专题03 平面向量基本定理及坐标表示（6大题型）-2025年高一数学寒假精髓讲解与强化训练（人教A版2019必修第二册）

专题03 平面向量基本定理及坐标表示 【题型归纳目录】 题型一：平面向量基本定理 题型二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题 题型三：平面向量的坐标运算 题型四：平面向量平行的坐标表示 题型五：平面向量数量积的坐标表示及运算 题型六：平面向量数量积的综合应用 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 这说明如果且，那么． ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 知识点诠释： 平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量． 2、如何使用平面向量基本定理 平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合． （1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的． （2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、 ，平面上的任何一个向量都可以用、 唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、 的代数运算． 题型一：平面向量基本定理 【典例1-1】如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】如图，在梯形中，在线段上，.若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式1-2】如图，平行四边形中，是的中点，在线段上，且，记，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 题型二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题 【典例2-1】如图，在中，，．设，． (1)用，表示，； (2)若为内部一点，且．求证：，，三点共线． 【典例2-2】如图，在平行四边形中，点M为中点，点N在上，.    (1)设，，用，表示向量； (2)求证：M，N，C三点共线. 【变式2-1】在中，为上靠近点的三等分点，设． (1)用分别表示； (2)证明：三点共线． 【变式2-2】如图，矩形中，.设. (1)用表示； (2)用向量的方法证明：三点共线. 【变式2-3】在中，点分别在边和边上，且，，交于点，设．    (1)若，求实数； (2)试用表示； (3)点在边上，且满足三点共线，试确定点的位置． 知识点二：平面向量的坐标表示 1、正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 知识点诠释： 如果基底的两个基向量e1、e2互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式． 2、平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．把=叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系． 知识点诠释： （1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且，其中． （2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若，，则；若，，则，，显然A、B、C、D四点坐标各不相同． （3）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量． 知识点三：平面向量的坐标运算 1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算 运 算 坐标语言 加法与减法 记， ， 实数与向量的乘积 记，则=（，） 2、如何进行平面向量的坐标运算 在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题： （1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等． （2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系． （3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的． （4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关． 题型三：平面向量的坐标运算 【典例3-1】点，,则向量＝（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知向量，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知向量与的夹角为，且，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 知识点四：平面向量平行（共线）的坐标表示 1、平面向量平行（共线）的坐标表示 设非零向量，则∥，即，或． 知识点诠释： 若，则∥不能表示成因为分母有可能为0． 2、三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线． 题型四：平面向量平行的坐标表示 【典例4-1】已知向量，若，则实数（    ） A． B． C．11 D．2 【典例4-2】已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知，向量，，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-2】已知向量，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 知识点五：向量数量积的坐标表示 1、已知两个非零向量，， 2、设，则或 3、如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）． 