第七章 复数单元综合测试卷-2025年高一数学寒假精髓讲解与强化训练（人教A版2019必修第二册）

第七章 复数单元综合测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数z满足（i为虚数单位），则z的模是（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【解析】由题设，则，所以. 故选：D 2．已知复数满足，若复数z在复平面上对应的点在第二或第四象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得， ， 因为复数z在复平面上对应的点在第二或第四象限， 故， 解得， 故选：A． 3．已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】在复平面内对应的点为， ∴在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A. 4．已知复数z满足（i是虚数单位），则的值为（   ） A． B．1 C． D．2022 【答案】C 【解析】由已知可得， 因此，． 故选：C 5．在复平面内，若是虚数单位，复数与关于虚轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵， 由复数与对应的点关于虚轴对称， ∴． 故选：C. 6．复数（为虚数单位）的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得， 所以其共轭复数为. 故选：B 7．已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（   ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 【答案】D 【解析】， ，A选项错误， 的虚部是，B选项错误； ，C选项错误， 在复平面内对应的点为，在第一象限，D选项正确. 故选：D 8．已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【解析】设，则由， 所以复数在复平面内对应的点坐标在为圆心，1为半径的圆上，如下图所示： 而， 即求复平面内点到距离的最小值， 由圆的几何性质可知当点位于与圆心点连线交点时，取到最小值， 即 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，其中i是虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B． C． D．在复平面上的点在第二象限 【答案】CD 【解析】对于A，因为， 所以的虚部为，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，在复平面上的点为，位于第二象限，故D正确. 故选：CD. 10．已知复数，，满足，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】BD 【解析】对于选项A，设，， 则，，，不满足，故A错误； 对于选项B，设，在复平面内表示的向量分别为，，且，， 当，方向相同时，， 当，方向不相同时，， 综上，，，故B正确； 对于选项C，设，，， ，故C错误； 对于选项D，设，，， ， 则， ，故D正确． 故选：BD 11．下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（    ） A． B．复数为实数的充要条件是 C．设为复数，，若，则 D．设为复数，若，则 【答案】ABC 【解析】对于A：易知，故A正确； 对于B：先判定充分性：若复数为实数，则， 再判定必要性：设， 若，则，即，则复数为实数， 故复数为实数的充要条件是，B正确； 对于C：为复数，， 设，，， 若，则， 即， 所以， 因为且，所以， 则，故且，所以，故C正确； 对于D：满足， 但是，故D错误． 故选：ABC． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是实数，且，则x+y= 【答案】7 【解析】由是实数，且，得， 所以. 故答案为：7 13．在复平面内，复数，对应的点关于直线对称，若，则 ． 【答案】 【解析】复数，对应的点关于直线对称，，则， 故 故答案为：. 14．设复数，，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，表示如图所示的圆环， 而表示复数的对应点与复数的对应点之间的距离， 即圆环内的点到点的距离． 由图易知当与重合时，，当点与点重合时，，． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） （1）计算： （2）已知复数，．若在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围． 【解析】（1）. （2）因为在复平面内对应的点在第三象限， 所以，解得， 故的取值范围为． 16．（15分） 已知是方程（b，c为实数）的一个根． (1)求b，c的值； (2)试判断是不是方程的根． 【解析】（1）由是方程的根，得，即， 而b，c为实数，，解得， 所以. （2）由（1）知方程为， 把代入方程左边，得，因此方程成立， 所以是方程的根． 17．（15分） 已知复数z满足，且z的虚部为1，z在复平面内所对应的点在第一象限. (1)求z； (2)若z，在复平面上对应的点分别为A，B，O为坐标原点，求 【解析】（1）设， 因为，所以，得或， 又z在复平面内所对应的点在第一象限，所以， 所以； （2）， 所以，，，，， 所以，， 所以 18．（17分） 已知复数，i为虚数单位． (1)求的值； (2)求的值． 【解析】（1）复数(i为虚数单位)， ， ； （2）由（1）可得， 且2019=3673， 所以. 19．（17分） 材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理： 代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根. 材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.进而，一元次多项式方程有个复数根（重根按重数计）.下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系. 设实系数一元二次方程在复数集内的根为，容易得到. 设实系数一元三次方程① 在复数集内的根为，可以得到，方程①可变形为展开得：② 比较①②可以得到根与系数之间的关系：， 阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题： (1)对于方程在复数集内的根为，求的值； (2)如果实系数一元四次方程在复数集内的根为，根据材料二，试找到该四次方程根与系数之间的关系并说明原因； (3)已知函数，对于方程在复数集内的根为，当时，求的最大值. 【解析】（1）由阅读材料可知：，且， 有：； （2）由材料可知：一元四次方程可改写为展开得： ， 故可得：. （3）由题有的三个实根为. 设， 展开得， 故， 则， 又，故， 综上：当时，的最大值为, 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 复数单元综合测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数z满足（i为虚数单位），则z的模是（   ） A． B．1 C．2 D． 2．已知复数满足，若复数z在复平面上对应的点在第二或第四象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知复数z满足（i是虚数单位），则的值为（   ） A． B．1 C． D．2022 5．在复平面内，若是虚数单位，复数与关于虚轴对称，则（    ） A． B． C． D． 6．复数（为虚数单位）的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 7．已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（   ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 8．已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，其中i是虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B． C． D．在复平面上的点在第二象限 10．已知复数，，满足，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则 D． 11．下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（    ） A． B．复数为实数的充要条件是 C．设为复数，，若，则 D．设为复数，若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是实数，且，则x+y= 13．在复平面内，复数，对应的点关于直线对称，若，则 ． 14．设复数，，则的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） （1）计算： （2）已知复数，．若在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围． 16．（15分） 已知是方程（b，c为实数）的一个根． (1)求b，c的值； (2)试判断是不是方程的根． 17．（15分） 已知复数z满足，且z的虚部为1，z在复平面内所对应的点在第一象限. (1)求z； (2)若z，在复平面上对应的点分别为A，B，O为坐标原点，求 18．（17分） 已知复数，i为虚数单位． (1)求的值； (2)求的值． 19．（17分） 材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理： 代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根. 材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.进而，一元次多项式方程有个复数根（重根按重数计）.下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系. 设实系数一元二次方程在复数集内的根为，容易得到. 设实系数一元三次方程① 在复数集内的根为，可以得到，方程①可变形为展开得：② 比较①②可以得到根与系数之间的关系：， 阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题： (1)对于方程在复数集内的根为，求的值； (2)如果实系数一元四次方程在复数集内的根为，根据材料二，试找到该四次方程根与系数之间的关系并说明原因； (3)已知函数，对于方程在复数集内的根为，当时，求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$