寒假预习衔接：专题04 圆锥 （讲义）-2024-2025学年人教版数学六年级下册

专题04 圆锥 知识点一：圆锥的特征 （1）圆锥由一个底面和一个侧面两部分组成。 （2）圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面。 （3）从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，圆锥只有一条高。 一、选择题（将正确的选项填在括号内） 1．将一个圆锥沿着它的高平均切成两块，切面一定是一个(　　)。 A．长方形 B．等腰三角形 C．扇形 D．圆形 2．下面的图形以虚线为轴旋转后能形成圆锥的是（　　）。 A． B． C． D． 3．把一个底面半径4cm，高6cm的圆锥沿高切开平均分成2份，这个圆锥的表面积增加了（　　）。平方厘米。 A．48 B．32 C．24 D．12 二、判断题（对的画√，错的画×） 4．以直角三角形的任意一条边为轴旋转一周，可以得到一个圆锥。（　　） 5．从圆锥顶点到底面任意一点的距离叫作圆锥的高。（　　） 三、填空题 6．从圆锥的顶点到底面圆的　 　的距离是圆锥的　 　。 7．一个直角三角形三条边的长度分别是3厘米、4厘米、5厘米（如下图），绕着一条直角边AB旋转一周，可以得到一个圆锥体，这个圆锥体的底面半径是　 　厘米，高是　 　厘米。 8．如图是一个圆锥，这个圆锥的高是 　cm，底面半径是　 　cm，底面周长是　 　cm，底面积是　 　cm2。 知识点二：圆锥的体积（容积） （1）圆锥的体积是与它等底、等高的圆柱的。 （2）圆锥的体积＝圆柱的体积＝×底面积×高(注意：这里的圆锥与圆柱等底等高)，用字母表示就是V＝sh。 一、选择题（将正确的选项填在括号内） 9．一个圆锥，体积是V立方米，底面半径是r米，它的高是（　　）米。 A．V÷（πr2） B．V÷(2πr) C．V÷（πr2）×3 D．V÷（πr2）÷3 10．把一个圆锥的底面半径和高都扩大到原来的3倍，则它的体积扩大到原来的（　　）。 A．6倍 B．9倍 C．18倍 D．27倍 11．如图，以三角形较短直角边为轴旋转一周，所产生的图形的体积是（　　）立方厘米。 A．48π B．96π C．128π D．144π 12． 把一个棱长是6厘米的正方体削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是（　　）立方厘米。 A．56. 52 B．37. 68 C．169. 56 D．62. 8 二、判断题（对的画√，错的画×） 13．圆锥的底面积越大，它的体积一定就越大。（　　） 14．两个圆椎的体积相等，它们一定等底等高。（　　） 15．一个圆锥的体积是30立方米，高是3米，它的底面积是10平方米。（　　） 三、填空题 16．一个圆锥，底面半径是4厘米，高是6厘米，它的体积是　 　立方厘米。 17． 一个圆锥形沙堆，底面半径是2m，高是1.5m，用这堆沙在10m宽的公路上铺2cm厚，能铺　 　m长。 18．如下图，将一个圆锥从顶点沿高切开，其表面积比原来增加了60cm2，如果圆锥的高是6cm，圆锥的体积是　 　cm3（π取3.14）。 19．一个直角三角形的两条直角边分别是3厘米和4厘米，如果以它的一条直角边为轴，旋转一周，可以得到一个　 　，它的体积最大是　 　立方厘米。 四、解决问题 20．下图是一个高约16cm，底面半径约3cm的“可爱多”蛋筒。如果每立方厘米约重0.45g，那么它的质量约是多少克?（得数保留整数） 21．欢欢一家到餐馆吃饭。点完菜后服务员把一个沙漏摆到桌上，并且说“给您计个时，沙漏漏完前您点的菜都会上桌”。 欢欢发现这是一个上下均为圆锥的沙漏（如图），两个圆锥的底面直径均是10厘米，高均是6厘米。