专题7.1 相交线（4大知识点4大考点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题7.1 相交线（4大知识点4大考点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】邻补角与对顶角 1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角． 2. 对顶角及性质： （1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边（相对）的两个角，互为对顶角． （2）性质：对顶角相等． 【知识点2】垂线 1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足． 【要点提示】 （1）记法：直线a与b垂直，记作：； 直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O. （2） 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线（如图所示）． 【要点提示】 （1）如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． （2）过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 【要点提示】 （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 【知识点3】同位角、内错角、同旁内角的概念 1. “三线八角”模型 如图，直线AB、CD与直线EF相交（或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截），构成八个角，简称为“三线八角”，如图1. 【要点提示】 ⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF相交． ⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成． 2. 同位角、内错角、同旁内角的定义 在“三线八角”中，如上图1， （1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角. （2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角. （3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角. 【知识点4】同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征 【要点提示】巧妙识别三线八角的两种方法： （1）巧记口诀来识别： 一看三线，二找截线，三查位置来分辨. （2）借助方位来识别 根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2． 考点与题型目录 【考点一】相交线 【题型1】对顶角、邻补角定义的理解...........................................4 【题型2】对顶角相等、邻补角互补.............................................5 【考点二】垂线 【题型3】垂线定义的理解.....................................................5 【题型4】垂线段最短.........................................................6 【题型5】点到直线的距离.....................................................7 【题型6】尺规作图——画垂线.................................................7 【考点三】同位角、内错角、同旁内角 【题型7】同位角、内错角、同旁内角的识别.....................................8 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型8】中考链接...........................................................9 【题型9】拓展延伸...........................................................9 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【考点一】相交线 【题型1】对顶角、邻补角定义的理解 【例1】（23-24七年级下·河南安阳·阶段练习）如图，直线和相交于点O，；垂足为O，平分，．解 （1）的邻补角是 ；的对顶角是 ； （2）求的度数． 【变式1】（24-25七年级上·吉林长春·期末）下列语句中，正确的是（   ） A．相等的角一定为对顶角 B．不是对顶角的角一定不相等 C．不相等的角一定不是对顶角 D．有公共顶点且和为的两个角一定为邻补角 【变式2】（23-24八年级上·河南南阳·开学考试）如图所示，与相交所成的四个角中，的邻补角是 ，的对顶角是 ．    【题型2】对顶角相等、邻补角互补 【例2】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线相交于点平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，直线、相交于点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，两直线交于点，若，则 度． ． 【考点二】垂线 【题型3】垂线定义的理解 【例3】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：如图，直线相交于点O，，，则 ． 【变式1】（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，直线相交于点O，射线，垂足为点O，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）已知，等于，则的度数为 ． 【题型4】垂线段最短 【例4】（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）火车站，码头分别位于两点，直线分别表示铁路与河流． 按下列要求，请画图并说明理由： （1）从火车站到码头怎样走最近？ （2）从码头到铁路怎样走最近？ 【变式1】（19-20七年级下·河南信阳·期中）如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．4.4 B．5 C．4.8 D．4 【变式2】（23-24七年级下·广西梧州·期末）在中，，点D是边上的动点（除点外），则线段的取值范围是 ． 【题型5】点到直线的距离 【例5】（22-23七年级下·河北邯郸·期中）如图，将一块直角三角板的直角顶点O放在直线上． （1）若线段的长是点C到直线的距离，则点D在直线______（填“上”或“外”）． （2）比较与的大小，并说明理由． 【变式1】（22-23七年级下·福建厦门·期末）如图，点在直线上，点，在直线上，设，且无论取何值，均有，则下列说法正确的是（    ）    A．点到直线的距离是的长度 B．点到直线的距离是的长度 C．点到直线的距离是的长度 D．点到直线的距离是的长度 【变式2】（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，已知点O在直线上，于点M，连接，则点E到的距离是线段 的长度． 【题型6】尺规作图——画垂线 【例6】（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，点是的边上的一点，请过点画出，的垂线，分别交于点，，哪条线段的长度表示点到直线的距离？ 