2.4  露在外面的面（2个知识点+3类热点题型精讲+习题巩固）同步分层作业-2024-2025学年数学五年级下册（北师大版）

2.4  露在外面的面 学习重难点 学习目标 1、重点：在操作、观察、分析等活动中，经历求正方体搭成的组合体的表面积的探索过程，获得求物体露在外面的面积的计算方法。 2、难点：掌握求物体露在外面的面积的计算方法，会解决有关的实际问题，进一步发展空间观念。 1、探索并总结求露在外面的面的面积的计算方法。 2.经历探索规律的过程，激发主动探索规律的热情。 知识点一堆放在墙角的正方体露在外面的面积的计算方法 1、求露在外面的面积，要先判断露在外面的面的个数，再用一个面的面积乘个数。 知识点二堆放在一起的正方体露在外面的面的个数 1、数堆放在一起的正方体露在外面的面的个数时,要先观察正方体的摆放特点，再从中找出露在外面的面的个数中包含的规律。 题型一露在外面的面的面积 1．由15个棱长为的小立方块搭成的几何体如图所示，它的表面积为( )。 【正确答案】50 【解题思路】首先数出露出的面的数量，前、后面露出的面数量都是7个，左、右面露出的面的数量都是10个，上、下面露出的面的数量都是8个。那么露出的面一共是50个，再根据正方形的面积计算公式正方形的面积＝边长边长，求出边长为1的正方形的面积，再乘50即可解答。 【详细解答】前、后面露出的面数量都是7个，左、右面露出的面的数量都是10个，上、下面露出的面的数量都是8个。 （个） （） 由15个棱长为的小立方块搭成的几何体如图所示，它的表面积是50。 2．如图，4个棱长都是2厘米的正方体堆放在墙角处，露在外面的面积是( )平方厘米。 【正确答案】32 【解题思路】观察图形可知，从正面看到2个面，从上面看到4个面，从右面看到2个面，则露在外面的面一共有（2＋4＋2）个；由正方体的特征可知，每个面是边长为2厘米的正方形；根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘露在外面的面的个数，即可求出露在外面的面积。 【详细解答】2＋4＋2＝8（个） 2×2×8 ＝4×8 ＝32（平方厘米） 露在外面的面积是32平方厘米。 3．如图，把5个棱长为10厘米的正方体堆放在墙角，露在外面的有( )个面，面积是( )平方厘米。 【正确答案】11 1100 【解题思路】根据图示可知，正方体因为放在墙角处，所以有三面靠墙的在内部，所以露在外部的有：正面3个正方形，右面4个正方形，上面4个正方形，一共有3＋4＋4＝11（个）正方形面，每个小正方形面的面积是10×10＝100（平方厘米），据此再乘11就是露在外部的总面积。 【详细解答】3＋4＋4 ＝7＋4 ＝11（个） 10×10×11 ＝100×11 ＝1100（平方厘米） 露在外面的有11个面，面积是1100平方厘米。 4．两个相同的正方体拼成一个长方体，长方体表面积是，原来一个正方体的表面积是( )。 【正确答案】54 【解题思路】把两个相同的正方体拼成一个长方体，则长方体的表面积相对于两个正方体减少了2个面的面积，即由10个正方体的面组成。已知长方体表面积，可求出每个正方体面的面积，再乘6，据此可得出每个正方体的表面积。 【详细解答】90÷（12－2）×6 ＝90÷10×6 ＝9×6 ＝54（） 所以原来一个正方体的表面积是54。 题型二露在外面的面的个数 5．数一数，填一填。 小正方体个数 1 2 3 n 露在外面的面/个 【正确答案】5；8；11；（3n＋2） 【解题思路】观察可知，1个小正方体，露在外面的面是5个，5＝3×1＋2；2个小正方体，露在外面的面是8个，8＝3×2＋2；3个小正方体，露在外面的面是11个，11＝3×3＋2，由此可知，露在外面的面的个数＝3×小正方体个数＋2。 【详细解答】3×1＋2＝3＋2＝5（个） 3×2＋2＝6＋2＝8（个） 3×3＋2＝9＋2＝11（个） 3×n＋2＝（3n＋2）个 小正方体个数 1 2 3 n 露在外面的面/个 5 8 11 （3n＋2） 6．