沙漏上面的圆锥中装满沙子，如果每分钟漏掉10立方厘米的沙子，那么按服务员的承诺最迟多少分钟后欢欢一家点的菜会上桌？（得数保留整数）​ 22． 一个圆锥形麦堆，已知高与底面直径的和是9米，且高与底面直径的比是1：2。 （1）分别求出圆锥形麦堆的高与底面直径。 （2）如果每立方米小麦重750千克，这堆小麦重多少千克？ 知识点三：圆柱与圆锥体积的关系 （1）已知圆锥的底面直径和高，可以直接利用公式来求圆锥的体积。 一、选择题（将正确的选项填在括号内） 23．下图中有4个圆柱，与所给圆锥体积相等的是（　　）（单位：cm） A． B． C． D． 24．一个圆柱和一个圆锥的底面直径相等，圆柱的高是圆锥的3倍，圆锥的体积是5立方分米，圆柱的体积是（　　）立方分米。 A．15 B．5 C．45 D．75 25．图中呈现的是一瓶已经喝了一些的果汁和一个圆锥形玻璃杯，如果瓶中的果汁倒入这种圆锥形玻璃杯，最多可以倒满（　　）。（容器厚度忽略不计） A．2杯 B．3杯 C．4杯 D．6杯 26．把一个底面直径 6cm 高 4cm 的圆柱体木块加工成一个等底等高的圆锥。下面说法正确的是(　　)。 A．去掉的体积是圆锥体积的2倍 B．圆锥的底面积是 36πcm2 C．去掉的体积是圆柱体积的 D．圆锥和圆柱体积的比是1：2 二、判断题（对的画√，错的画×） 27．圆锥的体积不可能大于圆柱的体积。（　　） 28．等底等高的圆锥和圆柱，圆锥的体积等于圆柱体积的（　　） 29． 一个圆柱和一个圆锥的底面半径相等，它们的高的比是5：6，它们的体积比是5：2。（　　） 三、填空题 30．等底等高的圆柱和圆锥，已知圆锥的体积比圆柱少40立方厘米，圆柱的体积是　 　立方厘米，圆锥的体积是　 　立方厘米。 31．将一个圆柱加工成与它等底等高的圆锥，削掉的体积为84dm3，圆锥的体积是　 　dm3，圆柱的体积是　 　dm3。 四、解决问题 32．下面是从圆柱中挖去一个圆锥后的剩余部分，请计算它的体积。 33．如图一个零件是一根长10厘米，半径为2厘米的圆钢，在它的两端各钻一个深3厘米，底面半径为2厘米的圆锥形小孔，这个零件的体积是多少立方厘米？ 34．科学是神奇的学科！现在科学李老师在科学实验室做了一个这样的实验：一个底面积是31.4平方分米、高45分米的圆柱体塑料容器，水深36.7分米。放入一个底面半径为10厘米的圆锥体后，此时水面上升到37.6分米。这个圆锥铁块的高是多少分米？ 1．【答案】B 【解析】解：圆锥的侧面展开是一个扇形，将一个圆锥沿着它的高平均切成两块，切面一定是一个等腰三角形。 故答案为：B。 【分析】依据圆锥的特征可知：圆锥沿着它的高平均切成两块，切面一定是一个等腰三角形。 2．【答案】C 【解析】解：以虚线为轴旋转后能形成圆锥的是图C。 故答案为：C。 【分析】以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周，得到的图形是圆锥。 3．【答案】A 【解析】解：这个圆锥的表面积增加了2个三角形，三角形的底是圆锥的底面直径，三角形的高是圆锥的高； 2×4×6÷2×2 =8×6÷2×2 =24×2 =48（平方厘米） 故答案为：A。 【分析】三角形面积=底×高÷2，三角形面积×2=圆锥增加的表面积。 4．【答案】错误 【解析】直角三角形沿着斜边旋转，则会得到一个不规则的图形，所以题中说法错误； 故答案为：错误。 【分析】在直角三角形中，沿着任意一个条直角边旋转一周，得到的立体图形是圆锥。 5．【答案】错误 【解析】解： 从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的高； 故答案为：错误。 