九年级数学开学摸底考（南京专用）-2024-2025学年初中下学期开学摸底考试卷

2024-2025学年九年级下学期开学摸底考试卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 B C D D C D 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分 7. / 8. 向下 9．4 10．/ 11．4 12. 或 13. 14． 15. 16．4 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（6分） 【详解】（1）解： ， ， ∴， ∴，．（3分） （2）解： ， ∴， ∴，．（6分） 18.（8分） 【详解】（1）解：数据按由小到大的顺序排序：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175， 则舞蹈队16名学生身高的中位数为， 数据165最多，所以，众数为， 故答案为：166，165；（2分） （2）解：甲组学生身高的平均值是：，（3分） 甲组学生身高的方差是：，（4分） 乙组学生身高的平均值是：，（5分） 乙组学生身高的方差是：， ∵， ∴甲组舞台呈现效果更好．（6分） 故答案为：甲组； （3）解：∵168，168，172的平均数为， 方差, 又所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，（7分） ∴数据的差别较小， 可供选择的有 平均数为：， 方差为：， ∴选出的另外两名学生的身高分别为和， 故答案为：．（8分） 19．（6分） 【详解】（1）因为一共有A，B，C三个通道，小明通过A通道刷脸的该概率为； 故答案为：；（2分） （2）列表如下： A B C A B C 一共有9种可能出现的结果，符合条件的有3种， 所以小明和小慧从同一个刷脸通道通过的概率是．（6分） 20．（6分） 【详解】解：∵， ∴，（1分） 又， ∴，（2分） ∵， ∴，（3分） ∵，， ∴， ∴，（4分） ∴，（5分） ∵， ∴， ∴制作一个这样的台灯的灯罩大约需要的绒布.（6分） 21．（6分） 【详解】解：由题意得，（3分） 解得（不符合题意，舍去），（6分） 答：的值为6． 22．（8分） 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又点在上， 是的切线；（4分） （2）证明：由（1）可得：是的切线， ， ， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ．（8分） 23．（8分） 【详解】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟，则小凤的跑步速度为每分， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， 原方程的解为， ∴小凤的跑步速度为每分钟， 答：小凤的跑步速度为每分钟；（4分） （2）由（1）知，小凤的跑步速度为每分， 则小凤从地到地所用时间为（分钟）． 设小凤从地到地用时分钟， 根据题意，得， 解得或（舍去）， 则（分钟）． 答：小凤从地到地锻炼共用70分钟．（8分） 24．（6分） 【分析】证明：∵， ∴，（2分） ∵， ∴，（4分） ∵， ∴．（6分） 25．（10分） 【详解】（1）解：由题意，抛物线的顶点，点， 设二次函数解析式为， 将点代入得， 解得， 二次函数解析式为；（5分） （2）解：由题意，当时，， 或． 可设计赛道的宽度为． ， 最多可设计龙舟赛道的数量为4条， 条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）不可以同时通过桥洞．（10分） 26．（12分） 【详解】（1）解：①∵， ∴当时，，， 故答案为：，；（2分） ②∵为整数 ∴上材料可知为完全平方数    即为完全平方数 ∵是整数，且 ∴只有当时满足条件．（4分） （2）解：∵， ， 又∵， 和可以看成是方程的两个根，（6分） 解方程得，或， ，或，，（8分） ①当，，和可以看作是方程的两根， 此时，符合题意， ；（10分） ②当，，和可以看作是方程的两根， 此时，方程无解，不符合题意； ．（12分） 27．（12分） 【详解】（1）解：由题意可得， ∵， ∴抛物线的“相依直线”的函数表达式为：， 联立直线与抛物线得：， 解得：，， ∵点在点的左侧， ∴，， 当时，， 解得：，， ∴， 故答案为：，，；（3分） （2）解：存在，，理由如下， 设点且， 当时，， ∴， ∵， ， ∴ ∵， ∴，当时取等号， ∴，当时取等号， 即：时最小，最小值为：， ∴存在点G使的面积最小，；（7分） （3）解：过作轴交轴于点，设， ∵， ∴，， ∵沿翻折得， ∴，， ∵为该抛物线的“相依三角形”， ∴点或点Q在y轴上， 当点M在y轴上时， ∴是直角三角形， 在中， ， ∵轴， ∴，， ∴， 在中， ，， 解得：， ∴； 当点Q在y轴时， ∵点Q为线段上一点， ∴， 综上，点Q的坐标为或．（12分） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年九年级下学期开学摸底考试卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题2分，共16分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题2分，共16分） 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 16．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（6分）解方程： (1) (2) 18．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19． （6分） 20． （6分） 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.（8分） 23.（8分） 24． （6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 26．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级下学期开学摸底考试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．天气预报称，明天全市的降水概率为，下列说法中正确的是（    ） A．明天全市将有的地方会下雨 B．明天全市将有的时间会下雨 C．明天全市下雨的可能性较大 D．明天全市一定会下雨 3．将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 4．如图，若D、E分别为中、边上的点，且，，，，则的长度为（　　） A． B． C． D．4 5．已知一元二次方程的一个根为，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．