专题06 复数的四则运算（6大题型）-2025年高一数学寒假精髓讲解与强化训练（人教A版2019必修第二册）

专题06 复数的四则运算 【题型归纳目录】 题型一：复数代数形式的加、减运算 题型二：复数加减法的几何意义 题型三：复数模的综合问题 题型四：复数代数形式的乘法运算 题型五：复数代数形式的除法运算 题型六：在复数范围内解方程 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、复数的加减运算 1、复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： 知识点诠释： （1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样．很明显， 两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形． （2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式． 2、复数的加法运算律： 交换律： 结合律： 题型一：复数代数形式的加、减运算 【典例1-1】计算： (1)； (2)． 【典例1-2】已知复数，，其中．若，求的值． 【变式1-1】已知复数z在复平面内对应的点在第四象限，，且，求z． 【变式1-2】计算： (1)； (2)． 知识点二、复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数． 知识点诠释： 复数复平面内的点平面向量 2、几何意义 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量． 设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是， 由于，所以和的和就是与复数对应的向量． 知识点诠释： 要会运用复数运算的几何意义去解题，利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理 题型二：复数加减法的几何意义 【典例2-1】在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为 ． 【典例2-2】在平行四边形ABCD中，若点A，C分别对应于复数，，则A，C两点间的距离为 ． 【变式2-1】已知复数，满足，，，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为 ． 【变式2-2】若复数，（其中为虚数单位）所对应的向量分别为与，则的周长为 . 【变式2-3】在平行四边形中，对角线与相交于点O，若向量，对应的复数分别是，，则向量对应的复数是 . 题型三：复数模的综合问题 【典例3-1】若复数，满足．且（i为虚数单位），则 ． 【典例3-2】已知，，，则 ． 【变式3-1】设，已知，，，则 ． 【变式3-2】已知复数，满足，，则的值为 . 【变式3-3】设复数，，满足，，，则 ． 【变式3-4】设复数满足，且，则= ． 【变式3-5】设复数z满足，则 . 知识点三、复数的乘除运算 1、乘法运算法则： 设，（），我们规定： 知识点诠释： （1）两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． （2）在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数（分母实数化），化简后写成代数形式． 2、乘法运算律： （1）交换律： （2）结合律： （3）分配律： 题型四：复数代数形式的乘法运算 【典例4-1】已知复数，i为虚数单位． (1)求的值； (2)求的值． 【典例4-2】计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 【变式4-1】 . 【变式4-2】已知（是虚数单位），则 题型五：复数代数形式的除法运算 【典例5-1】计算： (1)； (2)． 【典例5-2】已知复数，求的值． 【变式5-1】计算： (1)； (2)； 【变式5-2】若，则 ． 【变式5-3】已知复数满足，则 ． 【变式5-4】已知 ，则复数 . 【变式5-5】且， ． 题型六：在复数范围内解方程 【典例6-1】已知复数是关于x的一元二次方程的一个根，则（    ） A． B． C．4 D．8 【典例6-2】在复数范围内，方程的根是（    ） A． B． C． D．无解 【变式6-1】已知是关于复数的方程的一根，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式6-2】已知关于x的实系数一元二次方程在复数集中的两个根是，下列结论中恒成立的是（    ）． A．和互为共轭复数 B．， C． D． 【变式6-3】已知（i是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，那么p，q的值分别是（    ）． A． B． C． D． 【强化训练】 1．若，则（   ） A．1 B． C． D．3 2．复数（为虚数单位）的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 3．已知 ，为虚数单位，若为实数，则（    ） A． B． C． D． 4．已知复数，其中为虚数单位，，若为纯虚数，则复数在复平面内对应的点在第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 5．