第十七章 勾股定理（单元重点综合测试卷，人教版）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记•巧练（山东专用）

第十七章 勾股定理（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号______________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2024秋•清远期末）下列数据是勾股数的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．5，6，7 D．7，24，25 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【解答】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意； B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意； C、52+62≠67，不能构成直角三角形，故不符合题意； D、72+242＝252，能构成直角三角形，且都是正整数，故符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形． 2．（2024秋•海口期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（　　） A．a＝0.6，b＝0.8，c＝1 B．∠C＝∠A+∠B C．a：b：c＝5：12：13 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐项判断即可． 【解答】解：A、∵a＝0.6，b＝0.8，c＝1，0.62+0.82＝12， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形，故选项A不符合题意； B、∵∠C＝∠A+∠B，∠A+∠B＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC为直角三角形，故选项B不符合题意； C、∵a：b：c＝5：12：13， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形，故选项C不符合题意； D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+C＝180°， ∴最大∠C180°＝75°， ∴△ABC不是直角三角形，故选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解题的关键． 3．（2024春•确山县期中）如图，长方形BCFG是一块草地，折线ABCDE是一条人行道，BC＝15米，CD＝8米，为了避免行人穿过草地（走虚线BD），践踏绿草，管理部门分别在B、D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走____米，踏之何忍”（　　） A．5 B．6 C．4 D．7 【分析】由矩形的性质得∠C＝90°，再由勾股定理得出BD的长，即可解决问题． 【解答】解：∵四边形BCFG是矩形， ∴∠C＝90°， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD17（（米）， ∴BC+CD﹣BD＝15+8﹣17＝6（米）， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的应用以及矩形的性质，熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出BD的长是解题的关键． 4．（2024秋•朝阳区校级月考）如图，数轴上点A，B对应的数分别是1，2，以AB为边在数轴上方作正方形ABCD，连接AC，以A为圆心，AC的长为半径画圆弧交数轴于点E（点E在点A的左侧），则点E在数轴上对应的数为（　　） A． B． C． D． 【分析】首先利用勾股定理计算出AC的长，进而可得AE的长，然后再确定E点所对应的数． 【解答】解：∵点A，B对应在数分别是1，2， ∴AB＝1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴CB＝AB＝1， ∴AC， ∴AE， ∵点A对应的数是1， ∴E在数轴上对应在数为， 故选：B． 【点评】本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 5．（2024秋•晋源区期末）如图，△ABC中，AB＝17cm，AC＝10cm，以BC所在的直线为x轴，BC边上的高AO所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，以1cm作为坐标系的单位长度，点B的坐标是（﹣15，0），则点C的坐标是（　　） A．（4.5，0） B．（5，0） C．（5.5，0） D．（6，0） 【分析】由勾股定理求出OA＝8cm，再由勾股定理求出OC＝6cm，即可得出结论． 【解答】解：∵点B的坐标是（﹣15，0）， ∴OB＝15， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA8（cm）， 在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC6（cm）， ∴点C的坐标是（6，0）， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理以及坐标与图形性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 6．（2024秋•沈河区期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，分别以AB，BC为边在△ABC外侧作正方形ABDE和正方形BCFG，再以AC为斜边在△ABC外侧作Rt△ACH，若AH＝1，，则图中阴影部分的面积是（　　） A．10 B． C． D． 【分析】阴影部分由正方形ABCD和正方形BCFG以及Rt△ACH组成．正方形ABCD的面积可以表示为AB2，正方形BCFG的面积可以表示为BC2，由于∠B＝90°，根据勾股定理，AB2+BC2＝AC2，在Rt△ACH中，AC2＝AH2+CH2，Rt△ACH的面积可以根据两条直角边的长度求出，代入计算即可． 【解答】解：S阴影＝S正方形ABDE+S正方形BCFG+S△ACH ＝AB2+BC2AH•CH ＝AC21×2 ＝AH2+CH2 ＝12+（2）2 ＝1+24 ＝25． 