如图，是的直径，弦于点E，，，则（　　）． A．5 B．4 C．3 D．2 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7．若，那么 ． 8．二次函数的图象经过点，则它的开口方向是 ． 9．已知数据的方差是4，则一组新数据的方差是 ． 10．盒中有a枚黑棋和b枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ． 11．若，则代数式的值为 ． 12．如图，点是外一点，过点作圆的两条切线、，点、是切点，是上不同于点，的任意一点，已知，则的度数为 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，若，，若，则为 ． 14．如图，以菱形的顶点为圆心，边长为半径作圆，经过顶点，点、分别在弧、弧上，且，，则图中阴影部分的面积为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在边上，则的坐标 ． 16．如图，一段抛物线，记为， 它 与轴交于点，；将 绕点旋转得，交轴于点；将 绕点旋转得，交轴于点；．．．．如此进行下去，得到一“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值为 ． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（6分）解方程： (1) (2) 18．（8分）某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下： ．16名学生的身高： 161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175 ．16名学生的身高的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 166.75 (1)写出表中，的值； (2)对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______．（填“甲组”或“乙组”）； 甲组学生的身高 162 165 165 166 166 乙组学生的身高 161 162 164 165 175 (3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为，在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差变小，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______． 19．（6分）为保障校园安全，南安市实验中学校门口都安装了人脸识别闸机．我们学校开设了，，三个刷脸通道．某天早晨，小明和小慧将随机通过刷脸通道进入校园． (1)小明通过刷脸通道的概率是______； (2)利用画树状图或列表的方法，求出小明和小慧从同一刷脸通道通过的概率． 20．（6分）如图1所示，有一种单层绒布料子的台灯灯罩，灯罩的下面是空的．把这个灯罩抽象成一个几何体时，我们称之为圆台，它可以理解为把大的圆锥沿着平行于底面的圆面裁切掉上面的小圆锥得到的．如图2所示，现在要制作这种灯罩，若已知的直径，的直径，点、、共线，与、都垂直，，，请问制作一个这样的台灯的灯罩需要多少平方厘米的绒布？（接缝处的布料忽略不计，，结果保留整数） 21．（6分）化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求的值． 22．（8分）如图，是的直径，点为上一点，连接，点在的延长线上，点在上，过点作的垂线分别交的延长线于点，交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)求证：． 23．（8分）为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 24．（6分）如图，在中，，点在边上，满足，且点，分别在边，上． 求证：． 25．（10分）赛龙舟是中国端午节最重要的一种节日民俗活动，一场赛龙舟活动中，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，水面的宽度为； 拱桥最高处到水面的距离为9米． (1)求桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）满足的二次函数解析式； (2)据调查，各参赛队所用龙舟均为活动主办方统一提供，每条龙舟宽度为9m．龙舟最高处距离水面；为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少为．问5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）是否可以同时通过桥洞？ 26．（12分）阅读材料：对于一个关于x的一元二次方程（其中，a、b、c为常数）的两根分别为，我们有如下发现：①若为整数，则这个一元二次方程的判别式一定为完全平方数；②满足韦达定理：即；③韦达定理也有逆定理，即如果两数和满足如下关系：，那么这两个数和是方程的两个根．例如：若实数a，b满足，那么a和b是方程的两个根，请应用上述材料解决以下问题： (1)若实数是关于x的一元二次方程的两个根． ①当时，则___________，___________； ②若均为整数且，求m的值； (2)已知实数p，q满足，求的值． 27．（12分）在平面直角坐标系中，我们定义：直线为抛物线（，，为常数，）的“相依直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在轴上的三角形为抛物线的“相依三角形”．已知抛物线与其“相依直线”交于，两点（点在点的左侧），与轴负半轴交于点A． (1)填空：该抛物线的“相依直线”的函数表达式为______________，点A的坐标为_____________，点的坐标为______________； (2)抛物线的“相依直线”与轴交于点，反比例函数的图像上是否存在一点，使的面积最小，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图，为线段上一动点，将沿翻折得，点A的对应点为点，若为该抛物线的“相依三角形”，求点的坐标． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级下学期开学摸底考试卷 数学•全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据“只含有一个未知数，且未知数的指数最高是2的整式方程是一元二次方程”进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵不是整式方程， ∴不是一元二次方程，故不符合题意； B、是一元二次方程，故符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； D、∵不是整式方程， ∴不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：B． 