预习第02讲 空间向量的坐标表示12种常见考法归类-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

预习第02讲 空间向量的坐标表示12种常见考法归类 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性． 2.借助空间直角坐标系理解空间中点的坐标和向量的坐标的概念及坐标表示． 3.会用坐标表示空间向量的线性运算及数量积运算． 4.会利用空间向量运算的坐标表示解决一些简单的立体几何问题． 知识点1、空间向量基本定理 1、空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使. 2、基底与基向量：如果三个向量不共面，那么空间的每一个都可由向量线性表示，我们把称为空间的一个基底，都叫做基向量。 说明：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 知识点2、空间向量的正交分解 1、单位正交基底：如果空间一个基底的三个向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底， 特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底， 通常用表示。 2、正交分解：把一个空间向量分解成三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正角分解。 知识点3、空间直角坐标系 (1)在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴．这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz． (2)在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两垂直的，它们都称为坐标轴，通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面． (3)z轴正方向的确定：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合． (4)空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直． (5)空间中一点的坐标：空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，其中x叫做点M的横坐标(或x坐标)，y叫做点M的纵坐标(或y坐标)，z叫做点M的竖坐标(或z坐标)． 知识点4、空间中向量的坐标 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)．其中x，y，z都称为p的坐标分量． 知识点5、空间向量的坐标运算 (1)空间向量a，b，其坐标形式为：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)， a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)， λa＝(λa1，λa2，λa3)， a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. (2)a·a＝|a|2＝. 知识点6、空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a∥b a＝λb(λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos 〈a，b〉＝ cos 〈a，b〉＝ 知识点7、空间向量坐标的应用 (1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP＝． (2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离P1P2＝． 考点一：对空间向量基本定理的认识 例1．下列说法正确的是（ ） A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B．空间的基底有且仅有一个 C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D．直线的方向向量有且仅有一个 【变式1-1】【多选】下列结论正确的是（ ） A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面 B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 C．若，是两个不共线的向量，且,且，则，，构成空间的一个基底 D．若，，不能构成空间的一个基底，则，，，四点共面 【变式1-2】已知是空间的一个基底，则可以和构成空间的另一个基底的向量为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【变式1-4】已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 考点二：用基底表示空间向量问题 例2.如图，在平行六面体中，已知，，，则用向量，，可表示向量为（    ）    A． B． C． D． 【变式2-1】已知空间四边形，其对角线、，、分别是边、的中点，点在线段上，且使，用向量做基底，则向量可表示为（    ）    A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在三棱柱中，若，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】在空间四边形中，，，，点M在上，且，N为的中点，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-4】如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则（    ） A． B． C． D． 考点三：空间向量基本定理的应用 例3.