20.3.2 用计算器求方差 同步个性化分层作业 2024-2025学年华东师大版八年级数学下册

（中等生篇）20.3.2 用计算器求方差 一．选择题（共2小题） 1.某工厂为了选拔1名车工参加加工直径为10mm的精密零件的技术比赛，随机抽取甲、乙两名车工加工的5个零件，现测得的结果如下表，请你用计算器比较S2甲、S2乙的大小（　　） 甲 10.05 10.02 9.97 9.96 10 乙 10 10.01 10.02 9.97 10 A．S2甲＞S2乙 B．S2甲＝S2乙 C．S2甲＜S2乙 D．S2甲≤S2 2．一般具有统计功能的计算器可以直接求出（　　） A．平均数和标准差 B．方差和标准差 C．众数和方差 D．平均数和方差 二．填空题（共4小题） 3．用计算器求方差的一般步骤是： ①使计算器进入　 　状态； ②依次输入各数据； ③按求　 　的功能键，即可得出结果． 4．用计算器计算数据﹣1，0，1，2，3的方差是　 　． 5．用科学计算器求得271，315，263，289，300，277，286，293，297，280的平均数为　 　，标准差为　 　．（精确到0.1） 6．（1）用计算器进行统计算时，样本数据输入完后，求标准差应按键　 　； （2）数据9.9、9.8、10.1、10.4、9.8的方差是　 　．（结果保留两个有效数字） 三．解答题（共4小题） 7．在学校组织的社会实践活动中，甲、乙两人参加了射击比赛，每人射击七次，命中的环数如表： 序号 一 二 三 四 五 六 七 甲命中的环数（环） 7 8 8 6 9 8 10 乙命中的环数（环） 5 10 6 7 8 10 10 根据以上信息，解决以下问题： （1）写出甲、乙两人命中环数的众数； （2）已知通过计算器求得8，s甲2≈1.43，试比较甲、乙两人谁的成绩更稳定？ 8．用科学计算器分别计算下面各组数据的平均数和方差： 甲组 1 2 3 4 5 乙组 100 200 300 400 500 （1）比较这两组数据，它们的对应关系是什么？它们的平均数和方差各有什么关系？ （2）如果用科学计算器计算0.01，0.02，0.03，0.04，0.05的平均数和方差，你能根据（1）的结论，用简化数据的方法计算吗？请你试一试． 9．给定一组数据如下： 1，1，4，4，4，7，7． （1）请你估计一下这组数据的平均数、方差大约是多少； （2）用计算器计算这组数据的平均数、方差，与你的估计值进行比较，你的估计是否准确？ 10．用科学计算器分别计算下列各组数据的方差： （1）1，2，3，4，5，6； （2）﹣2，﹣2，0，0，0，6． 参考答案与试题解析 题号 1 2 答案 A A 一．选择题（共2小题） 1某工厂为了选拔1名车工参加加工直径为10mm的精密零件的技术比赛，随机抽取甲、乙两名车工加工的5个零件，现测得的结果如下表，请你用计算器比较S2甲、S2乙的大小（　　） 甲 10.05 10.02 9.97 9.96 10 乙 10 10.01 10.02 9.97 10 A．S2甲＞S2乙 B．S2甲＝S2乙 C．S2甲＜S2乙 D．S2甲≤S2 【考点】计算器﹣标准差与方差．版权所有 【专题】图表型． 【答案】A 【分析】先计算出平均数后，再根据方差的计算公式计算，再比较． 【解答】解：甲的平均数＝（10.05+10.02+9.97+9.96+10）÷5＝10， 乙的平均数＝（10+10.01+10.02+9.97+10）÷5＝10； S2甲[（10.05﹣10）2+（10.02﹣10）2+（9.97﹣10）2+（9.96﹣10）2+（10﹣10）2]， S2乙[（10﹣10）2+（10.01﹣10）2+（10.02﹣10）2+（9.97﹣10）2+（10﹣10）2]； 故有S2甲＞S2乙． 故选：A． 【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 2．一般具有统计功能的计算器可以直接求出（　　） A．平均数和标准差 B．方差和标准差 C．众数和方差 D．平均数和方差 【考点】计算器﹣标准差与方差．版权所有 【答案】A 【分析】根据科学计算器的功能回答． 【解答】解：根据计算器的功能可得答案为A． 故选：A． 【点评】本题要求同学们能熟练应用计算器，会用科学计算器进行计算． 二．填空题（共4小题） 3．用计算器求方差的一般步骤是： ①使计算器进入　MODE　状态； ②依次输入各数据； ③按求　　的功能键，即可得出结果． 【考点】计算器﹣标准差与方差．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】由于不同的计算器，其操作不完全相同，可以根据计算器的说明书进行操作． 【解答】解：用计算器求方差的一般步骤是： ①使计算器进入 MODE状态； ②依次输入各数据； ③按求 的功能键，即可得出结果． 故答案为：MODE，． 【点评】此题主要考查了计算器求方差，正确掌握计算器的基本使用方法是解题关键． 4．用计算器计算数据﹣1，0，1，2，3的方差是　2　． 【考点】计算器﹣标准差与方差．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】先计算出数据的平均数，再计算方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，（x1+x2+…+xn），则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]． 【解答】解：﹣1，0，1，2，3的平均数为：（﹣1+0+1+2+3）＝1， ∴方差是：S2[（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+…+（3﹣1）2]＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了计算器按键顺序和方差计算方法．