寒假预习衔接：专题07 比例的应用（讲义）-2024-2025学年六年级下册数学人教版

专题07 比例的应用 知识点一：比例尺的认识 （1）一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。 （2）图上距离∶实际距离＝比例尺 或 ＝比例尺。 （3）数值比例尺和线段比例尺是比例尺的两种表现形式，改写时要统一单位。 ①数值比例尺：1:5000000 或 ； ②线段比例尺：； ③表示图上1厘米相当于实际距离50千米。（改写时要统一单位） （4）已知图上距离和实际距离，求比例尺的方法：先把图上距离和实际距离统一单位，再用图上距离比实际距离就可以求出比例尺。 一、选择题（将正确的选项填在括号内） 1．一种精密零件长5mm，把它画在图纸上长8cm，这张图纸的比例尺是(　　)。 A．5：8 B．8：5 C．1：16 D．16：1 2．在一幅地图上，1厘米表示实际距离60千米，这地图的比例尺为（　　）。 A．1：60 B．1：60000 C．1：600000 D．1：6000000 二、判断题（对的画√，错的画×） 3．比例尺一般写成1：n(n为正整数)的形式。（　　） 4．把线段比例尺改写成数值比例尺是1：500000。（　　） 三、填空题 5．一幅图的　 　和　 　的比，叫作这幅图的比例尺。 6．在一幅地图上，量得甲乙两地图上距离是14厘米，已知两地的实际距离是490千米。这幅图的比例尺是　 　。 知识点二：应用比例尺求图上距离或实际距离 （1）已知比例尺和图上距离，求实际距离，可以根据“＝比例尺”列方程解答； （2）也可以利用“实际距离＝图上距离÷比例尺”直接列式计算。 一、选择题（将正确的选项填在括号内） 7．小军和小丽分别把学校的正方形花池画了下来，小军画的正方形花池的边长是a厘米，小丽画的正方形花池的边长是2a厘米。如果小军是按1：200的比例尺画的，那么小丽是按（　　）的比例尺画的。 A．1：100 B．1：200 C．1：400 D．1：800 8．在一幅 1：10000的旅游地图上量得长江索道景区到洪崖洞景区的直线距离为7厘米，实际两地的距离是(　　)米。 A．70000 B．700 C．7 D．0.7 9．一个长方形操场长250m，宽200m，选用比例尺（　　）画出的平面图最大。 A．1：500 B．1：5000 C．1：50000 D．1：1000 二、判断题（对的画√，错的画×） 10．在一幅比例尺是1∶10000的地图上，2厘米表示200厘米。（　　） 11．一个精密零件，实际长5毫米，在比例尺2：1的图纸上量得图上距离10厘米。（　　） 12．两地的实际距离是900米，在比例尺1：6000000的地图上的距离是1.5厘米。（　　） 三、填空题 13．在比例尺是的一幅地图上，量得甲乙两地之间的距离是6厘米。甲乙两地之间的实际距离是　 　千米。 14．在一幅比例尺是1：2000的地图上，量得一个正方形花圃的边长是6厘米实际面积是　 　平方米 15．2023年8月26日，温州轨道交通S2线正式开通运营，极大方便了市民的出行。在比例尺为1：200000的地图上，量得上望站与鲍田站之间的图上距离为4厘米，则上望站与鲍田站的实际距离是　 　千米，需行驶9分钟。照这样的速度，行完S2线的全程64千米需要　 　分钟。 四、解决问题 16．一列火车以每小时140千米的速度从甲地开往乙地，3小时行驶了全程的，那么在比例尺是1：7000000的地图上，甲、乙两地之间铁路线的长为多少？ 知识点三：应用比例尺画平面图 （1）应用比例尺画图要先根据实际距离与纸张的大小确定平面图的比例尺，再根据比例尺求出图上距离，或直接根据所给的比例尺求出图上距离，然后根据图上距离画出相应的平面图，并标明平面图的名称及比例尺。 一、操作题 17．一块周长是220m的长方形土地，长和宽的比是7：4，请按照1：2000的比例尺求出这块土地平面图的长和宽，然后再画出它的平面图。 18．标准篮球场的形状为长28米、宽15米的长方形，请你按1：400画出这个长方形，并标明图上尺寸。 19．