专题02 平面向量的运算（8大题型）-2025年高一数学寒假精髓讲解与强化训练（人教A版）

专题02 平面向量的运算 【题型归纳目录】 题型一、向量的加法运算 题型二、向量的减法运算 题型三、与向量的模有关的问题 题型四、向量的数乘运算 题型五、共线向量与三点共线问题 题型六、平面向量数量积的运算 题型七、平面向量模的问题 题型八、向量垂直（或夹角）问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则 1、向量加法的概念及三角形法则 已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图 本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则． 2、向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 对于零向量与任一向量，我们规定． 知识点诠释： 两个向量的和是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点． 知识点二：向量求和的多边形法则及加法运算律 1、向量求和的多边形法则的概念 已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则． 特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有 2、向量加法的运算律 （1）交换律：； （2）结合律： 题型一、向量的加法运算 【典例1-1】如图（1）（2），已知向量，，，求作向量和． 【解析】（1）作法：在平面内任意取一点，作，，则，如图所示． （2）在平面内任意取一点，作，，，则，如图所示． 【典例1-2】设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）． （2）． （3）． 【变式1-1】如图，已知向量、、，作出下列向量； (1)，，； (2)和． 【解析】（1）根据向量加法的平行四边形法则可得，，分别如下图： （2）根据向量加法的平行四边形法则可得和分别如下图： 【变式1-2】已知下列各组向量、，求作. (1) (2) (3) (4) 【解析】（1）如图，即为所求. （2）如图，即为所求. （3）如图，即为所求. （4）如图，即为所求. 知识点三：向量的减法 1、向量的减法 （1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的． 相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量． （2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法． 知识点诠释： （1）两种方法给出的定义其实质是一样的． （2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则． （3）两个向量的差仍是一个向量． 2、向量减法的作图方法 （1）已知向量，，作，则=，即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量． （2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量． 题型二、向量的减法运算 【典例2-1】如图，在各小题中，已知，分别求作． 【解析】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量， 如图，， 【典例2-2】如图，已知向量，，，求作向量．    【解析】在平面内任取一点，作向量，，则向量， 再作向量，则向量，即为所求作向量. 【变式2-1】在中，化简： （1） ；     （2） ． 【答案】 【解析】(1)， (2). 故答案为： 【变式2-2】化简： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； 【答案】 【解析】（1）；（2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 故答案为：，，，，， 题型三、与向量的模有关的问题 【典例3-1】已知，，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围． 【解析】（1）因为， 且，所以， 当与同向时，； 当与反向时，； 所以的取值范围为． （2）由， 且，所以， 当与同向时，； 当与反向时，． 所以的取值范围为． 【典例3-2】设，则的最大值与最小值分别为 . 【答案】， 【解析】由题意，当向量与共线且反向时，可得； 当向量与共线且同向时，可得. 故答案为：，. 【变式3-1】若向量满足，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】 1 5 【解析】当反向时，有最小值； 当反向时，有最大值. 故答案为： 【变式3-2】已知向量，，的模分别为3，4，5，则的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 12 0 【解析】向量，，的模分别为3，4，5，则向量可共线，又，则以为边长可构成直角三角形， 则当，，同向时，的模最大， 所以； 当，，和为时，的模最小，由于以为边长可构成直角三角形， 设，，，所以此时，故. 故答案为：12；0. 知识点四：数乘向量 1、向量数乘的定义 实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作： （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同； ②当时．的方向与的方向相反； ③当时，． 2、向量数乘的几何意义 由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法． 3、向量数乘的运算律 设为实数 结合律：； 分配律：， 题型四、向量的数乘运算 【典例4-1】化简： (1)； (2)； (3) 【解析】（1）； （2）； （3）. 【典例4-2】化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）； （2）； （3）. 【变式4-1】根据下列条件，求向量： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）由， 得， 即， ； （2）由， 得， 得； （3）由， 得， ， 可得． 【变式4-2】化简下列向量线性运算： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）； （2）； （3）. 知识点五：向量共线的条件 1、向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2、向量共线的判定定理 是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3、向量共线的性质定理 若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 知识点诠释： （1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况； （2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使； （3）有且只有一个实数，使． （4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一． 