九年级数学开学摸底考（浙江专用）-2024-2025学年初中下学期开学摸底考试卷

2024-2025学年九年级下学期开学摸底考试卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A D C C D C C B D 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11． 12．白球 13． 14． 15． 2 16． ; 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题满分8分） 【解析】（1）解： ；（4分） （2） （8分） 18. （本题满分8分） 【解析】（1）20÷40%=50（人），15÷50=30%； 故答案为50；30（2分） （2）50×20%=10（人），50×10%=5（人），（3分） 条形统计图如图所示： （5分） （3）∵5﹣2=3（名）， ∴选修书法的5名同学中，有3名男同学，2名女同学， 所有等可能的情况有20种，其中抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的情况有12种，则P（一男一女）==．（8分） 19. （本题满分8分） 【解析】（1）如图，△A1B1C1、△A2B2C2为所作；   （2分） （2）OA1＝＝4， 点A经过点A1到达A2的路径总长；（5分） （3）∵OB1＝，OC1＝＝， ∴线段B1C1旋转到B2C2所扫过的图形的面积为．（8分） 20. （本题满分8分） 【解析】（1）解：作于点G（图1）， ∵O为的中点，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在中， ∴ ∴支点O到小竹竿的距离．（4分） （2）解：记交于点H（图2）， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴（6分） 在中， ， 在中， m ∴点A上升的高度为．（8分） 21. （本题满分8分） 【解析】（1）证明：连接，，如图，      ∵，， ∴，， 在中，， 在中，， ∵，， ∴， ∴；（4分） （2）解：分别过O点作△ABC三边的垂线，垂足分别为点P、M、N，连接、，如图，    ∵O为△ABC的内心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 同理可得：， ∴， ∴，， 设，则，，， ∵， ∴， ∴， ∴，负值舍去， ∴△ABC的周长．（8分） 22. （本题满分10分） 【解析】任务1、设抛物线的解析式为：． ∵经过点， ∴． 解得：． ∴足球运动的高度与水平距离之间的函数关系式为：；（3分） 任务2、当时，． ∵． ∴足球不能入网． ∵小梅不改变发球的方向，且射门路线的形状和最大高度保持不变，设向后移动了m米． ∴ ∵需要经过点，才能使得退后的距离最小， ∴． 解得：（舍去）或． ∴他应该带球向正后方至少移动1米射门，才能让足球进入球门；（6分） 任务3、如图，由题意得： ． ∴． ∴． ∴． ∴． 解得：． 当时， ． ∴能通过拦网． 当时，． ∵， ∴能在E处入网．（10分） 23. （本题满分10分） 【解析】（1）解：当时， 抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为；（2分） （2） ∴抛物线的顶点坐标为，（4分） ∴， ∴， ∴；（6分） （3）∵，， ∴轴， 当抛物线经过最低点时， ， 解得：或，（8分） 当抛物线经过最高点时， ， 解得：或， ∵抛物线与线段有交点， ∴．（10分） 24．（本题满分12分） 【解析】（1）∵是边上的中线，， ∴ ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴是和谐三角形 （3分） （2）答案如下图（画出一个即可）     理由：如图画线段， 由勾股定理可知，，，， 故可知，， ∴，故符合题意，同理 如图取点D，连BD，可证明 （6分） （3）①∵， ∴ ∴， ∴，即 ∵， ∴ ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴（9分） ②连接、、 过O作于点H ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴的半径为（12分） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年九年级下学期开学摸底考试卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．_____________________ 12．_____________________ 13．__ ______ 14．__ ________ ___ 15．_____________________ 16．_____________________; _____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分8分） 18．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（8分） 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级下学期开学摸底考试卷 数学 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若线段，，则线段，的比例中项为（    ） A． B． C．6 D． 2．已知的半径是5，直线与相交，圆心到直线的距离可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 3．在中，．若，，则的长是（    ） A． B． C．6 D．8 4．