已知四面体是的重心，若，则（    ） A．4 B． C． D． 【变式3-1】已知四棱柱的底面是平行四边形，点E在线段DC上满足，，则（　　） A．- B． C． D． 【变式3-2】已知是一个空间的基底，向量，，，，若则x，y，z分别为（ ）． A．，， B．，1， C．，1， D．，1， 【变式3-3】在正方体中，P为的中点，E为的中点，F为的中点，O为EF的中点，直线PE交直线于点Q，直线PF交直线于点R，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-4】如图，在平行六面体中，设，，，E，F分别是的中点. (1)用向量表示； (2)若，求实数x，y，z的值. 考点四：空间直角坐标系及空间中点与向量的坐标表示 例4.已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知在直三棱柱中，，，建立适当的空间直角坐标系，求向量，，的坐标． 【变式4-2】如图，在棱长为1的正方体中，E， F分别是的中点，点G在棱CD上，且， H是的中点．以D为坐标原点，所在直线分别为 x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求向量和的坐标． 【变式4-3】已知直线经过，两点，直线上一点，使得，则点坐标 ． 【变式4-4】在空间直角坐标系中，若平行四边形ABCD的顶点，则顶点D的坐标为 ． 考点五：空间向量的坐标运算 例5.若向量，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知点，直线DE平行所在的平面，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知，且共面，则 ． 【变式5-3】已知，若，则的坐标是 . 考点六：空间点的对称问题 例6.在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知点，点A关于x轴的对称点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式6-2】在空间直角坐标系中，已知点．给出下列命题： ①点关于轴的对称点的坐标为； ②点关于平面的对称点的坐标为； ③点关于轴的对称点的坐标为； ④点关于原点的对称点的坐标为． 其中真命题的个数是． A． B． C． D． 考点七：空间向量平行的坐标表示及应用 例7.与向量共线的单位向量为 . 【变式7-1】）已知向量，，且与平行，则 . 【变式7-2】已知向量，，若，则m，n满足的关系式为 ． 【变式7-3】若三点共线，则 ． 考点八：空间向量数量积的坐标表示 例8.已知向量，则（    ） A． B． C．4 D．10 【变式8-1】已知，，则（    ） A． B． C．9 D．19 【变式8-2】我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，，则（    ） A． B．3 C．2 D．5 【变式8-3】已知向量，，若，则k的值等于（ ） A．1 B． C． D． 考点九：空间向量垂直的坐标表示 例9.已知向量，若，（ ） A．1 B．2 C．4 D．6 【变式9-1】已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式9-2】，若，则实数值为 . 【变式9-3】已知向量，，且与互相垂直，则实数 . 考点十：空间向量的夹角的坐标计算 例10.已知，则向量与的夹角为 ． 【变式10-1】已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】已知，，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是 . 【变式10-3】已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 . 【变式10-4】已知空间中三点，，. (1)求； (2)求中边上中线的长度. 考点十一：空间向量的模长的坐标计算 例11.设空间向量则（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【变式11-1】已知，，若点共线，则（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】设，，，，且，，则（    ） A． B． C．3 D． 【变式11-3】已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 【变式11-4】如图，在棱长为1的正方体中，M为的中点，，分别在棱，上，，．求的长． 【变式11-5】在直三棱柱中，，，已知和分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式11-6】如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 考点十二：空间投影向量的坐标计算 例12.已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量的模为（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】已知向量，，则向量在向量上的投影向量（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】已知向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】如图，在三棱锥中，平面，，且，则在方向上的投影向量为（    ）      A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）已知点关于轴的对称点为A，则等于（    ） A． B． C． D．2 2．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）已知，，，若，，共面，则为（   ） A． B．3 C． D．9 3．（24-25高二上·天津·期末）已知，则（    ） A．