专题05 复数的概念（5大题型）-2025年高一数学寒假精髓讲解与强化训练（人教A版2019）

专题05 复数的概念 【题型归纳目录】 题型一：复数的基本概念 题型二：复数相等 题型三：复数的几何意义 题型四：复数的模 题型五：复数的轨迹与最值问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：复数的基本概念 1、虚数单位 数叫做虚数单位，它的平方等于，即． 知识点诠释： ①是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； ②可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． 2、复数的概念 形如（）的数叫复数，记作：（）； 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 知识点诠释： 复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据． 3、复数的分类 对于复数（） 若b=0，则a+bi为实数，若b≠0，则a+bi为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi为纯虚数． 分类如下： （） 用集合表示如下图： 4、复数集与其它数集之间的关系 （其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，为复数集．） 5、共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． 通常记复数的共轭复数为． 题型一：复数的基本概念 【典例1-1】已知，则“”是“”的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【答案】B 【解析】易知，所以不满足充分性，而，满足必要性. 故选：B 【典例1-2】下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】B 【解析】对于①，因为，所以，故①正确； 对于②，两个虚数不能比较大小，故②错误； 对于③，当，时，成立，故③错误；④正确. 故选：B 【变式1-1】给出下列命题： ①若R，则是纯虚数； ②若R且，则； ③若C，则复数的实部为a，虚部为b； ④i的平方等于. 其中正确命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【解析】对于复数（R），当且时为纯虚数， 在①中，若，则不是纯虚数，①错误； 在②中，两个虚数不能比较大小，②错误； 在③中，只有当R时，复数的实部才为a，虚部为b，③错误； 在④中，i的平方等于，④正确. 故选：D 【变式1-2】下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【解析】对于①，若，则不是纯虚数，则①错误； 对于②，两个虚数不能比较大小，则②错误； 对于③，若，则，，此时不是纯虚数，则③错误； 对于④，由复数集与实数集的关系可知，实数集是复数集的真子集，则④正确. 故选：. 知识点二：复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 如果，那么 特别地：． 知识点诠释： （1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样． 根据复数a+bi与c+di相等的定义，可知在a=c，b=d两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di（a，b，c，d∈R）． （2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小．如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小． 题型二：复数相等 【典例2-1】已知，，且，则，的值分别为（    ） A．1， B．4，1 C．，1 D．1，3 【答案】C 【解析】因为，，且，则，，解得. 故选：C 【典例2-2】已知复数，当时，（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】依题意，得，解得， 所以. 故选：A 【变式2-1】已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（    ） A．4 B． C．6 D．或6 【答案】B 【解析】由得，即， 根据复数相等的充要条件可得，解得. 故选：B. 【变式2-2】已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为复数为纯虚数，所以满足：，解得：， 所以，即； 所以. 故选：D 知识点三：复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴： 如图所示，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴． 知识点诠释： 实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2、复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应． 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． 3、复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数． 设复平面内的点表示复数（），向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． 复数集C和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即 复数平面向量 这是复数的另一种几何意义． 4、复数的模 设（），则向量的长度叫做复数的模，记作． 即． 