复数的虚部为（    ） A． B． C．1 D．i 6．已知i为虚数单位，复数，记为z的共轭复数，（    ） A． B． C． D． 7．在复平面内，满足的复数对应的点为，复数对应的点为，则的值不可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．已知复数满足且，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）设 为复数， .下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（多选题）下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（    ） A． B．复数为实数的充要条件是 C．设为复数，，若，则 D．设为复数，若，则 12．（多选题）已知虚数是方程的两个不同的根，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 13．（多选题）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A． B．复数的虚部为 C． D．复数w满足，则的最大值为2 14．（多选题）下列命题正确的（    ） A．若复数，则 B．若，，则复数的虚部是2i C．若是关于x的实系数方程的根，则 D．若，则的最小值为1 15．已知，，，则 . 16．已知复数，且，则 ． 17．已知复数满足:，则 . 18．已知复数z满足，且z的虚部为1，z在复平面内所对应的点在第一象限. (1)求z； (2)若z，在复平面上对应的点分别为A，B，O为坐标原点，求 19．在复平面内复数，，其所对应的点为，，为坐标原点，是虚数单位． (1)求与； (2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根． 20．已知复数，，． (1)若，求角； (2)复数，对应的向量分别是，， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）存在使等式成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 复数的四则运算 【题型归纳目录】 题型一：复数代数形式的加、减运算 题型二：复数加减法的几何意义 题型三：复数模的综合问题 题型四：复数代数形式的乘法运算 题型五：复数代数形式的除法运算 题型六：在复数范围内解方程 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、复数的加减运算 1、复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： 知识点诠释： （1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样．很明显， 两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形． （2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式． 2、复数的加法运算律： 交换律： 结合律： 题型一：复数代数形式的加、减运算 【典例1-1】计算： (1)； (2)． 【解析】（1） （2） 【典例1-2】已知复数，，其中．若，求的值． 【解析】，，其中． 若，则， ， 则，解得． 【变式1-1】已知复数z在复平面内对应的点在第四象限，，且，求z． 【解析】设，则 依题意，， 即， 解得，所以. 故答案为：. 【变式1-2】计算： (1)； (2)． 【解析】（1）由题意可得：原式． （2）由题意可得：. 知识点二、复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数． 知识点诠释： 复数复平面内的点平面向量 2、几何意义 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量． 设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是， 由于，所以和的和就是与复数对应的向量． 知识点诠释： 要会运用复数运算的几何意义去解题，利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理 题型二：复数加减法的几何意义 【典例2-1】在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为 ． 【答案】 【解析】复数对应的向量分别是,则 .则向量对应的复数为. 故答案为：. 【典例2-2】在平行四边形ABCD中，若点A，C分别对应于复数，，则A，C两点间的距离为 ． 【答案】5 【解析】依题意得对应的复数为， 所以A，C两点间的距离为． 故答案为：5． 【变式2-1】已知复数，满足，，，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为 ． 【答案】 【解析】，是以复平面内点为圆心，以为半径的圆， ， ， ，即， 复数以复平面内点为圆心，半径为1和的两圆构成的圆弧， 则在复平面所对应的点组成的图形的面积为： 故答案为：. 【变式2-2】若复数，（其中为虚数单位）所对应的向量分别为与，则的周长为 . 【答案】16 【解析】因为，，， 所以，，. 所以的周长为. 