1.4 角平分线 2024-2025学年北师大版八年级数学下册同步个性化分层作业

（中等生篇）1.4 角平分线 一．选择题（共5小题） 1．如图，BM是∠ABC的平分线，点Q、D分别在BA、BM上，点P为直线BC上的一个动点，如果BQ＝6，△BDQ的面积为9，那么线段DP的长不可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5.5 2．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是60、70、80，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　） A．1：1：1 B．1：2：3 C．3：7：4 D．6：7：8 4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠BCD，若AD＝4，则点D到BC的距离是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 5．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝100°，则∠MAB的度数是（　　） A．50° B．40° C．45° D．55° 二．填空题（共5小题） 6．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E．若BC＝10，DE＝3，则△BCE的面积为　 　． 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB＝16，CG＝4，则△ABG的面积是 　 　． 8．如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC于点D，且OD＝4，若△ABC的周长是17，则△ABC的面积为 　 　． 9．如图，AB∥CD，O为∠BAC，∠ACD平分线的交点，OE⊥AC交AC于点E，且OE＝3，则点O到CD的距离等于 　 　． 10．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，点D是OB上的动点．若PC＝5cm，则PD的长最小值是 　 　． 三．解答题（共5小题） 11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，如果DE＝6cm，∠CAD＝31°，求CD的长度及∠B的度数． 12．如图，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，过E作EG⊥BA交BA的延长线于点G，EF⊥AC交AC于点F． （1）求证：EG＝EF； （2）联结AE，求证：∠AEG＝∠AEF． 13．如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M，N分别是垂足，求证：PM＝PN． 14．如图，在△ABE中，D、C分别在AE、BE上且CD＝CB，AC平分∠EAB，CH⊥AB于点H． （1）求证：∠ADC+∠B＝180°； （2）若AD＝3，AB＝9，求AH的长． 15．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝110°，∠ABC的平分线交AC于点E．过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝55°，连接DE． （1）求证：DE平分∠ADC； （2）若AB＝8，AD＝5，CD＝9，且S△ACD＝28，求△ABE的面积． 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 答案 A C D B B 一．选择题（共5小题） 1．如图，BM是∠ABC的平分线，点Q、D分别在BA、BM上，点P为直线BC上的一个动点，如果BQ＝6，△BDQ的面积为9，那么线段DP的长不可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5.5 【考点】角平分线的性质；垂线段最短；三角形的面积．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力． 【答案】A 【分析】根据三角形的面积得出DE的长，进而利用角平分线的性质解答即可． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F， ∵△BDQ的面积为9， ∴， ∵BQ＝6， ∴DE， ∵BM是∠ABC的平分线， ∴DE＝DF＝3， ∴DP≥3， ∴线段DP的长不可能是2， 故选：A． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质、垂线段最短、三角形的面积．作出辅助线是正确解答本题的关键． 2．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】角平分线的性质．版权所有 【专题】三角形；推理能力． 【答案】C 【分析】根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出△ABD的面积，求出△ADC面积，即可求出答案． 【解答】解：过D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE＝DF＝2， ∵S△ADBAB×DE5×2＝5， ∵△ABC的面积为9， ∴△ADC的面积为9﹣5＝4， ∴AC×DF＝4， ∴AC×2＝4， ∴AC＝4， 故选：C． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键． 3．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是60、70、80，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　） A．1：1：1 B．1：2：3 C．3：7：4 D．6：7：8 【考点】角平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线． 【答案】D 【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是60、70、80，所以面积之比就是6：7：8． 