一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，（x1+x2+…+xn），则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]． 5．用科学计算器求得271，315，263，289，300，277，286，293，297，280的平均数为　287.1　，标准差为　14.4　．（精确到0.1） 【考点】计算器﹣标准差与方差．版权所有 【专题】计算题；压轴题． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据平均数、标准差的概念计算．方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，标准差是方差的算术平方根． 【解答】解：由题意知，数据的平均数（271+315+263+289+300+277+286+293+297+280）＝287.1 方差S2[（271﹣287.1）2+（315﹣287.1）2+（263﹣287.1）2+（289﹣287.1）2+（300﹣287.1）2+（277﹣287.1）2+（286﹣287.1）2+（293﹣287.1）2+（297﹣287.1）2+（280﹣287.1）2]＝207.4 标准差为14.4． 故填287.1，14.4． 【点评】本题考查了平均数，方差和标准差的概念．标准差是方差的算术平方根． 6．（1）用计算器进行统计算时，样本数据输入完后，求标准差应按键　2ndF　； （2）数据9.9、9.8、10.1、10.4、9.8的方差是　0.052　．（结果保留两个有效数字） 【考点】计算器﹣标准差与方差．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）计算器按键顺序可知按2ndF； （2）先计算出数据的平均数，再计算方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，（x1+x2+…+xn），则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]． 【解答】解：（1）计算器按键顺序可知按2ndF； （2）平均数（9.9+9.8+10.1+10.4+9.8）＝10，方差S2[（9.9﹣10）2+（9.8﹣10）2+（10.1﹣10）2+（10.4﹣10）2+（9.8﹣10）2]＝0.052． 故填2ndF，0.052． 【点评】本题考查计算器按键顺序和方差计算方法．一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，（x1+x2+…+xn），则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]． 三．解答题（共4小题） 7．在学校组织的社会实践活动中，甲、乙两人参加了射击比赛，每人射击七次，命中的环数如表： 序号 一 二 三 四 五 六 七 甲命中的环数（环） 7 8 8 6 9 8 10 乙命中的环数（环） 5 10 6 7 8 10 10 根据以上信息，解决以下问题： （1）写出甲、乙两人命中环数的众数； （2）已知通过计算器求得8，s甲2≈1.43，试比较甲、乙两人谁的成绩更稳定？ 【考点】计算器﹣标准差与方差；众数．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据众数的定义解答即可； （2）根据已知条件中的数据计算出乙的方差和平均数，再和甲比较即可． 【解答】解：（1）由题意可知：甲的众数为8，乙的众数为10； （2）乙的平均数8， 乙的方差为：S乙2[（5﹣8）2+（10﹣8）2+…+（10﹣8）2]3.71． ∵得8，s甲2≈1.43， ∴甲乙的平均成绩一样，而甲的方差小于乙的方差， ∴甲的成绩更稳定． 【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 8．用科学计算器分别计算下面各组数据的平均数和方差： 甲组 1 2 3 4 5 乙组 100 200 300 400 500 （1）比较这两组数据，它们的对应关系是什么？它们的平均数和方差各有什么关系？ （2）如果用科学计算器计算0.01，0.02，0.03，0.04，0.05的平均数和方差，你能根据（1）的结论，用简化数据的方法计算吗？请你试一试． 【考点】计算器﹣标准差与方差；计算器﹣平均数．版权所有 【专题】统计的应用；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据平均数和方差公式分别进行计算即可得出答案； （2）根据（1）的结论进行计算即可． 【解答】解：（1）甲组数据的平均数为（1+2+3+4+5）＝3， 方差为[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2； 乙组数据的平均数为（100+200+300+400+500）＝300， 方差为[（100﹣300）2+（200﹣300）2+（300﹣300）2+（400﹣300）2+（500﹣300）2]＝20000； 比较这两组数据，它们的对应关系是乙组每个数据是甲组对应数据的100倍，乙组的平均数是甲组平均数的100倍，乙组方差是甲组方差的10000倍； （2）能根据（1）的结论，用简化数据的方法计算，方法如下： ∵甲组数据的平均数是2，方差为2， ∴0.01，0.02，0.03，0.04，0.05的平均数为3÷100＝0.03，方差为2÷10000＝0.0002． 【点评】本题考查了方差和平均数，解答本题的关键通过计算平均数和方差得出规律． 9．