题型五、共线向量与三点共线问题 【典例5-1】设，是两个不共线的向量，，，． (1)求证：三点共线； (2)试确定的值，使与共线． 【解析】（1）由题意， 且， 所以, 所以和共线，故三点共线. （2）因为与共线， 所以存在实数，使得， 又因为不共线， 所以，解得或. 所以. 【典例5-2】设是不共线的两个非零向量． (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数k的值． 【解析】（1）由， 得, , 所以，且有公共点B， 所以三点共线. （2）由与共线， 则存在实数，使得， 即，又是不共线的两个非零向量， 因此，解得，或， 实数k的值是 【变式5-1】如图，在中，已知，，试判断向量与向量是否共线，并简述理由. 【解析】由， 所以向量与向量共线. 【变式5-2】设，是不共线的两个非零向量. (1)若，求证：A，B，C三点共线； (2)若与共线，求实数k的值. 【解析】（1）因为， 而 所以，所以与共线，且有公共点， 所以三点共线； （2）因为与共线， 所以存在实数，使得， 因为与不共线，所以，解得，所以. 知识点六： 平面向量的数量积 1、平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0． 2、如图（1），设是两个非零向量，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 如图（2），在平面内任取一点O，作．过点M作直线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量． 知识点诠释： 1、两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定． （2）两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替． （3）在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出．因为其中有可能为0． 2、投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为． 3、投影向量是一个向量，当对于任意的，都有． 题型六、平面向量数量积的运算 【典例6-1】已知向量，，. (1)求向量的夹角； (2)求的值. 【解析】（1）因为， 所以， 即， 解得，由，得. （2）由（1）得， . 【典例6-2】在平行四边形ABCD中，，，若M，N分别是边BC，CD所在直线上的点，且满足，，.    (1)当，时，求向量和夹角的余弦值； (2)当时，求的取值范围. 【解析】（1）当时，，同理， 而，故， 故， 而，， 故. （2）,, 故 ， 因为，故， 故的取值范围为. 【变式6-1】已知等边三角形ABC的边长为1，，，．求． 【解析】 . 【变式6-2】设、是互相垂直的单位向量，向量，．求． 【解析】向量，， ，. 【变式6-3】设向量、满足，，，分别求下列各式的值： (1)； (2)． 【解析】（1）因为， 所以， 解得； （2）. 知识点七：向量数量积的性质 设与为两个非零向量，是与同向的单位向量． 1、 2、 3、当与同向时，；当与反向时，．特别的或 4、 5、 知识点八：向量数量积的运算律 1、交换律： 2、数乘结合律： 3、分配律： 知识点诠释： 1、已知实数、、，则．但是； 2、在实数中，有，但是 显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线． 题型七、平面向量模的问题 【典例7-1】已知向量，且，则 ． 【答案】 【解析】由题意，所以． 故答案为：. 【典例7-2】已知空间向量和的夹角为，，，则 . 【答案】 【解析】. 故答案为： 【变式7-1】已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则为 . 【答案】 【解析】因为在上的投影向量为， 所以，又， 所以，又 ， 所以. 故答案为：. 【变式7-2】已知平面向量，，，正实数，满足，与的夹角为，且，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由，得，而，与的夹角为， 则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【变式7-3】已知平面向量与的夹角为，且，，则 . 【答案】 【解析】向量与的夹角为，且，，则， 所以. 故答案为： 题型八、向量垂直（或夹角）问题 【典例8-1】已知向量与的夹角，且，. (1)求； (2)在上的投影向量； (3)求向量与夹角的余弦值. 【解析】（1）由向量与的夹角，且，，得， ， 所以. （2）在上的投影向量为. （3），则， 所以向量与夹角的余弦值为. 【典例8-2】已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为与共线， 所以存在实数使得， 所以，解得，所以； （2）因为，，与的夹角为， 所以， 所以， 则； （3）向量与的夹角是锐角， 可得，且与不同向共线， 即为， 即有，解得， 由与共线，可得， 解得，当时，两者同向共线， 则实数的取值范围为. 【变式8-1】已知两个平面向量与的夹角为，且，，记，． (1)若，求实数的值； (2)若，与的夹角为，求． 【解析】（1）依题意，，由，得， 即，解得， 所以当时，． （2）当时，，，由（1）知，， ， ， 所以． 【变式8-2】设向量，满足，，． (1)求的值； (2)已知与的夹角的余弦值为，求的值． 【解析】（1）由可得， 所以； 因此， 可得. （2）易知 而 所以, 即，也即； 又∵， 解得． 【变式8-3】已知单位向量的夹角是． (1)证明：点A，B，C共线； (2)求与夹角的余弦值． 【解析】（1）由题意得， ， ，且向量起点相同，故点A，B，C共线； （2） 与夹角的余弦值为 【变式8-4】已知向量与满足，，与的夹角为. (1)当为何值时，； (2)求向量与向量的夹角的余弦值. 【解析】（1），, ，， ，解得， 当时，. （2）， ， . 【强化训练】 1．已知向量与向量的夹角为，且，，则（   ） A．4 B．3 C． D．1 【答案】B 【解析】由，等式两边同时平方得， 又的夹角为，所以， 即，解得或（负值舍去）， 所以. 故选：B. 2．已知单位向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】单位向量满足，则， ，， 所以. 故选：A 3．已知向量满足，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为向量满足， 所以，解得， 所以在方向上的投影向量是， 故选：D. 4．已知向量满足，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 即，解得， 所以． 故选：D 5．若单位向量满足．