4个棱长为6cm的正方体木箱放在墙角处（如图），有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )cm2。 【正确答案】8 288 【解题思路】露在外面的是前面、上面和右面，从前面看有4个小正方形，从上面看有2个小正方形，从右面看有2个小正方形，将前面、上面和右面小正方形的个数相加是露在外面的面；先求出一个小正方形的面积，再乘露在外面的小正方形的个数即可。 【详细解答】4＋2＋2＝8（个） 36×8＝288（cm2） 有8个面露在外面，露在外面的面积是288cm2。 7．数一数，下面图形中，各有多少个面露在外面，填在括号里。 ( )个     ( )个     ( )个     ( )个 【正确答案】7 8 10 11 【解题思路】 因为摆放的正方体，有3个面被挡住了，所以只需要分别找出从前面看、从上面看、从右面看露在外面的正方形的面的个数，相加即可。 【详细解答】（1）从前面看3个、从上面看2个、从右面看2个。 3＋2＋2＝7（个） （2）从前面看4个、从上面看2个、从右面看2个。 3＋2＋2＝8（个） （3）从前面看5个、从上面看3个、从右面看2个。 5＋3＋2＝10（个） （4）从前面看2个、从上面看6个、从右面看3个。 2＋6＋3＝11（个） 8．淘气在摆方块，如果按下图中的规律继续往下摆，第4组有( )个面露在外面。 【正确答案】17 【解题思路】第一个图形有5个面露在外面，可以写成：4×1＋1；第二图形有9个面露在外面，可以写成：4×2＋1；第三个图形有13个面露在外面，可以写成：4×3＋1；……，第n个图形有4n＋1个面露在外面，当n＝4时，即可求出露在外面的面的个数。 【详细解答】根据分析可知，当n＝4时： 4×4＋1 ＝16＋1 ＝17（个） 淘气在摆方块，如果按下图中的规律继续往下摆，第4组有17个面露在外面。 【考点点评】本题主要考查数与形结合的规律，发现每多1个图就多4个面露在外面是解本题的关键。 题型三组合图形的表面积 9．如图，计算如图图形的表面积和体积。 【正确答案】； ； 【解题思路】左图中正方体的上面的面可以平移到长方体被挡住的面，则此图形的表面积＝长方体的表面积＋正方体的侧面积；体积＝长方体体积＋正方体体积； 右图中可以将凹进去的小正方体的三个面正好可以通过平移转化为是大正方体，则此图表面积＝正方体的表面积；体积＝正方体的体积－缺口处体积。 其中，； ，。代入数据计算即可。 【详细解答】左图 表面积： 体积： 则左图的表面积是，体积是。 右图 表面积： 体积： 则右图的表面积是，体积是。 10．如图是由两个相等的小正方体和一个长方体粘成的物体。计算这个物体的体积和表面积。 【正确答案】650cm3；560cm2 【解题思路】这个组合体的体积＝长方体体积＋正方体体积×2，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长； 通过平移，可以将左边正方体的左面和右边正方体的右面平移到长方体的左右面，因此这个组合体的表面积＝完整的长方体表面积＋正方体4个面的面积和×2，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 【详细解答】4×10×10＋5×5×5×2 ＝400＋250 ＝650（cm3） （4×10＋4×10＋10×10）×2＋5×5×4×2 ＝（40＋40＋100）×2＋200 ＝180×2＋200 ＝360＋200 ＝560（cm2） 这个物体的体积和表面积分别是650cm3、560cm2。 【考点点评】关键是掌握并灵活运用长方体和正方体体积和表面积公式，能将组合体的表面积通过平移进行转化。 11．下图是由棱长5cm的正方体拼成的，请求出下图的表面积和体积。 