2 B． C．3 D． 4．（24-25高二上·辽宁·期末）已知空间向量，（其中，），若，则最小值是（   ） A． B． C．2 D． 5．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二上·河北邢台·期中）若为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·北京朝阳·期末）如图，在三棱柱中，分别为棱的中点.设，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·北京东城·期末）已知向量，，若，则实数k的值为（   ） A．6 B．2 C． D． 9．（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知平面向量，若互相垂直且至少有一个为单位向量，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．或1 10．（20-21高二·全国·课后作业）已知是空间的一个基底，向量，，，若能作为基底，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）记空间中的一些点构成的集合为为原点，且对任意，都存在不全为零的实数，使得，若，则下列结论可能成立的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 二、多选题 12．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（    ） A．点与点关于z轴对称 B．点与点关于y轴对称 C．点与点关于平面对称 D．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分 13．（2024高二·全国·专题练习）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量共面 14．（24-25高二上·山东·期中）已知是空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）已知向量，，则（   ） A． B． C．向量的夹角的余弦值为 D．若向量（为实数），则 三、填空题 16．（24-25高二上·吉林·期末）已知空间向量，，则 . 17．（24-25高二下·全国·随堂练习）如图，在长方体中，设，，是的中点，则与的夹角为 ， ．    18．（24-25高二下·全国·课堂例题）画一个正方体，若以为坐标原点，分别以有向直线，，为轴、轴、轴的正方向，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则 ①顶点的坐标分别为 ； ②棱中点的坐标为 ； ③正方形对角线的交点的坐标为 . 19．（24-25高二上·上海黄浦·期末）给定点，则在方向上的数量投影为 . 20．（24-25高二上·北京东城·期末）已知均为空间向量，其中，，，若从这4个向量中任取3个向量，均能构成空间中的一组基底，则向量的坐标可以为 ． 四、解答题 21．（24-25高二下·全国·课前预习）已知，. (1)求取最小值时两点的坐标. (2)求此时的． 22．（24-25高二下·全国·课堂例题）在空间直角坐标系中，已知，在轴上是否存在点，使为等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 23．（24-25高二下·全国·课堂例题）如图，四棱锥的底面为矩形，平面，设，，，，分别是和的中点，试用，，表示，，，，并分别指出它们在这组基下的坐标. 24．（24-25高二上·青海西宁·阶段练习）（1）已知空间向量，求； （2）已知，若，求实数的值 25．（24-25高二上·天津武清·期中）已知，，，，． (1)求； (2)若，求实数，的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习第02讲 空间向量的坐标表示12种常见考法归类 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性． 2.借助空间直角坐标系理解空间中点的坐标和向量的坐标的概念及坐标表示． 3.会用坐标表示空间向量的线性运算及数量积运算． 4.会利用空间向量运算的坐标表示解决一些简单的立体几何问题． 知识点1、空间向量基本定理 1、空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使. 2、基底与基向量：如果三个向量不共面，那么空间的每一个都可由向量线性表示，我们把称为空间的一个基底，都叫做基向量。 说明：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 知识点2、空间向量的正交分解 1、单位正交基底：如果空间一个基底的三个向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底， 特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底， 通常用表示。 2、正交分解：把一个空间向量分解成三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正角分解。 知识点3、空间直角坐标系 (1)在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴．这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz． (2)在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两垂直的，它们都称为坐标轴，通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面． (3)z轴正方向的确定：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合． (4)空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直． (5)空间中一点的坐标：空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，其中x叫做点M的横坐标(或x坐标)，y叫做点M的纵坐标(或y坐标)，z叫做点M的竖坐标(或z坐标)． 