小聪家在公园正东方向，距离公园400m；小明家在公园北偏西45°方向距离是300m；小新家距离公园200m，方向刚好与小聪相反。在左下图画出他们三家和公园的位置平面图（比例尺是1：10000）。 知识点四：图形的缩放 （1）图形的放大和缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大或缩小后所得到的图形与原来的图形相比，只是大小发生了变化形状不变。 （2）在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小分为三步： 一看，看原图形每边各占几格； 二算，计算新图形的每边各占几格； 三画，画出原图形的放大图或缩小图。 一、选择题（将正确的选项填在括号内） 20．把一个图形按4：1变化后，得到的图形与原图形比较，正确的说法是（　　）。 A．面积扩大4倍 B．面积缩小4倍 C．周长扩大4倍 D．周长缩小4倍 21．一个面积是18cm2的三角形，按3：1放大后，现在的面积是(　　)cm2。 A．54 B．27 C．108 D．162 22．右图是将左图的三角形按一定比例缩小后得到的，左图中x的值是（　　）。 A．0.3cm B．4cm C．4.8cm D．10.8cm 二、判断题（对的画√，错的画×） 23．图形的放大和缩小改变了图形的面积，不改变图形的形状。（　　） 24．把直径是3cm的圆按2：1放大后，它的周长和面积都扩大到原来的2倍。(　　) 三、填空题 25．一个长6mm，宽4mm的长方形按5：1放大，放大后的长方形周长是　 　cm，面积是　 　cm2。 26．如图中，三角形A按　 　放大后得到三角形B，它的面积扩大到原来的　 　倍；如果点C 的位置用　 　表示，那么点D的位置可以用　 　来表示。 四、操作题 27．按要求在如图方格纸中画图。 （1）画出三角形AOB绕点O顺时针方向旋转90°后的图形； （2）画出三角形AOB按1：2缩小后的图形A'O'B'。 28．按要求画一画，并填空。（每小格的 边长表示 1cm） （1）按 1：3 画出三角形缩小后的图形。 （2）按 2：1 画出梯形放大后的图形。 知识点五：应用比例解决实际问题 （1）运用比例知识解决问题的方法： ①判断题中两种相关联的量是否成正比例或反比例关系； ②若成正比例关系，根据正比例的意义列出比例即方程；若成反比例关系，根据反比例的意义列出比例即方程； ③解比例； ④检验并作答。 一、选择题（将正确的选项填在括号内） 29．我国逐渐完善养老金制度，居民可自行缴纳养老金。甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老金18万元和12万元。甲计划每年比乙多缴纳养老金0.2万元。若乙每年缴纳养老金x万元，则根据题意可列出比例为（　　）。 A．12：（x＋0.2)＝18：x B．18：(x＋0.2)＝12：x C．12：(x－0.2)＝18：x D．12：x＝18：(x－0.2) 30．在100克的糖水中，糖与糖水的比是2：10，如果再加入10克糖，要使得糖水浓度不变，应加入（　　）克水。 A．10克 B．20克 C．40克 D．50克 31．餐馆给餐具消毒，要用100mL消毒液配成消毒水，如果消毒液与水的比是1：150，应加入（　　）升水。 A．1.5 B．15 C．150 D．15000 二、填空题 32．中华人民共和国国旗是五星红旗，旗面为红色长方形，长与宽的比为3：2。国旗的通用尺度定有五种，其中有一种规格长为96厘米，则它的宽是　 　厘米。 33． 甲、乙两人进行百米赛跑，当甲到达终点时，乙在甲后面10m处；如果两人各自速度不变，要使甲、乙两人同时到达终点，甲的起跑线应比原起跑线后移　 　m。 三、解决问题 34．某小学装修多媒体教室，计划用边长是50厘米的方砖铺地，需要800块。如果改用每块边长为2分米的方砖，需要多少块?(用比例方程解) 35．12月2日是全国交通安全日，某市举行了“爱在路上，与你同行”助行志愿者活动，胜利街道派出25名志愿者，红星街道派出的志愿者人数与胜利街道的人数比是4：5，红星街道派出了多少名志愿者？（用比例解） 36．