小真煮好了25颗汤圆，其中15颗为芝麻汤圆，10颗为花生汤圆，小真想从煮好的汤圆中捞一颗，若每颗汤圆被小真捞到的机会相等，则他捞到花生汤圆的概率为（   ） A． B． C． D． 5．若A（﹣4，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3）为二次函数y＝﹣（x＋2）2＋k的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（    ） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 6．如图，在纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A．   B．   C．   D．   7．如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（　　） A．6 B．12 C．24 D．48 8．如图，是四边形的外接圆，点是的内心，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图1，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，其中∠C=∠EDF=90°，点A与点D重合，点E在AB上，AB=4，DE=2．如图2，△ABC保持不动，△DEF沿着线段AB从点A向点B移动，当点D与点B重合时停止移动．设AD=x，△DEF与△ABC重叠部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ） A． B． C． D． 10．如图，矩形矩形，连接、、，要求出的面积，只需要知道下面哪个图形的面积（    ） A．矩形的面积 B．四边形的面积 C．的面积 D．的面积 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．利用因式分解计算： ． 12．在不透明袋子中有1个黄球、2个白球和7个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是 ． 13．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝12，且AC+BC＝10，则AB的长为 ．    14．如图，在扇形中，，，点在上，，点为的中点，点为弧上的动点，与的交点为，的最小值为 ． 15．二次函数的图象与轴交于点A，将该函数图象向右平移个单位后与轴交于点，平移前后的函数图象相交于点，若，则的值为 ． 16．如图，是正方形的外接圆，的直径为2．与相切于点B，交的延长线于点F，则 ；连接交于点E，连接，则 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（本题满分8分）计算： (1)； (2)． 18．（本题满分8分）某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法．为提前了解学生的选修情况，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．对调查结果进行了整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题： （1）本次调查的学生共有______人，在扇形统计图中，m的值是______； （2）将条形统计图补充完整； （3）在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率． 19．（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为(﹣1，3)、(﹣4，1)、(﹣2，1)，先将△ABC沿一确定方向平移得到△A1B1C1，点B的对应点B1的坐标是(1，2)，再将△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，点A1的对应点为点A2． （1）画出△A1B1C1和△A2B2C2； （2）求出在这两次变换过程中，点A经过点A1到达A2的路径总长； （3）求线段B1C1旋转到B2C2所扫过的图形的面积． 20．（本题满分8分）图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 21．（本题满分8分）小雅同学在学习圆的基本性质时发现了一个结论：如图，中，弦于点M，弦于点N，若，则．    (1)请帮小雅证明这个结论； (2)运用以上结论解决问题：在中，，O为的内心，以O为圆心，为半径的与△ABC三边分别相交于点D、E、F、G．若，，求的周长． 22．（本题满分10分）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 如图1是某足球场的一部分，球门宽，高．小梅站在A处向门柱一侧发球，点A正对门柱（即），，球射向球门的路线呈抛物线，且一直在正上方．                 此次射门的侧面示意图如图2所示，当足球飞行的水平距离时，球达到最高点Q，此时球离地面．以点A为原点，直线为x轴，建立平面直角坐标系．                  素材2 如图3，距离球门正前方处放置一块矩形拦网，拦网面垂直于地面，且（足够长），拦网高．                 任务1 求足球运动的高度与水平距离之间的函数关系式． 任务2 未放置拦网时，判断此次射门球能否进入球门．若能进入，计算出足球经过C点正上方时的高度；若不能进入，小梅不改变发球的方向，且射门路线的形状和最大高度保持不变，他应该带球向正后方至少移动多少米射门，才能让足球进入球门． 任务3 放置拦网后，小梅站在A处，射门路线的形状和最大高度保持不变，只改变发球方向，使射向球门的路线在正上方，判断足球能否越过拦网，在点E处进入球门． 