2．天气预报称，明天全市的降水概率为，下列说法中正确的是（    ） A．明天全市将有的地方会下雨 B．明天全市将有的时间会下雨 C．明天全市下雨的可能性较大 D．明天全市一定会下雨 【答案】C 【分析】本题考查概率的意义，掌握生活中常用的知识点是解题的关键．下雨的降水概率指的是下雨的可能性，据此进行解题即可． 【详解】解：天气预报称，明天全市的降水概率为，则代表明天全市下雨的可能性较大， 故C说法正确， 故选：C． 3．将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后， 所得抛物线的函数表达式为． 故选：D． 4．如图，若D、E分别为中、边上的点，且，，，，则的长度为（　　） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．先证明，然后利用相似比求的长度即可解答． 【详解】解：，， ， ，即， 解得：． 的长度为4． 故选：D． 5．已知一元二次方程的一个根为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．把代入方程求出，然后利用整体代入求值即可． 【详解】解：一元二次方程的一个根为， ， ， ， 故选：C． 6．如图，是的直径，弦于点E，，，则（　　）． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，熟练掌握垂直定理是解题的关键． 根据得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴（）． 故选：D． 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7．若，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查比例的性质，设，代入即可求出． 【详解】解：∵ ∴设 ∴ 故答案为：． 8．二次函数的图象经过点，则它的开口方向是 ． 【答案】向下 【分析】本题考查了待定系数法求解析式及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据a的符号判断抛物线的开口方向． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴开口方向向下． 故答案为：向下． 9．已知数据的方差是4，则一组新数据的方差是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了方差的计算，掌握方差的计算公式是解题的关键．根据方差的计算方法进行即可求解． 【详解】解：数据的方差是4，设数据的平均数为， ∴， ∴， 设一组新数据，，…，的平均数为， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 10．盒中有a枚黑棋和b枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了概率公式以及分式的值，熟练掌握概率公式是解题的关键．由概率公式得，整理得，再代入所求分式计算即可． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， ∴， 故答案为：． 11．若，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查利用换元法解一元二次方程，设，将原方程变为求解即可． 【详解】解：设，则方程为， 即， 解得，（舍去）， 则， 故答案为：． 12．如图，点是外一点，过点作圆的两条切线、，点、是切点，是上不同于点，的任意一点，已知，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．根据切线的性质得，再利用四边形的内角和得到，然后分类讨论：当点Q在优弧上，如图，根据圆周角定理可计算出；当点Q在劣弧上，如图，根据圆内接四边形的性质得． 【详解】解：∵和为的两条切线， ∴，， ∴， ∴， 当点Q在优弧上，如图中点位置， ； 当点Q在劣弧上，如图中点位置， ， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 13．如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，若，，若，则为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据位似图形的性质得出的长，进而得出，求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵与位似，原点O是位似中心， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14．如图，以菱形的顶点为圆心，边长为半径作圆，经过顶点，点、分别在弧、弧上，且，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不规则图形的面积求解，涉及了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点； 连接，作，可得均为等边三角形，证得可推出，据此即可求解； 【详解】解：连接，作，如图所示： 由题意得：， ∴均为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在边上，则的坐标 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、旋转的性质等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．过点作轴于点，先根据正切可得，根据勾股定理可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后在中，解直角三角形可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵的顶点在轴的正半轴上，，点的坐标为， ∴， ∴，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 16．如图，一段抛物线，记为， 它 与轴交于点，；将 绕点旋转得，交轴于点；将 绕点旋转得，交轴于点；．．．．如此进行下去，得到一“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数与几何变换，根据函数可求出，从而可求出，，再根据整个函数图象每隔个单位长度，函数值就相等，由，即可知的值等于时的纵坐标，从而得出答案． 【详解】解：当时，， 解得：，， ∴， 由旋转的性质知的解析式为：，， 的解析式为：，， ， ∴整个函数图象以个单位长度为一个周期，函数值就相等， ∵， ∴的值等于时的纵坐标， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（6分）解方程： (1) (2) 【答案】(1)，． (2)，． 