知识点诠释： ①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小． ②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等． 题型三：复数的几何意义 【典例3-1】已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】∵复数在复平面内对应的点在第四象限， ∴，解得， 即实数a的取值范围是． 故答案为：． 【典例3-2】在复平面内，复数，对应的点分别为A，B，若为线段的中点，则点对应的复数是 ． 【答案】 【解析】因为复数，对应的点分别为，． 且为线段的中点，所以． 则点对应的复数是． 故答案为：． 【变式3-1】已知i是虚数单位，复数． (1)当复数z为虚数时，求m的取值范围； (2)当复数z在复平面对应的点在第二象限，求m的取值范围． 【解析】（1）因为复数虚数，所以 解得，且 （2）因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以， 解之得，得． 所以实数的取值范围为 【变式3-2】已知，指出下列等式所表示的几何图形． (1)； (2)． 【解析】（1）， 则复数对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆； （2）的几何意义表示以复数对应的点与之间的距离， 的几何意义表示以复数对应的点与之间的距离， 所以表示以点，为端点的线段的垂直平分线． 【变式3-3】已知，，由原点和、所对应的点围成的三角形面积是多少？ 【解析】在复平面内，复数、所对应的点的坐标分别为、， 所以. 【变式3-4】求实数m取何值时，复数所对应的点Z分别满足下列条件： (1)点Z在虚轴上； (2)点Z在第四象限. 【解析】（1）根据题意得，解得或. （2）根据题意得，解得或， 所以实数的取值范围是. 题型四：复数的模 【典例4-1】设是虚数单位，，则 ． 【答案】 【解析】，所以， 故答案为：． 【典例4-2】复数在复平面上对应的点在虚轴上，则 ， ． 【答案】 2或0 【解析】由题意知，解得， 则当时，，； 当时，，． 故答案为：，2或0 【变式4-1】记是虚数单位，设复数且，则复数的虚部为 . 【答案】 【解析】因为，，则，得到， 又，所以，则复数的虚部为， 故答案为：. 【变式4-2】已知复数，且，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以， 即， 解得，. 故答案为：. 【变式4-3】复数（）在复平面上对应的点在第四象限，，则 . 【答案】 【解析】复数（）在复平面上对应的点在第四象限， 所以，又，解得（舍去）或. 故答案为： 题型五：复数的轨迹与最值问题 【典例5-1】设复数，，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，表示如图所示的圆环， 而表示复数的对应点与复数的对应点之间的距离， 即圆环内的点到点的距离． 由图易知当与重合时，，当点与点重合时，，． 故答案为：. 【典例5-2】已知复数z的模为2，则的最大值为 ． 【答案】3 【解析】复数z的模为2，表示复数在复平面内对应的点到原点的距离为2， 则点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 而是圆上的点到点的距离， 所以. 故答案为：3 【变式5-1】若复数，满足，，则的最小值为 ． 【答案】6 【解析】由可知，对应的点是以为圆心，1为半径的圆． 由可知，对应的点是以，为端点的线段BC的垂直平分线，也就是x轴． 为圆上一点与x轴上一点的距离的最小值，即为圆心到x轴的距离减去半径为6． 故答案为：6. 【变式5-2】已知复数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】表示在复平面上对应的点是单位圆上的点， 的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离， 最小距离为，最大距离为， 的取值范围为. 故答案为：. 【变式5-3】已知为虚数单位，若复数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】 由可知，复数对应的点在以点为圆心，半径为的圆上， 而可理解为圆上的点到点的距离， 作直线,交圆于点,如图所示. 显然,当点与点重合时，, 当点与点重合时，. 即的取值范围是. 故答案为：. 【强化训练】 1．如图，在复平面内，向量对应的复数，绕点逆时针旋转后对应的复数为，则等于（    ）    A． B．3 C． D．4 【答案】C 【解析】由题意可设（，）， 对应的向量为，对应的向量为， 由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直， 则，解得 ，， ，故C正确. 故选：C 2．已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【解析】设，则由， 所以复数在复平面内对应的点坐标在为圆心，1为半径的圆上，如下图所示： 而， 即求复平面内点到距离的最小值， 由圆的几何性质可知当点位于与圆心点连线交点时，取到最小值， 即 故选：B 3．已知i为虚数单位，复数z满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【解析】设，则，得 ， 所以，化简得， 所以， 所以 ，当时取等号， 所以的最小值为. 故选：A 4．已知i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为复数z满足， 所以复数对应的点的轨迹为单位圆，圆心为原点，半径， 圆心到复数对应的点的距离为， 所以的最大值为. 故选：B 5．已知复数，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为复数，所以的虚部为. 故选：D. 6．已知复数和满足，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】设 因为，所以，即，① 又，所以，即，② 又，所以，即，③ ②③可得，④ 把①代入④可得， 所以，故A正确； 故选：A. 7．