给定一组数据如下： 1，1，4，4，4，7，7． （1）请你估计一下这组数据的平均数、方差大约是多少； （2）用计算器计算这组数据的平均数、方差，与你的估计值进行比较，你的估计是否准确？ 【考点】计算器﹣标准差与方差；用样本估计总体；计算器﹣平均数．版权所有 【专题】统计的应用；数据分析观念． 【答案】见试题解答内容 【分析】先把这组数据的7个数字加起来求和，再除以7即可求出这组数据的平均数，然后再根据方差公式S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]求解即可． 【解答】解：（1）估计这组数据的平均数是4、方差大约是5； （2）平均数：（1+1+4+4+4+7+7）÷7＝4， 方差：[2×（1﹣4）2+3×（4﹣4）2+2×（7﹣4）2]＝5， 与估计值进行比较，估计基本准确． 【点评】本题考查了平均数和方差公式，解题时牢记公式是关键，此题比较简单，只要牢记公式即可正确求解． 10．用科学计算器分别计算下列各组数据的方差： （1）1，2，3，4，5，6； （2）﹣2，﹣2，0，0，0，6． 【考点】计算器﹣标准差与方差．版权所有 【专题】统计的应用；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先由平均数的计算公式计算出这组数据的平均数，再代入方差公式计算即可； （2）先求出这组数据的平均数，再代入方差公式S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，进行计算即可得出答案． 【解答】解：（1）这组数据的平均数是：（1+2+3+4+5+6）＝3.5， 则这组数据的方差是：[（1﹣3.5）2+（2﹣3.5）2+（3﹣3.5）2+（4﹣3.5）2+（5﹣3.5）2+（6﹣3.5）2]； （2）这组数据的平均数是：（﹣2﹣2+0+0+0+6）， 则这组数据的方差是：[2（﹣2）2+3（0）2+（6）2]． 【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ （尖子生篇）20.3.2 用计算器求方差 一．选择题（共2小题） 1．某工厂为了选拔1名车工参加加工直径为10mm的精密零件的技术比赛，随机抽取甲、乙两名车工加工的5个零件，现测得的结果如下表，请你用计算器比较S2甲、S2乙的大小（　　） 甲 10.05 10.02 9.97 9.96 10 乙 10 10.01 10.02 9.97 10 A．S2甲＞S2乙 B．S2甲＝S2乙 C．S2甲＜S2乙 D．S2甲≤S2 2．一般具有统计功能的计算器可以直接求出（　　） A．平均数和标准差 B．方差和标准差 C．众数和方差 D．平均数和方差 二．填空题（共5小题） 3．利用计算器求数据2，1，3，4，3，5的平均数是　 　；方差　 　；中位数　 　． 4．用科学计算器求得271，315，263，289，300，277，286，293，297，280的平均数为　 　，标准差为　 　．（精确到0.1） 5．（1）用计算器进行统计算时，样本数据输入完后，求标准差应按键　 　； （2）数据9.9、9.8、10.1、10.4、9.8的方差是　 　．（结果保留两个有效数字） 6．用计算器求方差的一般步骤是： ①使计算器进入　 　状态； ②依次输入各数据； ③按求　 　的功能键，即可得出结果． 7．用计算器计算数据﹣1，0，1，2，3的方差是　 　． 三．解答题（共3小题） 8．在学校组织的社会实践活动中，甲、乙两人参加了射击比赛，每人射击七次，命中的环数如表： 序号 一 二 三 四 五 六 七 甲命中的环数（环） 7 8 8 6 9 8 10 乙命中的环数（环） 5 10 6 7 8 10 10 根据以上信息，解决以下问题： （1）写出甲、乙两人命中环数的众数； （2）已知通过计算器求得8，s甲2≈1.43，试比较甲、乙两人谁的成绩更稳定？ 9．给定一组数据如下： 1，1，4，4，4，7，7． （1）请你估计一下这组数据的平均数、方差大约是多少； （2）用计算器计算这组数据的平均数、方差，与你的估计值进行比较，你的估计是否准确？ 10．用科学计算器分别计算下面各组数据的平均数和方差： 甲组 1 2 3 4 5 乙组 100 200 300 400 500 （1）比较这两组数据，它们的对应关系是什么？它们的平均数和方差各有什么关系？ （2）如果用科学计算器计算0.01，0.02，0.03，0.04，0.05的平均数和方差，你能根据（1）的结论，用简化数据的方法计算吗？请你试一试． 参考答案与试题解析 题号 1 2 答案 A A 一．选择题（共2小题） 1．某工厂为了选拔1名车工参加加工直径为10mm的精密零件的技术比赛，随机抽取甲、乙两名车工加工的5个零件，现测得的结果如下表，请你用计算器比较S2甲、S2乙的大小（　　） 甲 10.05 10.02 9.97 9.96 10 乙 10 10.01 10.02 9.97 10 A．S2甲＞S2乙 B．S2甲＝S2乙 C．S2甲＜S2乙 D．S2甲≤S2 【考点】计算器﹣标准差与方差．版权所有 【专题】图表型． 【答案】A 【分析】先计算出平均数后，再根据方差的计算公式计算，再比较． 【解答】解：甲的平均数＝（10.05+10.02+9.97+9.96+10）÷5＝10， 乙的平均数＝（10+10.01+10.02+9.97+10）÷5＝10； S2甲[（10.05﹣10）2+（10.02﹣10）2+（9.97﹣10）2+（9.96﹣10）2+（10﹣10）2]， S2乙[（10﹣10）2+（10.01﹣10）2+（10.02﹣10）2+（9.97﹣10）2+（10﹣10）2]； 故有S2甲＞S2乙． 故选：A． 【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 2．一般具有统计功能的计算器可以直接求出（　　） A．平均数和标准差 B．