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的应用．找到阴影部分面积的组成及各部分的表示方法是解决此类问题的关键． 7．（2024秋•北京校级期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b，若ab＝7，大正方形的面积为30，则小正方形的边长为（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b， ∵每一个直角三角形的面积为：， ∴， ∴（a﹣b）2＝30﹣14＝16， ∴a﹣b＝4， 故选：C． 【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型． 8．（2024秋•钟山区校级期中）如图，Rt△ABC的两直角边长分别为1，2，以Rt△ABC的斜边AC为一直角边，另一直角边CD长为1画第2个Rt△ACD；再以Rt△ACD的斜边AD为一直角边，另一直角边DE长为1画第3个Rt△ADE；…以此类推，第4个直角三角形的斜边的平方是（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 【分析】在直角三角形中，利用勾股定理求解即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝2，BC＝1， AC2＝22+12＝5＝1+4， 在Rt△ACD中，AC2＝5，CD＝1， AD2＝5+12＝6＝2+4， 在Rt△ADE中，AD2＝6，DE＝1， AE2＝6+12＝7＝3+4， .....． 第n个直角三角形斜边的平方是n+4， ∴第4个直角三角形斜边的平方是4+4＝8． 故选：D． 【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 9．（2024春•龙华区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，AC＝2．D为斜边AB上一动点，连接CD，过点D作DE⊥CD交边BC于点E，若△BDE为等腰三角形，则△CDE的周长为（　　） A． B．6 C． D．5 【分析】依据题意，由∠DEB是△CDE的一个外角，可得∠DEB＝∠CDE+∠DCE＝90°+∠DCE，从而∠DEB是钝角，结合△BDE为等腰三角形，可得BE＝DE，故∠B＝∠BDE，再结合∠ACB＝∠CDE＝90°，则∠B+∠BAC＝90°，∠BDE+∠CDA＝90°，求出∠BAC＝∠CDA，从而CA＝CD＝2，又在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，可得BC的长，从而BE+CE＝DE+CE＝3，又△CDE的周长＝CD+DE+CE，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵∠DEB是△CDE的一个外角， ∴∠DEB＝∠CDE+∠DCE＝90°+∠DCE． ∴∠DEB是钝角． 又△BDE为等腰三角形， ∴BE＝DE． ∴∠B＝∠BDE． ∵∠ACB＝∠CDE＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°，∠BDE+∠CDA＝90°． ∴∠BAC＝∠CDA． ∴CA＝CD＝2． 在Rt△ACB中，∠ACB＝90°， ∴BC3． ∴BC＝BE+CE＝DE+CE＝3． 又△CDE的周长＝CD+DE+CE， ∴△CDE的周长＝2+3＝5． 故选：D． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用、等腰三角形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 10．（2023秋•深圳校级期中）如图，在△DEF中，∠D＝90°，DG：GE＝1：3，GE＝GF，Q是EF上一动点，过点Q作QM⊥DE于M，QN⊥GF于N，，则QM+QN的长是（　　） A．4 B．3 C．4 D．2 【分析】连接QG．解直角三角形求出DF，再证明QM+QN＝DF，即可解决问题． 【解答】解：连接QG． ∵DG：GE＝1：3， ∴可以假设DG＝k，EG＝3k， ∵GF＝EG，∠D＝90°， ∴FG＝3k，DF2k， ∵EF＝4，EF2＝DE2+DF2， ∴48＝16k2+8k2， ∴k或（舍弃）， ∴DF＝4， ∵S△EFG•EG•DF•EG•QM•GF•QN， ∴QM+QN＝DF＝4， 故选：C． 【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（2024秋•苏州期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°．若BC＝9，AC＝12，则AB＝ 　 ． 【分析】直接根据勾股定理列式计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12， 由勾股定理得：AB15， 故答案为：15． 【点评】本题主要考查了勾股定理，在直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边长的平方． 12．（2024秋•房山区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，AC＝4，AD＝5，则点D到AB的距离为 　 　． 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由勾股定理得DC＝3，再由角平分线的性质即可得出结论． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵∠C＝90°，AC＝4，AD＝5， ∴DC⊥AC，DC3， ∵AD平分∠BAC， ∴DE＝DC＝3， 即点D到AB的距离为3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了勾股定理以及角平分线的性质，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 13．（2024秋•兰州期末）如图，有一块四边形花圃ABCD，∠ADC＝90°，AD＝4m，AB＝13m，BC＝12m，DC＝3m，该花圃的面积为　 　m2． 【分析】连接AC，先利用勾股定理求AC，再利用勾股定理逆定理证△ACB为直角三角形，根据四边形ABCD的面积＝△ABC面积﹣△ACD面积即可计算． 