注：上述任务中足球落在门柱边线视作足球进入球门． 23．（本题满分10分）已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)经探究发现：随着的变化，抛物线的顶点纵坐标与横坐标之间存在函数关系，求这个函数关系式； (3)已知点，，当抛物线与线段有交点时，求的取值范围． 24．（本题满分12分）如果过三角形一个顶点的线段将三角形分成两个三角形，其中的一个三角形与原三角形相似，且该三角形与原三角形的相似比为，则原三角形叫和谐三角形． (1)如图1，已知是△ABC中边上的中线，，，求证：是和谐三角形； (2)如图2，在5×5的方格纸中，A、B在格点上，请画出一个符合条件的和谐； (3)如图3，在（1）的条件下，作的外接圆，E是上一点，且满足，连接DE， ①设，，求y关于x的函数表达式； ②当时，求的半径． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级下学期开学摸底考试卷 数学•全解全析 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若线段，，则线段，的比例中项为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查比例线段的定义，根据成比例线段的定义解得即可． 【详解】设线段，的比例中项为， 则， 解得： 又因为为线段， 所以． 故选：C． 2．已知的半径是5，直线与相交，圆心到直线的距离可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线和相交，即可判断． 【详解】的半径为5，直线与相交， 圆心到直线的距离的取值范围是， 故选：A． 3．在中，．若，，则的长是（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了正弦，勾股定理．熟练掌握正弦是解题的关键． 如图，由题意知，，求，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，， ∴， 解得，， 由勾股定理得，， 故选：D． 4．小真煮好了25颗汤圆，其中15颗为芝麻汤圆，10颗为花生汤圆，小真想从煮好的汤圆中捞一颗，若每颗汤圆被小真捞到的机会相等，则他捞到花生汤圆的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单概率公式的应用，解题的关键是熟练掌握概率公式．根据25颗汤圆中有 10颗为花生汤圆，求出他捞到花生汤圆的概率即可． 【详解】解：∵25颗汤圆中有 10颗为花生汤圆， ∴他捞到花生汤圆的概率为， 故选：C． 5．若A（﹣4，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3）为二次函数y＝﹣（x＋2）2＋k的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（    ） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 【答案】C 【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=-2，再由可知，离二次函数图像上的点离对称轴越远的点，函数值越小即可判断． 【详解】解：∵二次函数y=-（x＋2）2＋k， ∴二次函数开口向下，对称轴为x=﹣2， ∴二次函数图像上的点离对称轴越远的点，函数值越小， ∵A（﹣4，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3）离对称轴x=﹣2的距离分别为2，1，4， ， ∴y2＞y1＞y3， 故选C． 【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标特征，同时考查了函数的对称性及增减性，解题的关键在于能够明确，当二次函数开口向下时，二次函数图像上的点离对称轴越远的点，函数值越小． 6．如图，在纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由于点D，得，则，而，即可证明，可判断A不符合题意；由，得，则，可证明，可判断B不符合题意；由，得，而，可证明，可判断C不符合题意；由，得，，则，而，所以与不相似，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1， ∵于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故A不符合题意； 如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故B不符合题意； 如图3， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故C不符合题意； 如图4， ∵， ∴，， ∴， 假设， ∵， ∴，与已知条件不符， ∴与不相似， 故D符合题意， 故选：D． 7．如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（　　） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【分析】根据中心角的度数=360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，可得∠AOC=15°，然后根据边数n=360°÷中心角即可求得答案． 【详解】解：连接OC， ∵AB是⊙O内接正六边形的一边， ∴∠AOB＝360°÷6＝60°， ∵BC是⊙O内接正八边形的一边， ∴∠BOC＝360°÷8＝45°， ∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15° ∴n＝360°÷15°＝24． 