精品解析：江苏省盐城市、南京市2024-2025学年高三上学期期末调研考试数学试卷

盐城市、南京市2024—2025学年度第一学期期末调研考试 高三数学 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. S C. T D. R 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦函数性质求值域得出集合，最后根据并集的定义计算即可. 【详解】因为集合，又集合， 所以. 故选：C 2. 已知向量，．若，则实数的值是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据得，进行数量积的坐标运算即可. 【详解】根据已知有： 故选：B. 3. 设a为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式，根据集合包含关系分析充分、必要条件即可. 【详解】由解得或， 因为是或的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 在的展开式中，系数为整数的项数是（ ） A 9 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项,即可求解. 【详解】根据题意有：， 因为，所以，所以系数为整数的项为：1，4，7，故有3项 故选：C. 5. 若函数有零点，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数有零点求出，再利用二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】函数有零点，则，解得， 而，因此，， 所以的取值集合为. 故选：D 6. 设函数，若的图象经过点，且在上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的图象经过的点及范围求出，再根据x的范围得，结合正弦函数的性质，列出相应不等式，即可求得范围，即可得答案. 【详解】因为的图象经过点，所以，又，所以， 则函数，当时，， 因为在上恰有2个零点， 所以，所以，即实数ω的取值范围是. 故选：B. 7. 第届中国国际航空航天博览会于年月日至日在珠海举行．本届航展规模空前，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量．航展共开辟了三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区．甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区．在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】记事件甲参观珠海国际航展中心，事件甲与乙不到同一观展区，求出、的值，利用条件概率公式可求得所的值，即为所求. 【详解】记事件甲参观珠海国际航展中心，事件甲与乙不到同一观展区，则， 因为每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区， 则先将个人分为组，再将这三组分配给三个展区， 基本事件的总数为， 若事件、同时发生，若参观珠海国际航展中心有人，则另外一人为丙或丁， 此时，不同的参观情况种数为， 若参观珠海国际航展中心只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个展区， 此时，不同的参观情况种数为种， 因此，， 由条件概率公式可得. 故选：A. 8. 已知点，是椭圆Ω的两个焦点，P是椭圆Ω上一点，的内切圆的圆心为Q．若，则椭圆Ω的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不妨设椭圆的方程为：，根据的面积建立等式关系即可求得. 【详解】不妨设椭圆的方程为：，， 则有，， 所以， 所以，所以的内切圆的半径为，由椭圆定义可得， 所以. 故选：D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X（单位：克）．若，其中，则（ ） A. B. C. D. σ越小，越大 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可判断. 【详解】由条件可知，由正太密度曲线的对称性可知： 对于A:，故A正确；对于B：由对称性有，故B错误； 对于C：由对称性有，故C正确； σ越小，说明数据越集中，越小，故D错误. 故选：AC. 10. 设，为复数，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则为纯虚数 【答案】BD 【解析】 【分析】由，判断A，由，判断C；令，，且，结合复数的相关概念及其加法、乘方运算判断B、D. 【详解】A：对于，，则，错； C：对于，，满足，显然，错； 令，，且，则，， 所以，B对； ，则，可得，即为纯虚数，D对. 故选：BD. 11. 已知曲线C：，则（ ） A. 曲线C关于直线对称 B. 曲线C关于原点对称 C. 曲线C在直线的上方 D. 曲线C与坐标轴围成的封闭图形的面积大于 【答案】ACD 【解析】 【分析】设点找出关于直线对称和原点对称的点的坐标分别验证， 可知A正确，B错误；设，则，将代入曲线中， 利用相等函数得到结果，可知C正确；围成的面积与单位圆围成的面积做对比， 可知D正确. 【详解】对于选项A：设点在曲线上，点关于直线 对称的点为，代入曲线中得成立，A正确. 对于选项B：点在曲线上，点关于原点对称的点 为，代入曲线中得该式不成立，B错误. 对于选项C：， 因为, 所以所以曲线C在直线的上方，故C正确 对于选项D：曲线与坐标轴的交点为，在第一象限, ,即曲线在第一象限的点到原点的距离, 所以曲线在第一象限的图像比单位圆凸出，因此围成的面积大于四分之一单位圆面积，故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，计15分．请把答案写在答题纸的指定位置上． 12. 