【解答】解：连接AC， ∵AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°， ∴AC5m， △ACD的面积3×4＝6（m2）， 在△ABC中， ∵AC＝5m，BC＝12m，AB＝13m， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°， ∴直角△ABC的面积12×5＝30（m2）， ∴四边形ABCD的面积＝30﹣6＝24（m2）． 故答案为：24． 【点评】本题考查了直角三角形中勾股定理和勾股定理逆定理，求证△ABC是直角三角形是解题的关键． 14．（2024秋•南山区期末）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝6cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝8cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝10cm时，钟摆AD的长度是 　 cm． 【分析】根据题意可得到CD＝BF﹣DE＝8﹣6＝2（cm），AD＝AB，然后根据勾股定理可以得到钟摆AD的长． 【解答】解：由已知可得， CD＝BF﹣DE＝8﹣6＝2（cm），AD＝AB， 设钟摆AD的长为x cm，则AC的长为（x﹣2）cm， ∵BC⊥AD，BC＝10cm， ∴AC2+BC2＝AB2， 即（x﹣2）2+102＝x2， 解得x＝26， 即钟摆AD的长为26cm， 故答案为：26． 【点评】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 15．（2024•龙亭区一模）已知等腰△ABC的底边BC＝5，D是腰AB上一点，且CD＝4，BD＝3，则AD的长为 　 　． 【分析】根据勾股定理的逆定理求出∠BDC＝90°，即∠ADC＝90°，设AB＝AC＝a，在Rt△ADC中，由勾股定理得出a2＝（a﹣3）2+42，求出a即可． 【解答】解：设AB＝AC＝a， ∵BC＝5，CD＝4，BD＝3， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝90°， 在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC2＝AD2+CD2， ∴a2＝（a﹣3）2+42， ∴， ∴AD3． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理求得∠ADC＝90°是解答本题的关键． 16．（2024春•宾阳县期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为13cm，底面周长为12cm，在容器内壁离容器底部7cm的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿2cm的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 　 cm． 【分析】将圆柱侧面展开再进行点标注，此时长方形的长为圆柱底面周长的一半，如图，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，根据两点之间，线段最短可知A′B的长度即为所求；接下来结合已知数据，根据勾股定理相信你可以求出A′B的长了． 【解答】解：如图： ∵高为13cm，底面周长为12cm，在容器内壁离容器底部7cm的A处有一饭粒， 此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿2cm的点B处， ∴底部7厘米，所以AE＝6cm，BD＝6+2＝8厘米， ∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离， A′B10（cm）． 故答案为：10． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 3、 解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）（2024秋•宽城区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠A＝60°，∠ADC＝150°，连结BD． （1）求证：△BCD是直角三角形； （2）若CD＝6，BC＝10，求四边形ABCD的周长． 【分析】（1）证明△ABD是等边三角形，得∠ADB＝60°，再求出∠BDC＝90°，即可得出结论； （2）由等边三角形的性质得AD＝AB＝BD，再由勾股定理求出BD＝8，则AD＝AB＝BD＝8，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AB＝AD，∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ADB＝60°， ∵∠ADC＝150°， ∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝150°﹣60°＝90°， ∴△BCD是直角三角形； （2）解：由（1）可知，△ABD是等边三角形，△BCD是直角三角形， ∴AD＝AB＝BD， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD8， ∴AD＝AB＝BD＝8， ∴四边形ABCD的周长＝AD+AB+BC+CD＝8+8+10+6＝32． 【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和等边三角形的判定与性质是解题的关键． 18．（8分）（2024秋•青山区校级期末）在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15m；根据手中余线长度，计算出AC的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度CD； （2）在余线仅剩7.5m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【分析】（1）过点A作AE⊥CD于点E，在Rt△AEC中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升12m，作图Rt△AEF，根据勾股定理可得AF＝25m，再根据题意，17+7.5＝24.5＜25，即可求解． 