第02讲 整式的乘法（知识解读+达标检测）-2024-2025学年七年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版2024）

第02讲 整式的乘法 【题型1 单项式乘单项式】 【题型2 单项式乘多项式】 【题型3 多项式乘多项式】 【题型4 多项式乘多项式-不存在某项问题】 【题型5 多项式乘多项式的实际应用】 考点1：单项式乘单项式 单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 【题型1 单项式乘单项式】 【典例1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要查了单项式乘以单项式，积的乘方： （1）直接根据单项式乘以单项式计算，即可求解； （2）直接根据单项式乘以单项式计算，即可求解； （3）先算积的乘方，再算单项式与单项式的乘法，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式1-1】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)﹣2m8n7 (2) 【分析】本题考查了整式的乘法运算，解题的关键是掌握相应的运算法则． （1）利用积的乘方，幂的乘方和单项式乘单项式乘法则进行计算即可； （2）利用积的乘方，幂的乘方和单项式乘单项式乘法则，先算乘方，再算乘法． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式＝ ＝ ＝． 【变式1-2】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的乘法．根据单项式乘以单项式的运算法则即可求出答案． 【详解】解： ． 【变式1-3】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)8 (4) 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用，积的乘方的逆用以及单项式乘单项式，掌握相关运算法则进行运算，即可解题． （1）先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘法即可求解； （2）根据积的乘方运算法则即可求解； （3）把转化为，再逆用同底数幂的乘法即可求解； （4）利用单项式乘单项式的法则即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 考点2：单项式乘多项式 单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 【题型2 单项式乘多项式】 【典例2】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式， （1）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可； （2）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可； （3）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可； （4）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可； 熟练掌握单项式乘多项式的法则是解决此题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，根据单项式乘以多项式进行计算即可求解． 【详解】解： 【变式2-2】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查单项式与多项式相乘，整式的加减； （1）用第一项分别和括号内的两项相乘再相加即可； （2）用第一项分别和括号内的两项相乘再相加即可； （3）先进行去括号计算，再进行加减运算即可； （4）先进行去括号计算，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2-3】（23-24八年级上·湖北襄阳·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用单项式乘以多项式的每一项即可得到答案； （2）先计算括号内的单项式乘法和加法，再计算单项式的乘法即可． 【详解】（1）解： （2） 考点4：多项式乘多项式 多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 【题型3 多项式乘多项式】 【典例3】（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据多项式乘以多项式法则，分别求解各个小题． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【变式3-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可． 【详解】解：原式． 【变式3-2】（23-24八年级上·北京朝阳·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果． 【详解】解： ． 【变式3-3】（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查的是多项式的乘法计算，属于基础题型，明确整式的乘法以及合并同类项的计算法则是解题的关键． 根据多项式乘以多项式的计算法则将括号去掉，然后进行合并同类项即可得出答案． 【详解】解： ． 【题型4 多项式乘多项式-不存在某项问题】 【典例4】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）关于x的代数式化简后不含有项和常数项． (1)求a，b的值． (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查整式的四则混合运算、解一元一次方程、代数式求值，熟练掌握整式的四则混合运算法则，正确得到a、b的方程是解答的关键，尤其（2）中利用积的乘方的逆运算求解是关键． （1）先将原式括号展开，再合并同类项，最后根据不含和常数项得出，，即可解答； （2）根据幂的运算法则得出，根据（1）中得出的a和b的值，即可解答． 【详解】（1）解： ， ∵不含和常数项， ∴，， ∴，． （2）解：， 由（1）知，， 原式． 