-a）4=a6 D．=1 12．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 13．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 14．若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 15．已知，，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 17．比较大小   （填“”“”或者“”） 18．写出一个最简二次根式，使它与可以进行合并，这个二次根式可以是 ．（写一个即可） 19．阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：， （1）将分母有理化可得 ； （2）关于的方程的解是 ． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．(7分)． 21．(6分)计算：． 22．(7分)已知，，求代数式的值： (1)； (2) ． 23．(6分)已知是最简二次根式，且与可以合并． (1)求x的值； (2)求与的乘积． 24．(8分)先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：． 25．(8分)二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为______； (2)若x，y为实数，且，求的值． 26．(8分)有一块矩形木板，木工采用如图所示的方式在木板上截出，两个面积分别为和的正方形木板． (1)截出的，两个正方形的边长分别为__________ ，__________ （用最简二次根式表示） (2)求剩余木板（阴影部分）的面积． 27．(12分)认识概念： 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式； 如：；，我们称的一个有理化因式为，的一个有理化因式是； 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：； 理解应用： （1）填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； （2）化简：； 拓展应用： （3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 二次根式（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义即可得出正确选项． 【详解】A、是三次根式，不合题意； B、的被开方数是负数，不合题意； C、是二次根式，符合题意； D、中，当时，不是二次根式，不合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式的定义是本题的关键． 2．已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义． 根据二次根式的定义即可求出答案． 【详解】由题意可知：， ， ∵是整数，是正整数， ∴或7或8， ， 故选：D． 3．若有意义，则的值为（   ） A．2 B．3 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，列式进行计算即可求出的值． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， 所以，． 故选：C． 4．若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简绝对值，利用二次根式的性质化简，代数式求值等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 先根据化简绝对值和二次根式，然后合并同类项即可． 【详解】解：∵， ，， ∴， 故选：D． 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用分母有理化可对进行判断；根据二次根式的加减运算可对进行判断；利用二次根式的性质可对进行判断；根据二次根式的乘法法则可对进行判断，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、原式，原选项错误，不符合题意； 、与不能合并，原选项错误，不符合题意； 、原式，原选项错误，不符合题意； 、原式，原选项正确，符合题意； 故选：． 6．现将一个面积为的正方形的一组对边缩短，就成为一个长方形，这个长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出正方形的边长，再根据题意即可求得这个长方形的面积． 【详解】∵正方形面积为 ∴正方形边长为 将其一组对边缩短， 即这组对边长度变为 ∴长方形面积为 故选C． 【点睛】本题考查了正方形及长方形的面积公式、二次根式的混合运算，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 7．下面的推导中开始出错的步骤是（    ） 因为，① ，② 所以.③ 所以.④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据算术平方根的非负性即可判断． 【详解】解：第②步中是负数，而是一个正数，二者并不相等， ∴第②步推导错误． 故选B． 【点睛】本题主要考查算术平方根的性质，熟练掌握平方根和算术平方根的正负性是解决本题的关键． 8．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了本题主要考查二次根式的乘除运算，化简二次根式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该项符合题意； 故选： D． 9．下列各组二次根式中，属同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式，将各项先化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义逐项判断即可，掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】解：、与不是同类二次根式，该选项不合题意； 、∵， ∴与不是同类二次根式，该选项不合题意； 、∵，， ∴与是同类二次根式，该选项符合题意； 、∵，， ∴与不是同类二次根式，该选项不合题意； 故选：． 10．估计的值应在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式除法以及无理数的大小估算，先运算二次根式除法得出，再结合，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴． 故选：B 11．下列运算正确的是（　　） A． B．（a3）3=a6 C．-a2·（-a）4=a6 D．=1 【答案】D 【详解】A．=2，故此选项不合题意； B．（a3）3=a9，故此选项不合题意； C．-a2·（-a）4=-a6，此选项不合题意； D．=1，故此选项符合题意． 12．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C 13．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义分析即可． 【详解】解：①当时，不是二次根式； ②当时，不是二次根式； ③是二次根式； ④当时，不是二次根式； ⑤是二次根式； ⑥是二次根式． 