方差和标准差 C．众数和方差 D．平均数和方差 【考点】计算器﹣标准差与方差．版权所有 【答案】A 【分析】根据科学计算器的功能回答． 【解答】解：根据计算器的功能可得答案为A． 故选：A． 【点评】本题要求同学们能熟练应用计算器，会用科学计算器进行计算． 二．填空题（共5小题） 3．利用计算器求数据2，1，3，4，3，5的平均数是　3　；方差　　；中位数　3　． 【考点】计算器﹣标准差与方差；计算器﹣平均数．版权所有 【专题】计算题；压轴题． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据平均数的定义，方差的定义以及中位数的对分别求解即可． 【解答】解：平均数3； 方差[（2﹣3）2+（1﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（3﹣3）2+（5﹣3）2]， （1+4+0+1+0+4）， ； 按照从小到大排列如下：1、2、3、3、4、5， 第3、4两个数都是3， 所以，中位数是（3+3）＝3． 故答案为：3，，3． 【点评】本题考查了平均数，方差，中位数的计算，是基础题，熟记概念以及计算方法是解题的关键． 4．用科学计算器求得271，315，263，289，300，277，286，293，297，280的平均数为　287.1　，标准差为　14.4　．（精确到0.1） 【考点】计算器﹣标准差与方差．版权所有 【专题】计算题；压轴题． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据平均数、标准差的概念计算．方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，标准差是方差的算术平方根． 【解答】解：由题意知，数据的平均数（271+315+263+289+300+277+286+293+297+280）＝287.1 方差S2[（271﹣287.1）2+（315﹣287.1）2+（263﹣287.1）2+（289﹣287.1）2+（300﹣287.1）2+（277﹣287.1）2+（286﹣287.1）2+（293﹣287.1）2+（297﹣287.1）2+（280﹣287.1）2]＝207.4 标准差为14.4． 故填287.1，14.4． 【点评】本题考查了平均数，方差和标准差的概念．标准差是方差的算术平方根． 5．（1）用计算器进行统计算时，样本数据输入完后，求标准差应按键　2ndF　； （2）数据9.9、9.8、10.1、10.4、9.8的方差是　0.052　．（结果保留两个有效数字） 【考点】计算器﹣标准差与方差．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）计算器按键顺序可知按2ndF； （2）先计算出数据的平均数，再计算方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，（x1+x2+…+xn），则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]． 【解答】解：（1）计算器按键顺序可知按2ndF； （2）平均数（9.9+9.8+10.1+10.4+9.8）＝10，方差S2[（9.9﹣10）2+（9.8﹣10）2+（10.1﹣10）2+（10.4﹣10）2+（9.8﹣10）2]＝0.052． 故填2ndF，0.052． 【点评】本题考查计算器按键顺序和方差计算方法．一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，（x1+x2+…+xn），则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]． 6．用计算器求方差的一般步骤是： ①使计算器进入　MODE　状态； ②依次输入各数据； ③按求　　的功能键，即可得出结果． 【考点】计算器﹣标准差与方差．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】由于不同的计算器，其操作不完全相同，可以根据计算器的说明书进行操作． 【解答】解：用计算器求方差的一般步骤是： ①使计算器进入 MODE状态； ②依次输入各数据； ③按求 的功能键，即可得出结果． 故答案为：MODE，． 【点评】此题主要考查了计算器求方差，正确掌握计算器的基本使用方法是解题关键． 7．用计算器计算数据﹣1，0，1，2，3的方差是　2　． 【考点】计算器﹣标准差与方差．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】先计算出数据的平均数，再计算方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，（x1+x2+…+xn），则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]． 【解答】解：﹣1，0，1，2，3的平均数为：（﹣1+0+1+2+3）＝1， ∴方差是：S2[（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+…+（3﹣1）2]＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了计算器按键顺序和方差计算方法．一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，（x1+x2+…+xn），则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]． 三．解答题（共3小题） 8．