故答案为：16 【变式2-3】在平行四边形中，对角线与相交于点O，若向量，对应的复数分别是，，则向量对应的复数是 . 【答案】 【解析】因为向量，对应的复数分别是，， 所以 故答案为： 题型三：复数模的综合问题 【典例3-1】若复数，满足．且（i为虚数单位），则 ． 【答案】 【解析】设，， ， ，又，所以，， ， ， . 故答案为：. 【典例3-2】已知，，，则 ． 【答案】 【解析】设，， ，，，， ， 解得：， ， . 故答案为：. 【变式3-1】设，已知，，，则 ． 【答案】 【解析】设，， 由题设知，，. 又由， 可得. 所以. 所以. 故答案为：. 【变式3-2】已知复数，满足，，则的值为 . 【答案】 【解析】设，，则， ，则， 即，即， ∴， ∵， ∴﹒ 故答案为：﹒ 【变式3-3】设复数，，满足，，，则 ． 【答案】 【解析】设在复平面中对应的向量为，对应的向量为，如下图所示： 因为，所以， 所以， 又因为，所以， 所以， 所以，又， 故答案为： 【变式3-4】设复数满足，且，则= ． 【答案】 【解析】因为，所以， 又， 所以， 所以. 故答案为： 【变式3-5】设复数z满足，则 . 【答案】 【解析】设在复平面中对应的向量为，对应的向量为，如下图所示： 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以， 所以，又， 故答案为：. 知识点三、复数的乘除运算 1、乘法运算法则： 设，（），我们规定： 知识点诠释： （1）两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． （2）在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数（分母实数化），化简后写成代数形式． 2、乘法运算律： （1）交换律： （2）结合律： （3）分配律： 题型四：复数代数形式的乘法运算 【典例4-1】已知复数，i为虚数单位． (1)求的值； (2)求的值． 【解析】（1）复数(i为虚数单位)， ， ； （2）由（1）可得， 且2019=3673， 所以. 【典例4-2】计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）． （2） ． （3）原式 ． 【变式4-1】 . 【答案】 【解析】原式. 故答案为： 【变式4-2】已知（是虚数单位），则 【答案】 【解析】由可得，所以， 故答案为： 题型五：复数代数形式的除法运算 【典例5-1】计算： (1)； (2)． 【解析】（1）因为， 所以． （2）． 【典例5-2】已知复数，求的值． 【解析】复数，，， ． 【变式5-1】计算： (1)； (2)； 【解析】（1）原式. （2）原式. 【变式5-2】若，则 ． 【答案】 【解析】由题得． 故答案为：． 【变式5-3】已知复数满足，则 ． 【答案】 【解析】， ， ， 故答案为：． 【变式5-4】已知 ，则复数 . 【答案】/ 【解析】因为，所以，所以 故答案为： 【变式5-5】且， ． 【答案】 【解析】因为， 所以． 故答案为：. 题型六：在复数范围内解方程 【典例6-1】已知复数是关于x的一元二次方程的一个根，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【解析】复数是关于x的一元二次方程的一个根， 则方程的另一根为， 故，解得. 故选：A. 【典例6-2】在复数范围内，方程的根是（    ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【解析】由，则方程的根为. 故选：C 【变式6-1】已知是关于复数的方程的一根，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】因为是关于复数的方程的一根， 所以也是关于复数的方程的一根， 所以， 所以. 故选：C 【变式6-2】已知关于x的实系数一元二次方程在复数集中的两个根是，下列结论中恒成立的是（    ）． A．和互为共轭复数 B．， C． D． 【答案】B 【解析】对于A，可能为实根，如方程就有1和2两个实数根，故A错误； 对于B，当时，自然韦达定理成立；当时，解得，则有，，故B正确； 对于C．有可能成立，如方程的根的判别式为负数，故C错误； 对于D．若方程为，解得， 则而，两者不相等，故D错误. 故选：B． 【变式6-3】已知（i是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，那么p，q的值分别是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，， 则， 即，得，. 故选：A 【强化训练】 1．若，则（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【解析】因为， 所以， 所以. 故选：. 2．复数（为虚数单位）的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得， 所以其共轭复数为. 故选：B 3．已知 ，为虚数单位，若为实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于， 因为，则，解得. 故选：C. 4．已知复数，其中为虚数单位，，若为纯虚数，则复数在复平面内对应的点在第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【解析】因为， 若z为纯虚数，则，即， 则在复平面内对应的点为, 则复数在复平面内对应的点在第一象限. 