函数的图象在点处的切线的斜率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可求出所求切线的斜率. 【详解】因为，则， 故函数的图象在点处的切线的斜率为. 故答案为：. 13. 已知四棱锥的底面是平行四边形，点E满足．设三棱锥和四棱锥的体积分别为和，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由锥体的体积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 设点到平面的距离为， 因为，则， 则，其中三棱锥的体积为， 则，， 又，所以，则. 故答案为： 14. 已知等差数列的公差不为0．若在的前100项中随机抽取4项，则这4项按原来的顺序仍然成等差数列的概率为______．（用最简分数作答） 【答案】 【解析】 【分析】由分类计数原理与古典概型概率公式求解可得. 【详解】设等差数列公差为， 若在数列的前100项中随机抽取4项，构成新的等差数列，则其公差可能为. 当公差为时，则首项可以为，可构成共个不同的等差数列； 当公差为时，则首项可以为，可构成共个不同的等差数列； 当公差为时，则首项可以为，可构成共个不同的等差数列； ； 当公差为时，则首项可以为，可构成共个不同的等差数列； ； 当公差为时，则首项为，可构成共个等差数列. 故在的前100项中随机抽取4项按原来的顺序，共可构成个等差数列； 又在的前100项中随机抽取4项，这4项按原来的顺序共可构成个数列； 则由古典概型概率公式可得，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于按新等差数列的公差分类讨论，再结合分类计数原理与古典概型概率公式求解. 四、解答题：本大题共5小题，计77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内． 15. 在中，，． （1）若，求的值； （2）若为锐角三角形，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式以及正弦定理即可求得结果. （2）利用同角三角函数的平方关系先求出的值，再正弦定理即可求得， 进而求得,利用三角形的面积公式即可求的结果. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，在中，由正弦定理得， 而，，所以． 因为，所以． 【小问2详解】 在中，因，所以， 由正弦定理得，所以， 因为为锐角三角形，所以， 所以 ， 所以面积． 16. 如图，在所有棱长都为2的三棱柱中，点E是棱的中点，． （1）求证：平面平面； （2）若，点P满足，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，由题意可得，根据线面垂直的判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，根据和空间向量的坐标表示求得，利用空间向量法求解线面角即可. 【小问1详解】 取的中点O，连接，，． 因为E为中点，O为中点，所以． 在三棱柱中，，则四边形是菱形，得， 则，又，，，平面， 所以平面．又因为平面，所以． 因为是等边三角形，O为中点，所以． 又因为，，平面， 所以平面．又因为面， 所以平面平面． 【小问2详解】 连接． 因为，，所以是等边三角形，所以． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面．由平面，得，又， 如图，以O为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 则，，，，． 设，又，即，得， 所以，则， 易知平面的一个法向量，所以， 设直线与平面所成角为θ，则． 17. 已知点，分别为双曲线E：的左、右焦点，点到双曲线E的渐近线的距离为，点A为双曲线E的右顶点，且． （1）求双曲线E的标准方程； （2）若四边形为矩形，其中点B，D在双曲线E上，求证：直线过定点． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据点到直线距离计算得出，再应用得出，计算得出进而得出标准方程； （2）分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况，联立方程组结合向量的数量积计算得出或，结合题意即可证明定点. 【小问1详解】 设焦距为2c，则， 故点到双曲线E的渐近线的距离为． 由，知，得． 又因为，所以，解得． 所以双曲线E的标准方程为． 【小问2详解】 ①当直线的斜率不存在时， 由，设直线的方程为， 当时，则在双曲线，可得,所以， 当时，则在双曲线，可得,所以不合题意舍， 可得直线的方程为， ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 联立得， 当时，，， 因为四边形为矩形，所以， 所以， 所以， 所以 所以， 所以，所以或， 当时，直线的方程为，恒过定点，不合题意，舍去． 当时，直线的方程为，恒过定点． 综上①②，直线恒过定点． 18. 设函数（，，）. （1）当时，求的最小值； （2）讨论函数的图象是否有对称中心.若有，请求出；若无，请说明理由； （3）当时，都有，求实数a的取值集合. 【答案】（1）4 （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）结合指数运算法则，利用基本不等式求解即可，注意验证等号成立条件. （2）利用中心对称列方程，根据指数运算化简得，，按照和分类讨论求解即可. （3）由题意转化为恒成立，令，按照和分类讨论，利用导数法研究其单调性，求解最值即可得解. 【小问1详解】 当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以，当时，取最小值4. 【小问2详解】 设点为函数的对称中心，则， 所以，即， 所以， 于是，且，且， 即，， 所以当时，m无解，此时函数的图象没有对称中心； 当时，，此时函数图象的对称中心为. 【小问3详解】 当时，，所以在上恒成立，即． 