我国第一辆火星车“祝融号”安全驶离着陆平台，成功“打卡”火星表面，正式开启了火星探测之旅，“祝融号”火星车长3.3米，航天爱好者小明，准备制作一个“祝融号”火星车的模型，模型与实际长度的比是1：15。小明制作的模型的长是多少厘米？（请用比例解） 1．【答案】D 【解析】解：8cm=80mm，80mm：5mm=16：1。 故答案为：D 【分析】比例尺=图上距离：实际距离，比例尺的单位必须一致，所以需要将长度转换为相同单位。 2．【答案】D 【解析】解：1÷（60×100000）=1：6000000。 故答案为：C。 【分析】先单位换算1千米=100000厘米，比例尺=图上距离÷实际距离。 3．【答案】错误 【解析】解：比例尺一般写成1：n或n：1的形式。原题说法错误。 故答案为：错误。 【分析】求比例尺时，一般把比写成前项或后项是1的形式。 4．【答案】正确 【解析】解：1厘米：5千米 =1厘米：500000厘米 =1：500000 故答案为：正确。 【分析】线段比例尺转化成数值比例尺的方法：比例尺=图上距离：实际距离，据此先统一单位，再根据比的基本性质把比例尺转化成前项或后项是1的形式。 5．【答案】图上距离；实际距离 【解析】解： 一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。 故答案为：图上距离；实际距离。 【分析】根据比例尺的定义，比例尺是图上距离与实际距离的比值。据此作答。 6．【答案】1：3500000 【解析】解：14÷（490×1000×100） =14÷49000000 =1：3500000 故答案为：1：3500000。 【分析】比例尺=图上距离÷实际距离；据此计算。 【解析】解：a÷=200a（厘米），2a：200a=1：100，所以小丽是按1：100的比例尺画的。 故答案为：A。 【分析】花池的实际边长=小军画的花池的边长÷比例尺，所以小丽的比例尺=小丽画的花池的边长：花池的实际边长，据此作答即可。 8．【答案】B 【解析】7÷=70000（厘米）=700米 故答案为：B。 【分析】根据“实际距离=图上距离÷比例尽”，把数据代入列式7÷=70000（厘米）=700米，求得实际两地的距离是700米。 9．【答案】A 【解析】解：250米=25000厘米，200米=20000厘米； A：25000×=50（厘米），20000×=40（厘米），50×40=2000（平方厘米）； 。 故答案为：A。 【分析】图上距离=比例尺×实际距离；据此求出长方形操场的图上长和宽，然后根据“长×宽”求出操场的图上面积，比较即可。 10．【答案】错误 【解析】解：2÷=2×10000=20000厘米，所以2厘米表示实际20000厘米，所以“2厘米表示200厘米”这个说法是错误的。 故答案为：错误。 【分析】实际距离=图上距离÷比例尺。 11．【答案】错误 【解析】解：5毫米×=10毫米，图上距离是10毫米，原题错误。 故答案为：错误。 【分析】图上距离=实际距离×比例尺。 12．【答案】错误 【解析】解：900米=90000厘米，图上距离：90000×=(厘米)，原题计算错误. 故答案为：错误 【分析】把900米换算成厘米，然后用实际距离乘比例尺即可求出图上距离，然后做出判断即可. 13．【答案】360 【解析】解：60千米=6000000厘米，所以这个比例尺是1：6000000，6÷=36000000（厘米）=360（千米），所以甲乙两地之间的实际距离是360千米。 故答案为：360。 【分析】从图中可以看出，图上1厘米表示实际60千米，所以先把单位进行换算，即60千米=6000000厘米，据此得到数值比例尺，那么甲乙两地之间的实际距离=甲乙两地之间的图上距离÷比例尺。 14．【答案】14400 【解析】解：6×2000=12000（厘米） 12000厘米=120米 120×120=14400（平方米）。 故答案：14400。 【分析】实际距离=图上距离÷比例尺，单位换算后，正方形的面积=边长×边长。 15．【答案】8；72 【解析】解：4÷÷100000 =800000÷100000 =8（千米） 8÷9=（千米/分） 64÷=72（分钟）。 