题型五：平面向量数量积的坐标表示及运算 【典例5-1】已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【典例5-2】已知向量，，其中． (1)若，求角的大小； (2)若，求的值． 【变式5-1】已知向量，，，且. (1)求实数m的值； (2)求； (3)求向量与的夹角. 【变式5-2】已知，. (1)若，求； (2)若与垂直，求当为何值时，? 【变式5-3】已知向量，． (1)当时，求的值； (2)若向量，的夹角为锐角，求的取值范围． 【变式5-4】已知向量，． (1)求的值； (2)，求； (3)若向量与的夹角为锐角，求的取值范围． 题型六：平面向量数量积的综合应用 【典例6-1】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，，且，P是线段AB上的动点． (1)用，表示和； (2)当P是线段AB上的中点时，求，的坐标和； (3)设，是否存在使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【典例6-2】如图，已知平行四边形的三个顶点、、的坐标分别是、、. (1)求顶点的坐标； (2)在线段上是否存在一点满足，若存在，求；若不存在，请说明理由. 【变式6-1】在平面直角坐标系中，已知点，，，为直线上的动点． (1)若四边形是平行四边形，求点的坐标； (2)求的取值范围． 【变式6-2】在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． (1)求的值； (2)若为线段上任意一点，求的取值范围． 【强化训练】 1．如图，在中，为线段上一点，且，为线段的中点，过点的直线分别交直线、于、两点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知外接圆圆心为，为所在平面内一点，且．若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，，则实数m的值为（ ） A． B． C． D．1 4．在平面直角坐标系中，点，，，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 5．已知平面向量满足，，且．则向量与向量的夹角是（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，，且实数，若A，B，C三点共线．则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．在等腰中，，，以点为圆心作半径为的圆，点为此圆上的动点，若动点满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．已知向量，不共线，且向量，，若与反向，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 9．（多选题）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深遂的哲理解释了自然，社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形，其中为正八边形的中心，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．和不能构成一组基底 10．（多选题）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．两个非零向量和，若，则与垂直 C．若，则与垂直的单位向量的坐标为或 D．已知，若在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则 11．（多选题）下列说法正确的有（    ） A．已知，若与共线，则 B．若，则 C．若，则一定不与共线 D．若为锐角，则实数的范围是 12．（多选题）已知向量，则下列命题正确的是（    ） A．的最大值为 B．若，则 C．若是与垂直的单位向量，则 D．当取得最大值时， 13．在边长为4的正方形ABCD中，M是BC的中点，E在线段AB上运动，则的取值范围 . 14．已知向量，向量在上的投影向量的坐标为，则 . 15．已知、是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则 . 16．如图，在等腰梯形中，，，为线段中点，与交于点，连接，为线段上的一个动点. (1)用基底表示； (2)求的值； (3)设，求的取值范围. 17．已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线． (1)求实数的值； (2)已知，点，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 18．设为实数，若，是平面上两个不共线的向量，已知三点共线. (1)求的值； (2)若，与的夹角为，设与的夹角为，求的值 19．（1）已知，，求满足，的点D的坐标； （2）设，为单位向量，且，向量与共线，求的最小值. 20．已知在中，N是边AB的中点，且，设AM与CN交于点P．记． (1)用表示向量； (2)若，且，求的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平面向量基本定理及坐标表示 【题型归纳目录】 题型一：平面向量基本定理 题型二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题 题型三：平面向量的坐标运算 题型四：平面向量平行的坐标表示 题型五：平面向量数量积的坐标表示及运算 题型六：平面向量数量积的综合应用 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 这说明如果且，那么． ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 知识点诠释： 平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量． 