精品解析：天津市南开中学2024-2025学年高二上学期阶段性质量监测（二）数学试卷

南开中学2024—2025学年度第一学期阶段性质量监测（二） 高二数学试卷 考试时间：100分钟 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分. 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，每小题4分，共36分. 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知数列满足，，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 2 如果直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. C. 0或1 D. 0或 3. 若等比数列的前n项和为，且，为与的等差中项，则( ) A. 29 B. 33 C. 31 D. 30 4. 已知抛物线上一点到焦点距离为，则的中点到轴的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列前n项和，则数列的前n项和( ) A. B. C. D. 6. 已知数列的前项和为，且，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的首项，且，正项等比数列的首项，且，若数列的前n项和为，则数列的最大项的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 已知双曲线的左、右焦点分别，.A是C上一点（在第一象限），直线与轴y交于点B，若，且，则C的渐近线方程为（ ） A B. C. D. 9. 已知数列的前n项和为，满足.记为数列在区间内的项的个数，则数列的前50项的和为（ ） A. 237 B. 243 C. 435 D. 429 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共9小题，共64分. 二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 在前项和为的等差数列中，，，则______. 11. 已知数列满足，，则的值为______. 12. 已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为______． 13. 已知函数，则______. 14. 已知数列满足，，则数列的通项公式______. 15. 已知数列满足，是，的等比中项，则数列的通项公式______. 三.解答题：本大题共3小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知数列是公差为3的等差数列，数列满足，，. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前n项和. 17. 设椭圆，且离心率为，过点的直线与椭圆交于A，B两点，当直线AB经过椭圆中心O时，. （1）求椭圆M的方程； （2）已知点，直线AT和直线BT分别与y轴交于C，D，与x轴交于E，F，若，求直线AB的斜率. 18. 已知数列满足对任意的，均有，且，，数列为等差数列，且满足，. （1）求，的通项公式； （2）设数列满足且，证明：数列和数列均为等比数列. （ⅰ）设，求的前2n项和； （ⅱ）求证：，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南开中学2024—2025学年度第一学期阶段性质量监测（二） 高二数学试卷 考试时间：100分钟 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分. 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，每小题4分，共36分. 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列满足，，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出数列的周期为，可得. 【详解】因为，， 所以，， ，，……， 所以数列的周期为，所以. 故选：A. 2. 如果直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. C. 0或1 D. 0或 【答案】D 【解析】 【分析】根据一般式方程中两直线平行的条件得到方程，求出参数的值，再代入检验即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或； 当时，直线与直线平行，符合题意； 当时，直线与直线平行，符合题意； 综上可得或. 故选：D 3. 若等比数列的前n项和为，且，为与的等差中项，则( ) A. 29 B. 33 C. 31 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差中项的性质以及等比数列前公式即可计算出 【详解】设等比数列的等比为， 由，为与的等差中项得， 所以，， 故. 故选：D. 4. 已知抛物线上一点到焦点的距离为，则的中点到轴的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线定义可知点的横坐标，进而可得中点横坐标. 【详解】由已知抛物线， 则焦点，准线， 又点到焦点的距离为， 结合抛物线定义可知， 点到准线的距离， 则， 所以中点横坐标， 即中点到轴的距离为， 故选：A. 5. 已知数列的前n项和，则数列的前n项和( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出数列的通项公式；再判断出是等比数列；最后利用等比数列的求和公式即可求解. 【详解】当时，； 当时，，又符合上式， 所以，所以， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以 故选：A. 6. 已知数列的前项和为，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，作差得到，即可求出的通项公式，从而得到，再利用裂项相消法计算可得. 【详解】因为， 则当时，， 于是得，即， 而，即， 因此，数列是首项为1，公比为4的等比数列，所以， 因为，所以， 则， 则 ， 故选：. 7. 已知等差数列的首项，且，正项等比数列的首项，且，若数列的前n项和为，则数列的最大项的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，得到，再求出，从而得出，然后分析出数列的单调性，得出答案. 