八年级数学开学摸底考（江苏苏州专用，苏科版）-2024-2025学年初中下学期开学摸底考试卷

2024-2025学年八年级下学期开学摸底考试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在平面直角坐标系中，点的位置所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．下列各组数中，不是勾股数的是（  ） A．5，8，12 B．30，40，50 C．9，40，41 D．6，8，10 3．观察下面四个图案，它们体现了中华民族的传统文化．其中可以看作轴对称图形的个数是(    ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．如图，，、、三点在同一条直线上，，，则的长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 5．如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，与交于点O，其中，．下列结论：①；②垂直平分；③平分；④．其中正确结论的个数为（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（   ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式的解集是 D．方程组的解是 8．A，B两地相距，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲车出发后，乙车出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距，甲车行驶的时间为，s与t的关系如图所示，下列说法：①甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是；②甲车出发后被乙车追上；③甲车比乙车晚到；④甲车行驶或时，甲、乙两车相距．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．比较大小： （填“”或“”）． 10．如图，，，请你添加一个适当的条件： ，使得． 11．已知一次函数的图像经过点和，则 ．（填“”、“”或“”） 12．如图所示，在中，，平分，垂直平分，如果，，那么 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换．若原来点的坐标是，则经过第次变换后，点的对应点的坐标为 ． 14．如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当取最小值时，若，则此时的长为 ．    15．如图，在长方形中，点，分别在轴、轴正半轴上，点在第一象限，，．动点在直线上，点在线段上，当是以为斜边的等腰直角三角形，则直线的的解析式为 ． 16．如图，在中，已知，，，在平面内有一点，，连接，当是直角三角形时，的长为 ． 三、解答题（本大题共11小题，第17,18每小题5分，第19,20,21每小题6分，第22,23,24每小题8分，第25,26,27每小题10分，共82分，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 17．计算： (1)； (2)求中x的值． 18．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点A坐标为，点B坐标为； (2)请画出关于y轴对称的图形，并写出点的坐标为______． 19．在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，如表是海拔高度h（千米）与此高度处气温的关系． 海拔高度h（千米） 0 1 2 3 4 5 … 气温 20 14 8 2 … 根据如表，回答以下问题： (1)自变量是 ；因变量是 ； (2)写出气温t与海拔高度h的表达式： ； (3)当海拔是10千米时，求气温是多少？ 20．如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．如图，每个格子都是边长为1的小正方形，，四边形的四个顶点都在格点上． (1)求四边形的周长； (2)连结，试判断的形状，并说明理由． 22．已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的表达式； (2)若，是该一次函数图象上的两点，比较与的大小关系； (3)当时，求x的取值范围． 23．如图，是的角平分线，，分别是和的高． (1)求证：垂直平分； (2)若，，的面积是，求． 24．遵义市规定了每月的用水20立方米以内（含20立方米）和20立方米以上两种不同的收费标准，该市的用户每月应交水费y（元）是关于用水量x（立方米）的函数，其图像如图所示． (1)某用户用水为20立方米，应交水费是 元． (2)当时，求y与x的函数解析式． (3)若小明家某月交水费100元，则小明家实际用水多少立方米？ 25．已知点，分别为射线和上的一动点（点，都不与点重合）．过点作一条直线与线段交于点，对于线段给出如下定义：若线段可以将拆分成两个等腰三角形，则称线段为的“腰剖线段”． (1)如图1，当，线段时，画出的“腰剖线段”，并写出此时______． (2)如图2，当线段时，若存在的“腰剖线段”，且，则的面积为______． (3)设．若存在的“腰剖线段”．直接写出的大小（数字或含的式子表示）． 26．如图，直线和直线与轴分别相交于两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，．    (1)求出直线的函数表达式； (2)在轴上有一点，使得最小，求点的坐标； (3)若是直线上方且位于轴上一点，满足，请求出点的坐标，判断的形状并说明理由． 27．