在学校组织的社会实践活动中，甲、乙两人参加了射击比赛，每人射击七次，命中的环数如表： 序号 一 二 三 四 五 六 七 甲命中的环数（环） 7 8 8 6 9 8 10 乙命中的环数（环） 5 10 6 7 8 10 10 根据以上信息，解决以下问题： （1）写出甲、乙两人命中环数的众数； （2）已知通过计算器求得8，s甲2≈1.43，试比较甲、乙两人谁的成绩更稳定？ 【考点】计算器﹣标准差与方差；众数．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据众数的定义解答即可； （2）根据已知条件中的数据计算出乙的方差和平均数，再和甲比较即可． 【解答】解：（1）由题意可知：甲的众数为8，乙的众数为10； （2）乙的平均数8， 乙的方差为：S乙2[（5﹣8）2+（10﹣8）2+…+（10﹣8）2]3.71． ∵得8，s甲2≈1.43， ∴甲乙的平均成绩一样，而甲的方差小于乙的方差， ∴甲的成绩更稳定． 【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 9．给定一组数据如下： 1，1，4，4，4，7，7． （1）请你估计一下这组数据的平均数、方差大约是多少； （2）用计算器计算这组数据的平均数、方差，与你的估计值进行比较，你的估计是否准确？ 【考点】计算器﹣标准差与方差；用样本估计总体；计算器﹣平均数．版权所有 【专题】统计的应用；数据分析观念． 【答案】见试题解答内容 【分析】先把这组数据的7个数字加起来求和，再除以7即可求出这组数据的平均数，然后再根据方差公式S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]求解即可． 【解答】解：（1）估计这组数据的平均数是4、方差大约是5； （2）平均数：（1+1+4+4+4+7+7）÷7＝4， 方差：[2×（1﹣4）2+3×（4﹣4）2+2×（7﹣4）2]＝5， 与估计值进行比较，估计基本准确． 【点评】本题考查了平均数和方差公式，解题时牢记公式是关键，此题比较简单，只要牢记公式即可正确求解． 10．用科学计算器分别计算下面各组数据的平均数和方差： 甲组 1 2 3 4 5 乙组 100 200 300 400 500 （1）比较这两组数据，它们的对应关系是什么？它们的平均数和方差各有什么关系？ （2）如果用科学计算器计算0.01，0.02，0.03，0.04，0.05的平均数和方差，你能根据（1）的结论，用简化数据的方法计算吗？请你试一试． 【考点】计算器﹣标准差与方差；计算器﹣平均数．版权所有 【专题】统计的应用；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据平均数和方差公式分别进行计算即可得出答案； （2）根据（1）的结论进行计算即可． 【解答】解：（1）甲组数据的平均数为（1+2+3+4+5）＝3， 方差为[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2； 乙组数据的平均数为（100+200+300+400+500）＝300， 方差为[（100﹣300）2+（200﹣300）2+（300﹣300）2+（400﹣300）2+（500﹣300）2]＝20000； 比较这两组数据，它们的对应关系是乙组每个数据是甲组对应数据的100倍，乙组的平均数是甲组平均数的100倍，乙组方差是甲组方差的10000倍； （2）能根据（1）的结论，用简化数据的方法计算，方法如下： ∵甲组数据的平均数是2，方差为2， ∴0.01，0.02，0.03，0.04，0.05的平均数为3÷100＝0.03，方差为2÷10000＝0.0002． 【点评】本题考查了方差和平均数，解答本题的关键通过计算平均数和方差得出规律． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ （学困生篇） 20.3.2 用计算器求方差 一．选择题（共2小题） 1．某工厂为了选拔1名车工参加加工直径为10mm的精密零件的技术比赛，随机抽取甲、乙两名车工加工的5个零件，现测得的结果如下表，请你用计算器比较S2甲、S2乙的大小（　　） 甲 10.05 10.02 9.97 9.96 10 乙 10 10.01 10.02 9.97 10 A．S2甲＞S2乙 B．S2甲＝S2乙 C．S2甲＜S2乙 D．S2甲≤S2 2．一般具有统计功能的计算器可以直接求出（　　） A．平均数和标准差 B．方差和标准差 C．众数和方差 D．平均数和方差 二．填空题（共5小题） 3．利用计算器求数据2，1，3，4，3，5的平均数是　 　；方差　 　；中位数　 　． 4．用科学计算器求得271，315，263，289，300，277，286，293，297，280的平均数为　 　，标准差为　 　．（精确到0.1） 5．（1）用计算器进行统计算时，样本数据输入完后，求标准差应按键　 　； （2）数据9.9、9.8、10.1、10.4、9.8的方差是　 　．（结果保留两个有效数字） 6．用计算器计算数据﹣1，0，1，2，3的方差是　 　． 7．用计算器求方差的一般步骤是： ①使计算器进入　 　状态； ②依次输入各数据； ③按求　 　的功能键，即可得出结果． 三．解答题（共7小题） 8．在学校组织的社会实践活动中，甲、乙两人参加了射击比赛，每人射击七次，命中的环数如表： 序号 一 二 三 四 五 六 七 甲命中的环数（环） 7 8 8 6 9 8 10 乙命中的环数（环） 5 10 6 7 8 10 10 根据以上信息，解决以下问题： （1）写出甲、乙两人命中环数的众数； （2）已知通过计算器求得8，s甲2≈1.43，试比较甲、乙两人谁的成绩更稳定？ 9．用科学计算器分别计算下面各组数据的平均数和方差： 甲组 1 2 3 4 5 乙组 100 200 300 400 500 （1）比较这两组数据，它们的对应关系是什么？