2025年中考数学提优复习专题 ：关于代数推理（南京专用）

2025年中考数学提优复习专题: 关于代数推理（南京专用） 代数推理就是通过数学证明，等式变换等方式将复杂的问题简单化，最终达到想要的结果。 做好代数推理我们需要： 1.扎实的计算能力 2.因式分解的熟练掌握 3.消元降次，整体代入，分类讨论的数学思想 4.由结论到条件的分析，推理的逻辑能力 代数推理的常见视角： 1.从代数到代数的纯代数推理； 2.图形问题转化为代数模型； 3.将代数问题通过图形定性探究，寻找解题策略再用代数推理方法解决 【课前热身】 1．能说明命题“关于的一元二次方程，当时必有实数解”是假命题一个反例为　　 A． B． C． D． 2．已知关于，的方程组，则下列结论中正确的是：①当时方程组的解是方程的解；②当时，；③当，则的值为±3；④不论取什么实数的值始终不变． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 3．已知，，若，则实数的值为　　 A． B． C．1 D．3 4．若，则的最大值为 　　． 5．设，，且，则的最小值是　　． 6．已知命题：“关于的一元二次方程，当时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是　　． 7．在学习完第一章前3节内容后，李老师留了这样一道课后题目：已知为整数，且，求的值，数学兴趣小组进行了讨论： 小鹿：零指数幂的结果为1， 小唯：底数是1的幂的结果为1， 根据上述给出的思路，聪明的你计算出的值可能是 　　． 8．平面直角坐标系中，直线与相交于，两点，其中点在第一象限，设点为双曲线上一点，直线，分别交轴与，两点，则的值为 　　． 9．已知，，若，则实数的取值范围是 　　． 10．已知是一个正整数，且除以3余1．判断是否一定能被9整除，并说明理由． 11．（1）若，则　　，　　； （2）若，求的值． 12．已知关于的方程为常数）． （1）求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是，求的值． 13．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根． （1）用含的代数式表示； （2）求的最小值． 14．有三个函数，对于同一个自变量，对应的函数值分别为、、，若恰好有，则称为，的“中值函数” （1）若的图象为直线，的图象是抛物线，则它们的中值函数的图象为　　 ．直线 ．抛物线 ．双曲线 ．以上答案均错 （2）若、、它们的中值函数为 ①若点在、和它们的中值函数图象上，则点的坐标为　　； ②在如图，画出上述中值函数的大致图象； 并根据图象写出这个中值函数的两条性质： 性质　 　 性质　 　 ③利用中值函数的性质说明： 面积为1的长方形，当该长方形长与宽相等时，周长最小． 15．已知二次函数，且． （1）若其图象经过点，求此二次函数的表达式； （2）求证：无论取何值，该抛物线的图象必经过轴上一个定点； （3）点，，，是函数图象上两个点，满足且，试比较和的大小关系． 16．已知矩形的一边长为2，另一边长为1． （1）是否存在一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？ 小明是这样想的： 先固定周长，要使所求矩形的周长为12，这样的矩形有无数个，其中是否有面积为4的矩形呢？不妨设所求矩形的一边长为．则另一边长为，则可列方程：　　 小刚是这样想的： 先固定面积，要使所求矩形的面积为4，这样的矩形有无数个，其中是否有周长为12的矩形呢？不妨设所求矩形的一边长为，则另一边长为，可得，在同一坐标系中画出函数和的图象，发现它们有两个交点 ①按照小明思路，在框中补出方程． ②根据小刚的思路，直接写出两个交点坐标； （2）如果存在另一个矩形，周长是已知矩形周长的2倍，面积是已知矩形面积的倍，求的取值范围． 17．先阅读下面材料，再解答问题：初中数学有这样一段叙述：“要比较与的大小，可先求出与的差，再看这个差是正数、负数还是零”由此可见，要比较两个代数式值的大小，只要考虑它们的差就可以了．甲、乙两人两次同时在同一水果店购买桑葚（假设两次购买桑葚的单价不相同），甲每次购买桑葚100千克，乙每次购买桑葚用去100元，设甲、乙两人第一次购买桑葚的单价为每千克元，第二次购买的单价为每千克元． （1）用含、的代数式表示：甲两次购买桑葚共需要付款 　　元，乙两次共购买 　　千克桑葚，若甲两次购买桑葚的平均单价为元，乙两次购买桑葚的平均单价为元，则　　，　　． （2）若规定“谁两次购买桑葚的平均单价低，谁的购买桑葚方式更合算”，请你判断甲、乙两人购买桑葚的方式哪一个更合算些，并说明理由． （3）若已知，，水果店两次购进桑葚的价格均为5元千克，则水果店两次销售给甲、乙两人桑葚共获利润率为多少？（精确到 18．