知识点4、空间中向量的坐标 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)．其中x，y，z都称为p的坐标分量． 知识点5、空间向量的坐标运算 (1)空间向量a，b，其坐标形式为：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)， a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)， λa＝(λa1，λa2，λa3)， a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. (2)a·a＝|a|2＝. 知识点6、空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a∥b a＝λb(λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos 〈a，b〉＝ cos 〈a，b〉＝ 知识点7、空间向量坐标的应用 (1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP＝． (2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离P1P2＝． 考点一：对空间向量基本定理的认识 例1．下列说法正确的是（ ） A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B．空间的基底有且仅有一个 C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D．直线的方向向量有且仅有一个 【答案】C 【解析】对于A，任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，所以A错误，B错误； 对于C，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，C正确； 对于D，直线的方向向量有无数个，所以D错误.故选：C 【变式1-1】【多选】下列结论正确的是（ ） A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面 B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 C．若，是两个不共线的向量，且,且，则，，构成空间的一个基底 D．若，，不能构成空间的一个基底，则，，，四点共面 【答案】ABD 【解析】对于选项A：三个非零向量能构成空间的一个基底， 则三个非零向量不共面，所以选项A正确， 对于选项B：三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底， 若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面， 则已知的两个向量共线，所以选项B正确， 对于选项C：、且、， ，，共面，不能构成基底，所以选项C错误， 对于选项D：、、共起点，若、、、四点不共面， 则必能作为空间的一个基底，所以选项D正确，故选：ABD． 【变式1-2】已知是空间的一个基底，则可以和构成空间的另一个基底的向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基底的概念及空间向量的共面定理一一分析即可. 【详解】易知：，则与共面， 同理，， 即、均与共面， 所以A、B、D三项均不能和构成空间的另一个基底，故A、B、D错误； 设，显然无法成立，即与不共面，故C正确. 故选：C 【变式1-3】若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据向量共面列方程，化简求得的值. 【详解】由于，，所以不共线， 由于不能构成空间的一个基底， 所以存在使得，即 ， 所以，解得. 故选：B 【变式1-4】已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到两两垂直，再根据其长度得到空间的一个单位正交基底. 【详解】因为平面，平面， 所以，． 因为,即两两垂直， 又，，， 所以空间的一个单位正交基底可以为． 故选：B. 考点二：用基底表示空间向量问题 例2.如图，在平行六面体中，已知，，，则用向量，，可表示向量为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在平行六面体中，， 所以 故选：D. 【变式2-1】已知空间四边形，其对角线、，、分别是边、的中点，点在线段上，且使，用向量做基底，则向量可表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， ． 故选：D. 【变式2-2】如图，在三棱柱中，若，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的线性运算和空间向量基本定理求解. 【详解】解：， 故选：C 【变式2-3】在空间四边形中，，，，点M在上，且，N为的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 因为N为的中点，所以， 所以 ,故选：A 【变式2-4】如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 则有： 故选：C. 考点三：空间向量基本定理的应用 例3.已知四面体是的重心，若，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，根据空间向量线性运算法则及空间向量基本定理计算可得. 【详解】取的中点， 所以 ， 又， 可得，所以. 故选：B. 【变式3-1】已知四棱柱的底面是平行四边形，点E在线段DC上满足，，则（　　） A．