故答案为：8；72。 【分析】上望站与鲍田站的实际距离=图上距离÷比例尺，然后单位换算；照这样的速度，行完S2线的全程64千米需要的时间=路程÷速度；其中，速度=行驶8千米÷用的时间。 16．【答案】解：140×3÷ =420÷ =980（千米） 980千米=98000000厘米 98000000×=14（厘米） 答：甲、乙两地之间铁路线的长为14厘米。 【解析】【分析】用速度乘3求出3小时行驶的路程，根据分数除法的意义，用3小时行驶的路程除以求出全程。把全程换算成厘米，然后用实际距离乘比例尺即可求出图上距离。 17．【答案】解：220÷2=110（m） 110÷（7+4） =110÷11 =10（m） 长：10×7=70（m）=7000（cm） 宽：10×4=40（m）=4000（cm） 7000×=3.5（cm） 4000×=2（cm） 【解析】【分析】用周长除以2求出长与宽的和，然后把长与宽的和按照7：4的比分配后求出长和宽，把长和宽都换算成厘米，分别乘比例尺求出图上的长和宽，然后根据图上的长和宽画出平面图即可。 18．【答案】解：28米=2800厘米，15米=1500厘米， 图上篮球场的长是：2800× =7（厘米）， 图上篮球场的宽是：1500× =3.75（厘米）， 标准篮球场的平面图如下所示： 【解析】【分析】由题意知道，实际距离和比例尺已知，根据“图上距离=实际距离×比例尺”即可求出篮球场长和宽的图上距离，从而画出符合要求的平面图．本题考查了学生利用比例尺和实际距离求出图上距离来画图的能力． 19．【答案】解：10000cm=100m 400÷100=4（段） 300÷100=3（段） 200÷100=2（段） ​​​​​​​ 【解析】【分析】根据距离和方向画平面图的方法： ①确定图上距离： 方法一：先将实际距离单位转化成cm，再根据实际距离×比例尺=图上距离计算图上距离； 方法二：先根据数值比例尺将实际距离的单位转化成m或km，即可知道图上1cm表示实际几m或几km，再利用：实际距离÷每段表示的距离=线段的段数计算出图上距离； ②确定方向：我们首先要确定观测点即“我在哪里”，然后确定观察的对象即“看什么”，最后根据地图上各个方向的基本知识：在地图上，上北下南，左西右东；“谁偏谁几度”，一般情况我们都是以前一个方向为角的一条边画出偏的角度； ③最后再在角的另一条边上找到两地之间的图上距离即可确定目标点的位置。 20．【答案】C 【解析】把一个图形按4：1变化后，得到的图形与原图形比较，周长扩大4倍。【分析】此题考查放缩，对应放大或缩小。把一个图形按4：1变化后，得到的图形与原图形比 较，对应边扩大4倍，周长扩大4倍，面积扩大16倍。 21．【答案】D 【解析】解：18×9=162(cm2)； 故答案为：D。 【分析】三角形的面积=底×高÷2，按照3：1放大后，现在的面积=(底×3)×(高×3)÷2=原来三角形的面积×9，据此解答。 22．【答案】C 【解析】解：x：7.2=1.2：1.8 1.8x=7.2×1.2 1.8x=8.64 x=8.64÷1.8 x=4.8。 故答案为：C。 【分析】依据放大与缩小后，两个直角边的比成正比例，列比例，解比例。 23．【答案】正确 【解析】解：图形的放大和缩小改变了图形的面积，不改变图形的形状。原题说法正确。 故答案为：正确。 【分析】图形的放大和缩小不改变图形的形状，只改变图形的大小。所以面积也改变了。 24．【答案】错误 【解析】解：原来周长：π×3=3π(厘米)； 原来面积：π×(3÷2)2 =π×1.52 =2.25π(厘米)； 扩大后直径：3×2=6(厘米)； 扩大后周长：π×6=6π(厘米)； 扩大后面积：π×(6÷2)2 =π×32 =9π(厘米)； 周长扩大了(6π)÷(3π)=2； 面积扩大了(9π)÷(2.25π)=4； 因此，周长扩大到原来的2倍，面积扩大到原来的4倍，该说法错误； 故答案为：错误。 【分析】放大后的直径是3×2=6(厘米)，圆周长=π×直径，圆面积=π×半径2，据此分别求出扩大前后的周长和面积，继而再求出周长和面积分别扩大了几倍，据此解答。 25．