【变式1】（17-18七年级下·全国·课后作业）在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（17-18七年级下·全国·课后作业）如图，一束光线以入射角为50°的角度射向斜放在地面AB上的平面镜CD，经平面镜反射后与水平面成30°的角，则CD与地面AB所成的角∠CDA的度数是 ． 【题型7】同位角、内错角、同旁内角的识别 【例7】（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，已知与 构成同位角的角的个数是 ，与 构成内错角的角的个数是 ，求 的值． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，下列结论正确的是（   ） A．与互为内错角 B．与互为内错角 C．与互为同旁内角 D．与互为同位角 ★【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）社会热点情境•滑雪）中国滑雪天才少女谷爱凌在北京冬奥会的赛场上斩获“自由式滑雪大跳台”首金，这是她获得的首个冬奥会奖牌，也是中国运动员第一次参加冬奥会大跳台的比赛．项目图标如图；则在下列判断中①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角，其中正确的有 ．（只填序号） 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型8】中考链接 【例1】（2022·青海·中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（    ） A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、对顶角 C．对顶角、同位角、同旁内角 D．同位角、内错角、同旁内角 【例2】（2024·广西·中考真题）已知与为对顶角，，则 °． 【题型9】拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·山西大同·阶段练习）有下列说法：其中正确的说法的个数是（    ） （1）对顶角相等；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； （4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1 B．2 C．3 D．4 ★【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线交于点分别在内部，且平分． （1）的对顶角是___________； （2）若，则的度数为___________； （3）若平分，求的度数； （4）若，判断是否平分，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.1 相交线（4大知识点4大考点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】邻补角与对顶角 1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角． 2. 对顶角及性质： （1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边（相对）的两个角，互为对顶角． （2）性质：对顶角相等． 【知识点2】垂线 1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足． 【要点提示】 （1）记法：直线a与b垂直，记作：； 直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O. （2） 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线（如图所示）． 【要点提示】 （1）如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． （2）过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 【要点提示】 （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 【知识点3】同位角、内错角、同旁内角的概念 1. “三线八角”模型 如图，直线AB、CD与直线EF相交（或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截），构成八个角，简称为“三线八角”，如图1. 【要点提示】 ⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF相交． ⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成． 2. 同位角、内错角、同旁内角的定义 在“三线八角”中，如上图1， （1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角. （2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角. （3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角. 【知识点4】同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征 【要点提示】巧妙识别三线八角的两种方法： （1）巧记口诀来识别： 一看三线，二找截线，三查位置来分辨. （2）借助方位来识别 根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2． 考点与题型目录 【考点一】相交线 【题型1】对顶角、邻补角定义的理解...........................................4 【题型2】对顶角相等、邻补角互补.............................................6 【考点二】垂线 【题型3】垂线定义的理解.....................................................7 【题型4】垂线段最短.........................................................9 【题型5】点到直线的距离....................................................11 【题型6】尺规作图——画垂线................................................13 【考点三】同位角、内错角、同旁内角 【题型7】同位角、内错角、同旁内角的识别....................................14 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型8】中考链接..........................................................16 【题型9】拓展延伸..........................................................17 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【考点一】相交线 【题型1】对顶角、邻补角定义的理解 【例1】（23-24七年级下·河南安阳·阶段练习）如图，直线和相交于点O，；垂足为O，平分，．解 （1）的邻补角是 ；的对顶角是 ； （2）求的度数． 