- B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，集合空间基底向量表示，以及空间向量线性运算，即可求解． 【详解】因为点在线段上满足, 由向量的运算法则，可得， 因为，所以， 所以. 故选：A. 【变式3-2】已知是一个空间的基底，向量，，，，若则x，y，z分别为（ ）． A．，， B．，1， C．，1， D．，1， 【答案】A 【解析】 ， ，解得,故选：A 【变式3-3】在正方体中，P为的中点，E为的中点，F为的中点，O为EF的中点，直线PE交直线于点Q，直线PF交直线于点R，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记，，， 则，解得 又 所以 整理得．故选：B 【变式3-4】如图，在平行六面体中，设，，，E，F分别是的中点. (1)用向量表示； (2)若，求实数x，y，z的值. 【解析】（1）在平行六面体中， ， 由E，F分别是的中点，得. （2）， 而，且不共面， 所以. 考点四：空间直角坐标系及空间中点与向量的坐标表示 例4.已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，结合向量坐标的意义即可求解. 【分析】因为向量在基底下的坐标为， 可得， 所以向量在基底下的坐标为. 故选：B. 【变式4-1】已知在直三棱柱中，，，建立适当的空间直角坐标系，求向量，，的坐标． 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设，，， 可得， ， ． 【变式4-2】如图，在棱长为1的正方体中，E， F分别是的中点，点G在棱CD上，且， H是的中点．以D为坐标原点，所在直线分别为 x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求向量和的坐标． 【解析】由已知可得点， ，， . 因为H是的中点，所以H点坐标为. 故，. 【变式4-3】已知直线经过，两点，直线上一点，使得，则点坐标 ． 【答案】 【解析】设，则，， ∴由得：， ∴，解得：， ∴点坐标为：. 故答案为：. 【变式4-4】在空间直角坐标系中，若平行四边形ABCD的顶点，则顶点D的坐标为 ． 【答案】 【解析】设D的坐标为， 平行四边形ABCD的顶点， 故，即， 则，即D的坐标为， 故答案为： 考点五：空间向量的坐标运算 例5.若向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的坐标运算求得正确答案. 【详解】由，，得. 故选：C 【变式5-1】已知点，直线DE平行所在的平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意设，从而得到方程组，求出答案. 【详解】， 由已知可得，所以， 所以，解得. 故选：D 【变式5-2】已知，且共面，则 ． 【答案】/0.8 【解析】由题意知，共面， 则存在实数使得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 【变式5-3】已知，若，则的坐标是 . 【答案】 【解析】因为，设 则， 所以， 则， 即. 故答案为： 考点六：空间点的对称问题 例6.在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在空间直角坐标系中， 点关于原点的对称点坐标为．故选：C． 【变式6-1】已知点，点A关于x轴的对称点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】空间点关于轴对称，横坐标不变，另外两个坐标相反， 所以关于轴的对称点为.故选：B 【变式6-2】在空间直角坐标系中，已知点．给出下列命题： ①点关于轴的对称点的坐标为； ②点关于平面的对称点的坐标为； ③点关于轴的对称点的坐标为； ④点关于原点的对称点的坐标为． 其中真命题的个数是． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】①点关于轴的对称点的坐标为，故错误； ②点关于平面的对称点的坐标为，故错误； ③点关于轴的对称点的坐标为，故错误； ④点关于原点的对称点的坐标为，故错误．故选D. 考点七：空间向量平行的坐标表示及应用 例7.与向量共线的单位向量为 . 【答案】或 【分析】由向量共线和单位向量的特征，列方程求解. 【详解】设与向量共线的单位向量为，则解得或 所以与向量共线的单位向量为. 故答案为：或 【变式7-1】）已知向量，，且与平行，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，由空间向量平行的坐标公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】，， 因为与平行，所以当时，，解得； 当时，，. 综上，. 故答案为： 【变式7-2】已知向量，，若，则m，n满足的关系式为 ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】，，， 则存在实数，使， 即，可得m，n满足的关系式为或等 故答案为：（答案不唯一）. 【变式7-3】若三点共线，则 ． 【答案】 【解析】，且三点共线， 存在实数，使得． 即， 解得 故答案为：. 考点八：空间向量数量积的坐标表示 例8.已知向量，则（    ） A． B． C．4 D．10 【答案】D 【分析】利用空间向量的数量积的坐标运算即可. 【详解】因为向量， 所以， 故选：D 【变式8-1】已知，，则（    ） A． B． C．9 D．19 【答案】B 【分析】由空间向量的数量积坐标公式即可求得结果. 【详解】因为，，所以， 则. 故选：B 【变式8-2】我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，，则（    ） A． B．3 C．2 D．5 【答案】B 【分析】根据题意建立空间直角坐标系计算求解即可. 【详解】因为平面，平面， 所以， 又因为四边形是矩形，所以， 以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，则， 所以，，所以． 