表面积：   体积： 【正确答案】表面积：600cm2；体积：875cm3 【解题思路】表面积：从前面和后面看有4个面，从上面和下面看有4个面，从左面和右面看有4个面积；一共有4×2×3个面；根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，求出小正方体一个面的面积，进而求出组合体的表面积。 体积：有2层，上层3个小正方形，下层是4个小正方体，一共有3＋7＝4＝7个小正方体；根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出一个小正方体的体积，进而求出组合体的体积。 【详细解答】表面积： 4×2×3×（5×5） ＝8×3×25 ＝24×25 ＝600（cm2） 体积：5×5×5×（3＋4） ＝25×5×7 ＝125×7 ＝875（cm3） 组合体的表面积是600cm2，体积是875cm3。 12．计算下面立体图形的表面积和体积。（单位：dm） 【正确答案】208dm2；176dm3 【解题思路】8－4＝4（dm），立体图形的表面积是由4个长为7dm、宽为4dm的长方形，6个边长为4dm的正方形组成的，据此列式计算；立体图形的体积是由长为7dm、宽为4dm、高为4dm的长方体和棱长为4dm的正方体组成的，根据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据解答即可。 【详细解答】8－4＝4（dm） 4×4×2＋7×4×4 ＝16×2＋28×4 ＝32＋112 ＝144（dm2）   4×4×4 ＝16×4 ＝64（dm2） 144＋64＝208（dm2） 7×4×4＋4×4×4 ＝28×4＋16×4 ＝112＋64 ＝176（dm3） 一、选择题 1．把5个棱长为1dm的正方体纸箱如图放在墙角，露在外面的面积是（    ）。 A．13dm2 B．12dm2 C．11dm2 D．10dm2 2．下面是两个用相同的小正方体搭成的立体图形，它们的表面积相比，（    ）。 A．甲的表面积大 B．乙的表面积大 C．甲、乙表面积相等 D．无法比较 3．按下图方式，将小正方体摆在地面上，这样摆100个，有（    ）个小正方形的面露在外面。 A．202 B．302 C．402 D．502 4．如图，有5个棱长为3分米的正方体纸箱放在墙角，露在外面的面积是（    ）平方分米。    A．90 B．30 C．10 5．一个长方体长12分米，宽和高都是4分米，把它横截成三个大小一样的小正方体，表面积增加了（    ）平方分米。 A．18 B．36 C．54 D．64 二、填空题 6．由15个棱长为的小立方块搭成的几何体如图所示，它的表面积为（ ）。 7．如图，几个棱长是2分米的正方体堆放在墙角，露在外面的面积是（ ）平方分米。 8．如下图，一些棱长1米的立方体包装箱堆放在墙角。这些包装箱一共有（ ）个，露在外面的面的面积是（ ）平方米。 9．淘气在摆方块，如果按下图中的规律继续往下摆，第4组有（ ）个面露在外面。 10．用两个长4cm，宽3cm，高1cm的小长方体拼成一个大长方体，拼成的长方体表面积最大是（ ）cm2，最小是（ ）cm2。 三、计算题 11． 5个棱长5分米的正方体摆放在墙角（如下图），求露在外面的面积。 四、解答题 12．有5个棱长为3厘米的正方体小木块堆放在桌面上（如图），你能计算出露在外面的面的面积吗？ 13．将3个棱长为5cm的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积与原来的3个正方体的表面积之和相比，会发生变化吗？变化了多少？ 14．小正方体棱长是8厘米，求外露面的面积。 15．笑笑搬了8个棱长为30厘米的正方体纸箱放在墙角（如图），露在外面的面积是多少平方厘米？ 参考答案 1．【解题思路】把从各个方向看到的露在外面的面的个数加起来，然后乘每个面的面积，计算露在外面的面积即可。 