【分析】根据圆锥高的概念进行判断。 6．【答案】圆心；高 【解析】解：从圆锥的顶点到底面圆的圆心的距离是圆锥的高。 故答案为：圆心；高。 【分析】根据圆锥高的定义进行解答。 7．【答案】4；3 【解析】解：这个圆锥体的底面半径等于4厘米的直角边，高是3厘米的直角边。 故答案为：4；3。 【分析】这个圆锥体的底面半径=4厘米，高=3厘米。 8．【答案】13；3；18.84；28.26 【解析】解：这个圆锥的高是13cm， 6÷2=3（厘米），底面半径是3cm， 3.14×6=18.84（厘米），底面周长是18.84cm， 3.14×3×3=28.26（平方厘米），底面积是28.26平方厘米。 故答案为：13；3；18.84；28.26。 【分析】π×底面直径=底面周长，π×半径的平方=圆锥的底面积。 9．【答案】C 【解析】解：V=πr2h×，所以h=V÷(πr2)×3。 故答案为：C。 【分析】圆锥体积公式是：V=πr2h×，据此逆推出求圆锥高的公式。 10．【答案】D 【解析】解：32×3=27。 故答案为：D。 【分析】圆锥的体积=π×半径2×高÷3，圆锥的底面半径和高都扩大到原来的3倍，则它的体积扩大到原来的32×3=27倍。 11．【答案】C 【解析】以三角形较短直角边为轴旋转一周会形成一个圆锥体。如图：。 底面积：8×8×π=64π（平方厘米） 圆锥体积： ×64π×6=128π（立方厘米） 故答案为：C。 【分析】圆锥体积= ×底面积×高 12．【答案】A 【解析】解：×3.14×（6÷2）2×6 =3.14×9×2 =3.14×18 =56.52（立方厘米） 故答案为：A 【分析】削成的最大的圆锥的底面直径等于正方体的棱长，高也等于正方体的棱长，根据圆锥的体积公式V=sh，列式解答。 13．【答案】错误 【解析】解：圆锥1的底面积是3，高是8；圆锥2的底面积是4，高是3； 圆锥1的体积：×3×8=8； 圆锥2的体积：×4×3=4； 圆锥2的底面积大于圆锥1的底面积，但是圆锥2的体积小于圆锥1的体积；原题说法错误。 故答案为：错误。 【分析】圆锥的体积公式是：V=Sh；据此可以举例判断。 14．【答案】错误 【解析】解： 两个圆椎的体积相等，它们不一定等底等高。 原题说法错误。 故答案为：错误。 【分析】设圆锥①的底面积是3，高是10，则体积是：；设圆锥②的底面积是10，高是3，则体积是： ；由上述计算可知，圆锥的体积相等，底面积和高不一定相等，所以原题说法错误. 15．【答案】错误 【解析】解：30÷÷3=30（平方米），所以底面积是30平方米。 故答案为：错误。 【分析】圆锥的底面积=圆锥的体积÷÷圆柱的高，据此作答即可。 16．【答案】37.68 【解析】解：3.14×42×6× =3.14×6×2 =18.84×2 =37.68(立方厘米)； 故答案为：37.68。 【分析】根据圆锥体积=π×半径2×高×，代入数值计算即可。 17．【答案】31.4 【解析】解：2cm=0.02m 3.14×22×1.5×÷10÷0.02 =12.56×1.5×÷10÷0.02 =6.28÷10÷0.02 =0.628÷0.02 =31.4（m） 故答案为：31.4。 【分析】这堆沙不论堆成圆锥还是长方体，形状虽然变了，但体积大小不变。根据圆锥的体积计算公式“V=πr2h”计算出这个圆锥形沙堆的体积，再根据长方体体积计算公式“V=abh”即可求出用这堆沙在10m宽的公路上铺2cm厚的路面，能铺多少m（注意单位换算）。 18．【答案】157 【解析】解：60÷2×2÷6 =60÷6 =10（cm） V=×3.14×（10÷2）2×6 =3.14×25×2 =157（cm3） 故答案为：157。 