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出，再根据，然后利用求根公式代入求解即可． （2）先求出，再根据，然后利用求根公式代入求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ∴， ∴，． （2）解： ， ∴， ∴，． 18．（8分）某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下： ．16名学生的身高： 161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175 ．16名学生的身高的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 166.75 (1)写出表中，的值； (2)对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______．（填“甲组”或“乙组”）； 甲组学生的身高 162 165 165 166 166 乙组学生的身高 161 162 164 165 175 (3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为，在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差变小，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______． 【答案】(1)166，165 (2)甲组 (3) 【分析】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键． （1）根据众数和中位数的定义进行计算； （2）根据方差的计算公式计算方差，然后根据方差的意义进行比较； （3）根据方差进行比较． 【详解】（1）解：数据按由小到大的顺序排序：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175， 则舞蹈队16名学生身高的中位数为， 数据165最多，所以，众数为， 故答案为：166，165； （2）解：甲组学生身高的平均值是：， 甲组学生身高的方差是：， 乙组学生身高的平均值是：， 乙组学生身高的方差是：， ∵， ∴甲组舞台呈现效果更好． 故答案为：甲组； （3）解：∵168，168，172的平均数为， 方差, 又所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于， ∴数据的差别较小， 可供选择的有 平均数为：， 方差为：， ∴选出的另外两名学生的身高分别为和， 故答案为：． 19．（6分）为保障校园安全，南安市实验中学校门口都安装了人脸识别闸机．我们学校开设了，，三个刷脸通道．某天早晨，小明和小慧将随机通过刷脸通道进入校园． (1)小明通过刷脸通道的概率是______； (2)利用画树状图或列表的方法，求出小明和小慧从同一刷脸通道通过的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求概率，列表求概率， 对于（1），根据概率公式计算； 对于（2），列出表格得出所有可能出现的结果，再得出符合条件的结果，即可得出答案． 【详解】（1）因为一共有A，B，C三个通道，小明通过A通道刷脸的该概率为； 故答案为：； （2）列表如下： A B C A B C 一共有9种可能出现的结果，符合条件的有3种， 所以小明和小慧从同一个刷脸通道通过的概率是． 20．（6分）如图1所示，有一种单层绒布料子的台灯灯罩，灯罩的下面是空的．把这个灯罩抽象成一个几何体时，我们称之为圆台，它可以理解为把大的圆锥沿着平行于底面的圆面裁切掉上面的小圆锥得到的．如图2所示，现在要制作这种灯罩，若已知的直径，的直径，点、、共线，与、都垂直，，，请问制作一个这样的台灯的灯罩需要多少平方厘米的绒布？（接缝处的布料忽略不计，，结果保留整数） 【答案】制作一个这样的台灯的灯罩大约需要的绒布 【分析】本题主要考查了圆锥侧面积公式，圆的面积公式，勾股定理，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题关键．先运用勾股定理分别求出两个圆锥的母线长，将两个圆锥的侧面积相减即可得到灯罩的侧面积，再运用圆的面积公式求出灯罩上底面的面积，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴制作一个这样的台灯的灯罩大约需要的绒布. 21．（6分）化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求的值． 【答案】的值为6 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解题目中数量关系，掌握一元二次方程的运用是解题的关键． 小华第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，全班43名同学恰好都会做，由此数量关系列式即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：的值为6． 22．（8分）如图，是的直径，点为上一点，连接，点在的延长线上，点在上，过点作的垂线分别交的延长线于点，交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由等边对等角可得，由三角形外角的性质可得，由垂线的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由三角形的内角和定理可得，由切线的判定定理可得结论； （2）由（1）可得是的切线，由切线的性质定理可得，由垂线的性质可得，由等边对等角可得，由垂线的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，利用等式的性质可得，由对顶角相等可得，进而可得，由等角对等边即可得证． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又点在上， 是的切线； （2）证明：由（1）可得：是的切线， ， ， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，三角形的内角和定理，切线的判定定理，切线的性质定理，等式的性质，对顶角相等，等角对等边等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 23．（8分）为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 【答案】(1)小凤的跑步速度为每分钟； (2)小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【分析】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟，则小凤的跑步速度为每分．根据小鸣的跑步时间小凤的跑步时间列分式方程求解即可； （2）设小凤从地到地用时分钟，根据前30分钟消耗的热量分钟后的热量列方程解答即可． 