故选：B 【变式8-3】已知向量，，若，则k的值等于（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知得=，2，且， 所以得， 即2k+8k=2，解得k=.故选：D 考点九：空间向量垂直的坐标表示 例9.已知向量，若，（ ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【解析】∵，若， 则，即．故选：C 【变式9-1】已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 与垂直，则,，解得， ，，故选：C． 【变式9-2】，若，则实数值为 . 【答案】2 【分析】由向量线性运算的坐标表示，和向量垂直的坐标表示，求实数的值. 【详解】，则， 又，则，解得. 故答案为：2 【变式9-3】已知向量，，且与互相垂直，则实数 . 【答案】 【分析】应用向量线性运算坐标表示求、，根据垂直关系的坐标表示列方程求参数. 【详解】由题设，， 所以，即. 故答案为： 考点十：空间向量的夹角的坐标计算 例10.已知，则向量与的夹角为 ． 【答案】 【分析】根据向量的夹角公式求得正确答案. 【详解】， 则为锐角，所以. 故答案为： 【变式10-1】已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，得到，再利用，即可求出结果. 【详解】由， 得到， 所以， 故选：A. 【变式10-2】已知，，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意得且不共线， 所以，解得：且． 故实数t的取值范围为． 故答案为：. 【变式10-3】已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，利用向量的夹角公式，求得，再由向量与所成角为锐角，得到，求得，当向量与共线时，求得，即可得到实数的范围. 【详解】由向量，，可得， 因为，可得，解得， 所以，所以与， 又因为向量与所成角为锐角， 所以，解得， 若向量与共线，则，解得， 所以实数的范围是. 故答案为：. 【变式10-4】已知空间中三点，，. (1)求； (2)求中边上中线的长度. 【解析】（1）由题，，， . （2）设边的中点为，则点的坐标为，又， ， . 所以边的中线长为. 考点十一：空间向量的模长的坐标计算 例11.设空间向量则（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算法则计算差向量，再由模长公式计算即得. 【详解】由可得， 故. 故选：D. 【变式11-1】已知，，若点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点共线，所以与共线， 所以，解得，， 故，， . 故选：C. 【变式11-2】设，，，，且，，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据向量的平行和垂直的坐标表示，列式计算，可求得向量的坐标，从而可得的坐标，根据向量模的计算公式，即可得答案. 【详解】因为，且， 所以，解得， 所以， 又因为，且， 所以，所以， 所以， 所以， 故选：D. 【变式11-3】已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】因为，，，所以，， 则，，，所以， 又因为，所以， 则以，为邻边的平行四边形的面积. 故选：D 【变式11-4】如图，在棱长为1的正方体中，M为的中点，，分别在棱，上，，．求的长． 【答案】 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系， 则点的坐标为，点的坐标为． 于是． 【变式11-5】在直三棱柱中，，，已知和分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在直三棱柱中，底面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴 建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，设点、， ，， 由于，则，可得， ，则， ，故选：A． 【变式11-6】如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】三棱锥中，过作平面，由，知， 以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系，如图， 由平面，得，则， 令，则，设， 于是， 当且仅当时取等号，所以线段的最小值为. 故选：B 考点十二：空间投影向量的坐标计算 例12.已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量的模为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意求出，，结合投影向量的计算公式即可求解. 【详解】向量，， ，， 向量在向量方向上的投影向量的模为. 故选：D. 【变式12-1】已知向量，，则向量在向量上的投影向量（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用投影向量的定义即可求解. 【详解】因为向量，， 所以向量在向量上的投影向量． 故选：A 【变式12-2】已知向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由投影向量的概念求解即可. 【详解】∵， ∴，， ∴在上的投影向量为， 故选：C. 【变式12-3】如图，在三棱锥中，平面，，且，则在方向上的投影向量为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为坐标原点，所在直线为建立空间直角坐标系,从而在方向上的投影向量，即在轴正方向上的投影向量. 【详解】∵平面,， ∴,, 故以为坐标原点，所在直线为建立空间直角坐标系，令.    则， 则， ∴在方向上的投影向量，即在轴正方向上的投影向量为. 故选：C. 一、单选题 1．