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正八边形、正二十四边形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键． 8．如图，是四边形的外接圆，点是的内心，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查三角形的内切圆的定义与性质、圆内接四边形的对角互补、同角的补角相等、三角形内角和定理等知识，由点是的内心，得，，则，而，所以，求得，则，由，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：点是的内心，， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 故选：C． 9．如图1，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，其中∠C=∠EDF=90°，点A与点D重合，点E在AB上，AB=4，DE=2．如图2，△ABC保持不动，△DEF沿着线段AB从点A向点B移动，当点D与点B重合时停止移动．设AD=x，△DEF与△ABC重叠部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题解析：由题意知：在△DEF移动的过程中，阴影部分总为等腰直角三角形． 当0＜x≤2时，此时重合部分的斜边长为x，则y=×(x+2）×（x+2）-x2=-x2+x+1． 当2＜x≤4时，此时重合部分的斜边长为2，则y=（x-4）2； 当4＜x≤6时，此时重合部分的斜边长为2-（x-4）=6-x，则y=（6-x）××=x2-3x+9； 由以上分析可知，这个分段函数的图象左边为抛物线的一部分，中间为直线的一部分，右边为抛物线的一部分． 故选B． 10．如图，矩形矩形，连接、、，要求出的面积，只需要知道下面哪个图形的面积（    ） A．矩形的面积 B．四边形的面积 C．的面积 D．的面积 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的性质，熟练掌握相似图形对应边成比例是解题关键．根据矩形相似，得出，再结合三角形面积公式，即可得到答案． 【详解】解：矩形矩形， ， ， ， 知道的面积，即可求出的面积， 故选：D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．利用因式分解计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解简化计算问题，用因式分解的方法将式子变形，使计算简便． 提公因式，再进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．在不透明袋子中有1个黄球、2个白球和7个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是 ． 【答案】白球 【分析】本题主要考查了由频率估计概率，概率的计算，熟练掌握概率计算方法是解题的关键． 观察统计图得该球得频率稳定在0.20左右，进而计算抽到每种颜色球的概率即可判断． 【详解】解：观察统计图可知，该球得频率稳定在0.20左右， ∴抽到该球的概率为0.20， ∵抽到黄球概率为，抽到白球概率为，抽到红球概率为， ∴该球最有可能是白球， 故答案为：白球． 13．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝12，且AC+BC＝10，则AB的长为 ．    【答案】 【分析】根据勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2， ∵S1+S2＝12， ∴， ∴AC×BC＝24， ∵AC+BC＝10． ∴AB＝ 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理、扇形的面积、完全平方公式的变形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 14．如图，在扇形中，，，点在上，，点为的中点，点为弧上的动点，与的交点为，的最小值为 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质、勾股定理，延长至点，使，连接，证得，可知，，当点、、在同一条直线上，可以取得最小值． 【详解】如图所示，延长至点，使，连接． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴当点、、在同一条直线上，可以取得最小值，最小值为线段的长度． ∵， ∴可以取得最小值． 故答案为： 15．二次函数的图象与轴交于点A，将该函数图象向右平移个单位后与轴交于点，平移前后的函数图象相交于点，若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数图象上的点的坐标特征和等腰直角三角形的性质．先解方程得，再利用抛物线的平移得到平移后的抛物线的抛物线解析式为，则；接着解方程组可得，然后利用为等腰直角三角形得到，于是求关于的方程即可． 【详解】解：当时，， 解得， ， 将该函数图象向右平移个单位， 抛物线的解析式为， ； 解方程组，得， ∴， 抛物线为轴对称图形，， △ABC为等腰直角三角形， ， 解得（舍去），， 即的值为2． 故答案为：2． 16．如图，是正方形的外接圆，的直径为2．与相切于点B，交的延长线于点F，则 ；连接交于点E，连接，则 ． 