【解答】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F， ∵点O是内心， ∴OE＝OF＝OD， ∴S△ABO：S△BCO：S△CAO•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD＝AB：BC：AC＝6：7：8， 故选：D． 【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高时相等的，这点式非常重要的． 4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠BCD，若AD＝4，则点D到BC的距离是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【考点】角平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】B 【分析】过D作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质可得DE＝AD＝4，即可得解． 【解答】解：过D作DE⊥BC于E， ∵∠A＝90°， ∴DA⊥AC， ∵∠ACD＝∠BCD，DE⊥BC， 根据角平分线的性质可得：DE＝AD＝4， 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 5．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝100°，则∠MAB的度数是（　　） A．50° B．40° C．45° D．55° 【考点】角平分线的性质．版权所有 【专题】图形的全等；运算能力． 【答案】B 【分析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB∠DAB，计算即可． 【解答】解：作MN⊥AD于N， ∵∠B＝∠C＝90°， ∴AB∥CD， ∴∠DAB＝180°﹣∠ADC＝80°， ∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD， ∴MN＝MC， ∵M是BC的中点， ∴MC＝MB， ∴MN＝MB，又MN⊥AD，MB⊥AB， ∴∠MAB∠DAB＝40°， 故选：B． 【点评】本题考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 6．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E．若BC＝10，DE＝3，则△BCE的面积为　15　． 【考点】角平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】15． 【分析】作EF⊥BC于F，由角平分线的性质定理可得EF＝DE＝3，再由三角形面积公式计算即可得解． 【解答】解：如图：作EF⊥BC于F， ∵CD是AB边上的高线，DE＝3，BC＝10， ∴CD⊥AB， ∵BE平分∠ABC，EF⊥BC， ∴EF＝DE＝3， ∴， 故答案为：15． 【点评】本题考查了角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB＝16，CG＝4，则△ABG的面积是 　32　． 【考点】角平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】32． 【分析】根据题意可得AF为∠BAC的平分线，过点G作GH⊥AB于点H，根据角平分线的性质可得GH＝CG＝4，再利用三角形面积公式计算即可． 【解答】解：过点G作GH⊥AB交AB于点H，如图所示： ∴∠GHA＝90°， 由作图可得，AF为∠BAC的平分线， ∴GH＝CG＝4， ∴． 故答案为：32． 【点评】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 8．如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC于点D，且OD＝4，若△ABC的周长是17，则△ABC的面积为 　34　． 【考点】角平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】34． 【分析】首先过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F，连接OA，由角平分线的性质得OE＝OD＝4，OF＝OD＝4，然后由三角形的面积公式分别求出S△OAB＝2AB，S△OBC＝2BC，S△OAC＝2AC，由此可得S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC＝2（AB+BC+AC），最后再根据△ABC的周长是17得AB+BC+AC＝17，据此即可求出△ABC的面积． 【解答】解：过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F，连接OA，如图： ∵点O为△ABC的两条角平分线的交点 ∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， 又∵OE⊥AC，OF⊥AB，OD⊥BC，OD＝4， ∴OE＝OD＝4，OF＝OD＝4， ∴S△OABAB•OF＝2AB，S△OBCBC•OD＝2BC，S△OACAC•OE＝2AC， ∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC＝2AB+2BC+2AC＝2（AB+BC+AC）， ∵△ABC的周长是17， ∴AB+BC+AC＝17， ∴S△ABC＝2（AB+BC+AC）＝2×17＝34． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，三角形的周长和面积，熟练掌握三角形的周长和面积公式，理解角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键． 9．如图，AB∥CD，O为∠BAC，∠ACD平分线的交点，OE⊥AC交AC于点E，且OE＝3，则点O到CD的距离等于 　3　． 【考点】角平分线的性质；平行线的性质．版权所有 【专题】三角形；推理能力． 【答案】3． 【分析】过点O作OF⊥CD于F，根据角平分线的性质解答即可． 【解答】解：如图，过点O作OF⊥CD于F， ∵OC平分∠ACD，OE⊥AC，OF⊥CD， ∴OF＝OE＝3，即点O到CD的距离为3， 故答案为：3． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 10．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，点D是OB上的动点．若PC＝5cm，则PD的长最小值是 　5cm　． 【考点】角平分线的性质；垂线段最短．版权所有 【专题】三角形；推理能力． 【答案】5cm． 【分析】过P点作PE⊥OB于E，如图，根据角平分线的性质得到PE＝PC＝5cm，然后根据垂线段最短求解． 【解答】解：过P点作PE⊥OB于E，如图， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB， ∴PE＝PC＝5cm， ∵点D是OB上的动点， ∴PD的最小值为5cm． 故答案为：5cm． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．求出P点到OB的距离为解决问题的关键． 三．解答题（共5小题） 11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，如果DE＝6cm，∠CAD＝31°，求CD的长度及∠B的度数． 【考点】角平分线的性质；直角三角形的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】CD＝6cm，∠B＝28°． 【分析】根据角平分线的性质可得CD＝DE，∠BAD＝∠CAD＝31°，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求出∠B的度数． 【解答】解：∵∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DE＝6cm， ∴CD＝DE＝6cm， ∵∠CAD＝31°， ∴∠BAD＝∠CAD＝31°， ∴∠BAC＝2∠CAD＝62°， ∴∠B＝90°﹣∠CAD＝28°． 【点评】本题考查了角平分线的性质定理和直角三角形的两个锐角互余，属于基础题型，熟练掌握角平分线的点到一个角的两边距离相等是解题关键． 12．如图，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，过E作EG⊥BA交BA的延长线于点G，EF⊥AC交AC于点F． （1）求证：EG＝EF； （2）联结AE，求证：∠AEG＝∠AEF． 【考点】角平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；图形的全等；推理能力． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【分析】（1）过点E作EH⊥BD于点H，利用角平分线的性质即得证； （2）通过HL证明Rt△AEG≌Rt△AEF即可． 【解答】证明：（1）如图，过点E作EH⊥BD于点H， ∵BE平分∠ABC，EG⊥BA，EH⊥BD， ∴EG＝EH， ∵CE平分∠ACD，EF⊥AC，EH⊥CD， ∴EF＝EH， ∴EG＝EF． （2）∵EG⊥BA，EF⊥AC， ∴∠AGE＝90°＝∠AFE， 再Rt△AEG和Rt△AEF中， ， ∴Rt△AEG≌Rt△AEF（HL）， ∴∠AEG＝∠AEF． 【点评】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 13．如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M，N分别是垂足，求证：PM＝PN． 【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】证明题；推理能力． 【答案】证明见解析． 【分析】利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠CDB，再根据等角的补角相等可得∠ADP＝∠CDP，然后利用角平分线性质定理的逆定理可得结论． 【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△ABD和△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SAS）． ∴∠ADB＝∠CDB． ∴∠ADP＝∠CDP． 即DP平分∠ADC． ∵PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM＝PN． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，确定出全等三角形是解题的关键． 14．如图，在△ABE中，D、C分别在AE、BE上且CD＝CB，AC平分∠EAB，CH⊥AB于点H． （1）求证：∠ADC+∠B＝180°； （2）若AD＝3，AB＝9，求AH的长． 【考点】角平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力． 【答案】（1）证明见详解；（2）6． 【分析】（1）先证明Rt△DMC≌Rt△BHC（HL），推得DM＝BH，∠1＝∠B，等量代换后得∠ADC+∠B＝180°； （2）证明Rt△AMC≌Rt△AHC（HL），推得AM＝AH，设BH＝DM＝x，则AH＝9﹣x，AM＝3+x，列一元一次方程，解出x，就可求得AH的长． 【解答】（1）证明：过点C作CM⊥DE，垂足为M， ∵AC平分∠EAB，CH⊥AB，CM⊥DE， ∴CM＝CH，∠CMA＝∠CHB＝90°， 在Rt△DMC与Rt△BHC中 ， ∴Rt△DMC≌Rt△BHC（HL）， ∴DM＝BH，∠1＝∠B， ∵∠1+∠CDA＝180°， ∴∠ADC+∠B＝180°； （2）解：∵∠CMA＝∠CHB＝90°， 在Rt△AMC与Rt△AHC中 ， ∴Rt△AMC≌Rt△AHC（HL）， ∴AM＝AH， 设BH＝DM＝x， 则AH＝9﹣x，AM＝3+x， ∴9﹣x＝3+x， 解得x＝3， ∴AH＝6． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握这几个知识点的综合应用，辅助线的做法是解题关键． 15．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝110°，∠ABC的平分线交AC于点E．