在学习《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究． （1）初步尝试：我们知道：　　，　　，发现结论：　　 （填“”或“” ； （2）实践探究：如图1，在中，，，，求的值； 小明想构造包含的直角三角形：延长至，使得，连接，所以得到，即转化为求的正切值． 请按小明的思路进行余下的求解； （3）拓展延伸：如图2，在中，，，．求的值． 19．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边三角形，点为轴正半轴上动点，连接，以线段为边在第四象限内作等边，连接并延长交轴于点． （1）求证：． （2）在点的运动过程中，的度数是否会变化？如果不变，请求出的度数；如果变化，请说明理由． （3）以，，为顶点的三角形是等腰三角形时，直接写出此时点的坐标和的长度． 20．【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题． （1）如图①，是等边三角形，点是边下方一点，连结、、，且，探索线段、、之间的数量关系． 解题思路：延长到点，使，连接，根据，则，因为可证，易证得，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、、之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出、、之间的数量关系是 　 　； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，．若点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【知识应用】 （3）如图③，两块斜边长都为的一副三角板，把斜边重叠摆放在一起，则的长为 　　． 21．如图1，四边形是正方形，是垂直平分线上的点，点关于的对称点是，直线与直线交于点． （1）若点是边的中点，连接，则　　； （2）小明从老师那里了解到，只要点不在正方形的中心，则直线与所夹锐角不变．他尝试改变点的位置，计算相应角度，验证老师的说法． ①如图2，将点选在正方形内，且为等边三角形，求出直线与所夹锐角的度数； ②请你继续研究这个问题，可以延续小明的想法，也可用其它方法． 我选择　　小明的想法；（填“用”或“不用” 并简述求直线与所夹锐角度数的思路． 22．【问题情境】 如图①，在中，，于点，，，求的长． 【问题解决】 小明同学是这样分析的：将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，延长、相交于点，请按着小明的思路解答下列问题： （1）由上可得四边形是 　　（填矩形、菱形、正方形中的一个）； （2）在中运用勾股定理，求出的长． 【方法提炼】通过问题解决，小明发现翻折是解决问题的有效办法之一，它可以将问题中的相关信息有效地集中、关联与重组．请根据自己的理解，解答下列问题： （3）如图②，在四边形中，，，，，求的最大值． （4）如图③，在四边形中，，，是上一点，且，，，直接写出的最大值为 　　． 23．已知关于的方程①有两个相等的实数根． （1）用含的代数式表示； （2）求证：关于的方程②必有两个不相等的实数根； （3）若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式的值． 24．如图（1），公路上有、、三个车站，一辆汽车从站以速度匀速驶向站，到达站后不停留，以速度匀速驶向站，汽车行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数图象如图（2）所示． （1）当汽车在、两站之间匀速行驶时，求与之间的函数关系式及自变量的取值范围； （2）求出的值； （3）若汽车在某一段路程内刚好用50分钟行驶了90千米，求这段路程开始时的值． 25．如图，在中，，，点是线段上的一动点，过点作，，垂足分别是、． （1）当点运动到的中点时，　 　； （2）设，四边形的面积为． ①求与的函数关系式； ②问线段的长是否随着的移动而变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出这一定值． 2025年中考数学提优复习专题: 关于代数推理（参考答案） 1：． 2：． 3：． 4： 5：0． 6．1（答案不唯一）．　7．，2，4　． 8：8． 9：或． 10．解：一定能被9整除．理由如下： 设除以3余1的商为，则， ，一定能被9整除． 11．解：（1），， ；，， ，答案为：2；2； （2），，，， ， ，原式． 12．（1）证明：，即△， 不论为何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）解：方程有一个根是，，， ． 13．解：（1）关于的一元二次方程有两个相等的实数根， △，即，； （2），当时，有最小值为． 