高二数学开学摸底考（湘教版2019，选择性必修一全册）-2024-2025学年高中下学期开学摸底考试卷

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025届高二下学期开学摸底考试卷（湘教版2019） 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高二下学期开学摸底考试卷（湘教版2019） 数学•全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若经过，两点的直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】由题意斜率，解得：，故选：D 2．某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小豆3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有（    ） A．36种 B．60种 C．75种 D．85种 【答案】C 【解析】小明有三种选课方法，小强和小豆各有五种选课方法，故共有种选课方法.故选：C. 3．已知圆与轴相切，则（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【解析】由圆的方程整理可得圆，需满足，则圆心，半径，由圆与轴相切，则，解得：.故选：C 4．数列满足并且，则数列的第100项为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，则为等差数列，首项为，第2项为， 公差，则有，．故选：B． 5．已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（ ） A． B． C．或1 D． 【答案】C 【解析】两圆相减得公共弦方程为：， 根据题意可知，圆的圆心到公共弦的距离，解得：或， 当时，圆的标准方程为：， 当时，圆的标准方程为：， 所以或.故选：C 6．已知函数及其导数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”.下列四个函数中，没有“巧值点”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：，由，解得或，所以存在“巧值点”； 对于B：，作函数与的图象，由图可知函数与有交点， 则方程有解，所以存在“巧值点”； 对于C：，由，得， 解得，所以存在“巧值点”； 对于D：，因为，所以无实数解， 所以不存在“巧值点”，故选D. 7．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上位于第一象限内的一点，且直线与轴的正半轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】设的内切圆在边，的切点分别为，， 则，，， 又，则， 由对称性可知，则， 所以，化简可得， 则，双曲线方程为， 所以双曲线的离心率为，故选D. 8．已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数有两个零点等价于直线与函数的图象有两个交点． 对求导得，令，解得， 则当时，，单调递减且，当时，，单调递增， 则，作出函数的大致图象和直线，如图所示： 故的取值范围为． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设数列的前项和为，，，则（   ） A．是等比数列 B．是单调递增数列 C．是单调递减数列 D．的最大值为 【答案】CD 【解析】根据题意，数列中，，则有， 对于A，是等差数列，A错误； 对于B，，是公差为负的等差数列，是单调递减数列，B错误； 对于C，由B的结论，C正确； 对于D，是等差数列，，公差为， 则， 令，可得， 则或时，最大，且的最大值为，D正确. 故选：CD． 10．关于函数，下列说法正确的是（    ） A．有两个极值点 B．的图象关于对称 C．有三个零点 D．是的一个零点 【答案】ACD 【解析】对于B选项，函数的定义域为，， 所以，，故函数的图象关于对称，故B错误； 对于函数，求导可得：， 对于ACD选项，令，解得，可得下表： 极大值 极小值 则，， 所以，函数有两个极值点，故A正确， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数有三个零点，故C正确， ，故D正确. 故选：ACD. 11．已知抛物线的焦点为F，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（    ） A．点F的坐标为 B．若直线MN过点F，则 C．若，则最小值为 D．若，则线段MN的中点P到x轴的距离为 【答案】BD 【解析】对于A，由抛物线方程知其焦点在轴上，焦点为，故A错误； 对于B，依题意，直线斜率存在，设其方程为， 由，消去整理得， 则，，故B正确； 对于C，若，则直线过焦点， 所以， 当时，，故C错误； 对于D，因为， 则，即点纵坐标为， 所以到轴的距离为，故D正确. 故选：BD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知组合数，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】不等式， 即不等式， 解得，又因且为正整数， 所以原不等式的解集为． 13．已知圆及直线，当直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为 . 【答案】 【解析】由可得，令，解得， 故直线过定点，又，故点在圆内， 由圆可知圆心为，半径为， 则，则当直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最短， 即有，解得，即直线， 整理得. 14．设函数，若恒成立，求a的取值范围 . 【答案】 【解析】， 由题意恒成立，则， ①当时，令，得； 令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得 ②当时，存在，不满足题意， 综上，实数a的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）已知在的二项展开式中. (1)若，求展开式中含项的系数； (2)若展开式含有常数项，求最小的正整数的值. 【解】（1）当时，展开式的通项公式为， 令，解得，所以展开式中含项的系数为. （2）展开式的通项公式为， 令，解得，因为， 所以当时，取得最小值，此时展开式含有常数项， 所以最小的正整数的值为. 16．（本小题满分15分）在直角坐标系中，已知一条直线恒过定点A． (1)若直线不经过第二象限，求m取值范围． (2)已知以A为圆心的圆A与直线相切，求圆A的标准方程． 【解】（1），即， 因为直线不经过第二象限，若，则，不符合题意，舍去； 若，则，解得. （2），即，令，则， 则圆心，若圆A与直线相切，则半径， 则圆方程为. 17．（本小题满分15分）已知等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【解】（1）由题意可知，等差数列的公差为， 所以，. （2）因为， 因此，. 18．（本小题满分17分）已知椭圆：的左、右顶点分别为，，点在椭圆上，且． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的右焦点为，过点斜率不为0的直线交椭圆于，两点，记直线与直线的斜率分别为，，当时，求的面积． 【解】（1）由题意知，又， 则， 所以，解得（负值舍去）， 由在椭圆上及得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）由（1）知，右焦点为， 据题意设直线的方程为， 则， 于是由得，化简得（*） 由消去整理得， ， 由根与系数的关系得：， 代入（*）式得：，解得， 直线的方程为， 则， 由求根公式与弦长公式得：， 设点到直线的距离为，则， . 19．