它们的平均数和方差各有什么关系？ （2）如果用科学计算器计算0.01，0.02，0.03，0.04，0.05的平均数和方差，你能根据（1）的结论，用简化数据的方法计算吗？请你试一试． 10．给定一组数据如下： 1，1，4，4，4，7，7． （1）请你估计一下这组数据的平均数、方差大约是多少； （2）用计算器计算这组数据的平均数、方差，与你的估计值进行比较，你的估计是否准确？ 11．用科学计算器分别计算下列各组数据的方差： （1）1，2，3，4，5，6； （2）﹣2，﹣2，0，0，0，6． 12．先简化数据，再用科学计算器分别计算下列各组数据的方差： （1）8241，8250，8248，8253，8245； （2）12341，12340，12349，12349，12344． 13．用计算器求下列各组数据的平均数和方差： （1）24，24，31，31，47，47，62，84，95，95； （2）473，284，935，743，586，654； （3）10.1，9.8，9.7，10.2，10.3，9.9，10.0． 14．用科学计算器计算下面两组数据的方差，然后回答问题： A：213，214，215，216，217； B：314，315，316，317，318． 通过计算，可发现其中存在怎样的规律？ 参考答案与试题解析 题号 1 2 答案 A A 一．选择题（共2小题） 1．某工厂为了选拔1名车工参加加工直径为10mm的精密零件的技术比赛，随机抽取甲、乙两名车工加工的5个零件，现测得的结果如下表，请你用计算器比较S2甲、S2乙的大小（　　） 甲 10.05 10.02 9.97 9.96 10 乙 10 10.01 10.02 9.97 10 A．S2甲＞S2乙 B．S2甲＝S2乙 C．S2甲＜S2乙 D．S2甲≤S2 【考点】计算器﹣标准差与方差．版权所有 【专题】图表型． 【答案】A 【分析】先计算出平均数后，再根据方差的计算公式计算，再比较． 【解答】解：甲的平均数＝（10.05+10.02+9.97+9.96+10）÷5＝10， 乙的平均数＝（10+10.01+10.02+9.97+10）÷5＝10； S2甲[（10.05﹣10）2+（10.02﹣10）2+（9.97﹣10）2+（9.96﹣10）2+（10﹣10）2]， S2乙[（10﹣10）2+（10.01﹣10）2+（10.02﹣10）2+（9.97﹣10）2+（10﹣10）2]； 故有S2甲＞S2乙． 故选：A． 【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 2．一般具有统计功能的计算器可以直接求出（　　） A．平均数和标准差 B．方差和标准差 C．众数和方差 D．平均数和方差 【考点】计算器﹣标准差与方差．版权所有 【答案】A 【分析】根据科学计算器的功能回答． 【解答】解：根据计算器的功能可得答案为A． 故选：A． 【点评】本题要求同学们能熟练应用计算器，会用科学计算器进行计算． 二．填空题（共5小题） 3．利用计算器求数据2，1，3，4，3，5的平均数是　3　；方差　　；中位数　3　． 【考点】计算器﹣标准差与方差；计算器﹣平均数．版权所有 【专题】计算题；压轴题． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据平均数的定义，方差的定义以及中位数的对分别求解即可． 【解答】解：平均数3； 方差[（2﹣3）2+（1﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（3﹣3）2+（5﹣3）2]， （1+4+0+1+0+4）， ； 按照从小到大排列如下：1、2、3、3、4、5， 第3、4两个数都是3， 所以，中位数是（3+3）＝3． 故答案为：3，，3． 【点评】本题考查了平均数，方差，中位数的计算，是基础题，熟记概念以及计算方法是解题的关键． 4．用科学计算器求得271，315，263，289，300，277，286，293，297，280的平均数为　287.1　，标准差为　14.4　．（精确到0.1） 【考点】计算器﹣标准差与方差．版权所有 【专题】计算题；压轴题． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据平均数、标准差的概念计算．方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，标准差是方差的算术平方根． 【解答】解：由题意知，数据的平均数（271+315+263+289+300+277+286+293+297+280）＝287.1 方差S2[（271﹣287.1）2+（315﹣287.1）2+（263﹣287.1）2+（289﹣287.1）2+（300﹣287.1）2+（277﹣287.1）2+（286﹣287.1）2+（293﹣287.1）2+（297﹣287.1）2+（280﹣287.1）2]＝207.4 标准差为14.4． 故填287.1，14.4． 【点评】本题考查了平均数，方差和标准差的概念．标准差是方差的算术平方根． 5．（1）用计算器进行统计算时，样本数据输入完后，求标准差应按键　2ndF　； （2）数据9.9、9.8、10.1、10.4、9.8的方差是　0.052　．（结果保留两个有效数字） 【考点】计算器﹣标准差与方差．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）计算器按键顺序可知按2ndF； （2）先计算出数据的平均数，再计算方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，（x1+x2+…+xn），则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]． 