如图，在平面直角坐标系中，分别在轴正半轴、轴正半轴上取A、B两点，若两点坐标分别是、，且a，b满足：． (1)______，______； (2)点C为轴负半轴上一点，连接，于点M，交于N． ①如图1，求证：； ②如图2，若，连接，求的大小； (3)如图3，若点D为的中点，点F是轴负半轴上一动点，连接，过点D作交轴于点E，设，请问：当点F在运动过程中，的值是否发生改变？若改变，求出变化范围；若不改变，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2024-2025学年下学期开学摸底考试卷 八年级数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、 单项 选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二 、 填空 题（每小题3分，共 24 分） 9 ． _________________ 10 ． ________________ 1 1 ． ____________________ 1 2 ． _________________ 1 3 ． _________________ 1 4 ． ____________________ 1 5 ． _________________ 1 6 ． ____________________ 三、解答题（本大题共11小题， 第17,18每小题5分，第19,20,21每小题6分，第22,23,24每小题8分，第25,26,27每小题10分， 共82分，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 1 7 ．（ 5 分） ) ( 1 8 ．（ 5 分） 1 9 ．（ 6 分） 20 ．（ 6 分） 21 ．（ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22 ．（ 8 分） 23 . （ 8 分） 24 . （ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 25. （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 6 ． （ 1 0 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 7 ． （ 1 0 分 ） - ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级下学期开学摸底考试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在平面直角坐标系中，点的位置所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特点，再根据点的坐标符号，即可得出答案． 【详解】解：点， 点所在的象限是第一象限 故选：A． 2．下列各组数中，不是勾股数的是（  ） A．5，8，12 B．30，40，50 C．9，40，41 D．6，8，10 【答案】A 【分析】该题考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．注意：（1）三个数必须是正整数．（2）一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．（3）记住常用的勾股数再做题可以提高速度． 欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满足两小边的平方和等于最长边的平方． 【详解】解：A，，不是勾股数，此选项符合题意； B，，是勾股数，此选项不符合题意； C，，是勾股数，此选项不符合题意； D，，是勾股数，此选项不符合题意； 故选：A． 3．观察下面四个图案，它们体现了中华民族的传统文化．其中可以看作轴对称图形的个数是(    ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，进行分析即可得出结论． 【详解】解：第一个图形是轴对称图形， 第二个图形是轴对称图形， 第三个图形是轴对称图形， 第四个图形是轴对称图形， 故可以看作轴对称图形的个数是4个． 故选：A． 4．如图，，、、三点在同一条直线上，，，则的长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】此题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键； 根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 故选：B． 5．如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键． 根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合点所表示的数及间距离可得点所表示的数． 【详解】解：正方形的面积为7，且， ， 点表示的数是1，且点在点左侧， 点表示的数为：． 故选：C． 6．如图，在四边形中，与交于点O，其中，．下列结论：①；②垂直平分；③平分；④．其中正确结论的个数为（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质和判定．①由证明；②根据垂直平分线性质即可判断；③根据垂直平分线性质即可判断；④根据三角形面积公式得到四边形的面积四边形的面积即可判断． 【详解】在与中， ， ∴，故①正确； ，， 垂直平分，故②正确； ∵不一定等于，不一定等于， ∴不一定垂直平分 ∴不一定平分，故③错误； ∴四边形的面积，故④正确； 综上所述，①②④正确，共3个正确． 故选：C． 7．