【详细解答】1×1×（4＋3＋5） ＝1×12 ＝12（dm2） 则露在外面的面积是12 dm2。 故答案为：B 2．【解题思路】立体图形的表面积，是指覆盖该立体图形的所有面的面积的和。在此题中，这两个都是立体图形都是由相同的小正方体搭成的，所以我们可以数一数每个立体图形的表面各有多少个小正方形，然后作比较即可解答。 【详细解答】由图可知，甲图表面有24个小正方形，乙图表面有24个小正方形，所以甲乙两个立体图形表面积相等。 故答案为：C 3．【解题思路】因为该组合体是放在地面上，所以可以从前、后、上、左、右几个方位观察。通过对该组合体的观察，该组合体从前面看，有100个小正方形；从上面看，有100个小正方形；从右面看，有1个小正方形；从左面看，有1个小正方形；从后面看，有100个小正方形，把这几个方位能看见的小正方形数量加起来即可。 【详细解答】由分析可得： 100＋100＋1＋1＋100 ＝200＋1＋1＋100 ＝201＋1＋100 ＝202＋100 ＝302（个） 故答案为：B 【考点点评】本题主要考查求组合体露在外面的面的个数问题，解题的关键是从各个方向看，能看到几个正方形，要求学生有一定的空间想象能力。 4．【解题思路】分别从上面、右面和前面观察所给几何体，根据露在外面的面的个数，乘每个面的面积，计算露在外面的面积即可。 【详细解答】3×3×（3＋3＋4） ＝3×3×（6＋4） ＝9×10 ＝90（平方分米） 露在外面的面积是90平方分米。 故答案为：A 【考点点评】本题主要考查露在外面的面的面积的计算，关键数出露在外面的面的个数。 5．【解题思路】由题意可知：把一个长方体横截成三个一样大小的小正方体，则表面积就增加了小正方体的4个面的面积，且小正方体的棱长就是4分米，据此即可得解。 【详细解答】一个长方体长12分米，宽和高都是4分米，把它横截成三个大小一样的小正方体，表面积增加了：4×4×4＝64（平方分米）。 故答案为：D 【考点点评】抓住题干：长是宽和高的3倍，所以切割时，是沿长边切割，得到三个棱长3分米的小正方体，增加的面是4个小正方体的面。 6．【解题思路】首先数出露出的面的数量，前、后面露出的面数量都是7个，左、右面露出的面的数量都是10个，上、下面露出的面的数量都是8个。那么露出的面一共是50个，再根据正方形的面积计算公式正方形的面积＝边长边长，求出边长为1的正方形的面积，再乘50即可解答。 【详细解答】前、后面露出的面数量都是7个，左、右面露出的面的数量都是10个，上、下面露出的面的数量都是8个。 （个） （） 由15个棱长为的小立方块搭成的几何体如图所示，它的表面积是50。 7．【解题思路】露在外面的面是前面，上面和右面，从前面看有3个小正方形，从上面看有5个小正方形，从右面看有4个小正方形，将从前面，上面和右面看到的小正方形的个数相加，根据正方形面积＝边长×边长，求出一个小正方形的面积，乘露在外面的个数即可。 【详细解答】2×2×（3＋5＋4） ＝4×12 ＝48（平方分米） 露在外面的面积是48平方分米。 8．【解题思路】观察图形可知，这些包装箱的第一层有3个正方体，第二层有5个正方体，则共有3＋5＝8个包装箱；从正面可以看到5个正方形，从右面可以看到4个正方形，从上面可以看到5个正方形，所以露在外面的面共有5＋4＋5＝14个，根据正方形的面积公式：S＝a2，据此求出一个正方形的面积，再乘露在外面的面数即可。 【详细解答】3＋5＝8（个） 5＋4＋5 ＝9＋5 ＝14（面） 1×1×14＝14（平方米） 一些棱长1米的立方体包装箱堆放在墙角。这些包装箱一共有8个，露在外面的面的面积是14平方米。 9．【解题思路】第一个图形有5个面露在外面，可以写成：4×1＋1；第二图形有9个面露在外面，可以写成：4×2＋1；第三个图形有13个面露在外面，可以写成：4×3＋1；……，第n个图形有4n＋1个面露在外面，当n＝4时，即可求出露在外面的面的个数。 