【分析】分析题干，增加的面积为2个三角形的面积，故一个三角形的面积为60÷2=30（dm2），而该三角形的高为6cm，根据“三角形面积=底×高÷2”计算得出三角形的底即圆锥底面直径为30×2÷6=10（cm），进而得出底面半径为10÷2=5（cm），底面积为3.14×52，最后根据“圆锥体积=×底面积×高”计算得出答案。 19．【答案】圆锥；50.24 【解析】解：以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周可以得到一个圆锥； ①半径是3厘米，高是4厘米， 3.14×32×4× =3.14×3×4 =37.68(立方厘米) ②半径是4厘米，高是3厘米， 3.14×42×3× =3.14×16 =50.24(立方厘米)； 50.24＞37.68，所以它的体积最大是50.24立方厘米。 故答案为：圆锥；50.24。 【分析】以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周可以得到一个圆锥，旋转得到的圆锥有两种，①半径是3厘米，高是4厘米；②半径是4厘米，高是3厘米；根据圆锥体积=π×半径2×高×，代入数值分别计算出两个圆锥的体积，再比较选出体积最大的即可。 20．【答案】解：×3.14×32×16×0.45 =3.14×3×16×0.45 =9.42×7.2 ≈68（g） 答：它的质量约是68克。 【解析】【分析】首先根据“圆锥体积=底面积×高×”以及“圆的面积=3.14×半径2” 计算得出蛋筒的体积，又已知每立方厘米约重0.45g，再乘以0.45g即可得出该蛋筒的质量。 21．【答案】解：×3.14×（10÷2）2×2÷10 ＝×3.14×25×6÷10 ＝157÷10 ≈16（分钟） 答：按服务员的承诺最迟16分钟后欢欢家点的菜会上桌。 【解析】【分析】10÷2求的是底面半径。首先，我们需要计算沙漏中沙子的体积，计算沙子漏完需要的时间，时间=沙子的总体积÷每分钟漏掉的体积，沙子体积=×π×沙漏的底面半径2×一个沙漏的高度。 22．【答案】（1）解：高：9×=9×=3（米） 底面直径：9-3=6（米） 答：高是3米，底面直径是6米。 （2）解：底面半径：6÷2=3（米） 3.14×3×3×3÷3×750 =28.26×750 =21195（千克） 答：这堆小麦重21195千克。 【解析】【分析】（1）高与底面直径的和×高占高与底面直径的和的分率=圆锥的高，高与底面直径的和-高=直径； （2）π×底面半径的平方×高÷3=圆锥的体积，圆锥的体积×每立方米小麦重=这堆小麦重。 23．【答案】B 【解析】解：12÷3=4（cm），所以与圆锥体积相等的是B项中的圆锥。 故答案为：B。 【分析】等底等体积的圆柱和圆锥，圆锥的高是圆柱高的3倍； 等高等体积的圆柱和圆锥，圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍。 24．【答案】C 【解析】解： 故答案为：C。 【分析】圆柱与圆锥的底面直径相等，则它们的底面积相等，圆锥体积=×底面积×圆锥的高，圆柱的高是圆锥的3倍，所以圆柱体积=底面积×圆柱的高=圆锥的体积÷×3。 25．【答案】D 【解析】解：3×2=6(杯) 故答案为：D。 【分析】果汁瓶的底面直径和圆锥形玻璃杯杯口的直径相等，瓶中果汁的高度是2h，圆锥形玻璃杯中能装饮料的高度为h；等底等高的情况下，圆柱的体积是圆锥体积的3倍；据此计算出可以倒的杯数。 26．【答案】A 【解析】解：A项：去掉的体积是圆锥体积的2倍，原题干说法正确； B项：π×（6÷2）2=9π，原题干说法错误； C项：去掉的体积是圆柱体积的2倍，原题干说法错误； D项：圆锥和圆柱体积的比是1：3，原题干说法错误。 故答案为：A。 