【答案】 【分析】连接，根据圆内接正方形的性质得，则是等腰直角三角形，进而得，继而可分别求出，，证明和相似，再利用相似三角形的性质求出BE即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵正方形内接于，的直径为2， ∴， ∴ 在等腰中，由勾股定理得：， ∴， ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，理解正多边形和圆，正方形的性质，切线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理和相似三角形的性质进行计算是解决问题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（本题满分8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）先算开方，三角函数值，零指数幂和绝对值，再算乘法，最后计算加减法； （2）将特殊角的三角函数值代入，再计算． 【详解】（1）解： ； （2） 【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值，特殊三角函数值等考点的运算． 18．（本题满分8分）某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法．为提前了解学生的选修情况，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．对调查结果进行了整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题： （1）本次调查的学生共有______人，在扇形统计图中，m的值是______； （2）将条形统计图补充完整； （3）在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率． 【答案】（1）50、30%．（2）补图见解析；（3）． 【分析】（1）由舞蹈的人数除以占的百分比求出调查学生总数，进而确定出扇形统计图中m的值； （2）求出绘画与书法的学生数，补全条形统计图即可； （3）列表得出所有等可能的情况数，找出恰好为一男一女的情况数，即可求出所求概率． 【详解】（1）20÷40%=50（人），15÷50=30%； 故答案为50；30 （2）50×20%=10（人），50×10%=5（人）， 条形统计图如图所示： （3）∵5﹣2=3（名）， ∴选修书法的5名同学中，有3名男同学，2名女同学， 所有等可能的情况有20种，其中抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的情况有12种，则P（一男一女）==． 19．（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为(﹣1，3)、(﹣4，1)、(﹣2，1)，先将△ABC沿一确定方向平移得到△A1B1C1，点B的对应点B1的坐标是(1，2)，再将△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，点A1的对应点为点A2． （1）画出△A1B1C1和△A2B2C2； （2）求出在这两次变换过程中，点A经过点A1到达A2的路径总长； （3）求线段B1C1旋转到B2C2所扫过的图形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）+2π；（3）2π 【分析】（1）根据平移和旋转的性质作图即可； （2）根据勾股定理求出OA1的长度，然后根据勾股定理和弧长公式求出点A经过点A1到达A2的路径总长即可； （3）根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1、△A2B2C2为所作；    （2）OA1＝＝4， 点A经过点A1到达A2的路径总长； （3）∵OB1＝，OC1＝＝， ∴线段B1C1旋转到B2C2所扫过的图形的面积为． 【点睛】本题考查了方格作图的问题，掌握平移和旋转的性质、勾股定理、弧长公式、扇形面积公式是解题的关键． 20．（本题满分8分）图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)支点O到小竹竿的距离 (2)点A上升的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）作于点G，由题意可知，，在中，应用特殊角三角函数值求即可； （2）记交于点H，由题意推出，在中，求，在中求，则点A上升的高度可解． 【详解】（1）解：作于点G（图1）， ∵O为的中点，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在中， ∴ ∴支点O到小竹竿的距离． （2）解：记交于点H（图2）， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 在中， ， 在中， m ∴点A上升的高度为． 21．（本题满分8分）小雅同学在学习圆的基本性质时发现了一个结论：如图，中，弦于点M，弦于点N，若，则．    (1)请帮小雅证明这个结论； (2)运用以上结论解决问题：在中，，O为的内心，以O为圆心，为半径的与△ABC三边分别相交于点D、E、F、G．若，，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)40 【分析】（1）根据垂径定理得出，，根据勾股定理得出，，证明，得出； （2）分别过O点作△ABC三边的垂线，垂足分别为点P、M、N，连接、，证明，得出，证明，得出，求出，，设，则，，，根据勾股定理得出，求出，求出结果即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图，      ∵，， ∴，， 在中，， 在中，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：分别过O点作△ABC三边的垂线，垂足分别为点P、M、N，连接、，如图，    ∵O为△ABC的内心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 同理可得：， ∴， ∴，， 设，则，，， ∵， ∴， ∴， ∴，负值舍去， ∴△ABC的周长． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形内切圆的性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 22．（本题满分10分）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 如图1是某足球场的一部分，球门宽，高．小梅站在A处向门柱一侧发球，点A正对门柱（即），，球射向球门的路线呈抛物线，且一直在正上方．                 此次射门的侧面示意图如图2所示，当足球飞行的水平距离时，球达到最高点Q，此时球离地面．以点A为原点，直线为x轴，建立平面直角坐标系．                  素材2 如图3，距离球门正前方处放置一块矩形拦网，拦网面垂直于地面，且（足够长），拦网高．                 任务1 求足球运动的高度与水平距离之间的函数关系式． 任务2 未放置拦网时，判断此次射门球能否进入球门．若能进入，计算出足球经过C点正上方时的高度；若不能进入，小梅不改变发球的方向，且射门路线的形状和最大高度保持不变，他应该带球向正后方至少移动多少米射门，才能让足球进入球门． 任务3 放置拦网后，小梅站在A处，射门路线的形状和最大高度保持不变，只改变发球方向，使射向球门的路线在正上方，判断足球能否越过拦网，在点E处进入球门． 注：上述任务中足球落在门柱边线视作足球进入球门． 【答案】能在E处入网． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先判断当时，y的值与的大小，设向后移动了m米，需要经过点，求解即可； （3）先证明，求出，再与题中数据比较． 【详解】解：任务1、设抛物线的解析式为：． ∵经过点， ∴． 解得：． ∴足球运动的高度与水平距离之间的函数关系式为：； 任务2、当时，． ∵． ∴足球不能入网． ∵小梅不改变发球的方向，且射门路线的形状和最大高度保持不变，设向后移动了m米． ∴ ∵需要经过点，才能使得退后的距离最小， ∴． 解得：（舍去）或． ∴他应该带球向正后方至少移动1米射门，才能让足球进入球门； 任务3、如图，由题意得： ． ∴． ∴． ∴． ∴． 解得：． 当时， ． ∴能通过拦网． 当时，． ∵， ∴能在E处入网． 【点睛】本题考查二次函数的应用，二次函数解析式，勾股定理等知识．熟练掌握二次函数的应用，二次函数解析式，勾股定理是解题的关键． 23．（本题满分10分）已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)经探究发现：随着的变化，抛物线的顶点纵坐标与横坐标之间存在函数关系，求这个函数关系式； (3)已知点，，当抛物线与线段有交点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查二次函数的综合问题， （1）将代入函数解析式，然后化为顶点式即可； （2）将函数直接化为顶点式，得出顶点坐标为，即可确定相应的函数关系式； （3）根据题意得出轴，再考虑极端情况：当抛物线经过最低点时，当抛物线经过最高点时，分别求出相应的值，结合题意即可求解； 理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 【详解】（1）解：当时， 抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为； （2） ∴抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴， ∴； （3）∵，， ∴轴， 当抛物线经过最低点时， ， 解得：或， 当抛物线经过最高点时， ， 解得：或， ∵抛物线与线段有交点， ∴． 24．（本题满分12分）如果过三角形一个顶点的线段将三角形分成两个三角形，其中的一个三角形与原三角形相似，且该三角形与原三角形的相似比为，则原三角形叫和谐三角形． (1)如图1，已知是△ABC中边上的中线，，，求证：是和谐三角形； (2)如图2，在5×5的方格纸中，A、B在格点上，请画出一个符合条件的和谐； (3)如图3，在（1）的条件下，作的外接圆，E是上一点，且满足，连接DE， ①设，，求y关于x的函数表达式； ②当时，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①；② 【分析】（1）由已知数据证明，由证明，则问题可证； （2）根据和谐三角形和勾股定理在网格图中构造图形即可； （3）①由，得到，，利用圆内接四边形性质推导证明，用x表示则有，解得； ②连接、，证明是等边三角形，则有，所以，解得，，再求出的半径为； 【详解】（1）∵是边上的中线，， ∴ ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴是和谐三角形 （2）答案如下图（画出一个即可）     理由：如图画线段， 由勾股定理可知，，，， 故可知，， ∴，故符合题意，同理 如图取点D，连BD，可证明 （3）①∵， ∴ ∴， ∴，即 ∵， ∴ ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ②连接、、 过O作于点H ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴的半径为 【点睛】本题考查了圆的有关性质和相似三角形的性质和判定，解答时注意根据和谐三角形的定义进行判定． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$