【变式4-1】（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）已知的展开式中不含项，常数项是． (1)求，的值． (2)求的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式化简求值，多项式中不含某个字母问题； （1）用多项式乘以多项式法则，去括号，合并同类项使得含有的项系数为，即可求解； （2）用多项式乘以多项式法则，去括号，合并同类项，，的值代入计算，即可求解； 理解多项式中不含某个字母无关的就是使得含有该字母的项系数为是解题的关键． 【详解】（1）解： 不含项，常数项是， ， 解得：， 故：，； （2）解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【变式4-2】（23-24八年级上·山东济宁·期末）已知关于的代数式的中不含项与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用多项式乘以多项式的运算法则进行计算，然后根据题意得出，，即可得出，的值； （2）将，的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 不含项与项， ， 解得：； （2）解：． 【变式4-3】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若的积中不含与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘以多项式不含某一项的问题，熟练掌握多项式乘以多项式的法则，正确的计算，是解题的关键： （1）利用多项式乘以多项式的法则进行展开，根据积中不含与项，得到与项的系数为0，进行求解即可； （2）先化简，再把，的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∵积中不含与项 ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴ ， ． 【题型5 多项式乘多项式的实际应用】 【典例5】（23-24八年级上·吉林长春·期中）一个图形，可通过不同的方法计算出面积，从而得到一个数学等式，例如：由图1可以得到， 左表示长为，宽为的矩形（长方形）面积； 右表示块边长为的正方形面积、块长为，宽为的长方形面积、块边长为的正方形面积和．请解答下列问题：    (1)写出图2中所表示的数学等式：______； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是多项式乘多项式的几何意义，掌握正方形的面积公式和长方形的面积公式是解决此题的关键． （1）根据大正方形的面积个小正方形的面积个长方形的面积，即可得出结论； （2）将（1）中等式变形，然后利用整体代入法求值即可． 【详解】（1）解：该图形是个正方形，其边长为，故其面积为；该正方形是由3个小正方形和6个长方形组成，故其面积为：， ， 故答案为：； （2）将（1）中等式变形，得， 将，代入，得： ． 【变式5-1】（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图所示，有一块边长为米和米的长方形土地，现准备在这块上地上修建一个长为米，宽为米的游泳池，剩余部分修建成休息区域．    (1)请用含和的代数式分别表示游泳池的面积、休息区域的面积；（结果要化简） (2)若，求休息区域的面积． 【答案】(1)游泳池的面积为平方米；休息区的面积为平方米 (2)平方米 【分析】（1）根据图形可知，休息区域的面积=长方形土地的面积游泳池的面积，将数值代入计算即可； （2）将代入（1）中化简后的式子计算即可； 【详解】（1）解：由题意可得，游泳池的面积是： 休息区域的面积是：， 即休息区域的面积是：平方米； （2）解：当时， （平方米）， 即若，则休息区域的面积是平方米； 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式，掌握整式的混合运算法则． 【变式5-2】（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）小亮想把一个长为，宽为的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体盒子，于是在长方形的四个角各剪去一个相同小正方形（如图），设小正方形的边长为．    (1)求图中阴影部分的面积为（用含的代数式表示，要求化简）． (2)当时，求这个盒子的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据阴影部分的面积等于长乘以宽，列出代数式，根据多项式的乘法进行计算即可求解； （2）将代入（1）中的结果，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，； （2）当时，． 答：当时，盒子的体积为． 【点睛】本题考查了整式的乘法与图形面积，代数式求值，数形结合是解题的关键． 【变式5-3】（23-24七年级下·山东烟台·期末）小明计划用三种拼图将长为米，宽为米的客厅铺上一层漂亮的图案．其中A和B两种拼图为正方形，C为长方形，边长如图所示．如果拼图不允许切割，请你帮助小明计算一下： (1)分别需要A，B和C三种拼图多少块？ (2)若A，B和C三种拼图的单价分别为5元，3元，2元，且购买任意一种拼图的数量超过100块时，这种拼图的价格按照八折优惠，求小明的总花费． 【答案】(1)需要A，B和C三种拼图分别为：15块，300块，135块 (2)小明的总花费为1011元 【分析】（1）根据题意求出（5a＋20b）（3a＋15b）即可得出答案； （2）根据（1）中的A，B和C三种拼图块数乘以对应的单价即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意得： （5a＋20b）（3a＋15b） ＝15a2＋75ab＋60ab＋300b2 ＝15a2＋135ab＋300b2 ∵SA＝a2，SB＝ b2，SC＝ab， ∴分别需要A，B和C三种拼图15块，300块，135块． （2）解：15×5＋300×3×0.8＋135×2×0.8＝75＋720＋216＝1011（元）， 答：小明的总花费为1011元． 【点睛】本题主要考查了整式的乘法，有理数的混合运算，熟练掌握多项式乘多项式法则，是解题的关键． 一、单选题 1．（24-25九年级上·重庆合川·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据单项式与单项式相乘，把它们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．（24-25八年级上·吉林长春·期末）若将展开的结果中不含的一次项，则的值为（   ） A．