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（   ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式的解集是 D．方程组的解是 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与方程，不等式的关系，利用数形结合的思想是解题关键．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由图可知直线与直线的交点P的坐标为， ∴方程的解是，故A选项正确，不符合题意； ∴不等式的解集为， 不等式的解集为， ∴不等式和不等式的解集相同，故B选项正确，不符合题意； ∴不等式的解集是，故C选项正确，不符合题意； 由题意可知方程组，即方程组的解是， 无法求出方程组的解，故D选项符合题意． 故选D． 8．A，B两地相距，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲车出发后，乙车出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距，甲车行驶的时间为，s与t的关系如图所示，下列说法：①甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是；②甲车出发后被乙车追上；③甲车比乙车晚到；④甲车行驶或时，甲、乙两车相距．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象在行程问题中的应用；①由图象得，由第小时乙追上甲，列出方程，即可判断；②由图象得甲车出发后，即可判断；③求出甲到达所用时间，即可判断；④甲出发时，甲、乙两车相距，分类讨论：当乙没有追上甲时， 当乙超过甲后，但未到达地时， 当乙到达地时，即可判断；理解横纵坐标的实际意义，能将图象与实际行程过程的各个时段相联系是解题的关键． 【详解】解：①由图象得， ， 解得：，故①正确； ②由图象得： 甲车出发后， 甲车出发后被乙车追上，故②正确； ③（） （）， 甲车比乙车晚到，故③正确； ④甲出发时，甲、乙两车相距， 当乙没有追上甲时， ， 解得：(不合题意，舍去) 此种情况不存在； 当乙超过甲后，但未到达地时， ， 解得：； 当乙到达地时， ， 解得：； 甲车行驶或时，甲、乙两车相距．故④错误； 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数比较大小，熟练掌握实数比较大小的方法是解题的关键． 因为，，所以． 【详解】解：∵， ， ∴ 故答案为： ． 10．如图，，，请你添加一个适当的条件： ，使得． 【答案】或或（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由,得到,根据全等三角形的判定定理即可得到结论，熟练掌握全等三角形的判定定理并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：当，理由如下， , , 即, 在和中, , ； 当，理由如下， , , 即, 在和中, , ； 当，理由如下， , , 即, 在和中, , ； 当，理由如下， , , 即, 在和中, , 不一定全等于； 故答案为：或或（答案不唯一）． 11．已知一次函数的图像经过点和，则 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了比较一次函数值的大小，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 由可得随的增大而减小，再结合即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点和，且， ∴随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 12．如图所示，在中，，平分，垂直平分，如果，，那么 ． 【答案】5 【分析】本题考查了角平分线的性质和垂直平分线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键． 根据角平分线的性质和垂直平分线的性质可得，，然后求出即可． 【详解】解：∵，平分，垂直平分，， ∴， ∴． 故答案为：5． 13．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换．若原来点的坐标是，则经过第次变换后，点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，观察图形可知每四次对称为一个循环组，依次循环，用除以，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限，解答即可． 【详解】解： 点第一次关于轴对称后在第三象限， 点第二次关于轴对称后在第四象限， 点第三次关于轴对称后在第一象限， 点第次关于轴对称后在第二象限， 即点回到原始位置， 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ， 经过第次变换后所得的点与第三次变换的位置相同，在第一象限，坐标为． 故答案为：． 14．如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当取最小值时，若，则此时的长为 ．    【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，则当，，三点共线，且时，此时的值最小，由题意可得，则，再由，，可得，解得，然后根据即可求出的长． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，   ， ， 当，，三点共线，且时，此时的值最小，即的值最小， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），根据成轴对称图形的特征进行求解，垂线段最短，等边三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形的性质，线段的和与差，解一元一次方程等知识点，熟练掌握轴对称中的光线反射问题（最短路线问题）是解题的关键． 15．如图，在长方形中，点，分别在轴、轴正半轴上，点在第一象限，，．动点在直线上，点在线段上，当是以为斜边的等腰直角三角形，则直线的的解析式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分点在下方和在上方，两种情况进行讨论求解即可，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：设点． ①当点在下方时，如图，过点作，交轴于点，交于点．则：，， ∴， 是以为斜边的等腰直角三角形， ，． ． ． ． ，． ∴， ∴， ． ， ∴点，点， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴； ②当点在的上方时，如图，过点作，交轴于点，交的延长线于点． 同理，可证， ， ，所以， 点， 同①法可得直线的解析式为：． 故答案为：或 16．如图，在中，已知，，，在平面内有一点，，连接，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了勾股定理，注意分类讨论的思想： 利用勾股定理求出，再分类讨论，分别利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 当时，如图： ∵， ∴； 当时，如图： ∵， ∴； ∵， ∴ 综上所述，当是直角三角形时，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共11小题，第17,18每小题5分，第19,20,21每小题6分，第22,23,24每小题8分，第25,26,27每小题10分，共82分，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 17．计算： (1)； (2)求中x的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，求一个数的立方根，求一个数的算术平方根，立方根的实际应用等知识点，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键． （1）先求立方根、乘方及算术平方根，然后再进行加减运算即可； （2）将中的看作一个整体，然后利用立方根的概念解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴． 18．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点A坐标为，点B坐标为； (2)请画出关于y轴对称的图形，并写出点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题主要考查了作图−轴对称变换等知识点， （1）根据A，B两点坐标，确定平面直角坐标系即可； （2）分别作出A，B，C的对应点，，即可解决问题； 熟练掌握轴对称变换的性质是解决此题的关键． 【详解】（1）∵ ， ∴y轴在A点的左方1个方格所在直线上，x轴在A点下方3个方格所在直线上， ∴如图所示即为所求， ； （2）如图所示：由关于y轴对称的点的坐标特征为：横坐变为相反数，纵坐标不变，画图即可， ∴， 故答案为：． 19．在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，如表是海拔高度h（千米）与此高度处气温的关系． 海拔高度h（千米） 0 1 2 3 4 5 … 气温 20 14 8 2 … 根据如表，回答以下问题： (1)自变量是 ；因变量是 ； (2)写出气温t与海拔高度h的表达式： ； (3)当海拔是10千米时，求气温是多少？ 【答案】(1)海拔高度h，气温t (2) (3)气温是 【分析】此题考查了函数关系式的应用能力，关键是能根据题意求得对应的函数解析式． （1）结合题意和函数的定义进行求解； （2）根据表格中气温随海拔高度的变化的规律：h每增加1千米，气温就下降，即可解答； （3）把代入中进行计算、解答． 【详解】（1）解：由题意得，自变量是海拔高度h；因变量是气温t． 故答案为：海拔高度h，气温t； （2）解：由题意得，h每增加1千米，气温就下降， 可得， ∴气温t与海拔高度h的关系式：， 故答案为：； （3）解：由题意得，当时， ， 答：气温是； 20．如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先根据证明，则可得，再根据证明即可． （2）根据全等三角形对应边相等可得，,进而可得的长． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴； （2）解：∵，， ∴，, 又∵， ∴， ∴． 21．如图，每个格子都是边长为1的小正方形，，四边形的四个顶点都在格点上． (1)求四边形的周长； (2)连结，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的定义，正确计算是解题的关键． （）利用网格和勾股定理求出四边形的各边长即可求解； （）利用勾股定理的逆定理和等腰三角形的定义可得是等腰直角三角形． 【详解】（1）解：，，，， ∴； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下， ∵，，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，． 22．已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的表达式； (2)若，是该一次函数图象上的两点，比较与的大小关系； (3)当时，求x的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）待定系数求解析式即可求解； （2）根据解析式，随的增大而减小，结合题意可得，解不等式即可求解； （3）分别求得当和时，的值，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和点． ∴， 解得：， ∴这个一次函数表达为； （2）解：∵，， ∴随的增大而减小， ∵点，在该一次函数的图象上，， ∴； （3）解：对于， 当时，，解得， 当时，，解得， ∵，， ∴随的增大而减小， ∴当时， ∴． 23．如图，是的角平分线，，分别是和的高． (1)求证：垂直平分； (2)若，，的面积是，求． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由角平分线的性质得，再由，得，从而证明结论； （）根据三角形的面积，代入计算即可； 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，，分别是和的高， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴由， 则， ∵，， ∴， ∴， 24．遵义市规定了每月的用水20立方米以内（含20立方米）和20立方米以上两种不同的收费标准，该市的用户每月应交水费y（元）是关于用水量x（立方米）的函数，其图像如图所示． (1)某用户用水为20立方米，应交水费是 元． (2)当时，求y与x的函数解析式． (3)若小明家某月交水费100元，则小明家实际用水多少立方米？ 【答案】(1)50 (2) (3)小明家实际用水立方米． 【分析】本题主要考查一次函数的运用，理解图示，掌握待定系数法求解析式，一次函数图象的性质的实际运用是解题的关键． （1）根据图示信息即可求解； （2）运用待定系数法求解即可； （3）把水费100元代入解析式即可求解． 【详解】（1）解：根据图示，当时，， 故答案为：50； （2）解：设当时，y与x的函数解析式为， 根据图示，函数图象经过， ∴，解得，， ∴一次函数解析式为：； （3）解：∵水费100元大于元， ∴小明家某月的用水量大于立方米， ∴当时，， 解得，， ∴小明家实际用水立方米． 25．已知点，分别为射线和上的一动点（点，都不与点重合）．过点作一条直线与线段交于点，对于线段给出如下定义：若线段可以将拆分成两个等腰三角形，则称线段为的“腰剖线段”． (1)如图1，当，线段时，画出的“腰剖线段”，并写出此时______． (2)如图2，当线段时，若存在的“腰剖线段”，且，则的面积为______． (3)设．若存在的“腰剖线段”．直接写出的大小（数字或含的式子表示）． 【答案】(1)图见解析，50 (2) (3)或或或或． 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理及外角性质、勾股定理，理解题中定义，分类讨论是解答的关键是解答的关键． （1）根据题意，当点为线段中点时，为的“腰剖线段”，画出对应图形，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质求得； （2）根据题意可得，，利用勾股定理求得，利用三角形的面积公式求解即可； （3）根据题意，分类讨论，画出对应图形，结合等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∴， 则和是等腰三角形，且点D为线段的中点， 如图，为的“腰剖线段”， 此时，， 故答案为：50； （2）解：如图， ∵，存在的“腰剖线段”，点在线段上， ∴，， 在中，由得， ∴的面积为； （3）解：根据题意，分以下情况： ①当，时，为的“腰剖线段”，如图， 此时，，， ∴，则， ∴； ②当，时，为的“腰剖线段”，如图， 此时，，， ∴； ③当，时，为的“腰剖线段”，如图， 此时，，， ∴； ④当，时，为的“腰剖线段”， 此时，，， ∵， ∴， ∴； ⑤∵， ∴当时，，，此时，不存在为的“腰剖线段”； ⑥当，时，为的“腰剖线段”，如图， 此时，，， ∵， ∴， ∴， ⑦∵， ∴当时，，，此时，不存在为的“腰剖线段”， 综上，满足条件的度数为或或或或． 26．如图，直线和直线与轴分别相交于两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，．    (1)求出直线的函数表达式； (2)在轴上有一点，使得最小，求点的坐标； (3)若是直线上方且位于轴上一点，满足，请求出点的坐标，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，的形状为：等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量值，一次函数交点问题，轴对称求最短路径问题，等腰直角三角形判定及性质等． （1）先求出，再将和代入中得到的函数表达式； （2）过点作轴的对称点，连接交轴于，此时有最小值，再求出，再设直线解析式为：，求出后令即可得到本题答案； （3）设直线与轴交于，过点作轴，证明和全等，继而得到，即可求出，再将，，，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵与轴交于点， ∴令，即，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线与轴相交于点， ∴设直线的解析式为：， 将和代入中得： ，解得：， ∴， ∴直线的函数表达式：； （2）解：过点作轴的对称点，连接交轴于，此时有最小值，   ， ∵， ∴， ∵，的函数表达式：， ∴，解得：， ∴， ∴设直线解析式为：， ∴将，代入中得， ，解得：， ∴， ∵轴上有一点， ∴令，即， ∴点的坐标：； （3）解：是等腰直角三角形，理由如下： 设直线与轴交于，过点作轴，   ， ∴，轴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 27．如图，在平面直角坐标系中，分别在轴正半轴、轴正半轴上取A、B两点，若两点坐标分别是、，且a，b满足：． (1)______，______； (2)点C为轴负半轴上一点，连接，于点M，交于N． ①如图1，求证：； ②如图2，若，连接，求的大小； (3)如图3，若点D为的中点，点F是轴负半轴上一动点，连接，过点D作交轴于点E，设，请问：当点F在运动过程中，的值是否发生改变？若改变，求出变化范围；若不改变，求的值． 【答案】(1)3；3 (2)①见解析；② (3)不发生改变，的值为 【分析】本题考查了平面直角坐标系、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、因式分解等知识，熟练掌握以上知识点，学会向角的两边作垂线构造距离判定角平分线是解题的关键． （1）利用因式分解的知识将整理得，再利用绝对值以及完全平方的非负性，即可解答； （2）①利用全等三角形判定即可证明；②作交于点，交于点，由①得，则有，，利用三角形面积公式可得，再利用角平分线的判定定理得到平分，得出的度数，结合，最后利用三角形的外角的性质即可得到的大小； （3）通过证明，得到，再根据，求出的面积，即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， ，， 解得：，． 故答案为：3；3． （2）①证明：， ， ， ， ， ， 又， ， 由（1）得，，， ，， ， 在和中， ， ； ②解：如图，作交于点，交于点， ，， ，， 由①得，， ，， ， ， 又，， 平分， ， 又， ． （3）解：的值不发生改变，理由如下： ，，点D为的中点， ，，平分，， ，， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 综上所述，的值不发生改变，的值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级下学期开学摸底考试卷 参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A A B C C D C 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9． 10．或或（答案不唯一） 11． 12．5 13． 14． 15．或 16．或/或 三、解答题（本大题共11小题，第17,18每小题5分，第19,20,21每小题6分，第22,23,24每小题8分，第25,26,27每小题10分，共82分，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 17．(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，求一个数的立方根，求一个数的算术平方根，立方根的实际应用等知识点，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键． （1）先求立方根、乘方及算术平方根，然后再进行加减运算即可； （2）将中的看作一个整体，然后利用立方根的概念解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴． 18．(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题主要考查了作图−轴对称变换等知识点， （1）根据A，B两点坐标，确定平面直角坐标系即可； （2）分别作出A，B，C的对应点，，即可解决问题； 熟练掌握轴对称变换的性质是解决此题的关键． 【详解】（1）∵ ， ∴y轴在A点的左方1个方格所在直线上，x轴在A点下方3个方格所在直线上， ∴如图所示即为所求， ； （2）如图所示：由关于y轴对称的点的坐标特征为：横坐变为相反数，纵坐标不变，画图即可， ∴， 故答案为：． 19．(1)海拔高度h，气温t (2) (3)气温是 【分析】此题考查了函数关系式的应用能力，关键是能根据题意求得对应的函数解析式． （1）结合题意和函数的定义进行求解； （2）根据表格中气温随海拔高度的变化的规律：h每增加1千米，气温就下降，即可解答； （3）把代入中进行计算、解答． 【详解】（1）解：由题意得，自变量是海拔高度h；因变量是气温t． 故答案为：海拔高度h，气温t； （2）解：由题意得，h每增加1千米，气温就下降， 可得， ∴气温t与海拔高度h的关系式：， 故答案为：； （3）解：由题意得，当时， ， 答：气温是； 20．(1)见详解 (2) 【分析】（1）先根据证明，则可得，再根据证明即可． （2）根据全等三角形对应边相等可得，,进而可得的长． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴； （2）解：∵，， ∴，, 又∵， ∴， ∴． 21．(1) (2)是直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的定义，正确计算是解题的关键． （）利用网格和勾股定理求出四边形的各边长即可求解； （）利用勾股定理的逆定理和等腰三角形的定义可得是等腰直角三角形． 【详解】（1）解：，，，， ∴； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下， ∵，，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，． 22．(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）待定系数求解析式即可求解； （2）根据解析式，随的增大而减小，结合题意可得，解不等式即可求解； （3）分别求得当和时，的值，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和点． ∴， 解得：， ∴这个一次函数表达为； （2）解：∵，， ∴随的增大而减小， ∵点，在该一次函数的图象上，， ∴； （3）解：对于， 当时，，解得， 当时，，解得， ∵，， ∴随的增大而减小， ∴当时， ∴． 23．(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由角平分线的性质得，再由，得，从而证明结论； （）根据三角形的面积，代入计算即可； 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，，分别是和的高， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴由， 则， ∵，， ∴， ∴， 24．(1)50 (2) (3)小明家实际用水立方米． 【分析】本题主要考查一次函数的运用，理解图示，掌握待定系数法求解析式，一次函数图象的性质的实际运用是解题的关键． （1）根据图示信息即可求解； （2）运用待定系数法求解即可； （3）把水费100元代入解析式即可求解． 【详解】（1）解：根据图示，当时，， 故答案为：50； （2）解：设当时，y与x的函数解析式为， 根据图示，函数图象经过， ∴，解得，， ∴一次函数解析式为：； （3）解：∵水费100元大于元， ∴小明家某月的用水量大于立方米， ∴当时，， 解得，， ∴小明家实际用水立方米． 25．(1)图见解析，50 (2) (3)或或或或． 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理及外角性质、勾股定理，理解题中定义，分类讨论是解答的关键是解答的关键． （1）根据题意，当点为线段中点时，为的“腰剖线段”，画出对应图形，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质求得； （2）根据题意可得，，利用勾股定理求得，利用三角形的面积公式求解即可； （3）根据题意，分类讨论，画出对应图形，结合等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∴， 则和是等腰三角形，且点D为线段的中点， 如图，为的“腰剖线段”， 此时，， 故答案为：50； （2）解：如图， ∵，存在的“腰剖线段”，点在线段上， ∴，， 在中，由得， ∴的面积为； （3）解：根据题意，分以下情况： ①当，时，为的“腰剖线段”，如图， 此时，，， ∴，则， ∴； ②当，时，为的“腰剖线段”，如图， 此时，，， ∴； ③当，时，为的“腰剖线段”，如图， 此时，，， ∴； ④当，时，为的“腰剖线段”， 此时，，， ∵， ∴， ∴； ⑤∵， ∴当时，，，此时，不存在为的“腰剖线段”； ⑥当，时，为的“腰剖线段”，如图， 此时，，， ∵， ∴， ∴， ⑦∵， ∴当时，，，此时，不存在为的“腰剖线段”， 综上，满足条件的度数为或或或或． 26．(1) (2) (3)，的形状为：等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量值，一次函数交点问题，轴对称求最短路径问题，等腰直角三角形判定及性质等． （1）先求出，再将和代入中得到的函数表达式； （2）过点作轴的对称点，连接交轴于，此时有最小值，再求出，再设直线解析式为：，求出后令即可得到本题答案； （3）设直线与轴交于，过点作轴，证明和全等，继而得到，即可求出，再将，，，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵与轴交于点， ∴令，即，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线与轴相交于点， ∴设直线的解析式为：， 将和代入中得： ，解得：， ∴， ∴直线的函数表达式：； （2）解：过点作轴的对称点，连接交轴于，此时有最小值，   ， ∵， ∴， ∵，的函数表达式：， ∴，解得：， ∴， ∴设直线解析式为：， ∴将，代入中得， ，解得：， ∴， ∵轴上有一点， ∴令，即， ∴点的坐标：； （3）解：是等腰直角三角形，理由如下： 设直线与轴交于，过点作轴，   ， ∴，轴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 27．(1)3；3 (2)①见解析；② (3)不发生改变，的值为 【分析】本题考查了平面直角坐标系、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、因式分解等知识，熟练掌握以上知识点，学会向角的两边作垂线构造距离判定角平分线是解题的关键． （1）利用因式分解的知识将整理得，再利用绝对值以及完全平方的非负性，即可解答； （2）①利用全等三角形判定即可证明；②作交于点，交于点，由①得，则有，，利用三角形面积公式可得，再利用角平分线的判定定理得到平分，得出的度数，结合，最后利用三角形的外角的性质即可得到的大小； （3）通过证明，得到，再根据，求出的面积，即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， ，， 解得：，． 故答案为：3；3． （2）①证明：， ， ， ， ， ， 又， ， 由（1）得，，， ，， ， 在和中， ， ； ②解：如图，作交于点，交于点， ，， ，， 由①得，， ，， ， ， 又，， 平分， ， 又， ． （3）解：的值不发生改变，理由如下： ，，点D为的中点， ，，平分，， ，， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 综上所述，的值不发生改变，的值为． 答案第1页，共2页 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