2、如何使用平面向量基本定理 平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合． （1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的． （2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、 ，平面上的任何一个向量都可以用、 唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、 的代数运算． 题型一：平面向量基本定理 【典例1-1】如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接DE， 由题意可知，，所以，则， 所以，所以， 则， 故. 又，所以，则. 故选：A 【典例1-2】如图，在梯形中，在线段上，.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可设， 则， 又因为，且，不共线， 可得，解得，即， 所以，即. 故选：D. 【变式1-1】如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】正方形ABCD中，M是BC的中点，则，则， 于是，而， 所以. 故选：C 【变式1-2】如图，平行四边形中，是的中点，在线段上，且，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取，作为基底，因为是中点，则. 因为，所以， 所以. 故选：D. 【变式1-3】如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】C 【解析】 如图，延长交于点，因点是的重心， 则，① 因三点共线，则，使， 因，，代入得，，② 由①，②联立，可得，，消去即得，， 则， 当且仅当时等号成立， 即时，取得最小值，为. 故选：C. 题型二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题 【典例2-1】如图，在中，，．设，． (1)用，表示，； (2)若为内部一点，且．求证：，，三点共线． 【解析】（1）由题可知， ， （2） ，且有公共点M ，，三点共线. 【典例2-2】如图，在平行四边形中，点M为中点，点N在上，.    (1)设，，用，表示向量； (2)求证：M，N，C三点共线. 【解析】（1） . （2）因为， 且由（1）知，所以， 所以，又C为公共点，所以M，N，C三点共线. 【变式2-1】在中，为上靠近点的三等分点，设． (1)用分别表示； (2)证明：三点共线． 【解析】（1）由题知，又因为， 所以， . （2）因为， 又由（1）知，所以， 又与共起点，所以三点共线. 【变式2-2】如图，矩形中，.设. (1)用表示； (2)用向量的方法证明：三点共线. 【解析】（1）， . （2）证明：由（1）可知，所以， 因为， 所以共线，又直线，直线有公共点， 所以三点共线. 【变式2-3】在中，点分别在边和边上，且，，交于点，设．    (1)若，求实数； (2)试用表示； (3)点在边上，且满足三点共线，试确定点的位置． 【解析】（1）解:在中，由，可得，且， 因为，则， 又因为三点共线，可得，解得. （2）由（1）中，， 因为， 当时，可得. （3）设，所以， 因为，又因为三点共线，所以， 所以，解得，所以满足， 知识点二：平面向量的坐标表示 1、正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 知识点诠释： 如果基底的两个基向量e1、e2互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式． 2、平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．把=叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系． 知识点诠释： （1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且，其中． （2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若，，则；若，，则，，显然A、B、C、D四点坐标各不相同． （3）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量． 知识点三：平面向量的坐标运算 1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算 运 算 坐标语言 加法与减法 记， ， 实数与向量的乘积 记，则=（，） 2、如何进行平面向量的坐标运算 在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题： （1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等． （2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系． （3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的． （4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关． 题型三：平面向量的坐标运算 【典例3-1】点，,则向量＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选：B 【典例3-2】已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 则在基下的坐标为. 故选：A. 【变式3-1】已知向量，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，点的坐标为， 所以，解得， 所以点的坐标为. 故选：A. 【变式3-2】已知向量与的夹角为，且，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知与的长度相等，方向相反， 所以， 又因为， 设，则， 所以，解得，即， 故选：A 【变式3-3】已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点，则或， 所以或， 即点的坐标为或. 故选：C. 知识点四：平面向量平行（共线）的坐标表示 1、平面向量平行（共线）的坐标表示 设非零向量，则∥，即，或． 知识点诠释： 若，则∥不能表示成因为分母有可能为0． 