【详解】设等差数列的公差为，由，则， 即，故，则， 则， 设正项等比数列的公比为，由，则， 所以，解得，则， ，设，则， 当时，，即， 当时，，即 所以最大. 故选：C. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别，.A是C上一点（在第一象限），直线与轴y交于点B，若，且，则C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义和勾股定理，结合余弦定理和建立关于，的方程，即可求解. 【详解】如图： 设，则，因为， 所以，根据双曲线的定义：， 因，由勾股定理得：， 所以，则，，. 在中，. 在中，. 因为，，所以， 从而， 即， 所以， 所以双曲线渐近线的方程为：. 故选：C. 9. 已知数列的前n项和为，满足.记为数列在区间内的项的个数，则数列的前50项的和为（ ） A. 237 B. 243 C. 435 D. 429 【答案】B 【解析】 【分析】根据，作差得到，即可求出的通项公式，再根据数列的通项公式结构特征即可求解. 【详解】因为， 当时，，则， 当时，， 则，所以， 又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 根据等比数列的通项公式可得， 因为为在区间中的项的个数， 有，， ， ， ， 所以， 即. 故选：B. 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共9小题，共64分. 二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 在前项和为的等差数列中，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的性质计算可得. 【详解】根据等差数列的性质可知，，成等差数列， 所以，即，解得. 故答案为： 11. 已知数列满足，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】将两边取倒数，即可得到是以为首项，为公差的等差数列，从而求出的通项公式，即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以， 则，所以. 故答案为： 12. 已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，首先解出抛物线的方程，联立方程组，解出交点的坐标，再求出直线的方程，最后由点到直线的距离公式，即可得到答案. 【详解】圆心与的焦点重合， 由可得 由点斜式方程可得： 即：，原点到的距离． 故答案为：. 13. 已知函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的对称性可得，即可求解. 【详解】因为， 所以 ， 故， 故答案： 14. 已知数列满足，，则数列的通项公式______. 【答案】 【解析】 【分析】由题化简得出，则用累加法可求出. 【详解】若，则，即，这与矛盾，所以， 由，两边同时除以，得，则， ，，， 上边的式子相加可得：， 所以. 故答案为： 15. 已知数列满足，是，的等比中项，则数列的通项公式______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知求得，然后由等比中项定义求出，再分为奇函数，偶数分别求出通项公式. 【详解】因为， 所以，， 又是的比例中项，所以，即， 显然且，故解得； 当是奇数时，，， 所以，而， 所以数列是等比数列， 则，即； 当是偶数时，则； 综上可得. 故答案： 【点睛】关键点点睛：本题关键是首先推导出的值，另外就是当是奇数时求出通项公式. 三.解答题：本大题共3小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知数列是公差为3的等差数列，数列满足，，. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）赋值可得，再由等差数列的基本量法求出通项；由已知等式可得，再由等比数列的基本量法求出通项即可； （2）由等差和等比数列的前项和公式求解即可； 【小问1详解】 因为数列满足，，， 所以，即，解得， 因为数列是公差为3的等差数列，所以， 所以，即， 所以. 【小问2详解】 因为数列的前项和为，数列的前项和为， 所以数列的前n项和. 17. 设椭圆，且离心率为，过点的直线与椭圆交于A，B两点，当直线AB经过椭圆中心O时，. （1）求椭圆M的方程； （2）已知点，直线AT和直线BT分别与y轴交于C，D，与x轴交于E，F，若，求直线AB的斜率. 【答案】（1） （2）0或 【解析】 【分析】（1）根据根据椭圆的离心率和解出a，b即可； （2）易知当直线的斜率为0时；当直线的斜率为不0时，设直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理表示，由可得，表示点，建立方程，解之即可求解. 【小问1详解】 当直线AB经过椭圆中心O时，，得， 又，所以，得， 所以； 【小问2详解】 ①当直线的方程为时，显然，； 直线的方程为，所以； 直线的方程为，所以； 此时点与点重合，点与点重合，易知； ②设直线，， ， ，即，即或，； ，； ， ； 直线，直线 令，，， 令，，， 则， 即， 也即， 即， 则，，斜率为； 综上，直线的斜率为0或. 18. 已知数列满足对任意的，均有，且，，数列为等差数列，且满足，. （1）求，的通项公式； （2）设数列满足且，证明：数列和数列均为等比数列. （ⅰ）设，求的前2n项和； （ⅱ）求证：，. 【答案】（1）， （2）证明见解析；（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等比中项的性质，结合等差数列的通项公式、等比数列的通项公式进行求解即可； （2）由递推公式及等比数列的定义证明数列和数列均为等比数列，即可求出的通项；（ⅰ）利用分组求和法及错位相减法计算可得；（ⅱ）运用放缩法，结合等比数列前项和公式进行运算证明即可. 【小问1详解】 因为数列满足对任意的，均有， 所以数列是等比数列，又因为，， 所以等比数列的公比为，因此； 设等差数列的公差为， 由； 【小问2详解】 因为且， 所以，又，所以是以为首项，为公比的等比数列； 又，，所以是以为首项，为公比的等比数列； 所以，，解得； （ⅰ）， ， ， 设， 则有， 两式相减，得， ， ； （ⅱ）设， 显然， ， 当时，有， 因此， 所以当时， ， 即， 显然当时，有成立. 【点睛】关键点点睛：本题的关键由可以确定从第几项开始放缩，根据数列的通项公式的形式，得到，这样可以进行放缩证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$