【答案】10；6 【解析】解：6毫米=0.6厘米；4毫米=0.4厘米， （0.6+0.4）×2=1×2=2（厘米）；2×5=10（厘米）； 0.6×0.4=0.24（平方厘米）；0.24×5×5=6（平方厘米）。 故答案为：10；6。 【分析】（长+宽）×2=长方形的周长，长×宽=长方形的面积；按5：1放大，放大后的长方形周长是是原来长方形周长的5倍；放大后的长方形面积是原来长方形面积的5的平方倍。 26．【答案】2：1；4；（6，1）；（1，4） 【解析】解：三角形A按2：1放大后得到三角形B，它的面积扩大到原来的4倍； 如果点C的位置用（6，1）表示，那么点D的位置可以用（1，4）来表示。 故答案为：2：1；4；（6，1）；（1，4）。 【分析】三角形A的一条边是3格，对应三角形B的长度是6格，是按2：1放大；数对的表示方法：先列后行。 27．【答案】（1）解： （2）解： 【解析】【分析】（1）作旋转图形的方法：图形的旋转的关键是旋转中心、旋转方向和旋转的角度；画图时先弄清楚旋转的方向和角度，再确定从旋转点出发的两条线段旋转后的位置，这是关键所在，最后画其他的线段即可； （2）缩小后三角形底、高的格数分别=原来三角形底、高的格数÷2，据此画出三角形。 28．【答案】（1）解： （2）解： 【解析】【分析】(1) 三角形的底为9格，高为3格，按1：3的比例缩小后的底为9÷3=3(格)，高为3÷3=1(格)，据此画出缩小后的图形。 (2)梯形的上底为2格，下底为3格，高为2格，按2：1的比例放大后的上底为2×2=4(格)，下底为3×2=6(格)；高为2×2=4(格)，据此画出放大后的图形。 29．【答案】B 【解析】解：可列出比例18：(x＋0.2)＝12：x。 故答案为：B。 【分析】依据甲缴纳养老金总金额：（乙每年缴纳养老金的金额＋0.2万元）=乙缴纳养老金总金额：乙每年缴纳养老金的金额，列比例。 30．【答案】C 【解析】解：设应加入x克水。 2：10=10：（10+x） 2（10+x）=10×10 2x=80 x=40。 故答案为：C。 【分析】要使得糖水浓度不变，则加糖与加水后的浓度等于之前的浓度，以此列比例，解比例。 31．【答案】B 【解析】解：设应加入x毫升水。 100：x=1：150 x = 100×150 x=15000 15000毫升=15升。 故答案为：B。 【分析】设应加入x毫升水。依据消毒液的体积：加入水的体积=1：150，列比例，解比例，然后单位换算。 32．【答案】64 【解析】解：设国旗的宽为x厘米 96：x=3：2 3x=96×2 x=192÷3 x=64 故答案为：64。 【分析】国旗长的长度：宽的长度=3：2，据此列出比例解答即可。 33．【答案】 【解析】解：100：（100-10）=10：9 设甲的起跑线应比原起跑线后移x米。 10：9=（100＋x）：100 900＋9x=1000 9x=100 x=。 故答案为：。 【分析】两人的速度比是100：（100-10）=10：9，设甲的起跑线应比原起跑线后移x米，依据甲的速度：乙的速度=甲行驶的路程：乙行驶的路程，列比例，解比例。 34．【答案】解：设需要x块。 2分米=20厘米 = 400x=2500×800 400x÷400=2000000÷400 x=5000 答：需要5000块。 【解析】【分析】教室的面积不变，因此，可以设需要x块，根据计划方砖面积×计划需要块数=实际方砖面积×实际需要块数，列比例解答即可。 35．【答案】解：设红星街道派出了x名志愿者。 x：25＝4：5 5x＝25×4 5x÷5＝100÷5 x＝20 答：红星街道派出了20名志愿者。 【解析】【分析】红星街道派出的志愿者人数：胜利街道派出的志愿者人数=4：5，据此列比例解答即可。 36．【答案】解：设小明制作的模型的长是x厘米。 3.3米＝330厘米 x：330＝1：15 15x＝330 x=330÷15 x＝22 答：小明制作的模型的长是22厘米。 【解析】【分析】先单位换算3.3米＝330厘米，设小明制作的模型的长是x厘米。依据小明制作的模型的长：火星车的长度=1：15，列比例，解比例。 学科网（北京）股份有限公司 $$