8 B． C．0 D．8或 【答案】A 【分析】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含的一次项，确定出的值即可． 【详解】解：原式， 由结果不含的一次项，得到， 解得：． 故选：A． 3．（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）把代数式变形为所运用的根据是（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．乘法交换律和分配律 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的运算，是单项式与多项式相乘，可以根据乘法分配律进行计算． 【详解】解：把代数式变形为所运用的根据是分配律， 故选：C． 4．（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）若，则的值为（   ） A． B．1 C． D．9 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式．根据多项式乘多项式法则计算等式的左边，再与等式的右边比较系数即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ， 故选：C． 5．（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在长为，宽为的长方形空地上规划一块长方形花园（阴影部分），花园的北面和东、西面都留有宽度为的小路（空白部分），则花园的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，列代数式等知识点，熟练掌握利用多项式乘多项式表示图形面积是解题的关键：将题中涉及的面积用未知量表示出来，应用整式的乘法公式等运算法则进行化简，并代值求解，有时还会用到整体代入的方法． 根据题意可得，该花园的长为，宽为，然后根据“该花园的面积长宽”即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得： 该花园的长为，宽为， 该花园的面积为： ， 故选：． 二、填空题 6．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）若则的值为 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式是解题的关键． 根据，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， ． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）我国宋代数学家杨辉发现了 展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，解题的关键是数形结合．通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律即可求解． 【详解】解展开式中所有项的系数和为， 展开式中所有项的系数和为， 展开式中所有项的系数和为， ， 展开式的系数和是， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片 张． 【答案】5 【分析】本题考查了多项式乘法，由，得A类卡片的面积为，B类卡片的面积为，C类卡片的面积为，因此需要A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片5张． 【详解】解：长为，宽为的大长方形的面积为：， ∵A类卡片的面积为，B类卡片的面积为，C类卡片的面积为， ∴需要A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片5张． 故答案为：5． 三、解答题 9．（24-25八年级上·云南保山·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算同底数幂的乘法、幂的乘方，再合并同类项即可得解； （2）先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再合并同类项即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10（24-25八年级上·北京·期中）计算： (1)． (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的乘法，掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算积的乘方，再根据单项式与单项式的乘法法则计算即可； （2）根据单项式与多项式的乘法法则计算即可； （3）根据多项式与多项式的乘法法则计算即可； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 11．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，哈尔滨某小区计划在空地处规划一块带甬道的草坪（空白处为甬道，阴影部分为草坪），其中长方形场地的长：，宽：，两条甬道的宽分别为a，b，单位：米． (1)用含a、b的式子表示出草坪面积（结果化为最简形式）； (2)若，，求出草坪总面积． 【答案】(1) (2)81 【分析】本题主要考查整式乘除的应用，熟练掌握整式乘除运算法则是解题的关键． （1）根据题意表示出面积，再进行化简即可； （2）代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴草坪总面积为平方米． （2）解：当，时，原式， ∴草坪总面积为81平方米． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 整式的乘法 【题型1 单项式乘单项式】 【题型2 单项式乘多项式】 【题型3 多项式乘多项式】 【题型4 多项式乘多项式-不存在某项问题】 【题型5 多项式乘多项式的实际应用】 考点1：单项式乘单项式 单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 【题型1 单项式乘单项式】 【典例1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1-1】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【变式1-2】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算：． 