第01讲 幂的乘除法运算（知识解读+达标检测）-2024-2025学年七年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版2024）

第01讲 幂的乘除法运算 【题型1 幂的乘法运算】 【题型2 幂的乘方与积得乘方运算】 【题型3 幂的除法运算】 【题型4 幂的逆运算】 【题型5 幂的综合运算】 【题型6 零指数幂】 【题型7 科学记数法-表示较小的数】 考点1：幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 【题型1 幂的乘法运算】 【典例1】（23-24七年级下·山东菏泽·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式1-1】（2024八年级上·全国·专题练习） ． 【变式1-2】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算． (1)； (2)． 【变式1-3】（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）计算：． 考点2：幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数) 考点3：积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 【题型2 幂的乘方与积得乘方运算】 【典例2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·江苏常州·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24七年级上·上海闵行·期末）计算： ． 【变式2-3】（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）计算的结果为 ． 考点4：幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 考点5：零指数 a0=1 (a≠0) 【题型3 幂的除法运算】 【典例3】（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）计算： ． 【变式3-1】（24-25八年级上·吉林松原·阶段练习）计算： ． 【变式3-2】（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： ． 【变式3-3】（24-25八年级上·北京朝阳·期中） ． 【题型4 幂的逆运算】 【典例4】（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【变式4-1】（23-24七年级下·江苏·阶段练习）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【变式4-2】（22-23七年级上·新疆喀什·期中） 已知，求： (1) (2) 【变式4-3】（23-24八年级上·福建福州·期中）计算： (1)已知，求n的值． (2)已知，求m的值． 【题型5 幂的综合运算】 【典例5】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式5-1】（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1) ； (2) 【变式5-2】（2024七年级下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式5-3】（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）计算 (1) (2) 【题型6 零指数幂】 【典例6】（24-25九年级上·湖南衡阳·开学考试）计算：． 【变式6-1】（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期中）计算：． 【变式6-2】（23-24九年级下·广西南宁·开学考试）计算：． 【变式6-3】（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）计算：． 考点6：科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1 a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 【题型7 科学记数法-表示较小的数】 【典例7】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）引发秋季传染病的某种病毒的直径是，将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25八年级上·天津河西·期末）流行性感冒病毒简称流感病毒．甲型流感病毒的直径是，将数据0.000000081用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25八年级上·天津河东·期末）月季是天津市的市花，具有非常高的观赏价值．某品种的月季花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（   ） A． B．； C． D． 【变式7-3】（24-25八年级上·吉林·期末）纳米技术是一种高新技术，纳米（）是非常小的长度单位，，则将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25八年级上·贵州黔南·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·广东清远·期末）神舟十七号载人飞船航天员在空间站进行了一系列科学实验，其中包括“空间蛋白质分子组装与应用研究”．在此研究中，观测到某一蛋白质分子的直径仅为米，这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·福建南平·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·吉林长春·期末）若，则（   ） A．10 B．3 C．7 D．12 7．（24-25八年级上·河北衡水·期末）若，则的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 8．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 9．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知，则 10．（24-25七年级上·上海·阶段练习）比较大小： ． 11．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）当x 时，有意义． 12．（24-25八年级上·四川广安·阶段练习）若，则的值为 三、解答题 13．（24-25八年级上·甘肃平凉·期中）计算： (1)． (2)． (3)． 14．（24-25七年级上·海南儋州·期中）已知：，． (1)求的值； (2)若，求的值． 15．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 幂的乘除法运算 【题型1 幂的乘法运算】 【题型2 幂的乘方与积得乘方运算】 【题型3 幂的除法运算】 【题型4 幂的逆运算】 【题型5 幂的综合运算】 【题型6 零指数幂】 【题型7 科学记数法-表示较小的数】 考点1：幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 【题型1 幂的乘法运算】 【典例1】（23-24七年级下·山东菏泽·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法运算进行计算； （2）根据同底数幂的乘法运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-1】（2024八年级上·全国·专题练习） ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法法则进行解题即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【变式1-2】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可； （2）根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式1-3】（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）计算：． 