复数，（，）为实数的充要条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】A 【解析】若复数，（，）为实数， 则有， ， 故选：A. 8．（多选题）已知复数为虚数单位），为的共轭复数，则下列结论正确的是（    ） A．的虚部为 B．对应的点在第一象限 C． D．若，则在复平面内对应的点形成的图形的面积为 【答案】BCD 【解析】对于A：，所以的虚部为，A错误； 对于B：对应的点为，位于第一象限，所以B正确； 对于C：，所以，C正确； 对于D：在复平面内表示到点距离小于等于1的所有的点， 所以形成的图形为以为圆心1为半径的圆，所以面积为，D正确， 故选：BCD 9．（多选题）已知复数在复平面内对应的点分别为，则（    ） A． B． C．满足的复数对应的点形成的图形的周长是 D．满足的复数对应的点形成的图形的面积是 【答案】BD 【解析】由，得. A：，则，又， 所以，故A错误； B：，故B正确； C：设，则， 由，得，即， 所以复数对应的点形成的图形的周长为，故C错误； D：设，则， 又，所以，即， 所以满足的复数对应的点形成的图形的面积为，故D正确. 故选：BD 10．已知复数满足，求的最小值． 【解析】方法一  设，则， 即．． ． 由，得． ，． ． 当时，取得最小值，最小值为4． 方法二  由复数及其模的几何意义知， 满足，即的复数所对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 而的几何意义是：复数对应的点与点的距离． 由圆的知识可知的最小值为． 又，所以的最小值为． 11．已知复数，，其中．若，求的值． 【解析】由题意，, 因为， 所以， 解得. 12．已知复数，其中是实数． (1)若，求的值； (2)若在复平面上所对应的点位于第一象限，求的取值范围． 【解析】（1）由题意，， 则，解得或. （2）因为复数在复平面内对应的点位于第一象限， 所以，解得或. 13．若复数满足，求． 【解析】设（）， ， , 解得或， 或. 14．若复数，复数满足，且是纯虚数，求复数． 【解析】设， 由得， ， 由是纯虚数得且， 联立，解得或， 故或. 15．复数平面内表示复数的点分别满足下列条件： (1)位于第四象限； (2)位于第一象限或第三象限； (3)位于直线上．求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意，复数在复平面内对应的点为． 当点位于第四象限时，则，即， 故或； （2）当点位于第一象限或第三象限时， 则， 即， 故或或． （3）当点位于直线上，则，解得． 16．当实数为何值时，复数为： (1)实数； (2)纯虚数； (3)对应点在第二象限？ 【解析】（1）复数为实数，则， 所以或. （2）复数为纯虚数，则， 所以. （3）复数对应点在第二象限，则，解得， 所以实数的取值范围是. 17．已知复数，. (1)表示的复数对应的点在实轴上的有几个？ (2)表示的复数对应的点在虚轴上的有几个？ 【解析】（1）若点在实轴上，则，此时， 均满足题意，故共有10个这样的复数. （2）若点在虚轴上，则，此时， 均满足题意，故共有10个这样的复数. 18．已知复数，其中为虚数单位. (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围. 【解析】（1）因为复数是纯虚数， 所以 解得. （2）因为复数在复平面内对应的点位于第二象限， 所以 解得. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 复数的概念 【题型归纳目录】 题型一：复数的基本概念 题型二：复数相等 题型三：复数的几何意义 题型四：复数的模 题型五：复数的轨迹与最值问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：复数的基本概念 1、虚数单位 数叫做虚数单位，它的平方等于，即． 知识点诠释： ①是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； ②可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． 2、复数的概念 形如（）的数叫复数，记作：（）； 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 知识点诠释： 复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据． 3、复数的分类 对于复数（） 若b=0，则a+bi为实数，若b≠0，则a+bi为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi为纯虚数． 分类如下： （） 用集合表示如下图： 4、复数集与其它数集之间的关系 （其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，为复数集．） 5、共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． 通常记复数的共轭复数为． 题型一：复数的基本概念 【典例1-1】已知，则“”是“”的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【典例1-2】下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 【变式1-1】给出下列命题： ①若R，则是纯虚数； ②若R且，则； ③若C，则复数的实部为a，虚部为b； ④i的平方等于. 其中正确命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【变式1-2】下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 知识点二：复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 如果，那么 特别地：． 知识点诠释： （1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样． 