【答案】（1）；；（2） 【分析】本题主要考查了邻补角的定义，对顶角的定义，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握相关定义． （1）根据邻补角和对顶角的定义即可得出结果； （2）根据，，可以得出，再由平分，得出，进而求出． 解：（1）解：， 的邻补角是， 直线和相交于点O， 的对顶角是． 故答案为：；． （2）解：，， ， 平分， ， ． 【变式1】（24-25七年级上·吉林长春·期末）下列语句中，正确的是（   ） A．相等的角一定为对顶角 B．不是对顶角的角一定不相等 C．不相等的角一定不是对顶角 D．有公共顶点且和为的两个角一定为邻补角 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角和邻补角的定义，解题的关键是掌握相关的定义．对顶角：有公共端点且两条边互为反向延长线的两个角互为对顶角，对顶角相等；邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角；据此解答即可． 解：A、相等的角不一定是对顶角，本选项错误，不符合题意； B、不是对顶角的角也可能相等，本选项错误，不符合题意； C、不相等的角一定不是对顶角，本选项正确，符合题意； D、有公共顶点且和为的两个角不一定是邻补角，本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（23-24八年级上·河南南阳·开学考试）如图所示，与相交所成的四个角中，的邻补角是 ，的对顶角是 ．    【答案】 和 【分析】本题主要考查了邻补角和对顶角的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 根据邻补角和对顶角的定义即可直接得出答案． 解：由图形可知，的邻补角是和， 的对顶角是， 故答案为：和，． 【题型2】对顶角相等、邻补角互补 【例2】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线相交于点平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查角平分线的定义，对顶角相等，以及邻补角的定义． （1）由角平分线的定义可求出，再根据对顶角相等即可求解； （2）设，则，根据，可列出关于x的方程，解出x的值，即可求出的大小，进而可求出的大小． 解：（1）解：平分， ， ； （2）解：∵， 设，则， ∴根据题意得， 解得：， ，则， ． 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，直线、相交于点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查邻补角和对顶角，熟练掌握领补角和对顶角的性质是解题的关键．利用领补角的性质结合，求出，再利用对顶角即可求解． 解：∵直线、相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故选：A． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，两直线交于点，若，则 度． ． 【答案】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，邻补角的性质，先由求解，再利用邻补角的性质可得答案． 解：∵，， ∴， ∴； 故答案为： 【考点二】垂线 【题型3】垂线定义的理解 【例3】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：如图，直线相交于点O，，，则 ． 【答案】65 【分析】本题主要考查了垂线的定义，对顶角相等，先由对顶角相等得到，再根据垂线的定义得到，则． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：65． 【变式1】（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，直线相交于点O，射线，垂足为点O，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直的定义，邻补角的定义，求出的度数是解题的关键．根据垂直的定义可求的度数，然后根据邻补角的定义求解即可． 解：如图， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）已知，等于，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了垂线的定义，角的和差运算．结合图形是做这类题的关键．根据垂直关系知，由，可求，根据与的位置关系，分类求解即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴． 的位置有两种：一种是在内，一种是在外． ①当在内时，； ②当在外时，． 故答案为：或． 【题型4】垂线段最短 【例4】（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）火车站，码头分别位于两点，直线分别表示铁路与河流． 按下列要求，请画图并说明理由： （1）从火车站到码头怎样走最近？ （2）从码头到铁路怎样走最近？ 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查两点之间线段最短、垂线段最短的应用， （1）连接，根据两点之间线段最短可得结论； （2）过B作直线a的垂线，垂足为D，根据垂线段最短可得结论． 解：（1）解：如图，线段即为所求； 理由：根据两点之间线段最短，从火车站到码头沿着线段走最近； （2）解：如图，线段即为所求： 理由：根据垂线段最短，从码头到铁路沿着线段走最近． 【变式1】（19-20七年级下·河南信阳·期中）如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．4.4 B．5 C．4.8 D．4 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短．根据垂线段最短，得到当时，的值最小，利用等积法进行计算即可。 解：∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴当时，的值最小， 在中， ∵，，，， ∴，即：， ∴， 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·广西梧州·期末）在中，，点D是边上的动点（除点外），则线段的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，根据垂线段最短可知，当时，的长度最小，利用三角形的面积求出的最小值，再根据当点D与点A重合时，取的最大值为4，即可得出的取值范围． 解：由垂线段最短可知，当时，的长度最小，如下图∶ ∵ ∴， ∴， ∴， 当点D与点A重合时，取的最大值为4， ∴的取值范围为：． 故答案为：． 【题型5】点到直线的距离 【例5】（22-23七年级下·河北邯郸·期中）如图，将一块直角三角板的直角顶点O放在直线上． （1）若线段的长是点C到直线的距离，则点D在直线______（填“上”或“外”）． （2）比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）上；（2） 【分析】（1）由线段的长是点C到直线的距离，可得，结合，从而可得答案． （2）由垂线段最短可得答案． 解：（1）解：∵线段的长是点C到直线的距离， ∴， ∵， ∴，重合， ∴则点D在直线上． （2），理由如下： ∵， ∴与上各点的连线段中，垂线段最短． ∴． 【点拨】本题考查的是点到直线的距离，垂线段最短，熟记点到直线的距离的含义是解本题的关键． 【变式1】（22-23七年级下·福建厦门·期末）如图，点在直线上，点，在直线上，设，且无论取何值，均有，则下列说法正确的是（    ）    A．点到直线的距离是的长度 B．点到直线的距离是的长度 C．点到直线的距离是的长度 D．点到直线的距离是的长度 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解． 