精品解析：2024-2025学年苏科版九年级数学上册期末模拟测试卷（C）

期末模拟卷（C）2024-2025学年九年级数学上册模拟测试 考试范围：九上第一章~第四章、九下图形的相似+锐角三角函数 考试时间：90分钟 注意事项： 1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 第一卷（选择题） 一．选择题（共8小题，每小题2分，共16分．每小题所给四个选项中，恰有一项符合题目要求） 1. 为锐角，且，则 ( ) A. B. C. D. 2. 若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（ ） A 1，4 B. 1， C. 2， D. 3，0 3. 如图，若半径为的定滑轮边缘上一点绕中心逆时针转动150°（绳索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 5. 某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（ ） A. 甲、丁 B. 乙、戊 C. 丙、丁 D. 丙、戊 6. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中记载的一种测量古井水面以上部分深度的方法．若有一口井截面如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端A观察井水水岸E，视线AE与井口的直径BC交于点F，如果测得直径BC＝5尺，BF＝1尺，记木杆AB长度为x尺，井深CE为y尺，则井深y（尺）与木杆长度x（尺）之间函数关系的大致图像是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，E，F，G分别是，，上的点，且，连接分别交，于点M，N，连接．下列结论：①；②；③M是的中点；④若，则．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二卷（非选择题） 二．填空题（共8小题，每小题2分，共16分，不需写出解答过程，请直接将答案填写在答题卡相应位置） 9 已知，则______． 10. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围_______ 11. 某班级计划利用暑假去研学旅行，他们准备订做一批容量相同的双肩包．活动负责人征求了全班40名同学的意向，得到如下数据： 容量/L 23 25 27 29 31 33 人数/人 4 3 5 23 3 2 为了满足大多数人的需求，此次订做的双肩包容量为________． 12. 如图，已知传送带与地面所成斜面坡度为，如果它把物体送到离地面米高的地方，那么物体所经过的路程为______米． 13. 若一元二次方程可化为，则值为______． 14. 如图，是的中位线，是的中位线．设的面积是，的面积是，则_______． 15. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中阴影部分的概率为______． 16. 如图，在中，，，垂足为D，以为直径的交于点E，连接，交于点F，连接．已知，，则___． 三．解答题（共9小题，共68分．17~19每题6分、20`24每题8分、25题10分） 17. （1）解方程； （2）计算． 18. 元旦档刷新历史票房纪录，春节档有望继续表现优秀．春节有4部影片在春节档上映，分别是《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没・逆转时空》《第二十条》．小亮和小丽两名同学分别从《热辣滚烫》《飞驰人生2》《第二十条》三部电影中随机选择一部观看，将《热辣滚烫》表示为，《飞驰人生2》表示为，《第二十条》表示为．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等．记小亮同学的选择为，小丽同学的选择为． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求小亮和小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率． 19. 如图，在平面坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）． （1）请在图中，画出将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的△A1B1C1； （2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画△A2B2C2； （3）tan∠BAC＝　　． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 21. 图是安装在倾斜屋顶上的热水器，图是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米． （1）真空管上端到水平线的距离． （2）求安装热水器的铁架水平横管的长度．（结果精确到米） 参考数据：，，，，， 22. 目前我国射击运动发展较快，许多中小学开始推广普及射击运动．下图为甲、乙两名射击爱好者在相同条件下6次射击成绩． （1）填表并判断： 的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）； 人员 平均数 方差 甲 7 1 乙 7 （2）在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的绝对值的平均数，叫做这组数据的“平均差”，即，“平均差”也能描述一组数据的离散程度．请分别计算甲、乙成绩的“平均差”，并根据结果，简要概括“平均差”如何描述一组数据的离散程度． （3）把函数中自变量的一组值和对应的函数值分别看成样本；样本．这两个样本的方差与之间有怎样的函数关系？请直接写出结果． 23. 如图，内接于，是直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点． （1）试判断直线与位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 24. 如图，已知△OAB，点A的坐标为（2，2），点B的坐标为（3，0）． （1）求sin∠AOB的值； （2）若点P在y轴上，且△POA与△AOB相似，求点P的坐标． 25. 已知内接于，是直径，过点作的切线． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当是弧中点时，过点作于．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，与相交于点，连接，与相交于点，若的面积为，，求点到的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末模拟卷（C）2024-2025学年九年级数学上册模拟测试 考试范围：九上第一章~第四章、九下图形的相似+锐角三角函数 考试时间：90分钟 注意事项： 1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 第一卷（选择题） 一．