根据复数a+bi与c+di相等的定义，可知在a=c，b=d两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di（a，b，c，d∈R）． （2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小．如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小． 题型二：复数相等 【典例2-1】已知，，且，则，的值分别为（    ） A．1， B．4，1 C．，1 D．1，3 【典例2-2】已知复数，当时，（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【变式2-1】已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（    ） A．4 B． C．6 D．或6 【变式2-2】已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点三：复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴： 如图所示，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴． 知识点诠释： 实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2、复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应． 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． 3、复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数． 设复平面内的点表示复数（），向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． 复数集C和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即 复数平面向量 这是复数的另一种几何意义． 4、复数的模 设（），则向量的长度叫做复数的模，记作． 即． 知识点诠释： ①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小． ②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等． 题型三：复数的几何意义 【典例3-1】已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是 ． 【典例3-2】在复平面内，复数，对应的点分别为A，B，若为线段的中点，则点对应的复数是 ． 【变式3-1】已知i是虚数单位，复数． (1)当复数z为虚数时，求m的取值范围； (2)当复数z在复平面对应的点在第二象限，求m的取值范围． 【变式3-2】已知，指出下列等式所表示的几何图形． (1)； (2)． 【变式3-3】已知，，由原点和、所对应的点围成的三角形面积是多少？ 【变式3-4】求实数m取何值时，复数所对应的点Z分别满足下列条件： (1)点Z在虚轴上； (2)点Z在第四象限. 题型四：复数的模 【典例4-1】设是虚数单位，，则 ． 【典例4-2】复数在复平面上对应的点在虚轴上，则 ， ． 【变式4-1】记是虚数单位，设复数且，则复数的虚部为 . 【变式4-2】已知复数，且，则实数的取值范围为 ． 【变式4-3】复数（）在复平面上对应的点在第四象限，，则 . 题型五：复数的轨迹与最值问题 【典例5-1】设复数，，则的取值范围是 ． 【典例5-2】已知复数z的模为2，则的最大值为 ． 【变式5-1】若复数，满足，，则的最小值为 ． 【变式5-2】已知复数满足，则的取值范围是 . 【变式5-3】已知为虚数单位，若复数满足，则的取值范围是 . 【强化训练】 1．如图，在复平面内，向量对应的复数，绕点逆时针旋转后对应的复数为，则等于（    ）    A． B．3 C． D．4 2．已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 3．已知i为虚数单位，复数z满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 4．已知i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知复数，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 6．已知复数和满足，则（   ） A．1 B． C． D．2 7．复数，（，）为实数的充要条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 8．（多选题）已知复数为虚数单位），为的共轭复数，则下列结论正确的是（    ） A．的虚部为 B．对应的点在第一象限 C． D．若，则在复平面内对应的点形成的图形的面积为 9．（多选题）已知复数在复平面内对应的点分别为，则（    ） A． B． C．满足的复数对应的点形成的图形的周长是 D．满足的复数对应的点形成的图形的面积是 10．已知复数满足，求的最小值． 11．已知复数，，其中．若，求的值． 12．已知复数，其中是实数． (1)若，求的值； (2)若在复平面上所对应的点位于第一象限，求的取值范围． 13．若复数满足，求． 14．若复数，复数满足，且是纯虚数，求复数． 15．复数平面内表示复数的点分别满足下列条件： (1)位于第四象限； (2)位于第一象限或第三象限； (3)位于直线上．求实数的取值范围． 16．当实数为何值时，复数为： (1)实数； (2)纯虚数； (3)对应点在第二象限？ 17．已知复数，. (1)表示的复数对应的点在实轴上的有几个？ (2)表示的复数对应的点在虚轴上的有几个？ 18．已知复数，其中为虚数单位. (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$