【详解】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟，则小凤的跑步速度为每分， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， 原方程的解为， ∴小凤的跑步速度为每分钟， 答：小凤的跑步速度为每分钟； （2）由（1）知，小凤的跑步速度为每分， 则小凤从地到地所用时间为（分钟）． 设小凤从地到地用时分钟， 根据题意，得， 解得或（舍去）， 则（分钟）． 答：小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程与分式方程的应用，读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系是解题的关键． 24．（6分）如图，在中，，点在边上，满足，且点，分别在边，上． 求证：． 【答案】见解析． 【详解】由等边对等角得，由三角形的内角和定理，得到，即可得到结论成立． 【分析】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键：两个角对应相等，则这两个三角形相似；两边对应成比例，且它们的夹角相等，则这两个三角形相似． 25．（10分）赛龙舟是中国端午节最重要的一种节日民俗活动，一场赛龙舟活动中，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，水面的宽度为； 拱桥最高处到水面的距离为9米． (1)求桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）满足的二次函数解析式； (2)据调查，各参赛队所用龙舟均为活动主办方统一提供，每条龙舟宽度为9m．龙舟最高处距离水面；为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少为．问5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）是否可以同时通过桥洞？ 【答案】(1) (2)5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）不可以同时通过桥洞，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设顶点式，利用待定系数法求解； （2）依据题意，令，解方程求出的值，求出可设计赛道的宽度，再除以9得出可设计赛道的条数，从而判断5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）是否可以同时通过桥洞． 【详解】（1）解：由题意，抛物线的顶点，点， 设二次函数解析式为， 将点代入得， 解得， 二次函数解析式为； （2）解：由题意，当时，， 或． 可设计赛道的宽度为． ， 最多可设计龙舟赛道的数量为4条， 条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）不可以同时通过桥洞． 26．（12分）阅读材料：对于一个关于x的一元二次方程（其中，a、b、c为常数）的两根分别为，我们有如下发现：①若为整数，则这个一元二次方程的判别式一定为完全平方数；②满足韦达定理：即；③韦达定理也有逆定理，即如果两数和满足如下关系：，那么这两个数和是方程的两个根．例如：若实数a，b满足，那么a和b是方程的两个根，请应用上述材料解决以下问题： (1)若实数是关于x的一元二次方程的两个根． ①当时，则___________，___________； ②若均为整数且，求m的值； (2)已知实数p，q满足，求的值． 【答案】(1)①，；②13 (2)39 【分析】此题主要考查了材料的理解和应用，一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系，判别式的应用，理解和灵活应用韦达定理是解本题的关键． （1）①利用根与系数的关系求解即可； ②根据所给材料可知为完全平方数，结合可求出； （2）根据韦达定理的逆定理写出方程，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴当时，，， 故答案为：，； ②∵为整数 ∴上材料可知为完全平方数    即为完全平方数 ∵是整数，且 ∴只有当时满足条件． （2）解：∵， ， 又∵， 和可以看成是方程的两个根， 解方程得，或， ，或，， ①当，，和可以看作是方程的两根， 此时，符合题意， ； ②当，，和可以看作是方程的两根， 此时，方程无解，不符合题意； ． 27．（12分）在平面直角坐标系中，我们定义：直线为抛物线（，，为常数，）的“相依直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在轴上的三角形为抛物线的“相依三角形”．已知抛物线与其“相依直线”交于，两点（点在点的左侧），与轴负半轴交于点A． (1)填空：该抛物线的“相依直线”的函数表达式为______________，点A的坐标为_____________，点的坐标为______________； (2)抛物线的“相依直线”与轴交于点，反比例函数的图像上是否存在一点，使的面积最小，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图，为线段上一动点，将沿翻折得，点A的对应点为点，若为该抛物线的“相依三角形”，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)存在，，理由见详解 (3)或 【分析】（1）根据“相依直线”的定义直接求解即可得到相依直线，联立直线与抛物线求解即可得到点B的坐标，令解方程即可得到点A的坐标， （2）求出点C坐标，设点，列出与的函数关系，根据函数性质求解即可得到答案； （3）过作轴交轴于点，设，根据“相依三角形”得到点在y轴上，结合折叠得到相等，在及中利用勾股定理求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ∵， ∴抛物线的“相依直线”的函数表达式为：， 联立直线与抛物线得：， 解得：，， ∵点在点的左侧， ∴，， 当时，， 解得：，， ∴， 故答案为：，，； （2）解：存在，，理由如下， 设点且， 当时，， ∴， ∵， ， ∴ ∵， ∴，当时取等号， ∴，当时取等号， 即：时最小，最小值为：， ∴存在点G使的面积最小，； （3）解：过作轴交轴于点，设， ∵， ∴，， ∵沿翻折得， ∴，， ∵为该抛物线的“相依三角形”， ∴点或点Q在y轴上， 当点M在y轴上时， ∴是直角三角形， 在中， ， ∵轴， ∴，， ∴， 在中， ，， 解得：， ∴； 当点Q在y轴时， ∵点Q为线段上一点， ∴， 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，旋转的性质，新定义，勾股定理，直线与二次函数的交点问题，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键读懂新定义，转换成直线问题与勾股定理． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$