1.1.2 探索勾股定理 课件 2024--2025学年北师大版八年级数学上册

1.1.2 探索勾股定理 第一章 勾股定理 勾股定理： 如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么 . a b c 复习回顾（1分钟） 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 a2+b2=c2 学习目标（1分钟） 1.了解并领会割补的方法证明勾股定理. 2.会用勾股定理解决一些实际问题. 中考考点：应用勾股定理解实际问题 自学指导1（1分钟） 请认真阅看P4-5的内容, 解决以下几个问题: 1.如何利用四个全等的直角三角形拼成一个正方形,有几种方法？动手拼一拼。 学生自学，教师巡视（5分钟） 解：有两种，如图所示： 图 1 图 2 a b c a b c 你能用四个全等直角三角形拼成一个正方形，并能验证勾股定理的成立吗？ c a b a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴a2+b2=c2 大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为 (a+b)2 c2 + ab×4 ∵ (a+b)2 = c2 + ab×4 验证方法一：添补法(毕达哥拉斯证法) a b c =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 ∴ 大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为 c2 +(b-a)2 ab×4 ∵ c2= +(b- a)2 ab×4 你能用四个全等直角三角形拼成一个正方形，并能验证勾股定理的成立吗？ a2+b2=c2 验证方法二：分割法(赵爽弦图) a c a b 用“等面积法”验证 观察下图，用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2 。 延伸拓展 A B C A的面积 SA B的面积 SB C的面积 SC 图1 图2 A B C 图1 图2 8 9 29 5 8 9 钝角三角形：a2+b2 < c2 锐角三角形：a2+b2 > c2 如图是美国总统伽菲尔德Garfield于1876年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它验证勾股定理吗？说一说这个方法和本节探索的方法的联系。 自学检测1（5分钟） 解：由图可知，四边形为直角梯形， 由图可知，三个三角形均为直角三角形， 化简整理，得： ∴S梯形=2× ab +c2 =ab + c2 a2+b2=c2 ∴ (a+b)2=ab+c2 ∴S梯形= a+b)(a+b)= (a+b)2 自学检测1（5分钟） 1. 如图所示，由四个全等的直角三角形拼成的图中，直角边长分别为2和3，则大正方形的面积为　 　． 13 变式 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的斜边和较短的直角边长分别为5和3，则小正方形的面积为　 　． 1 又∵S梯形＝SⅠ+SⅡ+SⅢ＝ 　+ 　+ 　， 即S梯形＝ 2．如图，三个直角三角形（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）拼成一个直角梯形（两底分别为a、b，高为a+b），利用这个图形，小明验证了勾股定理．请你填写计算过程中留下的空格： S梯形＝ （上底+下底）•高＝ （a+b）•（a+b）， （　 　）① （　 　）② 即S梯形＝ 由①、②，得a2+b2＝c2． a2+2ab+b2 ab ab c² 2ab+c2 自学P5-6的内容, 解决以下问题: 1. 阅看例题（理解题意，掌握解题的思路方法） 2.完成P6”议一议”，思考：应用勾股定理要注意什么？ 自学指导2（1分钟） 必须在直角三角形中才能应用 学生自学，教师巡视（5分钟） 1.某工人拿一个2.5m的长的梯子，一头放在离墙1.5m处，另一头靠墙，以便去修理梯子另一头的有线电视分线盒（如图）．这个分线盒离地高 。 自学检测2（8分钟） 2m 2.(P6随堂练习)如图是某沿江路地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M,O,Q三城市的沿江高速，已知沿江高速的建设成本是5000万元/千米，该沿江高速的造价预计是多少？ 解：在Rt△MNO中，∠N=90° 由勾股定理，得 MO2=MN2+ON2=302+402=502 ∴MO=50千米 在Rt△OPQ中，∠P=90° 由勾股定理，得 OQ2=OP2+PQ2=502+1202=1302 ∴OQ=130千米 ∴5000×(50+130)=900000(万元)=90(亿元) 答：该沿江高速的造价预计是90亿元。 3.道路交通管理条例规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米处，过了2秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？ 小汽车 小汽车 B A观测点 C 解：这辆小汽车超速了．理由如下： 依题意，得 AB＝50m，AC＝30m 在Rt∆ABC中，∠C=90° 由勾股定理，得 BC2＝AB2-AC2＝160 ∴BC=40m ∴小汽车速度为40÷2＝20m/s＝72km/h ∵72km/h>70km/h ∴这辆小汽车超速了． 小结（2分钟） 勾股定理（直角三角形三边关系） a b c A B C ∵在Rt△ABC中，∠C=90° 由勾股定理，得 ∴a2+b2=c2 用“等面积法”验证 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 注意： 1.勾股定理只适用于直角三角形 2.在应用时式子的字母要根据实际的三角形各边的字母变化而变化 几何语言： 当堂训练（15分钟） 4.直角三角形中两边为5和12，则第三边的平方为____. 1.求下列图中所示线段x的长 8 15 12 (1) x (2) (3) 26 16 6 x x 6 24 ∟ ∟ ∟ ∟ ∟ 169或119 10 8 25 2.4 3.若在一直角三角形中一直角边与斜边分别为3、5，则其斜边上的高为______. 2.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为　 　． 3 6.