过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝55°，连接DE． （1）求证：DE平分∠ADC； （2）若AB＝8，AD＝5，CD＝9，且S△ACD＝28，求△ABE的面积． 【考点】角平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）见解析； （2）16． 【分析】（1）过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，先通过计算得出∠FAE＝∠CAD＝40，根据角平分线的判定与性质得EF＝EG，EF＝EH，则EG＝EH，由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证； （2）设EG＝x，则EF＝EH＝EG＝x，根据S△ACD＝S△ADE+S△CDE＝28，即：，求得x＝4，根据，计算求解即可． 【解答】（1）证明：如图，过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H， ∵EF⊥AB， ∴∠F＝90°， ∴∠FAE+∠AEF＝90°， ∵∠AEF＝55°， ∴∠FAE＝90°﹣55°＝35°， ∵∠BAD＝110°， ∴∠CAD＝180°﹣∠BAD﹣∠FAE＝35°， ∴∠FAE＝∠CAD＝35°， ∴CA为∠DAE的平分线， 又∵EF⊥AB，EG⊥AD， ∴EF＝EG， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴EF＝EH， ∴EG＝EH， ∴点E在∠ADC的平分线上， ∴DE平分∠ADC； （2）解：设EG＝x，则EG＝EF＝EH＝x， ∵S△ACD＝S△ADE+S△CDE＝28， ∴AD•EGCD•EH＝28， ∵AD＝5，CD＝9， ∴， 解得，x＝4， ∵AB＝8， ∴， ∴△ABE的面积为16． 【点评】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高．熟练掌握：角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ （学困生篇）1.4 角平分线 一．选择题（共5小题） 1．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝2，则PQ的长不可能是（　　） A．4 B．3.5 C．2 D．1.5 2．如图，若OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论中错误的是（　　） A．PC＝PD B．OC＝PC C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD 3．如图，OP平分∠AOB，PF⊥OA于点F，点D在OB上，DH⊥OP于点H，若OD＝4，OP＝8，PF＝3.5，则DH的长为（　　） A．4.5 B．5 C．7 D． 4．如图，在△ABC中，已知CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 5．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，AC＝15cm，AD＝9cm，DE⊥AB，则DE＝（　　） A．9cm B．7cm C．6cm D．5cm 二．填空题（共5小题） 6．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是 　 　． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AE是角平分线，若BE：EC＝3：5，BC＝4cm，则点E到AC的距离为　 　． 8．如图，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P，作PE⊥DB于E，PF⊥AC于F，则BE+PF 　 　PB． 9．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是 　 　． 10．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝　 　°． 三．解答题（共5小题） 11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系．并说明理由． 12．如图，点D在边BC的延长线上，∠ACE＝28°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD于点H，且∠CEH＝62°． （1）证明：AE平分∠CAF； （2）若AB＝8，CD＝10，AC＝6，且S△ABE＝16，求△ACD的面积． 13．如图所示，已知∠ADC+∠ABC＝180°，DC＝BC．求证：点C在∠DAB的角平分线上． 14．如图，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF和CE交于D，且BE＝CF，求证：AD平分∠BAC． 15．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F． （1）若∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，求∠BDC的度数； （2）若DE＝2，BC＝9，求△BCD的面积． 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 答案 D B D A C 一．选择题（共5小题） 1．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝2，则PQ的长不可能是（　　） A．4 B．3.5 C．2 D．1.5 【考点】角平分线的性质；垂线段最短．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识． 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质得到点P到OM的距离等于PA，根据垂线段最短得到PQ≥2，然后对各选项进行判断． 【解答】解：∵OP平分∠MON，PA⊥ON， ∴点P到OM的距离等于PA，即点P到OM的距离为2， ∴PQ≥2． 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的性质，正确记忆角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． 