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）已知点关于轴的对称点为A，则等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】由点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式即可求解. 【详解】点关于轴的对称点为， 所以. 故选：C 2．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）已知，，，若，，共面，则为（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】C 【分析】根据空间向量共面定理设（），依题列出方程组，求解即得. 【详解】因，，共面，可设（）， 即， ，解得． 故选：C. 3．（24-25高二上·天津·期末）已知，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据向量加减与模长的坐标表示求解即可. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C 4．（24-25高二上·辽宁·期末）已知空间向量，（其中，），若，则最小值是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由得，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，且，则， 所以，即， 所以， 当且仅当时等号成立. 故选：D. 5．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令和的夹角为，根据投影向量的定义直接求解即可. 【详解】令和的夹角为， 则， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：C 6．（22-23高二上·河北邢台·期中）若为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间基底的概念逐个判断即可. 【详解】对于，因为，所以向量，，是共面向量，因此这三个向量不能构成基底，故A错误； 对于B，因为为空间的一个基底，所以这三个向量不共面，若不构成一个基底， 则有，即，所以向量，，是共面向量， 这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此能构成一个基底，故B正确； 对于C，因为，所以向量，，是共面向量，因此这三个向量不能构成一个基底，故C错误； 对于D，因为，所以向量，，是共面向量，因此这三个向量不能构成一个基底，故D错误. 故选：B. 7．（24-25高二上·北京朝阳·期末）如图，在三棱柱中，分别为棱的中点.设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据几何体，结合向量的线性运算，即可求解. 【详解】. 故选：A 8．（24-25高二上·北京东城·期末）已知向量，，若，则实数k的值为（   ） A．6 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量平行的坐标表示，即可求解. 【详解】因为，， 所以，所以，. 故选：D 9．（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知平面向量，若互相垂直且至少有一个为单位向量，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．或1 【答案】B 【分析】利用向量垂直的坐标表示以及向量的模长的坐标表示求解即可. 【详解】因为，所以，解得或， 当时，，，，，满足题意； 当时，，， ，，不合题意， 所以. 故选：B. 10．（20-21高二·全国·课后作业）已知是空间的一个基底，向量，，，若能作为基底，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量基底的定义，结合共面向量定理进行求解即可. 【详解】若共面，由共面向量定理知，存在实数x，y，使得， 即． 因为，，不共面，所以，，， 解得，，，即当时，， 此时不能作为基底，所以若能作为基底， 则实数满足的条件是． 故选：B. 11．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）记空间中的一些点构成的集合为为原点，且对任意，都存在不全为零的实数，使得，若，则下列结论可能成立的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】B 【分析】根据题意，利用，逐项得到关于的方程组，检验是否满足题意即可得解. 【详解】对于A选项，设，，， 设存在实数，，使得， 即， 则，解得，不满足条件，故A错误； 对于B选项，设，，， 设存在实数，，使得， 即， 则，令，则，， 满足存在不全为零的实数，，的条件，故B正确； 对于C选项，设，，， 设存在实数，，使得， 即， 则，解得，不满足条件，故C错误； 对于D选项，设，，， 设存在实数，，使得， 即， 则，解得，不满足条件，故D错误； 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是理解题设给出的定义，从而逐项列式检验即可得解. 二、多选题 12．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（    ） A．点与点关于z轴对称 B．点与点关于y轴对称 C．点与点关于平面对称 D．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分 【答案】BD 【分析】结合空间直角坐标系的概念对选项逐一分析即可. 【详解】点与点关于x轴对称，故错误； 点与关于y轴对称，故正确； 点与不关于平面对称，故错误； 空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，故正确． 故选：. 13．