2、三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线． 题型四：平面向量平行的坐标表示 【典例4-1】已知向量，若，则实数（    ） A． B． C．11 D．2 【答案】D 【解析】，因为， 则，解得. 故选：D. 【典例4-2】已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】向量，，若，则有，解得. 故选：D. 【变式4-1】已知，向量，，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若向量，则，即 解得：或, 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 【变式4-2】已知向量，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，又， 所以，可得. 故选：C 知识点五：向量数量积的坐标表示 1、已知两个非零向量，， 2、设，则或 3、如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）． 题型五：平面向量数量积的坐标表示及运算 【典例5-1】已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为向量，且， 所以，解得， 所以. （2）因为，且， 所以，解得. （3）因为与的夹角是钝角， 则且与不共线， 即且， 所以且. 【典例5-2】已知向量，，其中． (1)若，求角的大小； (2)若，求的值． 【解析】（1）由，得，所以，即， 因为，所以，所以或，解得或. （2）由题得，，化简得 即， 整理得， 因为，所以，齐次化后得， 即， 即， 解得 因为， 所以. 【变式5-1】已知向量，，，且. (1)求实数m的值； (2)求； (3)求向量与的夹角. 【解析】（1）由题意可知， 又，可得， 解得 （2）由（1）可知， 可得， 因此； （3）易知， 又，可得. 所以向量与的夹角. 【变式5-2】已知，. (1)若，求； (2)若与垂直，求当为何值时，? 【解析】（1）， ， 所以； （2）因为与垂直， 所以，即， 解得， 当时，， 即， 得，解得， 所以当时，. 【变式5-3】已知向量，． (1)当时，求的值； (2)若向量，的夹角为锐角，求的取值范围． 【解析】（1）根据题意得，解得. （2）若向量，的夹角为锐角， 则，且，不共线， 即，解得， 由（1）当时，，且此时两向量同向， 则且. 【变式5-4】已知向量，． (1)求的值； (2)，求； (3)若向量与的夹角为锐角，求的取值范围． 【解析】（1）由，知，所以． （2）由，知,, 因为， 所以，解得： （3）由题可得，，由已知有与的夹角为锐角， 故即是要且与不共线． 从而命题等价于，即，所以的取值范围是． 题型六：平面向量数量积的综合应用 【典例6-1】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，，且，P是线段AB上的动点． (1)用，表示和； (2)当P是线段AB上的中点时，求，的坐标和； (3)设，是否存在使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）因为,且, 所以,即,, 所以 （2）当为线段的中点时，， 所以, 所以 所以. （3）假设存在满足题意的, 则 则 所以, ， 所以, 故, 整理得,, 方程显然无根, 即不存在实数使得. 【典例6-2】如图，已知平行四边形的三个顶点、、的坐标分别是、、. (1)求顶点的坐标； (2)在线段上是否存在一点满足，若存在，求；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设，又、、， ，. 又四边形是平行四边形，所以， ， 即解得 顶点A的坐标为. （2）存在. 由（1）可知，，，， 设，则. 又，， 解得，，即. 【变式6-1】在平面直角坐标系中，已知点，，，为直线上的动点． (1)若四边形是平行四边形，求点的坐标； (2)求的取值范围． 【解析】（1）设，由，，， 则，， 由四边形是平行四边形，则， 即，解得， 即点的坐标是； （2）由，故直线的方程为，设， 则，， 故 ， 故. 【变式6-2】在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． (1)求的值； (2)若为线段上任意一点，求的取值范围． 【解析】（1）以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、、， 因为，，， 所以，所以，所以点， 设，则，， 因为，所以，解得， 所以，，则． （2）由（1）知，，设，其中， 则， 所以， 因为，故当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 故的取值范围为． 【强化训练】 1．如图，在中，为线段上一点，且，为线段的中点，过点的直线分别交直线、于、两点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则，所以，， 因为为的中点，则， 因为、、三点共线，设，则， 所以，， 因为，，则，， 所以，， 因为、不共线，所以，，所以，， 所以，，即， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 2．已知外接圆圆心为，为所在平面内一点，且．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取的中点，连接，则， ， 故，，则， 而，所以， 所以四点共线， 又为外接圆圆心，连接，则， 由三线合一知，⊥，所以， 不妨设，则， 所以， 故 故选：C 3．已知向量，，，则实数m的值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】因为向量，， 所以， 又因为， 所以， 解得. 故选：D. 4．在平面直角坐标系中，点，，，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】因为，，所以，， 又，所以， 所以， 因为，所以，即， 解得，所以，所以． 故选：A． 5．已知平面向量满足，，且．