【解答】解：（1）计算器按键顺序可知按2ndF； （2）平均数（9.9+9.8+10.1+10.4+9.8）＝10，方差S2[（9.9﹣10）2+（9.8﹣10）2+（10.1﹣10）2+（10.4﹣10）2+（9.8﹣10）2]＝0.052． 故填2ndF，0.052． 【点评】本题考查计算器按键顺序和方差计算方法．一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，（x1+x2+…+xn），则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]． 6．用计算器计算数据﹣1，0，1，2，3的方差是　2　． 【考点】计算器﹣标准差与方差．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】先计算出数据的平均数，再计算方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，（x1+x2+…+xn），则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]． 【解答】解：﹣1，0，1，2，3的平均数为：（﹣1+0+1+2+3）＝1， ∴方差是：S2[（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+…+（3﹣1）2]＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了计算器按键顺序和方差计算方法．一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，（x1+x2+…+xn），则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]． 7．用计算器求方差的一般步骤是： ①使计算器进入　MODE　状态； ②依次输入各数据； ③按求　　的功能键，即可得出结果． 【考点】计算器﹣标准差与方差．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】由于不同的计算器，其操作不完全相同，可以根据计算器的说明书进行操作． 【解答】解：用计算器求方差的一般步骤是： ①使计算器进入 MODE状态； ②依次输入各数据； ③按求 的功能键，即可得出结果． 故答案为：MODE，． 【点评】此题主要考查了计算器求方差，正确掌握计算器的基本使用方法是解题关键． 三．解答题（共7小题） 8．在学校组织的社会实践活动中，甲、乙两人参加了射击比赛，每人射击七次，命中的环数如表： 序号 一 二 三 四 五 六 七 甲命中的环数（环） 7 8 8 6 9 8 10 乙命中的环数（环） 5 10 6 7 8 10 10 根据以上信息，解决以下问题： （1）写出甲、乙两人命中环数的众数； （2）已知通过计算器求得8，s甲2≈1.43，试比较甲、乙两人谁的成绩更稳定？ 【考点】计算器﹣标准差与方差；众数．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据众数的定义解答即可； （2）根据已知条件中的数据计算出乙的方差和平均数，再和甲比较即可． 【解答】解：（1）由题意可知：甲的众数为8，乙的众数为10； （2）乙的平均数8， 乙的方差为：S乙2[（5﹣8）2+（10﹣8）2+…+（10﹣8）2]3.71． ∵得8，s甲2≈1.43， ∴甲乙的平均成绩一样，而甲的方差小于乙的方差， ∴甲的成绩更稳定． 【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 9．用科学计算器分别计算下面各组数据的平均数和方差： 甲组 1 2 3 4 5 乙组 100 200 300 400 500 （1）比较这两组数据，它们的对应关系是什么？它们的平均数和方差各有什么关系？ （2）如果用科学计算器计算0.01，0.02，0.03，0.04，0.05的平均数和方差，你能根据（1）的结论，用简化数据的方法计算吗？请你试一试． 【考点】计算器﹣标准差与方差；计算器﹣平均数．版权所有 【专题】统计的应用；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据平均数和方差公式分别进行计算即可得出答案； （2）根据（1）的结论进行计算即可． 【解答】解：（1）甲组数据的平均数为（1+2+3+4+5）＝3， 方差为[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2； 乙组数据的平均数为（100+200+300+400+500）＝300， 方差为[（100﹣300）2+（200﹣300）2+（300﹣300）2+（400﹣300）2+（500﹣300）2]＝20000； 比较这两组数据，它们的对应关系是乙组每个数据是甲组对应数据的100倍，乙组的平均数是甲组平均数的100倍，乙组方差是甲组方差的10000倍； （2）能根据（1）的结论，用简化数据的方法计算，方法如下： ∵甲组数据的平均数是2，方差为2， ∴0.01，0.02，0.03，0.04，0.05的平均数为3÷100＝0.03，方差为2÷10000＝0.0002． 【点评】本题考查了方差和平均数，解答本题的关键通过计算平均数和方差得出规律． 10．给定一组数据如下： 1，1，4，4，4，7，7． （1）请你估计一下这组数据的平均数、方差大约是多少； （2）用计算器计算这组数据的平均数、方差，与你的估计值进行比较，你的估计是否准确？ 【考点】计算器﹣标准差与方差；用样本估计总体；计算器﹣平均数．版权所有 【专题】统计的应用；数据分析观念． 