故选：A. 5．复数的虚部为（    ） A． B． C．1 D．i 【答案】C 【解析】因为，又，，， 所以， 所以，所以的虚部为. 故选：C. 6．已知i为虚数单位，复数，记为z的共轭复数，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， 由共轭复数的性质知，， 故选：A 7．在复平面内，满足的复数对应的点为，复数对应的点为，则的值不可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】因为， 设，则，又，即， 所以，即，所以在以为圆心，半径的圆上， 又复数对应的点为，所以，所以， 所以，表示圆上的点与点的距离， 又， 所以，即，结合选项可知只有A不可能. 故选：A 8．已知复数满足且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， 根据，得， 根据，得， 由，解得，故， ， 由于 ， 同理得 ， 因此得． 故选：D 9．（多选题）已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】设复数，且， ，A正确； ，B正确； ， ， 所以与不一定相等，C错误； 令，则，D错误． 故选：AB 10．（多选题）设 为复数， .下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【解析】A：由复数模的概念可知，不能得到，例如，，A错误； B：由可得，因为，所以，即，B正确； C：若，则，有， 则，故，故C正确； D：取，，显然满足，但，D错误. 故选：BC． 11．（多选题）下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（    ） A． B．复数为实数的充要条件是 C．设为复数，，若，则 D．设为复数，若，则 【答案】ABC 【解析】对于A：易知，故A正确； 对于B：先判定充分性：若复数为实数，则， 再判定必要性：设， 若，则，即，则复数为实数， 故复数为实数的充要条件是，B正确； 对于C：为复数，， 设，，， 若，则， 即， 所以， 因为且，所以， 则，故且，所以，故C正确； 对于D：满足， 但是，故D错误． 故选：ABC． 12．（多选题）已知虚数是方程的两个不同的根，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】A选项，， 令，其中， 由于为虚数，故为的两个根， 则，A正确； B选项，的两根为， 若，， 则，B错误； C选项，由韦达定理得，C正确； D选项，由B选项，或，均有，D正确； 故选：ACD 13．（多选题）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A． B．复数的虚部为 C． D．复数w满足，则的最大值为2 【答案】ACD 【解析】对于A，由可得； 而，所以可得，即A正确； 对于B，，其虚部为，即B错误； 对于C，，即可得C正确； 对于D，设，则由可得， 所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 因此的最大值为，即可得D正确； 故选：ACD. 14．（多选题）下列命题正确的（    ） A．若复数，则 B．若，，则复数的虚部是2i C．若是关于x的实系数方程的根，则 D．若，则的最小值为1 【答案】ACD 【解析】A选项，，A选项正确. B选项，，，，虚部为，B选项错误. C选项，由于是关于x的实系数方程的根， 则是关于x的实系数方程的根， 所以，解得，所以，C选项正确. D选项，表示对应点与点的距离为， 表示对应点与点的距离，结合图象可知，的最小值为， 所以D选项正确. 故选：ACD. 15．已知，，，则 . 【答案】1 【解析】设， 由，得，即， 由，，得， 有，整理得， 而， 所以. 故答案为： 16．已知复数，且，则 ． 【答案】2 【解析】由，则， 所以，解得， 所以． 故答案为：2. 17．已知复数满足:，则 . 【答案】3 【解析】因为， 所以，故. 故答案为：3. 18．已知复数z满足，且z的虚部为1，z在复平面内所对应的点在第一象限. (1)求z； (2)若z，在复平面上对应的点分别为A，B，O为坐标原点，求 【解析】（1）设， 因为，所以，得或， 又z在复平面内所对应的点在第一象限，所以， 所以； （2）， 所以，，，，， 所以，， 所以 19．在复平面内复数，，其所对应的点为，，为坐标原点，是虚数单位． (1)求与； (2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根． 【解析】（1）因为，， 所以，又， 得到，，所以． （2）设是方程的一个实根，则． 根据复数相等的意义知 解得：，，． 所以，当时，原方程有一实根． 20．已知复数，，． (1)若，求角； (2)复数，对应的向量分别是，， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）存在使等式成立，求实数的取值范围． 【解析】（1），，且， ，，即，， 又，故. （2）（ⅰ）由复数的坐标表示可得，，， ， 又，则. 当时，取最大值为，当时，取最小值为， 的取值范围为； （ⅱ），， ， 又，则， 化简得，， ，由小问（ⅰ）的结论可知， ，解得或， 综上所述，的取值范围为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$