8.3.2圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积（人教A版必修二）-2024-2025学年寒假高一数学同步练习（全国通用）

8.3.2圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 1．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与表面积的比是(　　) A．1∶2　　　　　 B．2∶3 C．1∶3 D．1∶4 答案　B 解析　设正方形边长为1，则S侧＝2π××1＝π，S表＝S侧＋2S底＝π＋2π·＝π.所以S侧∶S表＝2∶3. 2.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台．如图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm)，那么该壶的体积约为(　　) A．100 cm3 B．200 cm3 C．300 cm3 D．400 cm3 答案　C 解析　由题图可知，石瓢壶的体积V＝π×6×(32＋52＋3×5)＝98π≈300(cm3)．故选C. 3．已知△ABC，AB＝4，BC＝3，AC＝5，现以AB所在直线为轴旋转一周，则所得几何体的表面积为(　　) A．24π B．21π C．33π D．39π 答案　A 解析　∵在△ABC中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，∴△ABC为直角三角形，以AB所在直线为轴旋转一周得到的几何体为圆锥，∴圆锥的底面半径为3，母线长为5，∴底面周长为6π，侧面积为×6π×5＝15π，∴几何体的表面积为15π＋π·32＝24π.故选A. 4．把y＝|x|和y＝2的图象围成的封闭平面图形绕x轴旋转一周，所得几何体的体积为(　　) A.π B．16π C.π D．4π 答案　A 解析　由题意，该几何体可以看作一个圆柱挖去两个完全相同的圆锥，所以所得几何体的体积为V＝π×22×4－2××π×22×2＝π.故选A. 5．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积是(　　) A．3π B．3π C．6π D．9π 答案　A 解析　设圆锥的母线长为a，则由题意得·a·a＝，得a＝2.故圆锥的底面圆直径为2，故圆锥的底面周长为2π，所以圆锥的表面积S＝π×12＋×2π×2＝3π. 6.陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一．如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其总高度为10 cm，圆柱部分高度为7 cm，已知陀螺的总体积为120 cm3，则此陀螺圆柱底面的面积为(　　) A．10 cm2 B．15 cm2 C．16 cm2 D．20 cm2 答案　B 解析　圆锥部分高度为3 cm，故V＝V柱＋V锥＝Sh柱＋Sh锥，即120＝S，解得S＝15 cm2.故选B. 7．如图，水面高度均为2的圆锥、圆柱容器的底面半径相等，高均为4(不考虑容器厚度及圆锥容器开口)．现将圆锥容器内的水全部倒入圆柱容器内，则倒入前后圆柱容器内水的体积之比为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设圆锥容器的底面半径为R，倒入前圆锥和圆柱容器中水的体积分别为V1，V2， 则V1＝πR2×4－π×R2×2＝，V2＝πR2×2＝2πR2，所以＝＝. 8．若一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________． 答案　2∶1 解析　∵S圆柱＝2×π＋2π··a＝πa2，S圆锥＝π＋π··a＝πa2，∴S圆柱∶S圆锥＝2∶1. 9.如图六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个上下底面中心与其重合的圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是________ cm3. 答案　12－ 解析　正六棱柱的体积为6××22×2＝12(cm3)，圆柱的体积为π×2＝(cm3)， 则该六角螺帽毛坯的体积为cm3. 10．已知圆柱O1O2的底面周长为12π，高为15，O为线段O1O2上一点，现从该圆柱中挖去一个顶点为O，底面为圆柱的上底面圆O1，母线长为10的圆锥，则剩余几何体的体积为________，表面积为________． 答案　444π　276π 解析　设圆柱的底面半径为r，则2πr＝12π，得r＝6，所以圆锥的高为＝8， 圆柱的体积为π×62×15＝540π，挖去的圆锥的体积为×π×62×8＝96π， 则剩余几何体的体积为540π－96π＝444π. 圆柱的侧面积S1＝12π×15＝180π，底面积S2＝π×62＝36π，圆锥的侧面积S3＝π×6×10＝60π， 则剩余几何体的表面积S＝S1＋S2＋S3＝276π. 11．如果圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为(　　) A．120° B．150° C．180° D．210° 答案　C 解析　设圆锥的底面半径为r，母线长为l，侧面展开图扇形的圆心角为θ，根据条件得πrl＋πr2＝3πr2，即l＝2r.又由弧长公式得＝2πr，解得θ＝180°.故选C. 12．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是(　　) (注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸) A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．6寸 答案　B 解析　由已知得天池盆盆口的半径为14寸，盆底的半径为6寸，则盆口的面积为196π平方寸，盆底的面积为36π平方寸，又盆高18寸，积水深9寸，则积水的水面半径为＝10(寸)， ∴积水的体积为V＝×(36π＋＋100π)×9＝588π(立方寸)， ∴平地降雨量为＝3(寸)． 13．【多选题】若圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的(　　) A．母线长是20 B．表面积是1 100π C．高是10 D．体积是π 答案　ABD 解析　如图，设圆台的上底面周长为C，因为扇环的圆心角为180°，所以C＝π·SA，又C＝10×2π，所以SA＝20，同理SB＝40，故圆台的母线长AB＝SB－SA＝20，高h＝＝10，体积V＝π×10×(102＋10×20＋202)＝π，表面积S＝π(10＋20)×20＋100π＋400π＝1 100π.