8.1基本立体图形（第2课时）（人教A版必修二）-2024-2025学年寒假高一数学同步练习（全国通用）

8.1基本立体图形（第2课时） 1．【多选题】下列说法中，正确的是(　　) A．在圆柱上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 B．圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 C．在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的 2．下列说法正确的个数是(　　) ①球的半径是球面上任意一点与球心的连线； ②球面上任意两点的连线是球的直径； ③用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆； ④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面； ⑤半圆以它的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球； ⑥空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面． A．0　　　　　　 B．1 C．2 D．3 3．若一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积是(　　) A．10 B．20 C．30 D．40 4．已知圆柱的轴截面是正方形，其面积为Q，则它的一个底面的面积为(　　) A．Q B．πQ C. D. 5．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面半径的比是1∶4，且该圆台的母线长为9，则截去的小圆锥的母线长为(　　) A. B．3 C．12 D．36 6．已知OA为球O的半径，M为线段OA上的点，且AM＝2MO，过M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，若圆M的面积为8π，则OA＝(　　) A．2 B．3 C．2 D．4 7．已知圆锥的母线长为10，高为5，则圆锥的轴截面的面积为________． 8．若一个到球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为________． 9．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径． 10．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径． 11．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为(　　) A．4 B．3 C．2 D．2 12．某公司在庆典活动中，设计了一款纪念品，其底座是顶部有凹槽的圆台，上面放置一个水晶玻璃球，圆台上底圆周的所有点都在凹槽面上．凹槽面上的所有点都在球面上．圆台的上、下底面半径分别为2 cm，4 cm，母线长为2 cm，球的顶端到底座下底面的距离为8 cm，则水晶球的半径为(　　) A. cm B. cm C. cm D．2 cm 13．球O的半径为4，A是球O内一定点，且OA＝3，过A作球O的截面，则截面圆的面积的取值范围为________． 14.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为4 m，则圆锥底面圆的半径等于________m. 15．圆台的上、下底面半径分别为5 cm，10 cm，母线长AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M处拉一条绳子绕圆台侧面转到点A(A在下底面上)，求： (1)绳子的最短长度； (2)在绳子最短时，上底面圆周上的点到绳子的最短距离． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.1基本立体图形（第2课时） 1．【多选题】下列说法中，正确的是(　　) A．在圆柱上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 B．圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 C．在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的 答案　BD 解析　若在圆柱上、下底面圆周上取的点的连线能平行于轴，则是母线，否则不是，故A错误；由圆锥母线的定义可知B正确；圆台可看成是由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的，根据圆锥母线的定义可知C错误；因为圆柱的母线都平行于轴，故也相互平行，故D正确． 2．下列说法正确的个数是(　　) ①球的半径是球面上任意一点与球心的连线； ②球面上任意两点的连线是球的直径； ③用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆； ④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面； ⑤半圆以它的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球； ⑥空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面． A．0　　　　　　 B．1 C．2 D．3 答案　D 解析　①是正确的；②是错误的，只有两点的连线经过球心时才为直径；③是错误的；④是正确的；球面和球是两个不同的概念，半圆以它的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球，故⑤错误，⑥正确． 3．