如图,学校有一块长方形草坪,少数同学会图方便走“捷径”,在草坪内走出了一条“路”,他们仅仅少走____m 路却踩伤了花草. 5.“中国号” 帆船在中峡湾航行,由于风向的原因先向正东方向航行了3千米,然后向正南方向航行了4千米，这时它离出发点有(　　) A.5千米 B.5.2千米 C.4.5千米 D.6千米 A 2 7.(P18复习题11)一架云梯长25米，如图斜靠 在一面墙上，梯子底端离墙7米。 (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？ 7.(P18复习题11)一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米。 (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？ 解：如图，依题意，得AB=25m，OB=7m (1)在Rt△AOB中，∠0=90° 由勾股定理，得 AO2+OB2=AB2 即AO2+72=252 ∴AO=24米 ∴这个梯子的顶端距地面24m. (2)在Rt△COD中，OC=24-4=20m，CD=AB=25m， 由勾股定理，得 OC2+OD2=CD2 即202+OD2=252 ∴OD=15米 ∴BD=15-7=8米 ∴梯子的底部在水平方向滑动了8米。 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 2025/1/14 华美实验学校数学组 17 8.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，请你利用这个图形解决下列问题： （1）试说明a2+b2＝c2； （2）如果大正方形的面积是6，小正方形 的面积是2，求（a+b）2的值． 解(1)∵大正方形面积为c2， S△ABC=ab， S小正方形=(b-a)2 ∴c2=4×ab+(b-a)2 ∴c2=a2+b2 （2）由图可知，(b﹣a)2＝2，4×ab＝6﹣2＝4， ∴ab＝2， ∴(a+b)2＝（b﹣a）2+4ab＝10． 3 4 解：如图，在Rt△ABC中，∠B=90° 由勾股定理，得 AB²+BC²=AC² 32+42=25=52 ∴AC=5m ∴AB+BC=3+5=8m 答：旗杆折断之前有8米。 (P6习题1.2 T1)如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面3m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部4m处.旗杆折断之前有多高？ (P6习题1.2 T3)如图，某储藏室入口的截面是一个半径为1.2m的半圆形，一个长、宽、高分别是1.2m，1m，0.8m的箱子能放进储藏室吗？ A B C (P6习题1.2 T3)如图，某储藏室入口的截面是一个半径为1.2m的半圆形，一个长、宽、高分别是1.2m，1m，0.8m的箱子能放进储藏室吗？ 解：箱子能放进储藏室，理由如下： 如图，设CD为箱子宽度，点O为CD中点 过点C作AC⊥CD交半圆于点A 过点D作BD⊥CD交半圆于点B ∴CD=AB=1m，CO=DO=CD=0.5m 在Rt△AOC中，∠ACO=90°，AO=1.2m 由勾股定理，得 AC²=AO²-CO²=1.2²-0.5²=1.19 ∵0.8²=0.64 1.19＞0.64 ∴箱子能放进储藏室。 A B C D O （选做题） 1.在△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上的高AD=12， 求△ABC的周长____________。 2 2 42或32 2.一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞，如图所示，已知半圆的直径为2m，长方形的另一条边长是2.3m. (1)此卡车是否能通过桥洞?试说明你的理由. (2)为了适应车流量的增加，先把桥洞改为双行道，要使宽为1.2m，高为2.8m的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少增加到多少? 2.一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞，如图所示，已知半圆的直径为2m，长方形的另一条边长是2.3m. (1)此卡车是否能通过桥洞?试说明你的理由. 解:(1)卡车能通过桥洞，理由如下： 如图，设MN为卡车的宽度， 过点M作MC⊥MN交半圆于点C，交AB于点E 过点N作MD⊥MN交半圆于点D，交AB于点F 点O为EF中点，连接CO ∴MN=EF=1.6m，CO=1m ∴EO=FO=EF=0.8m 在Rt△CEO中，∠CEO=90° 由勾股定理，得 CE²=CO²-EO²=1²-0.8²=0.36 ∴CE=0.6m ∵CM=CE+EM=0.6+2.3=2.9(m) 2.9＞2.5 ∴卡车能通过桥洞。 A B C D O M N E F 2.一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞，如图所示，已知半圆的直径为2m，长方形的另一条边长是2.3m. (2)为了适应车流量的增加，先把桥洞改为双行道，要使宽为1.2m，高为2.8m的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少增加到多少? 解:(2)如图，要使卡车能安全通过 依题意，得 CM=DN=2.8m，CD=EO=MN=1.2m ∴CE=CM-EM=2.8-2.3=0.5m 在Rt△CEO中，∠CEO=90° 由勾股定理，得 CO²=CE²+EO²=0.5²+1.2²=1.69 ∴CO=1.3m ∴2CO=2×1.3=2.6(m) ∴桥洞的宽至少增加到2.6m. A C D O M N E 例1 我方侦查员小王在距离东西向公路400m处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m,10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗? 解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， 由勾股定理，得 AB2=BC2+AC2 即5002=BC2+4002, ∴BC=300 300÷10=30(m/s)=108(km/h) 答：敌方的汽车速度是108km/h. 板书设计 一、勾股定理的验证（等积法） 二、勾股定理的应用前提（直角三角形） 三、简单应用（知二求三） a b c $$