故选ABD. 14.如图，一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在其中有一个高为x cm的内接圆柱． (1)试用x表示圆柱的侧面积； (2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？请求出这个最大值． 解析　(1)在△POB中，＝， 即＝，∴DB＝x，∴OD＝OB－DB＝2－x，∴圆柱的侧面积S＝2π·OD·D1D＝2πx＝(6－x)x(cm2)(0<x<6)． (2)由(1)知S＝(6－x)x＝－(x－3)2＋6π. 根据二次函数的性质得，当x＝3时，圆柱的侧面积最大，最大值为6π cm2. 15.如图所示，某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计．已知圆柱的底面周长为24π cm，高为30 cm，圆锥的母线长为20 cm. (1)求这种“笼具”的体积； (2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，已知每平方米该材料的造价为8元，则共需多少元？ 解析　(1)设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的母线长为l，高为h1，则h＝30 cm，l＝20 cm.根据题意可知2πr＝24π，解得r＝12 cm，则h1＝＝16(cm)， 所以这种“笼具”的体积V＝πr2h－πr2h1＝π＝3 552π(cm3)． (2)圆柱的侧面积S1＝2πrh＝720π(cm2)， 圆柱的上底面面积S2＝πr2＝144π(cm2)， 圆锥的侧面积S3＝πrl＝240π(cm2)，所以这种“笼具”的表面积S＝S1＋S2＋S3＝1 104π(cm2)， 故制作50个“笼具”共需＝(元)． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.3.2圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 1．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与表面积的比是(　　) A．1∶2　　　　　 B．2∶3 C．1∶3 D．1∶4 2.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台．如图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm)，那么该壶的体积约为(　　) A．100 cm3 B．200 cm3 C．300 cm3 D．400 cm3 3．已知△ABC，AB＝4，BC＝3，AC＝5，现以AB所在直线为轴旋转一周，则所得几何体的表面积为(　　) A．24π B．21π C．33π D．39π 4．把y＝|x|和y＝2的图象围成的封闭平面图形绕x轴旋转一周，所得几何体的体积为(　　) A.π B．16π C.π D．4π 5．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积是(　　) A．3π B．3π C．6π D．9π 6.陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一．如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其总高度为10 cm，圆柱部分高度为7 cm，已知陀螺的总体积为120 cm3，则此陀螺圆柱底面的面积为(　　) A．10 cm2 B．15 cm2 C．16 cm2 D．20 cm2 7．如图，水面高度均为2的圆锥、圆柱容器的底面半径相等，高均为4(不考虑容器厚度及圆锥容器开口)．现将圆锥容器内的水全部倒入圆柱容器内，则倒入前后圆柱容器内水的体积之比为(　　) A. B. C. D. 8．若一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________． 9.如图六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个上下底面中心与其重合的圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是________ cm3. 10．已知圆柱O1O2的底面周长为12π，高为15，O为线段O1O2上一点，现从该圆柱中挖去一个顶点为O，底面为圆柱的上底面圆O1，母线长为10的圆锥，则剩余几何体的体积为________，表面积为________． 11．如果圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为(　　) A．120° B．150° C．180° D．210° 12．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是(　　) (注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸) A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．6寸 13．【多选题】若圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的(　　) A．母线长是20 B．表面积是1 100π C．高是10 D．体积是π 14.如图，一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在其中有一个高为x cm的内接圆柱． (1)试用x表示圆柱的侧面积； (2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？请求出这个最大值． 15.如图所示，某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计．已知圆柱的底面周长为24π cm，高为30 cm，圆锥的母线长为20 cm. (1)求这种“笼具”的体积； (2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，已知每平方米该材料的造价为8元，则共需多少元？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$