则的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，， 由得， 即，所以， 设与的夹角为， 所以， 又，所以. 故选：C 6．已知非零向量，满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设非零向量，的夹角为， 所以在向量方向上的投影向量为， 又，所以， 所以与夹角的余弦值为. 故选：. 7．已知向量 满足 ，且 ，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】，即，则， 因为，则，则，则， 则，则. 故选：B. 8．已知向量是单位向量，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】因为单位向量，所以， 又因为， 所以， 则， 所以. 故选：C. 9．已知平面向量的夹角为，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得，化简得， 解得或（舍去），则， 因为， ， 所以， 又，所以． 故选：D. 10．（多选题）已知向量满足，，且，则（    ） A． B． C．与的夹角为 D．与的夹角为 【答案】AC 【解析】因为，， 所以，即，解得，A正确； 因为，所以B错误； 因为，所以与的夹角为，C正确，D错误． 故答案为：AC 11．（多选题）已知向量，不共线，若，，且，，三点共线，则关于实数，的值可以是（    ） A．2， B．， C．2， D．， 【答案】AB 【解析】因为，，三点共线，则存在实数，使得， 即，即，所以， 又因为向量，不共线，所以，解得， 所以实数，的值互为倒数即可求解． 故选：AB． 12．已知，若，则向量与的夹角的余弦值为 . 【答案】/ 【解析】设向量与的夹角为， 若，则， 所以， 可得. 故答案为：. 13．在中，已知，若，且，则 ． 【答案】 【解析】由，则， 又，所以，又， 所以，即. 故答案为：. 14．在中，，，，，，若，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 又，所以， 则， 又，，，所以， 所以 ， 又，即，解得. 故答案为： 15．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则为 . 【答案】 【解析】因为在上的投影向量为， 所以，又， 所以，又 ， 所以. 故答案为：. 16．已知是非零向量，，且. (1)求在方向上的投影向量； (2)求. 【解析】（1）因为，所以，又，得到， 又，所以在方向上的投影向量为. （2）由（1）， 所以， 得到. 17．已知向量满足. (1)若向量的夹角为，求的值； (2)若，求的值； (3)若，求在方向上的投影向量. 【解析】（1）. （2）由，得， 所以.故. （3）由题意得，即，得， 所以.因为，所以， 在方向上的投影向量： 18．已知两个平面向量与的夹角为，且，，记，． (1)若，求实数的值； (2)若，与的夹角为，求． 【解析】（1）依题意，，由，得， 即，解得， 所以当时，． （2）当时，，，由（1）知，， ， ， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平面向量的运算 【题型归纳目录】 题型一、向量的加法运算 题型二、向量的减法运算 题型三、与向量的模有关的问题 题型四、向量的数乘运算 题型五、共线向量与三点共线问题 题型六、平面向量数量积的运算 题型七、平面向量模的问题 题型八、向量垂直（或夹角）问题 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则 1、向量加法的概念及三角形法则 已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图 本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则． 2、向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 对于零向量与任一向量，我们规定． 知识点诠释： 两个向量的和是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点． 知识点二：向量求和的多边形法则及加法运算律 1、向量求和的多边形法则的概念 已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则． 特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有 2、向量加法的运算律 （1）交换律：； （2）结合律： 题型一、向量的加法运算 【典例1-1】如图（1）（2），已知向量，，，求作向量和． 【典例1-2】设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 【变式1-1】如图，已知向量、、，作出下列向量； (1)，，； (2)和． 【变式1-2】已知下列各组向量、，求作. (1) (2) (3) (4) 知识点三：向量的减法 1、向量的减法 （1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的． 相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量． （2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法． 知识点诠释： （1）两种方法给出的定义其实质是一样的． （2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则． （3）两个向量的差仍是一个向量． 2、向量减法的作图方法 （1）已知向量，，作，则=，即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量． （2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量． 题型二、向量的减法运算 【典例2-1】如图，在各小题中，已知，分别求作． 【典例2-2】如图，已知向量，，，求作向量．    【变式2-1】在中，化简： （1） ；     （2） ． 【变式2-2】化简： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； 题型三、与向量的模有关的问题 【典例3-1】已知，，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围． 【典例3-2】设，则的最大值与最小值分别为 . 【变式3-1】若向量满足，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【变式3-2】已知向量，，的模分别为3，4，5，则的最大值为 ，最小值为 ． 知识点四：数乘向量 1、向量数乘的定义 实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作： （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同； ②当时．的方向与的方向相反； ③当时，． 2、向量数乘的几何意义 由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法． 