【解答】解：（1）如图1所示，过点A作AE⊥CD于点E，则AE＝BD＝15m，AB＝CD＝1.5m，∠AEC＝90°， 在Rt△AEC中，CE8（m）， ∴CD＝CE+CD＝8+1.5＝9.5（m）； （2）不能成功，理由如下： 假设能上升12m，如图所示，延长DC至点F，连接AF，则CF＝12m， ∴EF＝CE+CF＝8+12＝20（m）， 在Rt△AEF中，AF25（m）， ∵AC＝17m，余线仅剩7.5m， ∴17+7.5＝24.5＜25， ∴不能上升12m，即不能成功． 【点评】本题主要考查勾股定理的应用，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题． 19．（10分）（2024春•万年县校级月考）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． （1）如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板． ①设AH＝a，BH＝b，AB＝c，请你利用图1验证：a2+b2＝c2； ②若大正方形ABCD的边长为13，小正方形EFGH的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？ （2）如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓（实线）的周长为48，OB＝6，求这个图案的面积． 【分析】（1）①用两种不同的方法去求正方形ABCD的面积即可． ②利用①中发现的结论即可解决问题． （2）设AO＝m，根据勾股定理建立关于m的方程即可解决问题． 【解答】（1）①证明：∵中间小正方形的边长为b﹣a， ∴小正方形的面积为（b﹣a）2． 又∵四个直角三角形的面积为：， ∴大正方形的面积为：（b﹣a）2+2ab＝a2+b2． 又∵大正方形的边长为c， ∴大正方形的面积还可以表示为c2， ∴a2+b2＝c2． ②解：由①可知， a2+b2＝c2＝169， ∵b﹣a＝7， ∴（b﹣a）2＝a2+b2﹣2ab＝49， ∴2ab＝120， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝169+120＝289， ∴a+b＝17（舍负）， 即直角三角形两直角边之和为17． （2）解：设AO＝CO＝GO＝EO＝m， ∵OB＝OH＝OD＝OF＝6， ∴AH＝CB＝DE＝FG＝m﹣6． ∵外围轮廓（实线）的周长为48， ∴4（AB+m﹣6）＝48， 则AB＝18﹣m． 在Rt△ABO中， 62+m2＝（18﹣m）2， 解得m＝8， 即AO＝8， ∴． 【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，能用不同的方法表示出正方形ABCD的面积及巧用整体思想是解题的关键． 20．（10分）（2024春•黄石港区期末）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2），则由勾股定理可得，这两点间的距离MN． 例如，如图1，M（3，1），N（1，﹣2），则MN． 【直接应用】 （1）已知P（2，﹣3），Q（﹣1，3），求P、Q两点间的距离； （2）如图2，在平面直角坐标系中，A（﹣1，﹣3），OB，OB与x轴正半轴的夹角是45°． ①求点B的坐标； ②试判断△ABO的形状． 【分析】（1）由两点间的距离公式可求出答案； （2）①过点B作BF⊥y轴于点F，求出OF＝BF＝1，则可求出答案； ②求出OA和AB的长，由勾股定理的逆定理可得出结论． 【解答】解：（1）∵P（2，﹣3），Q（﹣1，3）， ∴PQ3； （2）①过点B作BF⊥y轴于点F， ∵OB与x轴正半轴的夹角是45°， ∴∠FOB＝∠OBF＝45°， ∵OB， ∴OF＝BF＝1， ∴B（1，﹣1）； ②∵A（﹣1，﹣3），B（1，﹣1）， ∴OA，AB2， ∵AB2+OB2＝8+2＝10，OA2＝10， ∴AB2+OB2＝OA2， ∴△ABO是直角三角形． 【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，坐标与图形的性质，两点间的距离公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 21．(12分)（2023秋•盐都区期中）我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差．如图1，△ABC中，AD为BC边上高，边BC的“边高差”等于BC﹣AD，记为h（BC）． （1）如图2，若△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝5，BD＝3，则h（BC）＝　　 ； （2）若△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，则h（AC）＝　 　； （3）若△ABC中，AB＝25，AC＝17，BC边上的高为15，求h（BC）的值． 【分析】（1）求出BC的长即可解决问题； （2）如图4中，求出高BH即可解决问题； （3）如图3中，分两种情况讨论：当△ABC是锐角三角形时：当△ABC是钝角三角形时：利用勾股定理即可解决问题． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD， ∴AD⊥BC， ∴BD＝DC＝3， ∴h（BC）＝BC﹣AD＝6﹣5＝1， 故答案为：1； （2）如图4中，作BH⊥AC于H， ∵∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12， ∴AC13， ∵•AC•BH•AB•BC， ∴13BH＝5×12， ∴BH， ∴h（AC）＝AC﹣BH＝13， 故答案为：； （3）如图3中，分两种情况讨论： 当△ABC是锐角三角形时： ∵AD⊥BC，AB＝25，AC＝17，AD＝15， ∴BD2＝AB2﹣AD2＝252﹣152＝400，CD2＝AC2﹣AD2＝172﹣152＝64， ∴BD＝20，CD＝8， ∴BC＝BD+CD＝28， ∴h（BC）＝BC﹣AD＝28﹣15＝13； 当△ABC是钝角三角形时： 同理可得BD＝20，C′D＝8， ∴BC′＝BD﹣C′D＝12， ∴h（BC）＝BC′﹣AD＝12﹣15＝﹣3， 综上所述：h（BC）的值为13或﹣3． 【点评】本题考查了勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 22．（12分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为海港，且点C与直线l上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域．已知台风运动速度为72km/h． （1）求∠ACB的度数； （2）求海港C到直线AB的最短距离； （3）海港C受台风影响吗？