选择题（共8小题，每小题2分，共16分．每小题所给四个选项中，恰有一项符合题目要求） 1. 为锐角，且，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件式得出，根据特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵为锐角， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了根据特殊角的三角函数值求角度，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 2. 若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（ ） A. 1，4 B. 1， C. 2， D. 3，0 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查解一元二次方程及方程根的性质，根据题意得出方程的两根互为相反数，然后列式求解即可． 【详解】解：由题意知，方程的两根互为相反数， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 3. 如图，若半径为定滑轮边缘上一点绕中心逆时针转动150°（绳索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得：重物上升的高度即为定滑轮转过的弧长，再由弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：重物上升的高度即为定滑轮转过的弧长， ∴重物上升的高度为． 故选：C 【点睛】本题主要考查了求弧长公式，根据题意得到重物上升的高度即为定滑轮转过的弧长是解题的关键． 4. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，观察图形，列出方程即可. 【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得： (32−2x)(20−x)=570， 故选：A 【点睛】本题考查根据题意列方程.理解题意是解题的关键. 5. 某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（ ） A. 甲、丁 B. 乙、戊 C. 丙、丁 D. 丙、戊 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用中位数做决策，由图像可知，要使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，则需要选择100克以上的一个盲盒和100克以下的盲盒一个，根据选项即可得出正确的答案． 【详解】解：由图像可知，要使选定7个盲盒质量的中位数仍为100， 则需要从第6号盲盒和第7号盲盒里选择100克以上的一个盲盒和100克以下的盲盒一个， 因此可排除甲、丁，乙、戊，丙、戊 故选：C． 6. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中记载的一种测量古井水面以上部分深度的方法．若有一口井截面如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端A观察井水水岸E，视线AE与井口的直径BC交于点F，如果测得直径BC＝5尺，BF＝1尺，记木杆AB长度为x尺，井深CE为y尺，则井深y（尺）与木杆长度x（尺）之间函数关系的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知△ABF∽△ECF，根据相似三角形的性质列出比例式，进一步得到函数关系式，直接判断即可． 【详解】解：∵AB∥CE， ∴△ABF∽△ECF， ∴AB：CE＝BF：CF， 即x：y＝1：4， 化简得：y＝4x， 故选：A 【点睛】本题考查了函数图象的识别，解题关键是根据相似列出函数解析式． 7. 如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键． 【详解】解：连接、， ∵是圆内接五边形， ∴， ∴， 故选B． 8. 如图，在正方形中，E，F，G分别是，，上的点，且，连接分别交，于点M，N，连接．下列结论：①；②；③M是的中点；④若，则．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据四边形是正方形，得，，由，得，再根据全等三角形的判定得，便可判定①的正误；由三角形全等得，再由，得，便可判断②的正误；证明，得，便可判断③的正误；设，则，由等腰直角三角形的性质用x表示，再证明，由相似比得，便可判断④的正误． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中 ， （）， 故①正确； ，， ， ， ， 即， 故②正确； ， ， 在和中 ， （）， ， ∴点M是对角线的中点， 故③正确； ， ∴， 设，则， ∵， ， ， ， ， ， x， ， ， ， ∴ ， ， 故④不正确； 故选：C． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定等知识，利用相似三角形的性质是解答第④题的关键． 第二卷（非选择题） 二．填空题（共8小题，每小题2分，共16分，不需写出解答过程，请直接将答案填写在答题卡相应位置） 9 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据分式的性质得出，，，再代入，最后求出答案即可． 【详解】解：设， 则，，， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的运算，能熟记分式的性质并熟练运用是解此题的关键． 10. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围_______ 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和解法． 根据一元二次方程的定义和根的判别式得到且，然后解两个不等式即可求解． 【详解】解：根据题意得且， 解得且； 故答案为：且． 11. 某班级计划利用暑假去研学旅行，他们准备订做一批容量相同的双肩包．活动负责人征求了全班40名同学的意向，得到如下数据： 容量/L 23 25 27 29 31 33 人数/人 4 3 5 23 3 2 为了满足大多数人的需求，此次订做的双肩包容量为________． 【答案】29 【解析】 【分析】本题考查了众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数，众数可能没有，可能有1个，也可能有多个．根据众数的定义求解即可． 【详解】解： 出现次23，出现次数最多， ∴众数是， 故答案为：29． 12. 如图，已知传送带与地面所成斜面坡度为，如果它把物体送到离地面米高的地方，那么物体所经过的路程为______米． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了坡度坡角问题，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义． 根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案． 【详解】解：由题意得：斜坡的坡度：，米，， ， ， 中，米， 故物体所经过的路程为米． 故答案为：． 13. 若一元二次方程可化为，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】先求出b的值，再根据配方法将题目中方程变形，然后即可得到k的值． 【详解】解：一元二次方程可化为， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵一元二次方程可化为， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是明确题意，会用配方法将方程变形． 14. 如图，是的中位线，是的中位线．设的面积是，的面积是，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据三角形中位线定理得到，得到，根据相似三角形的性质得到，同理得到，计算即可． 【详解】解：∵是的中位线， ∴， 同理∵是的中位线， ∴， ， 故答案为． 15. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中阴影部分的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查概率公式，解题的关键是熟知几何概率的公式．根据几何概率的求解公式即可求解． 【详解】解：总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面积， 击中阴影部分的概率是． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，垂足为D，以为直径的交于点E，连接，交于点F，连接．已知，，则___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考同弧所对的圆周角相等、等角的余角相等、解直角三角形等知识，连接，可得，由，，可求，进而可求，在中求即可． 【详解】解：连接， 为直径， ， ， ， ， ∵， ， ∵， ，， ， 在中，， ， ， 在中，． 故答案为：． 三．解答题（共9小题，共68分．17~19每题6分、20`24每题8分、25题10分） 17. （1）解方程； （2）计算． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程和特殊角度的三角函数值的混合运算，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和各个特殊角度的锐角三角函数值． （1）用配方法进行求解即可； （2）先将各个特殊角度的锐角三角函数化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∴， 即， ∴， ∴． （2）解： ． 18. 元旦档刷新历史票房纪录，春节档有望继续表现优秀．春节有4部影片在春节档上映，分别是《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没・逆转时空》《第二十条》．小亮和小丽两名同学分别从《热辣滚烫》《飞驰人生2》《第二十条》三部电影中随机选择一部观看，将《热辣滚烫》表示为，《飞驰人生2》表示为，《第二十条》表示为．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等．记小亮同学的选择为，小丽同学的选择为． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求小亮和小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率． 【答案】（1）9种 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，解决本题的关键是熟练掌握用列表法或树状图法求概率． （1）列表得出所有等可能的情况数即可； （2）根据表格列出恰好选择观看同一部电影的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 小问1详解】 画树状图如下： 可能出现的结果为：，它们出现的可能性相等，一共有9种． 答：所有可能出现的结果共有9种． 【小问2详解】 由表（或图）可以看出，小亮、小丽两名同学选择观看同一电影的情况有3种， 即． 小亮、小丽两名同学恰好选择观看同一部电影． 答：小亮、小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率为． 19. 如图，在平面坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）． （1）请在图中，画出将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的△A1B1C1； （2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画△A2B2C2； （3）tan∠BAC＝　　． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可； （2）取OA、OB、OC的中点即可； （3）过B点作BH⊥AC，利用面积法求出BH，再求出AH，然后根据正切的定义求解． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作； （2）如图，△A2B2C2为所作； （3）如图，过B点作BH⊥AC， ∵S△ABC=，AC=，AB= ∴BH== ∴AH= ∴tan∠BAC＝ ∴故答案为． 【点睛】此题主要考查解位似与直角三角形的应用，解题的关键是熟知三角函数的定义、旋转作图及位似的定义． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1） （2）50元/个 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据6月份销售量4月份销售量建立方程，解方程即可得； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据利润（售价进价）销售量建立方程，解方程求出的值，再选择较小的的值即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔实际售价应定为元/个， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 21. 