3、向量数乘的运算律 设为实数 结合律：； 分配律：， 题型四、向量的数乘运算 【典例4-1】化简： (1)； (2)； (3) 【典例4-2】化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 【变式4-1】根据下列条件，求向量： (1)； (2)； (3)． 【变式4-2】化简下列向量线性运算： (1)； (2)； (3)． 知识点五：向量共线的条件 1、向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2、向量共线的判定定理 是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3、向量共线的性质定理 若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 知识点诠释： （1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况； （2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使； （3）有且只有一个实数，使． （4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一． 题型五、共线向量与三点共线问题 【典例5-1】设，是两个不共线的向量，，，． (1)求证：三点共线； (2)试确定的值，使与共线． 【典例5-2】设是不共线的两个非零向量． (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数k的值． 【变式5-1】如图，在中，已知，，试判断向量与向量是否共线，并简述理由. 【变式5-2】设，是不共线的两个非零向量. (1)若，求证：A，B，C三点共线； (2)若与共线，求实数k的值. 知识点六： 平面向量的数量积 1、平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0． 2、如图（1），设是两个非零向量，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 如图（2），在平面内任取一点O，作．过点M作直线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量． 知识点诠释： 1、两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定． （2）两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替． （3）在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出．因为其中有可能为0． 2、投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为． 3、投影向量是一个向量，当对于任意的，都有． 题型六、平面向量数量积的运算 【典例6-1】已知向量，，. (1)求向量的夹角； (2)求的值. 【典例6-2】在平行四边形ABCD中，，，若M，N分别是边BC，CD所在直线上的点，且满足，，.    (1)当，时，求向量和夹角的余弦值； (2)当时，求的取值范围. 【变式6-1】已知等边三角形ABC的边长为1，，，．求． 【变式6-2】设、是互相垂直的单位向量，向量，．求． 【变式6-3】设向量、满足，，，分别求下列各式的值： (1)； (2)． 知识点七：向量数量积的性质 设与为两个非零向量，是与同向的单位向量． 1、 2、 3、当与同向时，；当与反向时，．特别的或 4、 5、 知识点八：向量数量积的运算律 1、交换律： 2、数乘结合律： 3、分配律： 知识点诠释： 1、已知实数、、，则．但是； 2、在实数中，有，但是 显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线． 题型七、平面向量模的问题 【典例7-1】已知向量，且，则 ． 【典例7-2】已知空间向量和的夹角为，，，则 . 【变式7-1】已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则为 . 【变式7-2】已知平面向量，，，正实数，满足，与的夹角为，且，则的最小值为 . 【变式7-3】已知平面向量与的夹角为，且，，则 . 题型八、向量垂直（或夹角）问题 【典例8-1】已知向量与的夹角，且，. (1)求； (2)在上的投影向量； (3)求向量与夹角的余弦值. 【典例8-2】已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【变式8-1】已知两个平面向量与的夹角为，且，，记，． (1)若，求实数的值； (2)若，与的夹角为，求． 【变式8-2】设向量，满足，，． (1)求的值； (2)已知与的夹角的余弦值为，求的值． 【变式8-3】已知单位向量的夹角是． (1)证明：点A，B，C共线； (2)求与夹角的余弦值． 【变式8-4】已知向量与满足，，与的夹角为. (1)当为何值时，； (2)求向量与向量的夹角的余弦值. 【强化训练】 1．已知向量与向量的夹角为，且，，则（   ） A．4 B．3 C． D．1 2．已知单位向量满足，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量满足，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 4．已知向量满足，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．若单位向量满足．则的夹角为（   ） A． B． C． D． 6．已知非零向量，满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．已知向量 满足 ，且 ，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知向量是单位向量，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．2 9．已知平面向量的夹角为，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）已知向量满足，，且，则（    ） A． B． C．与的夹角为 D．与的夹角为 11．（多选题）已知向量，不共线，若，，且，，三点共线，则关于实数，的值可以是（    ） A．2， B．， C．2， D．， 12．已知，若，则向量与的夹角的余弦值为 . 13．在中，已知，若，且，则 ． 14．在中，，，，，，若，则实数的值为 ． 15．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则为 . 16．已知是非零向量，，且. (1)求在方向上的投影向量； (2)求. 17．已知向量满足. (1)若向量的夹角为，求的值； (2)若，求的值； (3)若，求在方向上的投影向量. 18．已知两个平面向量与的夹角为，且，，记，． (1)若，求实数的值； (2)若，与的夹角为，求． 学科网（北京）股份有限公司 $$