【答案】 【分析】题考查同底数幂的乘法计算，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 【详解】解： ． 考点2：幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数) 考点3：积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 【题型2 幂的乘方与积得乘方运算】 【典例2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．根据积的乘方与幂的乘方法则计算即可得． 【详解】解：， 故选：C． 【变式2-1】（2024·江苏常州·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了积的乘方，直接利用积的乘方运算法则得出即可． 【详解】解：， 故选：A． 【变式2-2】（23-24七年级上·上海闵行·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键．根据积的乘方等于各因数乘方的积求解即可． 【详解】解：， 故答案为： 【变式2-3】（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，解题的关键是掌握积的乘方法则：等于积中每一个因式分别乘方再相乘．据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 考点4：幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 考点5：零指数 a0=1 (a≠0) 【题型3 幂的除法运算】 【典例3】（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，直接运算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3-1】（24-25八年级上·吉林松原·阶段练习）计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的除法运算，掌握其运算法则是解题的关键． 先算乘方，再根据同底数幂的除法运算法则“底数不变，指数相减”计算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：1 ． 【变式3-2】（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，先算括号里面的同底数幂的除法，再算幂的乘方即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25八年级上·北京朝阳·期中） ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算和同底数幂的除法运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．根据幂的乘方和同底数幂的除法运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【题型4 幂的逆运算】 【典例4】（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）675；（2）200 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据幂的乘方的逆用求出和，再根据同底数幂的乘法的逆用计算即可得； （2）先计算积的乘方与幂的乘方可得，再根据幂的乘方的逆用计算即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴； （2）∵， ∴ ． 【变式4-1】（23-24七年级下·江苏·阶段练习）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)15 (2)675 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法法则以及幂的乘方法则的运用． （1）先将变形成，再代入求值即可； （2）将 变形为， 再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）∵，， ∴． 【变式4-2】（22-23七年级上·新疆喀什·期中） 已知，求： (1) (2) 【答案】(1)4 (2)200 【分析】本题主要考查看幂的乘方以及同底数幂的乘法等知识点， （1) 根据幂的乘方计算即可； （2) 根据同底数幂的乘法以及幂的乘方解答即可； 熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】（1）∵， ∴； （2） ． 【变式4-3】（23-24八年级上·福建福州·期中）计算： (1)已知，求n的值． (2)已知，求m的值． 【答案】(1)2 (2)3 【分析】（1）利用幂的乘方法则变形得到，即可求解； （2）运用幂的乘方，把底数都化为3的形式，结合同底数幂的乘法，列出关于的方程求解． 【详解】（1）解：， ∴， 解得：； （2）， ， 即， ， 解得． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方等知识．熟练掌握运算法则的逆用是解题的关键． 【题型5 幂的综合运算】 【典例5】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的混合计算，积的乘方计算，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先算幂的乘方，再算乘除即可； （2）先算积的乘方，再算乘法，最后算加法． 【详解】（1）解： ； （2） 【变式5-1】（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1) ； (2) 【答案】(1)7x6 (2)6a8 【分析】（1）先算幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项即可； （2）先算同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，再合并同类项即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． 【变式5-2】（2024七年级下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】（1）根据同底数幂的乘法和幂的乘方以及合并同类项的计算法则求解即可； （2）根据幂的乘方和同底数幂的除法计算法则求解即可； （3）根据同底数幂的乘除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【变式5-3】（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、合并同类项运算法则求解即可； （2）将看成整体，利用同底数幂的乘除法运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． 【题型6 零指数幂】 【典例6】（24-25九年级上·湖南衡阳·开学考试）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，零指数幂．熟练掌握有理数的乘方，零指数幂是解题的关键． 分别计算有理数的乘方，零指数幂，然后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 【变式6-1】（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，实数的运算，解题的关键是掌握，绝对值，有理数的乘方，进行计算，即可． 【详解】 解： ． 【变式6-2】（23-24九年级下·广西南宁·开学考试）计算：． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的混合运算．首先计算零指数幂、乘方和乘除法，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】解： ． 【变式6-3】（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，涉及0指数幂运算、负整数指数幂运算及绝对值等知识，先由0指数幂运算、负整数指数幂运算及绝对值计算，再由有理数加减运算求解即可得到答案，熟记有理数混合运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ． 考点6：科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1 a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 【题型7 科学记数法-表示较小的数】 【典例7】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）引发秋季传染病的某种病毒的直径是，将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【变式7-1】（24-25八年级上·天津河西·期末）流行性感冒病毒简称流感病毒．甲型流感病毒的直径是，将数据0.000000081用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法表示较小的数，将一个数表示成的形式，其中为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案，熟练掌握其定义并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 【变式7-2】（24-25八年级上·天津河东·期末）月季是天津市的市花，具有非常高的观赏价值．某品种的月季花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（   ） A． B．； C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 【变式7-3】（24-25八年级上·吉林·期末）纳米技术是一种高新技术，纳米（）是非常小的长度单位，，则将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据记数法得基本要求和格式解答即可．本题考查了科学记数法，熟练掌握基本要求是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得用科学记数法表示为． 故选：B． 一、单选题 1．（24-25八年级上·贵州黔南·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，解决本题的关键是根据同底数幂的乘法法则进行计算． 【详解】解：． 故选：B． 2．（24-25九年级上·全国·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方的运算法则是解题的关键； 根据幂的乘方运算运算法则得，计算即可； 【详解】解：． 故选：B． 3．（23-24七年级下·广东清远·期末）神舟十七号载人飞船航天员在空间站进行了一系列科学实验，其中包括“空间蛋白质分子组装与应用研究”．在此研究中，观测到某一蛋白质分子的直径仅为米，这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：B． 4．（24-25九年级上·福建南平·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法分别进行判断即可． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项正确，符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 5．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查积的乘方的逆用，熟练掌握积的乘方是解题的关键；由题意得，进而求解即可． 【详解】解： ． 故选：A． 6．（24-25九年级上·吉林长春·期末）若，则（   ） A．10 B．3 C．7 D．12 【答案】A 【分析】此题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟记同底数幂乘法的计算法则是解题的关键．根据同底数幂乘法法则的逆运算解答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 7．（24-25八年级上·河北衡水·期末）若，则的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，一元一次方程的应用，根据同底数幂的乘法可得出，然后解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：， 解得：． 故选：A． 二、填空题 8．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了同底数幂的乘法．利用同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知，则 【答案】35 【分析】本题考查了同底数幂的乘法逆运算，幂的乘方逆运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 将化为，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：35． 10．（24-25七年级上·上海·阶段练习）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用；把两个幂转化为同指数的两个幂，根据指数相同，两个正底数中，底数大的幂也大即可比较大小． 【详解】解：∵， 而， ∴， 即； 故答案为：． 11．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）当x 时，有意义． 【答案】 【分析】根据，解答即可． 本题考查了零指数幂，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据，得有意义的条件是， 解得． 故答案为：． 12．（24-25八年级上·四川广安·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，解题的关键是化同底，整体代入求值；把，化为以2为底，再根据同底数幂的乘法和整体代入求值求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：16． 三、解答题 13．（24-25八年级上·甘肃平凉·期中）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算以及积的乘方的逆运算． （1）根据同底数幂的乘法运算计算即可． （2）根据积的乘方的逆运算进行拆分求解即可． （3）把变成，然后根据同底数幂的乘法运算计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 14．（24-25七年级上·海南儋州·期中）已知：，． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)216 (2)3 【分析】本题考查积的乘方，同底数幂的乘法的逆用，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）利用积的乘方，逆用同底数幂的乘法进行计算即可； （2）逆用积的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）， ∴． 15．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键． （1）根据，代入计算即可； （2）根据，结合代入计算即可； （3）根据，结合变形即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， 又， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$