若受影响请计算受影响时间，若不受影响请说明理由． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得到△ACB是直角三角形，进而得到∠ACB的度数； （2）利用面积不变，先求出三角形面积，再由底边长即可得到AB边上的高CG，此高即为海港C到直线AB的最短距离； （3）利用（2）中的CG，由CG＝240＜260，即可判断海港C受台风影响，再根据勾股定理求出当CD＝260时，DG的长，进而得到EG的长，由，即可得到时间． 【解答】解：（1）在△ACB中，AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km． ∵AC2+BC2＝AB2． ∴△ACB为Rt△， ∴∠ACB＝90°． （2）如图，作CG⊥AB于G． ∵S△ACB． 又∵． ∴AC×BC＝AB×CG． ∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km． ∴240km． 故海港C到直线AB的最短距离为240km． （3）会影响． 设DC＝EC＝260km． 在Rt△DGC中，DG2＝DC2﹣CG2． ∵CG＝240km，DC＝260km． ∴DG（km）． 同理可得：EG＝100（km）． ∵DE＝EG+DG． ∴DE＝200（km）． ∵s＝vt． ∵s＝200km，v＝72km/h． ∴t． 故受到影响时间为：． 【点评】本题考查勾股定理再实际中的应用，由题意构造出直角三角形再利用勾股定理求解时关键． 23．（12分）已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题： （1）如图1，若点P在线段AB上，且，PA＝2，求PB的长度； （2）在（1）的条件下，猜想PA、PB、PQ三者之间的数量关系并证明； （3）如图2，若点P在AB的延长线上，求证：PA2+PB2＝PQ2． 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质求出AB，得出PB，过C作CH⊥AB于H，再由直角三角形的性质求出CH，然后由勾股定理求出PC即可； （2）证△ACP≌△BCQ，得PA＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝45°，则∠PBQ＝90°，再由勾股定理即可得出结论； （3）连接BQ，仿照（1）②的方法证明即可． 【解答】（1）解：如图1中，∵△ABC是等腰直角三角形，AC， ∴AC＝BC，∠CAB＝45°， ∴ABAC＝22， ∴PB＝AB﹣PA＝22﹣2＝2； （2）解：结论：PA2+PB2＝PQ2，理由如下： 如图1中，连接QB， ∵∠ACB＝∠PCQ＝90°， ∴∠ACP＝∠BCQ， ∵△PCQ是等腰直角三角形，∠PCQ＝90°， ∴CP＝CQ， 在△ACP和△BCQ中， ， ∴△ACP≌△BCQ（SAS）， ∴PA＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝45°， ∴∠PBQ＝90°， ∴BQ2+PB2＝PQ2， ∴PA2+PB2＝PQ2， 故答案为：PA2+PB2＝PQ2； （3）证明：如图2中，连接BQ， ∵∠ACB＝∠PCQ＝90°， ∴∠ACP＝∠BCQ， 在△ACP和△BCQ中， ， ∴△ACP≌△BCQ（SAS） ∴PA＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝45°， ∴∠PBQ＝90°， ∴BQ2+PB2＝PQ2， ∴PA2+PB2＝PQ2． 【点评】本题是三角形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 勾股定理（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号______________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2024秋•清远期末）下列数据是勾股数的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．5，6，7 D．7，24，25 2．（2024秋•海口期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（　　） A．a＝0.6，b＝0.8，c＝1 B．∠C＝∠A+∠B C．a：b：c＝5：12：13 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 3．（2024春•确山县期中）如图，长方形BCFG是一块草地，折线ABCDE是一条人行道，BC＝15米，CD＝8米，为了避免行人穿过草地（走虚线BD），践踏绿草，管理部门分别在B、D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走____米，踏之何忍”（　　） A．5 B．6 C．4 D．7 4．（2024秋•朝阳区校级月考）如图，数轴上点A，B对应的数分别是1，2，以AB为边在数轴上方作正方形ABCD，连接AC，以A为圆心，AC的长为半径画圆弧交数轴于点E（点E在点A的左侧），则点E在数轴上对应的数为（　　） A． B． C． D． 5．（2024秋•晋源区期末）如图，△ABC中，AB＝17cm，AC＝10cm，以BC所在的直线为x轴，BC边上的高AO所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，以1cm作为坐标系的单位长度，点B的坐标是（﹣15，0），则点C的坐标是（　　） A．（4.5，0） B．（5，0） C．（5.5，0） D．（6，0） 6．（2024秋•沈河区期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，分别以AB，BC为边在△ABC外侧作正方形ABDE和正方形BCFG，再以AC为斜边在△ABC外侧作Rt△ACH，若AH＝1，，则图中阴影部分的面积是（　　） A．10 B． C． D． 7．（2024秋•北京校级期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b，若ab＝7，大正方形的面积为30，则小正方形的边长为（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 8．