若一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积是(　　) A．10 B．20 C．30 D．40 答案　B 解析　因为圆柱的轴截面是矩形，由题意知该矩形的长是5，宽为4，所以轴截面的面积为4×5＝20.故选B. 4．已知圆柱的轴截面是正方形，其面积为Q，则它的一个底面的面积为(　　) A．Q B．πQ C. D. 答案　C 解析　圆柱的轴截面一边为高，另一边为底面的直径，由轴截面为正方形可知，高与底面直径均为，所以底面半径为，所以底面的面积为π·＝. 5．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面半径的比是1∶4，且该圆台的母线长为9，则截去的小圆锥的母线长为(　　) A. B．3 C．12 D．36 答案　B 解析　设截去的小圆锥的母线长为y，根据相似三角形的性质，得＝，解得y＝3.故选B. 6．已知OA为球O的半径，M为线段OA上的点，且AM＝2MO，过M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，若圆M的面积为8π，则OA＝(　　) A．2 B．3 C．2 D．4 答案　B 解析　如图，由圆M的面积为8π，得π×BM2＝8π，BM＝2. 设球的半径为R，则MO＝R，OB＝R，所以R2＝R2＋(2)2，∴R＝3＝OA. 7．已知圆锥的母线长为10，高为5，则圆锥的轴截面的面积为________． 答案　25 解析　设圆锥的底面半径为r，由题意得r＝＝5， ∴S轴截面＝×10×5＝25. 8．若一个到球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为________． 答案　2 解析　由题知球心到截面的距离为1，设截面圆的半径为r，则πr2＝π，所以r＝1.设球的半径为R，则R＝＝，故球的直径为2. 9．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径． 解析　如图，设这两个截面圆的半径分别为r1，r2，球心到截面的距离分别为d1，d2，球的半径为R， 则πr12＝5π，πr22＝8π，∴r12＝5，r22＝8， 又∵R2＝r12＋d12＝r22＋d22，∴d12－d22＝8－5＝3， 即(d1－d2)(d1＋d2)＝3， 又d1－d2＝1，∴解得 ∴R＝＝＝3， 即球的半径等于3. 10．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径． 解析　圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm，3x cm，延长AA1，BB1，OO1，由圆台的性质知它们交于一点，设为S，在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，则∠SAO＝45°，所以SO＝AO＝3x cm，SO1＝A1O1＝x cm， 所以OO1＝2x cm. 又S轴截面＝(6x＋2x)·2x＝392，所以x＝7. 所以圆台的高OO1＝14 cm， 母线长l＝OO1＝14 cm， 两底面半径分别为7 cm，21 cm. 11．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为(　　) A．4 B．3 C．2 D．2 答案　D 解析　设圆台的母线长为l，高为h，上、下两底面圆的半径分别为r，R，则l2＝h2＋(R－r)2，由题意知r＝6，R＝7，l＝5，求得h＝2，即两底面之间的距离为2. 12．某公司在庆典活动中，设计了一款纪念品，其底座是顶部有凹槽的圆台，上面放置一个水晶玻璃球，圆台上底圆周的所有点都在凹槽面上．凹槽面上的所有点都在球面上．圆台的上、下底面半径分别为2 cm，4 cm，母线长为2 cm，球的顶端到底座下底面的距离为8 cm，则水晶球的半径为(　　) A. cm B. cm C. cm D．2 cm 答案　A 解析　由题意可知，圆台的高为＝4(cm)，球的最高点到圆台上底面的距离为8－4＝4(cm)，设球的半径为R，则R2＝22＋(4－R)2，解得R＝ cm. 13．球O的半径为4，A是球O内一定点，且OA＝3，过A作球O的截面，则截面圆的面积的取值范围为________． 答案　[7π，16π] 解析　截面圆半径的最大值为4，最小值为＝.∴截面圆面积的取值范围为[7π，16π]． 14.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为4 m，则圆锥底面圆的半径等于________m. 答案　1 解析　如图，把圆锥侧面沿过点P的母线展开成扇形，设圆锥顶点为O，由题意OP＝4 m，PP′＝4 m，则cos∠POP′＝＝0，且∠POP′是三角形的内角， 所以∠POP′＝.设底面圆的半径为r m，则2πr＝×4，所以r＝1. 15．圆台的上、下底面半径分别为5 cm，10 cm，母线长AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M处拉一条绳子绕圆台侧面转到点A(A在下底面上)，求： (1)绳子的最短长度； (2)在绳子最短时，上底面圆周上的点到绳子的最短距离． 解析　(1)如图所示，将圆台侧面沿母线AB展开，延长AB，A′B′交于点O，连接AM，则绳子的最短距离为侧面展开图中AM的长度，设OB＝l，∠AOA′＝θ， 则θ·l＝2π×5，θ·(l＋20)＝2π×10，解得θ＝，l＝20 cm. ∴OA＝40 cm，OM＝30 cm. ∴AM＝＝50(cm)． 即绳子最短长度为50 cm. (2)作OQ⊥AM于点Q，交弧BB′于点P，则PQ为所求的最短距离． ∵OA·OM＝AM·OQ，∴OQ＝24 cm. 故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4(cm)，即上底面圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$