【分析】圆锥的底面积=π×半径2，等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，据此判断。 27．【答案】错误 【解析】解：当圆锥与圆柱等底等高时，圆锥的体积是圆柱体积的；当圆锥的底面积与圆柱的底面积相等，圆锥的高是圆柱的高的3倍时，圆锥的体积与圆柱的体积相等；当圆锥的底面积与圆柱的底面积相等，圆锥的高是圆柱的高的3倍以上，圆锥的体积大于圆柱的体积；因此，该说法错误。 故答案为：错误。 【分析】圆柱的体积=π×半径2×高，圆锥的体积=π×半径2×高×，即它们的体积大小取决于底面积和高的大小，据此判断。 28．【答案】错误 【解析】解：等底等高的圆锥和圆柱，圆锥的体积等于圆柱体积的。 故答案为：错误。 【分析】圆柱的体积=底面积×高，圆锥的体积=底面积×高÷3，则等底等高的圆锥和圆柱，圆锥的体积等于圆柱体积的。 29．【答案】正确 【解析】解：设圆柱体底面半径为1，则圆锥体的底面半径也是1，圆柱的高为5，则圆锥体的高为6。 （π×12×5）：（×π×12×6） =5π：2π =5：2 它们体积之比是5：2，因此题干中的结论是正确的。 故答案为：正确。 【分析】 根据题意，可设圆柱体底面半径为1，则圆锥体的底面半径也是1，设圆柱的高为5，则圆锥体的高为6，根据“圆柱的体积公式=底面积×高”求出圆柱的体积，根据“圆锥的体积=×底面积×高”求出圆锥的体积，然后根据题意，求出它们的体积比，然后与5：2进行比较即可。 30．【答案】60；20 【解析】解：圆锥的体积：40÷2=20（立方厘米）；圆柱的体积：40+20=60（立方厘米）。 故答案为：60；20。 【分析】等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，那么这个圆锥的体积比圆柱少2倍，所以用少的40立方厘米除以2即可求出圆锥的体积，进而求出圆柱的体积即可。 31．【答案】42；126 【解析】解：圆锥的体积：84÷2=42（dm3），圆柱的体积：42×3=126（dm3）。 故答案为：42；126。 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以圆柱的体积是3份，圆锥的体积就是1份，削去部分的体积是2份。所以用削去部分的体积除以3就是圆锥的体积，进而求出圆柱的体积即可。 32．【答案】解：8÷2=4（cm） 3.14×42×9×（1-） =3.14×16×9× =50.24×9× =452.16× =301.44（cm3） 答：剩余部分的体积是301.44立方厘米。 【解析】【分析】观察图可知，从一个圆柱里挖去一个等底等高的圆锥，圆锥体积=圆柱的体积×，剩余部分的体积=圆柱的体积×，据此列式解答。 33．【答案】解：22×3.14×10 =12.56×10 =125.6（立方厘米） 22×3.14×3××2 =12.56×1×2 =25.12（立方厘米） 125.6-25.12=100.48（立方厘米） 答：这个零件的体积是100.48立方厘米。 【解析】【分析】圆钢的体积=πr2h，小孔的体积=πr2h××2，那么零件的体积=圆钢的体积-小孔的体积，据此代入数值作答即可。 34．【答案】解：31.4×（37.6﹣36.7） ＝31.4×0.9 ＝28.26（立方分米） 10厘米＝1分米 28.26×3÷（3.14×12） ＝84.78÷3.14 ＝27（分米） 答：这个圆锥铁块的高是27分米。 【解析】【分析】水面上升部分水的体积就是圆锥的体积，用容器的底面积乘水面上升的高度即可求出圆锥的体积。根据圆锥的体积公式，用圆锥的体积乘3，再除以圆锥的底面积即可求出圆锥的高。 学科网（北京）股份有限公司 $$