（2024秋•钟山区校级期中）如图，Rt△ABC的两直角边长分别为1，2，以Rt△ABC的斜边AC为一直角边，另一直角边CD长为1画第2个Rt△ACD；再以Rt△ACD的斜边AD为一直角边，另一直角边DE长为1画第3个Rt△ADE；…以此类推，第4个直角三角形的斜边的平方是（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 9．（2024春•龙华区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，AC＝2．D为斜边AB上一动点，连接CD，过点D作DE⊥CD交边BC于点E，若△BDE为等腰三角形，则△CDE的周长为（　　） A． B．6 C． D．5 10．（2023秋•深圳校级期中）如图，在△DEF中，∠D＝90°，DG：GE＝1：3，GE＝GF，Q是EF上一动点，过点Q作QM⊥DE于M，QN⊥GF于N，，则QM+QN的长是（　　） A．4 B．3 C．4 D．2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（2024秋•苏州期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°．若BC＝9，AC＝12，则AB＝ 　 ． 12．（2024秋•房山区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，AC＝4，AD＝5，则点D到AB的距离为 　 　． 13．（2024秋•兰州期末）如图，有一块四边形花圃ABCD，∠ADC＝90°，AD＝4m，AB＝13m，BC＝12m，DC＝3m，该花圃的面积为　 　m2． 14．（2024秋•南山区期末）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝6cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝8cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝10cm时，钟摆AD的长度是 　 cm． 15．（2024•龙亭区一模）已知等腰△ABC的底边BC＝5，D是腰AB上一点，且CD＝4，BD＝3，则AD的长为 　 　． 16．（2024春•宾阳县期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为13cm，底面周长为12cm，在容器内壁离容器底部7cm的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿2cm的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 　 cm． 3、 解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）（2024秋•宽城区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠A＝60°，∠ADC＝150°，连结BD． （1）求证：△BCD是直角三角形； （2）若CD＝6，BC＝10，求四边形ABCD的周长． 18．（8分）（2024秋•青山区校级期末）在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15m；根据手中余线长度，计算出AC的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度CD； （2）在余线仅剩7.5m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识说明． 19．（10分）（2024春•万年县校级月考）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． （1）如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板． ①设AH＝a，BH＝b，AB＝c，请你利用图1验证：a2+b2＝c2； ②若大正方形ABCD的边长为13，小正方形EFGH的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？ （2）如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓（实线）的周长为48，OB＝6，求这个图案的面积． 20．（10分）（2024春•黄石港区期末）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2），则由勾股定理可得，这两点间的距离MN． 例如，如图1，M（3，1），N（1，﹣2），则MN． 【直接应用】 （1）已知P（2，﹣3），Q（﹣1，3），求P、Q两点间的距离； （2）如图2，在平面直角坐标系中，A（﹣1，﹣3），OB，OB与x轴正半轴的夹角是45°． ①求点B的坐标； ②试判断△ABO的形状． 21．(12分)（2023秋•盐都区期中）我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差．如图1，△ABC中，AD为BC边上高，边BC的“边高差”等于BC﹣AD，记为h（BC）． （1）如图2，若△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝5，BD＝3，则h（BC）＝　　 ； （2）若△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，则h（AC）＝　 　； （3）若△ABC中，AB＝25，AC＝17，BC边上的高为15，求h（BC）的值． 22．（12分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为海港，且点C与直线l上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域．已知台风运动速度为72km/h． （1）求∠ACB的度数； （2）求海港C到直线AB的最短距离； （3）海港C受台风影响吗？若受影响请计算受影响时间，若不受影响请说明理由． 23．（12分）已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题： （1）如图1，若点P在线段AB上，且，PA＝2，求PB的长度； （2）在（1）的条件下，猜想PA、PB、PQ三者之间的数量关系并证明； （3）如图2，若点P在AB的延长线上，求证：PA2+PB2＝PQ2． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$