令，则， 所以，令，则， 所以在上单调递减， ①当时，，则在上单调递减， 此时当时，，舍去； ②当时，由，解得， 1°当时，， 所以时，，则单调递增； 时，，则单调递减； 所以时，取极大值，则，所以满足； 2°当时，， 因为时，，则单调递减， 所以时，，舍去； 3°当时，， 因为时，，则单调递增， 所以时，，舍去； 综上，实数a的取值集合为. 19. 若数列满足：对任意，总存在、，使得，则称是融积数列． （1）判断数列是否为融积数列，并说明理由； （2）若等差数列是融积数列，求的通项公式； （3）若融积数列单调递增，，，求使成立的的最值． 【答案】（1）是融积数列，理由见解析 （2）或 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据融积数列的定义证明即可； （2）设等差数列的公差为，根据题中定义可得出，考察，可得出或或，求出、的值，可得出数列的通项公式，再结合题中定义验证即可； （3）根据题意得出，结合不等式的性质可得出，从而可得出的最小值；根据融积数列的定义结合数列的单调性可得出，利用不等式的性质以及累乘法可得出，再由可得出的最大值，即可得解. 小问1详解】 是融积数列，证明如下： 设，当时，取，则， 即存在、，，，，使得，则是融积数列． 【小问2详解】 设等差数列公差为． 又是融积数列，所以对任意的，总存在、， 使得，则． 考察，有下列三情况： ①若，即，则或； ②若，即，则或； ③若，即，则或或； 由①②③得或或． 对于，取，则，则是融积数列． 对于，同上可得也是融积数列． 对于，则，当，时都有，， 故不存在、，使得，故不是融积数列． 综上，或． 【小问3详解】 因为是单调递增的融积数列，，，所以， 所以，，，， ，，，， 所以． 又因为单调递增，所以， 当以上各式等号同时成立时，故． 因为是融积数列，所以对任意的，总存在、，使得， 而，，所以对任意的，必存在，使得． 又因为是单调递增数列，所以，则， 则，由，得， 当时取等号，故， 综上，，． 【点睛】关键点睛：本题考查数列新定义，解题的关键是正确理解“融积数列”的定义，巧妙利用求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 盐城市、南京市2024—2025学年度第一学期期末调研考试 高三数学 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. S C. T D. R 2. 已知向量，．若，则实数值是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 3. 设a为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在的展开式中，系数为整数的项数是（ ） A. 9 B. 4 C. 3 D. 2 5. 若函数有零点，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，若图象经过点，且在上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 第届中国国际航空航天博览会于年月日至日在珠海举行．本届航展规模空前，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量．航展共开辟了三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区．甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区．在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，是椭圆Ω的两个焦点，P是椭圆Ω上一点，的内切圆的圆心为Q．若，则椭圆Ω的离心率为（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X（单位：克）．若，其中，则（ ） A. B. C. D. σ越小，越大 10. 设，为复数，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则为纯虚数 11. 已知曲线C：，则（ ） A. 曲线C关于直线对称 B. 曲线C关于原点对称 C. 曲线C在直线的上方 D. 曲线C与坐标轴围成的封闭图形的面积大于 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，计15分．请把答案写在答题纸的指定位置上． 12. 函数的图象在点处的切线的斜率为______． 13. 已知四棱锥的底面是平行四边形，点E满足．设三棱锥和四棱锥的体积分别为和，则的值为______． 14. 已知等差数列的公差不为0．若在的前100项中随机抽取4项，则这4项按原来的顺序仍然成等差数列的概率为______．（用最简分数作答） 四、解答题：本大题共5小题，计77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内． 15. 在中，，． （1）若，求的值； （2）若为锐角三角形，，求的面积． 16. 如图，在所有棱长都为2的三棱柱中，点E是棱的中点，． （1）求证：平面平面； （2）若，点P满足，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知点，分别为双曲线E：的左、右焦点，点到双曲线E的渐近线的距离为，点A为双曲线E的右顶点，且． （1）求双曲线E的标准方程； （2）若四边形为矩形，其中点B，D在双曲线E上，求证：直线过定点． 18. 设函数（，，）. （1）当时，求的最小值； （2）讨论函数的图象是否有对称中心.若有，请求出；若无，请说明理由； （3）当时，都有，求实数a的取值集合. 19. 若数列满足：对任意，总存在、，使得，则称是融积数列． （1）判断数列是否为融积数列，并说明理由； （2）若等差数列是融积数列，求的通项公式； （3）若融积数列单调递增，，，求使成立的最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$