（本小题满分17分）在平面直角坐标系中，沿着平行于轴的方向，按照一定的比例对图形的每个点到轴的有向距离进行放缩得到的平面图形，即将点映射到点的操作（为固定的参数），这种变换在数学上称为水平错切．设是定义在上的函数，记，则称是的“错切函数”． (1)设函数的“错切函数”为， ①求的最小值； ②若与的值域相同，求正数的取值范围． (2)已知是上的增函数，是的“错切函数”，证明：是的零点当且仅当是的零点． 【解】（1）①因为函数的定义域为，， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，函数的最小值为； ②由①可知，函数的值域为，由题意可知，函数的值域为， 因为，且， 令， ，令，可得，解得， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，， 所以，函数的值域为， 要使得函数的值域为， 则， 所以，，即，可得，解得， 因此，实数的取值范围是. （2）“”：若为函数的零点，则， 所以，，故为函数的零点； “”：若为函数的零点，则， 所以，函数存在零点，设函数的零点为，则， 因为函数在上为增函数，且，函数在上为增函数， 又因为函数在上为增函数，则内层函数在上为增函数， 由复合函数法可知，函数在上为增函数， 且， 又因为，所以，，即， 所以，为函数的零点. 因此，是的零点当且仅当是的零点． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高二下学期开学摸底考试卷（湘教版2019） 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D C C B C D D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 CD ACD BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分） 【解】（1）当时，展开式的通项公式为， 令，解得，所以展开式中含项的系数为. （2）展开式的通项公式为， 令，解得，因为， 所以当时，取得最小值，此时展开式含有常数项， 所以最小的正整数的值为. 16．（本小题满分15分） 【解】（1），即， 因为直线不经过第二象限，若，则，不符合题意，舍去； 若，则，解得. （2），即，令，则， 则圆心，若圆A与直线相切，则半径， 则圆方程为. 17．（本小题满分15分） 【解】（1）由题意可知，等差数列的公差为， 所以，. （2）因为， 因此，. 18．（本小题满分17分） 【解】（1）由题意知，又， 则， 所以，解得（负值舍去）， 由在椭圆上及得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）由（1）知，右焦点为， 据题意设直线的方程为， 则， 于是由得，化简得（*） 由消去整理得， ， 由根与系数的关系得：， 代入（*）式得：，解得， 直线的方程为， 则， 由求根公式与弦长公式得：， 设点到直线的距离为，则， . 19．（本小题满分17分） 【解】（1）①因为函数的定义域为，， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，函数的最小值为； ②由①可知，函数的值域为，由题意可知，函数的值域为， 因为，且， 令， ，令，可得，解得， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，， 所以，函数的值域为， 要使得函数的值域为， 则， 所以，，即，可得，解得， 因此，实数的取值范围是. （2）“”：若为函数的零点，则， 所以，，故为函数的零点； “”：若为函数的零点，则， 所以，函数存在零点，设函数的零点为，则， 因为函数在上为增函数，且，函数在上为增函数， 又因为函数在上为增函数，则内层函数在上为增函数， 由复合函数法可知，函数在上为增函数， 且， 又因为，所以，，即， 所以，为函数的零点. 因此，是的零点当且仅当是的零点． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高二下学期开学摸底考试卷（湘教版2019） 数学•全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若经过，两点的直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D．2 2．某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小豆3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有（    ） A．36种 B．60种 C．75种 D．85种 3．已知圆与轴相切，则（    ） A．2 B． C． D．1 4．数列满足并且，则数列的第100项为（   ） A． B． C． D． 5．已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（ ） A． B． C．或1 D． 6．已知函数及其导数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”.下列四个函数中，没有“巧值点”的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上位于第一象限内的一点，且直线与轴的正半轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 8．已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设数列的前项和为，，，则（   ） A．是等比数列 B．是单调递增数列 C．是单调递减数列 D．的最大值为 10．关于函数，下列说法正确的是（    ） A．有两个极值点 B．的图象关于对称 C．有三个零点 D．是的一个零点 11．已知抛物线的焦点为F，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（    ） A．点F的坐标为 B．若直线MN过点F，则 C．若，则最小值为 D．若，则线段MN的中点P到x轴的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知组合数，则关于的不等式的解集为 ． 13．已知圆及直线，当直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为 . 14．设函数，若恒成立，求a的取值范围 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）已知在的二项展开式中. (1)若，求展开式中含项的系数； (2)若展开式含有常数项，求最小的正整数的值. 16．（本小题满分15分）在直角坐标系中，已知一条直线恒过定点A． (1)若直线不经过第二象限，求m取值范围． (2)已知以A为圆心的圆A与直线相切，求圆A的标准方程． 17．（本小题满分15分）已知等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 18．（本小题满分17分）已知椭圆：的左、右顶点分别为，，点在椭圆上，且． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的右焦点为，过点斜率不为0的直线交椭圆于，两点，记直线与直线的斜率分别为，，当时，求的面积． 19．（本小题满分17分）在平面直角坐标系中，沿着平行于轴的方向，按照一定的比例对图形的每个点到轴的有向距离进行放缩得到的平面图形，即将点映射到点的操作（为固定的参数），这种变换在数学上称为水平错切．设是定义在上的函数，记，则称是的“错切函数”． (1)设函数的“错切函数”为， ①求的最小值； ②若与的值域相同，求正数的取值范围． (2)已知是上的增函数，是的“错切函数”，证明：是的零点当且仅当是的零点． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$