山东省菏泽市2024-2025学年高二上学期期末复习数学试卷

山东省菏泽市高二数学期末复习试卷 一、单选题 1．已知数列的前几项为：，则该数列的一个通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线是双曲线的一条渐近线，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．16 3．已知曲线上任意一点都满足关系式，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 5．已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（    ） A．是一个半径为的圆 B．是一条与相交的直线 C．上的点到的距离均为. D．是两条平行直线 6．已知F是椭圆的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若，且，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左、右焦点分别，.A是C上一点（在第一象限），直线与轴y交于点B，若，且，则C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 8．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为上的一点，垂直于轴，为轴上一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列数列中，为递增数列的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在正方体中，为底面的中心，E，F分别为，的中点，P点满足，则（    ） A．平面 B．平面 C． D．P，G，E，F四点共面 11．星形线或称为四尖瓣线，是一个有四个尖点的内摆线.已知星形线上的点到轴的距离的最大值为1，则（    ） A． B．上的点到原点的距离的最大值为1 C．上的点到原点的距离的最小值为 D．当点在上时， 三、填空题 12．已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，，则的最小值为. 13．数列满足，则. 14．已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是. 四、解答题 15．在等比数列的前项和中，最小，且，前项和，求和公比 16．已知圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点． (1)求圆C的标准方程； (2)求过点且被圆C截得的弦长为的直线方程． 17．如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线． (1)证明：平面； (2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值． 18．已知正项数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 19．双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形． (1)求双曲线的方程； (2)、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围． 答案第2页，共2页 答案第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东省菏泽市高二数学期末复习试卷答案 1．B 【分析】根据题意，分析数列前项的规律，用表示即可得答案. 【详解】根据题意，数列的前几项为：…， 即，，，， 故数列的一个通项公式可以为. 故选：B. 2．B 【分析】根据双曲线的渐近线方程求解. 【详解】由双曲线可知，渐近线方程为， 又直线是其中一条渐近线， 所以，即， 故选：B 3．C 【分析】利用椭圆的定义判断得曲线为椭圆，进而求得，从而得解. 【详解】因为点都满足， 所以到两定点的距离之和为，且， 所以曲线为椭圆，焦点为，则， 且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为，即， 故， 所以曲线的标准方程为. 故选：C 4．B 【分析】先利用已知条件求得，再利用均值定理即可求得的最大值. 【详解】由及A，B，C，D四点共面得：， 即，又，， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：B 5．C 【分析】设，由可得点坐标，由在直线上，将点坐标代入，得轨迹，结合选项即可得出正确答案. 【详解】设，由，则， 由在直线上，故， 化简得，即的轨迹为直线且与直线平行， 上的点到的距离，故A、B、D错误，C正确. 故选：C. 6．D 【分析】设椭圆右焦点为，连接，，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，从而结合椭圆定义利用对称性求得，，由余弦定理得，即可求解离心率. 【详解】设椭圆右焦点为，连接，， 根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则， 因为，可得，所以， 则，， 由余弦定理可得， 即，即，故椭圆离心率． 故选：D 7．C 【分析】根据双曲线的定义和勾股定理，结合余弦定理和建立关于，的方程，即可求解. 【详解】如图： 设，则，因为， 所以，根据双曲线的定义：， 因为，由勾股定理得：， 所以，则，，. 在中，. 在中，. 因为，，所以， 从而， 即， 所以， 所以双曲线渐近线的方程为：. 