（2024高二·全国·专题练习）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量共面 【答案】BD 【分析】利用空间向量夹角公式计算判断A；利用向量垂直的充要条件计算判断B；利用投影向量计算公式判断C；利用共面向量基本定理判断D. 【详解】对于A，，则， 而，因此，A错误； 对于B，，则，，B正确； 对于C，向量在向量上的投影向量为：，C错误； 对于D，由向量，得，向量与向量共面，D正确. 故选：BD 14．（24-25高二上·山东·期中）已知是空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据空间向量共面定理，逐一分析选项即可. 【详解】对于A，因为，所以共面，故A正确； 对于B，因为，所以共面，故B正确； 对于C，假设存在，，使得， 则，显然无解，所以不共面，故C错误； 对于D，因为，所以共面，故D正确. 故选：ABD. 15．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）已知向量，，则（   ） A． B． C．向量的夹角的余弦值为 D．若向量（为实数），则 【答案】BC 【分析】根据空间向量的坐标，利用向量共线，夹角的计算公式即可判断A,C;利用向量模长公式和空间向量基本定理即可判断B,D. 【详解】对于A，由，可知与不共线，故A错误； 对于B，由，，可得，故B正确； 对于C，因，故，故C正确； 对于D，由且，可得，，故,故D错误． 故选：BC. 三、填空题 16．（24-25高二上·吉林·期末）已知空间向量，，则 . 【答案】 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示计算． 【详解】因为，所以，所以. 故答案为：． 17．（24-25高二下·全国·随堂练习）如图，在长方体中，设，，是的中点，则与的夹角为 ， ．    【答案】 / 1 【分析】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，写出和得到数量积，利用公式得到夹角. 【详解】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，    则，，，， ，， 所以， ，， 所以， 因为，所以. 故答案为：；. 18．（24-25高二下·全国·课堂例题）画一个正方体，若以为坐标原点，分别以有向直线，，为轴、轴、轴的正方向，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则 ①顶点的坐标分别为 ； ②棱中点的坐标为 ； ③正方形对角线的交点的坐标为 . 【答案】 ， 【分析】根据线段长度写出点的坐标，再根据中点坐标公式写出中点坐标. 【详解】    如图，，，，， 所以中点， 因为四边形为正方形，所以对角线的交点即为的中点， 由，得中点， 故答案为：，；；. 19．（24-25高二上·上海黄浦·期末）给定点，则在方向上的数量投影为 . 【答案】 【分析】根据向量投影的定义及数量积、模长的坐标表示求在方向上的数量投影. 【详解】由题设，， 所以. 故答案为： 20．（24-25高二上·北京东城·期末）已知均为空间向量，其中，，，若从这4个向量中任取3个向量，均能构成空间中的一组基底，则向量的坐标可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题意得可以构成空间的单位正交基底，设，则，根据空间向量基本定理及平面向量基本定理可得结果. 【详解】∵，，，∴， ∴， ∴可以构成空间的单位正交基底， 设，则， ∵从这4个向量中任取3个向量，均能构成空间中的一组基底， ∴与中的任意两个向量均不共面， 根据平面向量基本定理可得均不为零， ∴向量的坐标可以为（答案不唯一）. 故答案为：（答案不唯一）. 四、解答题 21．（24-25高二下·全国·课前预习）已知，. (1)求取最小值时两点的坐标. (2)求此时的． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用空间两点间距离公式，结合二次函数的对称轴及最值即可求解； （2）由（1）的结论，利用空间两点间距离公式即可求解. 【详解】（1）由空间两点间的距离公式， 得， ， 当时，有最小值， ，. （2）由（1）得， 即此时. 22．（24-25高二下·全国·课堂例题）在空间直角坐标系中，已知，在轴上是否存在点，使为等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】存在；或． 【分析】设，由建立方程求解，验证三边相等即可得. 【详解】由题意知，, 假设在轴上存在点，使为等边三角形． 则， 所以有， 解得． 此时，， 故，为等边三角形，满足题意. 故轴上存在点，使为等边三角形，此时点的坐标为或． 23．（24-25高二下·全国·课堂例题）如图，四棱锥的底面为矩形，平面，设，，，，分别是和的中点，试用，，表示，，，，并分别指出它们在这组基下的坐标. 【答案】答案见解析 【分析】连接，结合图形利用向量的线性运算可以表示出，，，，并直接写出它们在这组基下的坐标. 【详解】连接，如图所示， 则， 在基下的坐标为. ， 在基下的坐标为. ， 在基下的坐标为. ， 在基下的坐标为. 24．（24-25高二上·青海西宁·阶段练习）（1）已知空间向量，求； （2）已知，若，求实数的值 【答案】（1）  （2）. 【分析】（1）求出向量的坐标，由坐标计算模长. （2）分别用坐标表示出两个向量，由向量垂直则数量积为0建立等量关系，从而求出参数的值. 【详解】（1），所以 （2）∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得. 25．（24-25高二上·天津武清·期中）已知，，，，． (1)求； (2)若，求实数，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算，利用数量积的计算公式，可得答案； （2）根据平行向量的坐标表示，建立方程组，可得答案. 【详解】（1），， ，， ； （2） 因为，所以设， 即，故，解得. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$