【答案】见试题解答内容 【分析】先把这组数据的7个数字加起来求和，再除以7即可求出这组数据的平均数，然后再根据方差公式S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]求解即可． 【解答】解：（1）估计这组数据的平均数是4、方差大约是5； （2）平均数：（1+1+4+4+4+7+7）÷7＝4， 方差：[2×（1﹣4）2+3×（4﹣4）2+2×（7﹣4）2]＝5， 与估计值进行比较，估计基本准确． 【点评】本题考查了平均数和方差公式，解题时牢记公式是关键，此题比较简单，只要牢记公式即可正确求解． 11．用科学计算器分别计算下列各组数据的方差： （1）1，2，3，4，5，6； （2）﹣2，﹣2，0，0，0，6． 【考点】计算器﹣标准差与方差．版权所有 【专题】统计的应用；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先由平均数的计算公式计算出这组数据的平均数，再代入方差公式计算即可； （2）先求出这组数据的平均数，再代入方差公式S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，进行计算即可得出答案． 【解答】解：（1）这组数据的平均数是：（1+2+3+4+5+6）＝3.5， 则这组数据的方差是：[（1﹣3.5）2+（2﹣3.5）2+（3﹣3.5）2+（4﹣3.5）2+（5﹣3.5）2+（6﹣3.5）2]； （2）这组数据的平均数是：（﹣2﹣2+0+0+0+6）， 则这组数据的方差是：[2（﹣2）2+3（0）2+（6）2]． 【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 12．先简化数据，再用科学计算器分别计算下列各组数据的方差： （1）8241，8250，8248，8253，8245； （2）12341，12340，12349，12349，12344． 【考点】计算器﹣标准差与方差．版权所有 【专题】计算题；统计的应用；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）将原数据以8250为基准，原来的数据化为：﹣9、0、﹣2、3、﹣5，根据方差定义：用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，代入方程公式计算即可； （2）将原数据以12340为基准，原来的数据化为：1、0、9、9、4，根据方差公式即可求解． 【解答】解：（1）将原数据以8250为基准，原来的数据可以化为： ﹣9、0、﹣2、3、﹣5 ∵（﹣9+0﹣2+3﹣5）＝﹣2.6， ∴s2[（﹣9﹣2.6）2+（0﹣2.6）2+（﹣2﹣2.6）2+（3﹣2.6）2+（﹣5﹣2.6）2] ＝44.08； 所以这组数据的方差为44.08； （2）将原数据以12340为基准，原来的数据可以化为： 1、0、9、9、4 ∵（1+0+9+9+4）＝4.6， ∴s2[（1﹣4.6）2+（0﹣4.6）2+（9﹣4.6）2+（9﹣4.6）2+（4﹣4.6）2] ＝14.64． 所以这组数据的方差为14.64． 【点评】本题考查了方差，解决本题的关键是掌握方差公式． 13．用计算器求下列各组数据的平均数和方差： （1）24，24，31，31，47，47，62，84，95，95； （2）473，284，935，743，586，654； （3）10.1，9.8，9.7，10.2，10.3，9.9，10.0． 【考点】计算器﹣标准差与方差；计算器﹣平均数．版权所有 【专题】统计的应用． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据平均数和方差公式分别进行计算即可得出答案． 【解答】解：（1）平均数是：（24+24+31+31+47+47+62+84+95+95）＝54； 方差是：[2（24﹣54）2+2（31﹣54）2+2（47﹣54）2+（62﹣54）2+（84﹣54）2+2（95﹣54）2]＝728.2； （2）平均数是：（473+284+935+743+586+654）＝612.5； 方差是：[（473﹣612.5）2+（284﹣612.5）2+（935﹣612.5）2+（743﹣612.5）2+（586﹣612.5）2+（654﹣612.5）2]； （3）平均数是：（10.1+9.8+9.7+10.2+10.3+9.9+10.0）＝10； 方差是：[（10.1﹣10）2+（9.8﹣10）2+（9.7﹣10）2+（10.2﹣10）2+（10.3﹣10）2+（9.9﹣10）2+（10.0﹣10）2]＝0.04． 【点评】本题考查了平均数和方差：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]． 14．用科学计算器计算下面两组数据的方差，然后回答问题： A：213，214，215，216，217； B：314，315，316，317，318． 通过计算，可发现其中存在怎样的规律？ 【考点】计算器﹣标准差与方差．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】首先求出各组数据的平均数，然后利用计算出方差即可． 【解答】解：（213+214+215+216+217）＝215， SA2[（213﹣215）2+（214﹣215）2+（215﹣215）2+（216﹣215）2+（217﹣216）2]＝2 （314+315+316+317+318）＝316， SB2[（314﹣316）2+（315﹣316）2+（316﹣316）2+（317﹣316）2+（318﹣316）2]＝2 发现五个连续整数的方差是2． 【点评】本题主要考查了方差的知识，解题的关键是掌握方差计算公式，此题难度不大． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$