则向量与向量的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 由可得， 所以，所以， 由知， 故选：C 6．已知向量，，且实数，若A，B，C三点共线．则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】，， 因为A，B，C三点共线，所以， 则，解得或， ，. 故选：D. 7．在等腰中，，，以点为圆心作半径为的圆，点为此圆上的动点，若动点满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系， 因为，，可得， 以为圆心作半径为1的圆，可得圆的方程为， 由点在圆上，可得设点的坐标为， 因为，可得， 可得，所以， 所以 ，其中， 所以当时，取得最小值，最小值为. 故选：B. 8．已知向量，不共线，且向量，，若与反向，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】∵向量，不共线，且向量，，与反向， ∴存在实数使， 于是． 整理得． 由于向量，不共线，所以有， 整理得， 解得或． 又因为，所以， 故． 故选：B． 9．（多选题）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深遂的哲理解释了自然，社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形，其中为正八边形的中心，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．和不能构成一组基底 【答案】ACD 【解析】对于A选项，由题意知，，，， 所以，，所以，，所以，， 又因为，由相等向量的定义可知，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，根据平面向量的加法法则可知， 为以、为邻边的正方形中以为始点的一条对角线所对应的向量， 所以，，所以，， 又因为，故，C对； 对于D选项，连接，如下图所示： 由正八边形的几何性质可得， ，， 又因为，则为等腰三角形，则， 所以，， 所以，，所以，， 因为，所以，，故和共线，即和不能构成一组基底，D对. 故选：ACD. 10．（多选题）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．两个非零向量和，若，则与垂直 C．若，则与垂直的单位向量的坐标为或 D．已知，若在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则 【答案】BC 【解析】对于A选项，取，则，则不一定共线，故A错； 对于B选项，两个非零向量和，若，则， 整理可得，故与垂直，故B对； 对于C选项，设与垂直的单位向量为， 由题意可得，解得或， 所以，与垂直的单位向量的坐标或，故C对； 对于D选项，已知向量， 则在上的投影向量为， 所以，，解得，故D错． 故选：BC. 11．（多选题）下列说法正确的有（    ） A．已知，若与共线，则 B．若，则 C．若，则一定不与共线 D．若为锐角，则实数的范围是 【答案】AD 【解析】A：若与共线，则，正确； B：当时，，但不一定成立，错误； C：，无法确定两个向量的方向，两个向量可能共线，错误； D：由题设有，解得，正确； 故选：AD 12．（多选题）已知向量，则下列命题正确的是（    ） A．的最大值为 B．若，则 C．若是与垂直的单位向量，则 D．当取得最大值时， 【答案】AD 【解析】∵，∴是单位向量， 设，， 则，当，方向相反， 即时取等号，∴的最大值为，故A正确； 等价于， 即，即， ∴，故B错误； ，， ，不垂直，故Ｃ错误； ，其中，， 故当时，取得最大值， 此时，故D正确； 故选：AD 13．在边长为4的正方形ABCD中，M是BC的中点，E在线段AB上运动，则的取值范围 . 【答案】[8，24] 【解析】以A为坐标原点，分别以AB，AD为x轴，y轴，建立直角坐标系， 则，设， 则， 因为，所以， . 故答案为：. 14．已知向量，向量在上的投影向量的坐标为，则 . 【答案】 【解析】由，得， 则向量在上的投影向量为， 则，所以. 故答案为：. 15．已知、是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则 . 【答案】 【解析】因为与共线，设，即， 所以，故解之可得. 故答案为： 16．如图，在等腰梯形中，，，为线段中点，与交于点，连接，为线段上的一个动点. (1)用基底表示； (2)求的值； (3)设，求的取值范围. 【解析】（1）解法一：由向量的线性运算法则可得①，②， 因为为线段中点，则，由题意可得， ①②得，整理得：， 则 解法二：因为①， ②， 将②代入①得. （2）由与交于点，设③， 设，可得，即④， 由③④得，消去得，所以，即. （3）由题意，可设， 代入中并整理可得. 又，故，可得. 因为，且函数在上单调递减，所以， ， 因为函数在单调递减， 所以，，， 所以的取值范围为. 17．已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线． (1)求实数的值； (2)已知，点，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 【解析】（1）由题意，， 由三点共线，存在实数k，使得， 即，得， 是平面内两个不共线的非零向量， ，解得． （2）， 由四点按逆时针顺序构成平行四边形，则， 设，则，， 所以，解得，即点A的坐标为． 18．设为实数，若，是平面上两个不共线的向量，已知三点共线. (1)求的值； (2)若，与的夹角为，设与的夹角为，求的值 【解析】（1）依题意， ，， 由三点共线，得，则， 即，于是 ，所以. （2）由（1）知，，， 则， ， ， 所以. 19．（1）已知，，求满足，的点D的坐标； （2）设，为单位向量，且，向量与共线，求的最小值. 【解析】（1）设D点坐标为，则，， 所以，解得或， 即点D的坐标为或. （2）由向量与共线， 令，，则， 而向量，为单位向量，且， 于是得 ，（当且仅当时取“=”）， 所以的最小值为. 20．已知在中，N是边AB的中点，且，设AM与CN交于点P．记． (1)用表示向量； (2)若，且，求的余弦值． 【解析】（1）由题意可得：， 所以， . （2）因为三点共线，由可得， 则，可得， 则， 所以，即的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$