14、解：（1）若的图象为直线，的图象是抛物线，故设，， ，则它们的中值函数的图象为抛物线，故选； （2）①设且，点在、和它们的中值函数图象上，，，， 解得，，，故答案为； ②如图所示： 就图象得到中值函数的两条性质： 性质1：当时， 随的增大而减小，当时， 随的增大而增大； 性质2：当时，函数的最小值是2； ③设边长为，则宽为，则周长为， 由中值函数的定义可知为与的中值函数， 由性质可知：当时，即，取得最小值， ，舍去）， 即长方形为正方形时，周长最小． 15、解：（1）二次函数图象经过点， ，即①， ②， ①②得，解得，， 二次函数的表达式是； （2），，， 抛物线的图象必经过轴上一个定点； （3）由条件可得：，， ， 且，， ①当时，，②当时，，③当且时，． 16．解：（1）①根据题意得：小明可列方程为， 故答案为：； ②根据题意得：，解得：，， 两个交点坐标为：，，，； （2）根据题意知这个矩形周长为，面积为， 设矩形的一边长为，则另一边为， 则， 整理得：， 由题意得原方程有实数根， ，． 又，，即的取值范围为：． 17．解：（1）甲每次购买桑葚100千克，第一次购买桑葚的单价为每千克元，第二次购买的单价为每千克元， 甲两次购买桑葚共需要付款：元． 乙每次购买桑葚用去100元， 乙两次共购买：千克， 甲两次购买桑葚的平均单价为（元， 乙两次购买桑葚的平均单价为（元， 故答案为：；；；； （2）乙购买桑葚方式更合算．理由： 两次购买桑葚的单价不相同， ． ， ，，， ，，．， 谁两次购买桑葚的平均单价低，谁的购买桑葚方式更合算， 乙购买桑葚方式更合算． （3）当，时， 甲两次购买桑葚200千克，平均单价为7元， 乙两次购买桑葚千克，平均单价为元， 水果店两次销售给甲、乙两人桑葚共获利润率为： ． 答：水果店两次销售给甲、乙两人桑葚共获利润率为． 18．解：（1），， 发现结论：，故答案为：，，； （2）在中，，，， ， 延长至，使得，，， ，， ； （3）作的垂直平分线交于，连接． 则，， 中，，，．，， 设，则，在中，， 解得，即，，． 19．（1）证明：和是等边三角形， ，，， ，在和中，，； （2）解：点在运动过程中，的度数不会变化，理由如下， 是等边三角形，， ，， ，点在运动过程中，的度数一直为． （3）解：，， ， ，， 以，，为顶点的三角形是等腰三角形时，和为腰， ，，， ，，点的坐标为， 过点作轴于点，则，， ，， ， ． 20．解：（1）如图1，延长到点，使，连接， 是等边三角形，，， ，，， ，， 在和中，，， ，， ， 是等边三角形，，；故答案为：； （2）， 理由如下：延长到点，使，连接， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ，； （3）如图3，连接， ，，，， 由（2）可得：，解得：，故答案为：． 21．解：（1）如图1， 四边形是正方形，，，点是的中点，， 点是点关于正方形的对角线对称，，， ，，；故答案为45； （2）①解：是等边三角形， ，． 四边形是正方形， ，，． ，． ， 点是点关于的对称点， ． ．．， ，．，，， ②如果沿用小明的想法： 方法一：如图，我将点选在边的中点． 四边形是正方形， ，，．， 点是点关于的对称点， ． ． 在上． 在直线上． ． ，． 是的中点，， ．．． ， 是等腰直角三角形．， ，直线与所夹锐角为，故答案为：用； 22．（1）解：将沿着翻折得到，将沿着翻折得到， ，，，，，，， ，，四边形是矩形， 又，四边形是正方形，故答案为：正方形； （2）设， 四边形是正方形，，，，， 在中，， ，，； （3）如图2，将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，连接， ，，，，， ，，， ，，，， 当，，三条线段共线时，有最大值，则的最大值； （4）如图3，将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，连接， ，，，，，， ， ， ， ， 当，，三条线段共线时，有最大值，故答案为：． 23．解：（1）关于的方程①有两个相等的实数根， △，且， 解得，；，．，且． （2）证明：由（1）知，，即． 关于的方程的二次项系数，一次项系数，常数项， △ ． ，．△，方程②有两个不相等的实数根； （3）解：由，得．代入第一个方程，得 ，解得． 把代入第二个方程，得 ．整理得． ． 24．解：（1）根据图象可设汽车在、两站之间匀速行驶时，与之间的函数关系式为， 图象经过，，与之间的函数关系式为，； （2）当时，， 小时，千米，千米小时； （3）设汽车在、两站之间匀速行驶小时，则在汽车在、两站之间匀速行驶小时， 由题意得，，解得， 小时．答：这段路程开始时的值是2.5小时． 25．解：（1）连接， ，，点运动到的中点，，，， ，同理：，；故答案为：； （2）①作于点，则，， ； 设，则，， 同理：， 四边形的面积； ②的值是定值． 连接，则的面积，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$