图是安装在倾斜屋顶上的热水器，图是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米． （1）真空管上端到水平线的距离． （2）求安装热水器的铁架水平横管的长度．（结果精确到米） 参考数据：，，，，， 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用， （1）过作于，根据正弦的定义计算，得到答案； （2）根据余弦的定义求出，再根据正切的定义求出，计算即可； 熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：过作于， 根据题意，得：，， 在中，， ∴（米）． 答：真空管上端到水平线的距离约为米； 【小问2详解】 在中， ， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴（米）． 答：安装热水器的铁架水平横管的长度约为米． 22. 目前我国射击运动发展较快，许多中小学开始推广普及射击运动．下图为甲、乙两名射击爱好者在相同条件下6次射击成绩． （1）填表并判断： 的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）； 人员 平均数 方差 甲 7 1 乙 7 （2）在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的绝对值的平均数，叫做这组数据的“平均差”，即，“平均差”也能描述一组数据的离散程度．请分别计算甲、乙成绩的“平均差”，并根据结果，简要概括“平均差”如何描述一组数据的离散程度． （3）把函数中自变量的一组值和对应的函数值分别看成样本；样本．这两个样本的方差与之间有怎样的函数关系？请直接写出结果． 【答案】（1）甲；4 （2），，一组数据的“平均差”越小（大），该组数据的离散程度越小（大） （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了方差与极差以及平均差的求法，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值；方差是各变量值与其均值之差平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法． （1）先计算出甲、乙的方差，再根据方差的意义得出谁的成绩更稳定即可； （2）根据“平均差”的定义计算并描述一组数据的离散程度即可； （3）设自变量、、的平均数为，分别计算出自变量及函数值的方差，并得出结论即可． 【小问1详解】 ， ， 甲的成绩稳定， 故答案为：甲；4； 【小问2详解】 ； ． 且由（1）可得甲的成绩更稳定， 一组数据的“平均差”越小（大），该组数据的离散程度越小（大）． 【小问3详解】 解：设自变量、、的平均数为， ， 、、的平均数为， ， ， ； ． ． 23. 如图，内接于，是直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1）相切，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，根据角平分线的定义和同圆的半径相等，平行线的性质可得，根据切线的判定定理可得结论； （2）在中，根据勾股定理求出，证明，得到，推出，在中，根据勾股定理求出，依据，列比例式可得结论． 【小问1详解】 解：直线是的切线．理由如下： 连接，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 在中，由勾股定理得：， ， ，即， 解得：， 的半径为， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， ，即， ． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． 24. 如图，已知△OAB，点A的坐标为（2，2），点B的坐标为（3，0）． （1）求sin∠AOB的值； （2）若点P在y轴上，且△POA与△AOB相似，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）点P的坐标为（0，3）或（0，）． 【解析】 【分析】（1）证明∠AOB=45°，可得结论． （2）分两种情形，利用相似三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：（1）如图，过点A作AH⊥OB于H． ∵A（2，2）， ∴AH＝OH＝2， ∴∠AOB＝45°， ∴sin∠AOB＝． （2）由（1）可知，∠AOP＝∠AOB＝45°，OA＝2， 当△AOP′∽△AOB时，＝， 可得OP′＝OB＝3， ∴P′（0，3）， 当△AOP∽△BOA时，＝， ∴＝， ∴OP＝， ∴P（0，）， 综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，3）或（0，）． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 25. 已知内接于，是直径，过点作的切线． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当是弧的中点时，过点作于．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，与相交于点，连接，与相交于点，若的面积为，，求点到的距离． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理，圆的切线的性质定理和同角的余角相等解答即可； （2）连接，，，与交于点，延长交于点，利用圆心角，弧，弦的关系定理，圆周角定理，垂径定理和全等三角形的判定与性质解答即可； （3）过点作于点，连接，，与交于点，延长交⊙O于点，利用圆周角定理，垂径定理和等腰三角形的判定与性质得到，利用全等三角形的判定与性质得到，，设，则，利用（2）的结论和三角形的面积公式求得线段，的长度，利用勾股定理和相似三角形的判定与性质求得的长，最后利用平行线之间的距离相等得出结论即可． 【小问1详解】 证明：是直径， ， ． 为的切线， ， ， ； 【小问2详解】 证明：连接，，，与交于点，延长交于点，如图， 是弧的中点， ，，， ． 是的直径，， ， ． 在和中， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：过点作于点，连接，，与交于点，延长交⊙O于点，如图， 是直径，， ， 是弧的中点， ， ， ，． ， 是直径， ， ，， ， ， ． 是弧的中点， ，． ． 在和中， ， ， ，． 设，则， ， ， ， ． 的面积为， ， ， ． ， ， ， ． ，， ． ， ， ， ． ，， ， 点到的距离为． 【点睛】本题主要考查了圆的有关概念和性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，垂径定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，本题综合性较强，熟练掌握圆的有关性质，恰当的添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$