故选B． 14．若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【答案】A 【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式． ． 15．已知，，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查二次根式的化简求值，把，，代入后计算即可． 【详解】∵，，， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键．根据二次根式与分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：且， 故答案为：且． 17．比较大小   （填“”“”或者“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的比较，利用作差法进行计算，比较即可解答． 【详解】解： ， ∵，，， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为： 18．写出一个最简二次根式，使它与可以进行合并，这个二次根式可以是 ．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键．最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 先化简，再结合同类二次根式的定义（被开方数相同），即可作答． 【详解】∵， ∴与可以进行合并的最简二次根式，即为与可以进行合并的最简二次根式， ∴这个二次根式可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一） 19．阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：， （1）将分母有理化可得 ； （2）关于的方程的解是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查二次根式分母有理化，及其规律探索，解方程，掌握二次根式分母有理化，发现规律，解方程方法，找到有理化分母是解题关键． （1）根据材料进行分母有理化即可． （2）先分母有理化，再根据式子的规律化简，解方程即可求解． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．(7分)． 【答案】 【分析】根据负整数指数幂、化简绝对值、零指数幂、二次根式化简，进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查实数的运算，能正确运用运算法则是解题的关键． 21．(6分)计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先算二次根式的乘除法，再算加减法，即可解答． 【详解】解： ． 22．(7分)已知，，求代数式的值： (1)； (2) ． 【答案】(1)16 (2)4 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的运用，注意整体思想的运用； （1）先分别计算出的值，由完全平方公式得，再代入求值即可； （2）原式化为，再整体代入即可． 【详解】（1）解：∵，； ∴； （2）解：． 23．(6分)已知是最简二次根式，且与可以合并． (1)求x的值； (2)求与的乘积． 【答案】(1)9； (2)5． 【分析】（1）根据最简根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可得到答案； （2）根据（1）所求利用二次根式的乘法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：∵是最简二次根式，且与可以合并， ∴， 解得； （2）解：当时，． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，二次根式的乘法等等，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． 24．(8分)先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：． 【答案】(1)小莉的化简结果正确，见解析 (2) 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质结合小明与小莉谁的计算过程分析即可； （2）仿照小莉的解答过程求解即可． 【详解】（1）小莉的化简结果正确，理由如下： （2）原式 25．(8分)二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为______； (2)若x，y为实数，且，求的值． 【答案】(1) (2)7或3 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件，绝对值的非负性求得a，b的值，然后代入中计算即可； （2）根据二次根式有意义的条件求得x，y的值后代入中计算即可． 【详解】（1）解：， ∴，， 解得：，， 那么， 故答案为：； （2）解：由题意可得，， 则， 那么， 则或， 那么或， 即的值是7或3． 26．(8分)有一块矩形木板，木工采用如图所示的方式在木板上截出，两个面积分别为和的正方形木板． (1)截出的，两个正方形的边长分别为__________ ，__________ （用最简二次根式表示） (2)求剩余木板（阴影部分）的面积． 【答案】(1)， (2)剩余木板的面积为 【分析】（1）根据正方形的面积根式以及最简二次根式的定义进行解题即可； （2）根据图形进行列式计算即可． 本题考查二次根式的应用、最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：由题可知， 设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，， 解得，（负数舍去）． 故答案为：，； （2）解：由题可知，阴影部分的面积为： ． 答：剩余木板（阴影部分）的面积为． 27．(12分)认识概念： 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式； 如：；，我们称的一个有理化因式为，的一个有理化因式是； 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：； 理解应用： （1）填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； （2）化简：； 拓展应用： （3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）， ；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示的分母有理化方法，二次根式的性质，二次根式的乘法运算法则即可求解； （2）根据二次根式的混合运算法则，二次根式的性质化简即可求解； （3）根据题意可得，，再根据实数比较大小的方法即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴的有理化因式是， ∵， ∴将分母有理化得， 故答案为：，； （2） ； （3），理由如下： 由题意得：，， ∵， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $$