7.2 正弦、余弦（第2课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

7.2 正弦、余弦（2） 第2课时　用正弦、余弦解决问题 学习目标 1. 会利用直角三角形的三边关系求直角三角形中锐角的正弦、余弦值； 2.理解直角三角形中两个锐角的正弦、余弦之间的关系； 3.能利用三角函数解决简单的直角三角形问题. 2 知识回顾 如何表示直角三角形中一个锐角的正弦和余弦？ 锐角的正弦值、余弦值随锐角的变化是如何变化的？ 知识回顾 三 角 函 数 正弦 正切 余弦 sinA＝＝ cosA＝＝ tanA＝＝ A B C 斜边c 对边a 邻边b 4 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5. 求sinA、cosA、sinB、cosB的值. B A C 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 AB＝＝＝13. 根据正弦、余弦的定义，得 sinA＝＝，cosA＝＝， sinB＝＝，cosB＝＝. 例题讲解 5 观察与思考 在Rt△ABC(∠C＝90°)中，sinA与cosB、cosA与sinB的值有什么关系? 6 归纳与总结 ∵ sinA＝＝ ，cosA＝＝ ， sinB＝＝ ，cosB＝＝ . ∴ sinA＝cosB， cosA＝sinB. A B C 斜边c 对边a 邻边b 在Rt△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，则sinA＝cosB，cosA＝sinB. 7 例题讲解 例2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝，求cosA和tanA的值. 解：在Rt△ABC中，sinA＝， 设BC＝2a，则AB＝3a， 根据勾股定理，得 AC＝＝ . 根据余弦、正切的定义，得 cosA＝＝＝，tanA＝＝. 8 拓展与延伸 1. sinA与cosA有什么关系？ sin2A＋cos2A＝＋＝＝＝1. 2. tanA与sinA、cosA有什么关系？ tanA＝＝ ＝. A B C 斜边c 对边a 邻边b 9 归纳与总结 同一锐角的三角函数之间的关系： （1）sin2A＋cos2A＝1； （2）tanA＝ . A B C 斜边c 对边a 邻边b 10 新知巩固 （1） sinα＝，则cosα＝____，tanα＝____， （2） cosα＝，则sinα＝____，tanα＝____， （3） tanα＝，则sinα＝____，cosα＝____. 1. 已知α为锐角： 11 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，则sinB=______，cosB＝____，tanB＝____，sin2Bcos2B＝_____. B A C 2 4 2 2 1 新知巩固 12 例3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，BC＝6. 求AB的长（精确到0.01）. 解：由题意知，sinA＝， 则AB＝＝ . 用计算器计算，得AB≈23.18. 例题讲解 13 新知巩固 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 AB＝＝＝10. 根据正弦、余弦的定义，得 sinA＝＝，cosA＝＝， sinB＝＝，cosB＝＝. 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6. 求sinA、cosA、sinB、cosB的值. 14 新知巩固 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝68°，AB＝4. 求BC、AC的长 （精确到0.01）. 解：由题意知，sinA＝，cosA＝， 用计算器计算，得 BC＝AB×sinA＝4×sin68°＝4×sin68°≈3.71， AC＝AB×cosA＝4×cos68°＝4×cos68°≈1.50. 15 新知巩固 3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC. 求 (1) cosA； B A C 解：(1)设AC＝BC＝k. 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 AB＝＝＝k. cosA＝＝＝. 16 新知巩固 3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC. 求 (2) 当AB＝4时，求BC的长. B A C 解：(2) 由(1)得cosA＝＝， ∵AB＝4， ∴AC＝4×＝2， ∴BC＝＝ . 17 新知巩固 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果cosA＝，求sinA. 解：在Rt△ABC中，cosA＝， 设AC＝3a，则AB＝5a， 根据勾股定理，得 BC＝＝ 4a. 根据正弦的定义，得 sinA＝＝＝. 18 利用直角三角形的三边关系求正弦、余弦值 正弦、余弦的简单应用 课堂总结 互余两角的正弦和余弦的关系 当堂检测 基础过关 1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝h，∠A＝α，则AB的长为 (　　) A. h·cosα　　    B.     C. h·sinα　            D.   