解：∵，且无论取何值，均有， ∴点到直线的距离是的长度， 故选：B． 【点拨】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握点到直线的距离，垂线段最短是解题的关键． 【变式2】（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，已知点O在直线上，于点M，连接，则点E到的距离是线段 的长度． 【答案】/ 【分析】根据点到直线距离的定义即可得出结论．本题考查了点到直线的距离，熟记点到直线的距离的定义是解题的关键． 解：由题意得：∵ ∴点到的距离是线段的长度． 故答案为：． 【题型6】尺规作图——画垂线 【例6】（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，点是的边上的一点，请过点画出，的垂线，分别交于点，，哪条线段的长度表示点到直线的距离？ 【答案】作图见详解，线段表示点P到直线的距离 【分析】本题考查了点到直线的距离，先根据题意画出图形，再根据点到直线的距离的定义得出即可．能熟记点到直线的距离的定义是解此题的关键． 解：如图， 线段的长度表示点到直线的距离． 【变式1】（17-18七年级下·全国·课后作业）在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了垂线段的画法的判断，根据垂线段的画法依次判断即可． 解：四个图形中，只有第一个图形是过点B作线段所在直线的垂线段，其余均错误， 故选：C． 【变式2】（17-18七年级下·全国·课后作业）如图，一束光线以入射角为50°的角度射向斜放在地面AB上的平面镜CD，经平面镜反射后与水平面成30°的角，则CD与地面AB所成的角∠CDA的度数是 ． 【答案】70° 解：过点E作EM⊥CD于E． 根据题意得：∠1=∠2=50°，∠END=30°， ∴∠DEN=40°， ∴∠CDA=∠DEN+∠END=30°+40°=70°． 故答案为70°． 【点拨】本题借助物理里的反射光线考查了三角形外角定理．属于学科交叉知识，题目难度不大，注意数形结合思想的应用． 【题型7】同位角、内错角、同旁内角的识别 【例7】（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，已知与 构成同位角的角的个数是 ，与 构成内错角的角的个数是 ，求 的值． 【答案】3 【分析】本题考查了同位角和内错角，同位角是两直线被第三条直线所截，所形成的角位置相同；两直线被第三条直线所截，所形成的角在两条直线的中间，第三条直线的两侧，是内错角． 根据同位角特点，可得同位角的个数，根据内错角特点，可得内错角的个数，根据有理数的加法，可得计算结果． 解：由题图知 与 是同位角， 与 是内错角， 与 是内错角， ，， ． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，下列结论正确的是（   ） A．与互为内错角 B．与互为内错角 C．与互为同旁内角 D．与互为同位角 【答案】D 【分析】本题考查了同位角，内错角，同旁内角和邻补角，根据同位角，内错角，同旁内角和邻补角的概念判断即可． 解：A、和是同位角，故A不符合题意； B、与不是内错角，故B不符合题意； C、与不是同旁内角，故C不符合题意； D、与互为同位角，故D符合题意； 故选：D． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）社会热点情境•滑雪）中国滑雪天才少女谷爱凌在北京冬奥会的赛场上斩获“自由式滑雪大跳台”首金，这是她获得的首个冬奥会奖牌，也是中国运动员第一次参加冬奥会大跳台的比赛．项目图标如图；则在下列判断中①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角，其中正确的有 ．（只填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查对顶角，三线八角，根据对顶角和三线八角的定义，逐一进行判断即可． 解：由图可知：与是对顶角；故①正确； 与是同旁内角；故②正确； 与是邻补角；故③错误； 与是内错角；故④正确； 故答案为：①②④． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型8】中考链接 【例1】（2022·青海·中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（    ） A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、对顶角 C．对顶角、同位角、同旁内角 D．同位角、内错角、同旁内角 【答案】D 【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可． 解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知 第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角． 故选：D． 【点拨】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们． 【例2】（2024·广西·中考真题）已知与为对顶角，，则 °． 【答案】35 【分析】本题主要考查了对顶角性质，根据对顶角相等，得出答案即可． 解：∵与为对顶角，， ∴． 故答案为：35． ★【题型9】拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·山西大同·阶段练习）有下列说法：其中正确的说法的个数是（    ） （1）对顶角相等；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； （4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、垂线的性质、平行线公理，点到直线的距离，解题关键是准确掌握相关性质和概念，正确进行判断．根据平行线公理，点到直线的距离、垂线的性质、平行线的性质逐项判断即可． 解：（1）对顶角相等，正确； （2）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误； （3）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原说法错误； （4）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； 故选：A． ★★【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线交于点分别在内部，且平分． （1）的对顶角是___________； （2）若，则的度数为___________； （3）若平分，求的度数； （4）若，判断是否平分，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）平分，理由见分析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角的性质，几何中角度的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义． （1）根据对顶角的定义即可解答； （2）根据角平分线的定义得出，再根据，求出结果即可； （3）由，得到，根据角平分线的定义得出，根据，求出，根据角平分线的定义得出，根据，求出结果即可； （4）由，利用平角的定义得到，再根据，求出，结合得出结论． 解：（1）解：根据题意：的对顶角是； （2）解：平分， ， ； （3）解：与为对顶角， ， ，即． 平分， ， ， ， ． 又平分， ， ； （4）解：平分，理由如下： ， ． ， ， ， ， 平分． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$