7.1.2两条直线垂直（教案，新教材）-2024-2025学年七年级数学下册同步备课教案（人教版2024）

7.1.2 两条直线垂直（教案 新课程） 第七章相交线与平行线 7.1相交线 7.1.2 两条直线垂直 【教学目标】 1．通过操作、观察、测量、推理等探究过程，理解并掌握垂线的概念及性质，了解点到直线的距离； 2．能够运用垂线的概念及性质进行运算并解决实际问题； 3.通过垂直及性质的探究，感悟数学与生活的关系，学习发展学生的几何语言，发展学生的学习能力、实践能力和创新意识； 【教学重点】垂线的概念及性质，点到直线的距离. 【教学难点】运用垂线的概念及性质进行运算并解决实际问题.　 【教学过程】 1、 情境导入 情境展示 如图是教室的一幅图片，黑板相邻两边的夹角等于多少度？这样的两条边所在的直线有什么位置关系？ 在小学我们已经学习了这两条直线的位置关系是垂直，本节课将继续学习垂直的概念和性质. 展示课题 7.1.2 两条直线垂直（板书课题） 二、合作探究 探究一：什么是两直线垂线 活动1 多媒体展示：垂直是相交的一种特殊情形.在相交线的模型(如图) 中、固定木条转动木条，当b 的位査变化吋，、所成的 也会发生变化. 活动2 教师追问： 在什么情况下，这两根木条垂直？ 学生观察得出：当∠a=90°时，这两根木条垂直. 活动3 教师追问：对于任意两条直线，在什么情况下称为互相垂直？ 学生尝试，教师规范给出结论：一般地，当两条直线a，b相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说a与b互相垂直，记作“a丄b”. 两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.在下图中，AB丄CD，垂足为0. 探究二：两直线的夹角与垂直的关系 活动4 教师提出问题 两条直线相交夹角大小与垂直之间有什么关系？怎样写成推理过程. 学生讨论得出：由上可知，如果两条直线相交所成的四个角中有一个角等于90°，那么这两条直线互相垂直，反之也成立. 在上图中，如果直线AB，CD相交于点O，∠AOD=90°，那么AB丄CD；如果直线AB，CD相交于点O，AB丄CD，那么∠AOD=90°. 教师强调：这个推理过程可以写成下面的形式: 因为（∵）∠AOD=90°,所以（∴） AB丄CD. 反过来，因为（∵）AB丄CD，所以（∴）∠AOD=90° . 活动5 例1 如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数． 师生共同解析：要求∠AOM的度数，由AO⊥BC，可先求它的余角．由已知∠EON＝20°，结合∠BOE＝∠NOE，即可求得∠BON. 再根据对顶角相等即可求得；要求∠NOC的度数，根据邻补角的定义即可． 教师示范写出解题过程 解：∵∠BOE＝∠NOE，∴∠BON＝2∠EON＝2×20°＝40°，∴∠NOC＝180°－∠BON＝180°－40°＝140°，∠MOC＝∠BON＝40°. ∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°，∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°，∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°. 探究三：两条直线互相垂直的基本事实 活动6 问题：在日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，例如窗户上互相垂直的木条、网球拍上互相垂直的网线，你能再举出其他例子吗? 学生讨论举例. 活动7 探究 如图 ，用三角尺或量角器画已知直线的垂线. (1)经过直线上一点A画的垂线，这样的垂线能画出几条? (2)经过直线外一点B画的垂线，这样的垂线能画出几条? 学生动手操作 从操作中可以发现，经过一点(在已知直线上或直线外)，能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线. 由此得到关于垂线的基本事实:在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 教师追问：这里的”有且只有一条直线”你是怎样理解的？ 学生讨论：可以理解为“有一条，并且只能的一条” 活动8 例2. 如图，过点P画出射线AB或线段AB 的垂线. 教师提示：画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线. 学生动手操作，教师指导 解：如图所示 探究四：互相垂直的两条直线的另一个性质 活动9 思考 如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短? 学生讨论，发表观点 活动10 探究 如图 ，P是直线外一点，PO⊥，垂足为O，我们称 PO 为点P到直线的垂线段.A 是直线上除点O外一点，连接PA.测量并比较线段 PO 与PA 的长度，你能得到什么结论?改变点A的位置呢? 学生动手操作。 教师多媒体演示：在直线上拖动点A，改变点A 的位置，比较 PO与PA 的长度关系. 师生共同归纳： 可以发现，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 简单说成:垂线段最短. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 问题回顾 对于上图，现在你知道如何挖渠能使渠道最短，你前面的想法正确吗? 活动11 问题 如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是，理由 ．    学生讨论：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，∵，∴最短，故答案为：垂线段最短． 三、强化巩固 活动1．练习：1、2、3． 小组讨论完成． 2.拓展训练：如图，AC⊥BC，AC＝3，BC＝4，AB＝5. (1)试说出点A到直线BC的距离，点B到直线AC的距离； (2)点C到直线AB的距离是多少？你能求出来吗？ 【解析】(1)点A到直线BC的距离是3，点B到直线AC的距离是4； (2)过点C作CD⊥AB，垂足为D.三角形ABC的面积＝BC·AC＝AB·CD，所以5CD＝3×4，所以CD＝.所以点C到直线AB的距离为. 四、总结拓展 1．垂线的概念； 2.垂线的性质： 过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． 在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短． 3.点到直线的距离； 4.在学习垂直的概念和性质中，学习说理，发展学习能力、实践能力和创新意识． 五、作业布置 必做作业：课本习题7.1第2、3、4、6题 选做作业：课本习题7.1第8题 附：板书设计 例1. 例2. 学生练习板演（拓展训练） 课题：7.1.2两条直线垂直 探究一：什么是两直线垂线 探究二：两直线的夹角与垂直的关系 探究三：两条直线互相垂直的基本事实 探究四：互相垂直的两条直线的另一个性质 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$