【变式1-3】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）计算 (1) ； (2)； (3)； (4)． 考点2：单项式乘多项式 单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 【题型2 单项式乘多项式】 【典例2】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【变式2-2】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-3】（23-24八年级上·湖北襄阳·期中）计算： (1) (2) 考点4：多项式乘多项式 多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 【题型3 多项式乘多项式】 【典例3】（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1) ． (2)． (3)． 【变式3-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【变式3-2】（23-24八年级上·北京朝阳·期中）计算：． 【变式3-3】（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）计算：． 【题型4 多项式乘多项式-不存在某项问题】 【典例4】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）关于x的代数式化简后不含有项和常数项． (1)求a，b的值． (2)求的值． 【变式4-1】（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）已知的展开式中不含项，常数项是． (1)求，的值． (2)求的值． 【变式4-2】（23-24八年级上·山东济宁·期末）已知关于的代数式的中不含项与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 【变式4-3】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若的积中不含与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 【题型5 多项式乘多项式的实际应用】 【典例5】（23-24八年级上·吉林长春·期中）一个图形，可通过不同的方法计算出面积，从而得到一个数学等式，例如：由图1可以得到， 左表示长为，宽为的矩形（长方形）面积； 右表示块边长为的正方形面积、块长为，宽为的长方形面积、块边长为的正方形面积和．请解答下列问题：    (1)写出图2中所表示的数学等式：______； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． 【变式5-1】（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图所示，有一块边长为米和米的长方形土地，现准备在这块上地上修建一个长为米，宽为米的游泳池，剩余部分修建成休息区域．    (1)请用含和的代数式分别表示游泳池的面积、休息区域的面积；（结果要化简） (2)若，求休息区域的面积． 【变式5-2】（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）小亮想把一个长为，宽为的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体盒子，于是在长方形的四个角各剪去一个相同小正方形（如图），设小正方形的边长为．    (1)求图中阴影部分的面积为（用含的代数式表示，要求化简）． (2)当时，求这个盒子的体积． 【变式5-3】（23-24七年级下·山东烟台·期末）小明计划用三种拼图将长为米，宽为米的客厅铺上一层漂亮的图案．其中A和B两种拼图为正方形，C为长方形，边长如图所示．如果拼图不允许切割，请你帮助小明计算一下： (1)分别需要A，B和C三种拼图多少块？ (2)若A，B和C三种拼图的单价分别为5元，3元，2元，且购买任意一种拼图的数量超过100块时，这种拼图的价格按照八折优惠，求小明的总花费． 一、单选题 1．（24-25九年级上·重庆合川·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·吉林长春·期末）若将展开的结果中不含的一次项，则的值为（   ） A．8 B． C．0 D．8或 3．（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）把代数式变形为所运用的根据是（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．乘法交换律和分配律 4．（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）若，则的值为（   ） A． B．1 C． D．9 5．（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在长为，宽为的长方形空地上规划一块长方形花园（阴影部分），花园的北面和东、西面都留有宽度为的小路（空白部分），则花园的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）若则的值为 7．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）我国宋代数学家杨辉发现了 展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是 ． 8．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片 张． 三、解答题 9．（24-25八年级上·云南保山·阶段练习）计算： (1) (2) 10（24-25八年级上·北京·期中）计算： (1) ． (2) (3)． 11．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，哈尔滨某小区计划在空地处规划一块带甬道的草坪（空白处为甬道，阴影部分为草坪），其中长方形场地的长：，宽：，两条甬道的宽分别为a，b，单位：米． (1)用含a、b的式子表示出草坪面积（结果化为最简形式）； (2)若，，求出草坪总面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$