【详细解答】根据分析可知，当n＝4时： 4×4＋1 ＝16＋1 ＝17（个） 淘气在摆方块，如果按下图中的规律继续往下摆，第4组有17个面露在外面。 【考点点评】本题主要考查数与形结合的规律，发现每多1个图就多4个面露在外面是解本题的关键。 10．【解题思路】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此求出两个长方体的表面积之和。要使拼成的长方体的表面积最大，就要把最小面拼在一起，即把长方体最小的两个面对着合起来，减少了2个最小的面，此时的长方体是最大的表面积；同理，要使拼成的长方体的表面积最小，那就要把最大面拼在一起，据此即可解答。 【详细解答】（4×3＋4×1＋3×1）×2×2 ＝19×4 ＝76（cm2） 最大：76－3×1×2 ＝76－6 ＝70（cm2） 最小：76－4×3×2 ＝76－24 ＝52（cm2） 【考点点评】解答此题的关键是，将两个长方体最大的两个面相粘合在一起，才能保证拼成的新长方体的表面积最小；将两个最小面相粘合，新长方体的表面积最大。 11．【解题思路】从上面看有5个面露在外面，从正面看有5个面露在外面，从右面看有2个面露在外面，一共有5＋5＋2个面露在外面；再根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，求出正方体一个面的面积，再乘露在外面的面的个数，即可解答。 【详细解答】5×5×（5＋5＋2） ＝25×（10＋2） ＝25×12 ＝300（平方分米） 露在外面的面积是300平方分米。 12．【解题思路】分别数出上面、左面、右面、前面、后面露在外面的正方形个数，求出面数之和，乘每个面的面积即可。 【详细解答】上面：4个；左面：3个；右面：3个；前面：4个；后面：4个 露在外面的面的总个数：4＋3×2＋4×2＝4＋6＋8＝18（个）。 3×3×18 ＝9×18 ＝162（平方厘米） 答：露在外面的面的面积是162平方厘米。 【考点点评】此题考查了有关露在外面的面，数面的时候要按一定的规律来数。 13．【解题思路】观察可知，将3个棱长为5cm的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积与原来的3个正方体的表面积之和相比，减少了4个接触面的面积，用一个面的面积×4＝减少的面积，据此解答。 【详细解答】5×5×4 ＝25×4 ＝100（cm2） 答：长方体的表面积与原来的3个正方体的表面积之和相比，面积减少了，减少了100cm2。 【考点点评】本题考查了立体图形的切拼，每拼一次减少两个面。 14．【解题思路】观察图形，从正面观察，最上层是1个小正方形，中间是2个小正方形，下层是3个小正方形，一共有1＋2＋3个小正方形，一共4个面，再乘4，求出侧面一共有多少个小正方形，即（1＋2＋3）×4；再从上面观察，有9个小正方形，一共有（1＋2＋3）×4＋9个小正方形；再根据正方形面积公式：边长×边长，代入数据，求出一个小正方形面积，再乘求出小正方形的个数，即可解答。 【详细解答】（1＋2＋3）×4＋9 ＝（3＋3）×4＋9 ＝6×4＋9 ＝24＋9 ＝33（个） 8×8×33 ＝64×33 ＝2112（平方厘米） 答：露面的面积是2112平方厘米。 【考点点评】解答本题的关键是数出露在外面的小正方形的面的个数，利用三视图看到的图形，进行解答；要仔细认真。 15．【解题思路】因为是放在墙角处，所以露在外部的有：正面5个正方形，右面5个正方形，上面4个正方形，一共有5＋5＋4＝14个，每个小正方形面的面积是30×30＝900平方厘米，据此再乘14就是露在外部的总面积。 【详细解答】5＋5＋4 ＝10＋4 ＝14（个） 30×30×14 ＝900×14 ＝12600（平方厘米） 答：露在外面的面积是12600平方厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$