故选：C. 8．B 【分析】依题作出图形，结合条件可求得，利用三角形相似列出方程即可求得. 【详解】 如图，由可得点，因垂直于轴，则可取， 又，则易得，则， 即，也即，因，故得. 故选：B. 9．AD 【分析】利用数列的单调性的定义逐项判断即可. 【详解】对于A.，所以， 所以为递增数列，故A正确； 对于B，，所以为递减数列，故B错误； 对于C，因为，则，，所以不单调，故C错误； 对于D，，所以，所以为递增数列，故D正确. 故选：AD. 10．ABD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算判断ABC；求出点坐标，再推导出判断D. 【详解】在正方体中，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则，， 则，，，， 设平面的法向量，则，令，得， 对于A，，且平面，则平面，A正确； 对于B，，平面，则平面，B正确； 对于C，，，，， 则，C错误； 对于D，由，得， 即，则，，即， 因此，即四点共面，D正确. 故选：ABD. 11．ABD 【分析】令得，即可求解AB，根据基本不等式即可求解CD. 【详解】对于A，∵星形线上的点到轴的距离的最大值为1，令得，∵，可得，故A正确； 对于B，由图可得上的点到原点的距离的最大值为1，故B正确； 对于C，设点在上，则，∵ ， 当且仅当等号成立，即星形线上的点到原点距离的最小值为，故C错误； 对于D，当点在上时，∵，得， 当且仅当等号成立，即星形线上的点到，轴距离的乘积的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 12．4 【分析】利用抛物线的定义求解. 【详解】解：如图所示： 设点M在准线上的射影为D， 由抛物线的定义知， ∴要求的最小值，即求的最小值， 当D，M，P三点共线时，最小， 最小值为. 故答案为：4 13． 【分析】当时求出，当时，得到，作差即可得到，再检验时是否满足，即可得解； 【详解】因为， 当时，， 当时，， 则得：， 所以， 当时，不成立，所以． 故答案为：. 14．4 【分析】利用坐标法，根据空间向量数量积的坐标运算，向量线性运算，不等式思想即可求解． 【详解】是空间相互垂直的单位向量， 设，，设， 又，， 又， ， ，其中， ， ， 当且仅当时取得等号， 的最小值是4． 故答案为：4． 15．. 【分析】先利用性质得出，再与联立可解得，的值，然后利用前项公式求出和公比. 【详解】解：因为为等比数列，所以， ，因为，所以解得. 依题意知. . 所以综上：. 16．(1)； (2)或. 【分析】（1）设出圆的标准方程，根据题意，求得圆心和半径，即可求得结果； （2）设直线方程为，利用弦长公式，求解即可. 【详解】（1）设圆C的标准方程为 圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点， ，解方程组得； 所以圆C的标准方程为. （2）设直线的方程为：， 圆心到直线l的距离， 所以，解得或， 所以直线l的方程为或 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明是平行四边形，再结合圆柱的性质得到平面； （2）利用等积转换知识结合圆柱的性质先找到体积最大值时的相对位置，再找出 二面角的平面角或利用空间向量求得二面角的大小. 【详解】（1）证明：如图，连接，由题意知为的直径，所以．因为是圆柱的母线， 所以且，所以四边形是平行四边形． 所以，所以．因为是圆柱的母线，所以平面， 又因为平面，所以．又因为， 平面，所以平面． （2）由（1）知是三棱锥底面上的高，由（1）知 ，所以，即底面三角形是直角三 角形．设，则 在中有：， 所以， 当且仅当时等号成立，即点E，F分别是，的中点时，三棱 锥的体积最大， （另解：等积转化法： 易得当F与距离最远时取到最大值，此时E、F分别为、中点） 下面求二面角的正弦值： 法一：由（1）得平面，因为平面，所以． 又因为，所以平面． 因为平面，所以，所以是二面角的平面角， 由（1）知为直角三角形，则． 故，所以二面角的正弦值为． 法二：由（1）知两两相互垂直， 如图，以点E为原点，所在直线 为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则． 由（1）知平面，故平面的法向量可取为． 设平面的法向量为， 由， 得，即，即，取，得． 设二面角的平面角为， ， 所以二面角的正弦值为 18．(1) (2) 【分析】（1）通过整理找到是公差为2的等差数列，结合，求出通项公式即可. （2）表示出，采用并项与分组求和运算即可. 【详解】（1）由， 得． ，所以，故得， 故是公差为2的等差数列，首项为， 则，由，得， 故，于是． （2）依题意，， 故， ， 即． 19．(1) (2) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，转化为的方程，即可求解； （2）首先设直线的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示，并根据的取值范围，求点到直线的距离的取值范围. 【详解】（1）依题意，，焦半径， 由，得，得， 解得：（其中舍去）， 所以， 故双曲线的方程为； （2）显然直线不可能与轴平行，故可设直线的方程为， 联立，消去整理得， 在条件下，设，， 则，， 由，得， 即， 整理得， 代入韦达定理得，， 化简可消去所有的含的项，解得：或（舍去）， 则直线的方程为，得， 又都在双曲线的右支上，故有，， 此时，， 所以点到直线的距离的取值范围为. 答案第2页，共9页 答案第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$