D B A C h α 20 当堂检测 基础过关 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列式子一定成立的是(　　)A．sinA＝sinB B．cosA＝cosBC．tanA＝tanB D．sinA＝cosB D 21 当堂检测 基础过关 3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝13，sinA＝，则BC＝____. 5 4. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin∠ABC＝0.6. 则BC＝____. A B C D 8 22 当堂检测 基础过关 5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，AB＝5. 求BC、AC的长 （精确到0.01）. 解：由题意知，sinA＝，cosA＝， 用计算器计算，得 BC＝AB×sinA＝5×sin50°＝5×sin50°≈3.83， AC＝AB×cosA＝5×cos50°＝5×cos50°≈3.21. 23 当堂检测 基础过关 6. 如图：在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6. 求：sinB，cosB，tanB. A B C D 由题意知，BD＝BC＝×6＝3. 在Rt△ABD中，由勾股定理得： AD＝＝4. 解：过点A作AD⊥BC，垂足为D. sinB＝＝， cosB＝＝， tanB＝＝. 24 当堂检测 能力提升 7. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D. 若 AD＝6，AC＝8. 求sinB的值. 解: ∵ ∠ACB＝∠ADC＝90°， ∴∠B∠A＝90°， ∠ACD∠A＝90°， ∴∠B＝∠ACD， ∴ sinB＝sin∠ACD＝＝＝. A B C D 6 8 25 当堂检测 能力提升 8. 如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，求∠ECM的正切值、正弦值及余弦值. 解：设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x， ∴EC＝＝5x，EM＝＝x， CM＝＝2x， ∴EM2CM2＝CE2， ∴△CEM是直角三角形，∠CME＝90°， ∴tan∠ECM＝＝＝， sin∠ECM＝＝=， cos∠ECM＝==. A B C D M E 26 当堂检测 能力提升 1. 在△ABC中，∠C＝90°，给出下列结论： ①sinA＝cosB；②cosA＝sinB；③sin2A＋cos2A＝1；④tanA＝. 其中正确的有(　　)A.1个　　 B.2个　　　 C.3个　　　 D.4个 D 27 当堂检测 能力提升 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则cosA＝ (　　) A. 　　    B.     C. 　            D.   B 28 当堂检测 能力提升 3. 已知sin23°48′≈0.4035，若cosα＝0.4035，则锐角α的度数大约为 _______. 66°12′ 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA·cosA的值为_____. 29 当堂检测 能力提升 5. 如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sinA＝____. A B C 30 当堂检测 能力提升 6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，求sinB的值. A B C D 解：∵AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，∴CD＝3. 在Rt△ACD中， ∵AD＝5，CD＝3， ∴AC＝＝＝4. 在Rt△ACB中， ∵AC＝4，BC＝5， ∴AB＝＝＝， ∴sinB＝＝＝. 31 D 当堂检测 能力提升 7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，sinB＝. 求sinA的值. A B C 解：如图，过点C作CD⊥AB， 在Rt△CDB中， ∵sinB＝＝， 设CD＝4x，BC＝5x，则BD＝3x， ∴AD＝10－3x， 在Rt△CDA中，由勾股定理得，AC2＝AD2＋CD2， 即102＝(10－3x)2＋(4x)2， 整理得25x2－60x＝0，解得x＝2.4或x＝0(舍去)， ∴CD＝4x＝9.6. 在Rt△CDA中，sinA＝＝＝. 32 当堂检测 能力提升 8. 如图，在△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线. (1)求AC的长； C A B D F 解：(1)∵AC⊥BD，∴∠ACB＝90°. 在Rt△ACB中， ∵cos∠ABC＝＝，BC＝8，∴AB＝10， ∴AC＝＝＝6， 即AC的长为6. 33 E 当堂检测 能力提升 8. 如图，在△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线. (2)求tan∠FBD的值. C A B D F 解：(2)如图，过点F作BD的垂线，垂足为E， ∵AC⊥BD，∴AC∥EF. ∵BF为AD边上的中线， ∴CE＝CD＝2，EF＝AC＝3， ∴tan∠FBD＝＝＝. 34 2021 Blues 4800.0 $$