2．（如图，若OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论中错误的是（　　） A．PC＝PD B．OC＝PC C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD 【考点】角平分线的性质．版权所有 【答案】B 【分析】利用角平分线上的一点到两边的距离相等可得△OPC≌△OPD，所以ACD都对，B不对． 【解答】解：A、∵△OPC≌△OPD，可得PC＝PD，正确； B、不对，应为OC＝OD； C、∵△OPC≌△OPD，可得∠CPO＝∠DPO，正确； D、∵△OPC≌△OPD，可得OC＝OD，正确； 故选：B． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质．这种开放型的问题由已知得出结论后，要对选项逐个验证，证明，做到不重不漏． 3．如图，OP平分∠AOB，PF⊥OA于点F，点D在OB上，DH⊥OP于点H，若OD＝4，OP＝8，PF＝3.5，则DH的长为（　　） A．4.5 B．5 C．7 D． 【考点】角平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】D 【分析】作PN⊥OB，根据角平分线的性质求出PN，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【解答】解：作PN⊥OB于N， ∵OP平分∠AOB，PF⊥OA，PN⊥OB， ∴PF＝PN＝3.5， ∵S△ODPOP×DHOD×PN， ∴8×DH4×3.5， 解得，DH， 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，已知CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【考点】角平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】A 【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF＝DE＝2，然后根据三角形面积公式求得即可． 【解答】解：作EF⊥BC于F， ∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC， ∴EF＝DE＝2， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了角的平分线的性质，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键． 5．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，AC＝15cm，AD＝9cm，DE⊥AB，则DE＝（　　） A．9cm B．7cm C．6cm D．5cm 【考点】角平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力． 【答案】C 【分析】由题意可得CD＝AC﹣AD＝6cm，再根据角平分线的性质即可得到结果． 【解答】解：∵AC＝15cm，AD＝9cm， ∴CD＝AC﹣AD＝6cm， ∵BD平分∠ABC，且∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD＝6cm． 故选：C． 【点评】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． 二．填空题（共5小题） 6．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是 　42　． 【考点】角平分线的性质．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线性质求出OE＝OD＝OF＝4，根据△ABC的面积等于△ACO的面积、△BCO的面积、△ABO的面积的和，即可求出答案． 【解答】解： 过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA， ∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC， ∴OE＝OD，OD＝OF， 即OE＝OF＝OD＝4， ∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC AB×OEAC×OFBC×OD 4×（AB+AC+BC） 4×21＝42， 故答案为：42． 【点评】本题考查了角平分线性质，三角形的面积，主要考查学生运用定理进行推理的能力． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AE是角平分线，若BE：EC＝3：5，BC＝4cm，则点E到AC的距离为　cm　． 【考点】角平分线的性质．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】先求出BE的长，再由角平分线的性质即可得出结论． 【解答】解：∵BE：EC＝3：5，BC＝4cm， ∴BE＝4cm． ∵ABC＝90°，AE是角平分线， ∴EF＝BEcm． 故答案为：cm． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键． 8．如图，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P，作PE⊥DB于E，PF⊥AC于F，则BE+PF 　＞　PB． 【考点】角平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】＞． 【分析】根据角平分线的性质求出PE＝PF，再根据三角形三边关系求解即可． 【解答】解：∵AP平分∠CAD，PE⊥DB于E，PF⊥AC于F， ∴PE＝PF， 在△BPE中，BE+PE＞PB， ∴BE+PF＞PB， 故答案为：＞． 【点评】此题考查了角平分线的性质，熟记“角平分线上的点到角的两边的距离相等”是解题的关键． 9．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是 　在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上　． 【考点】角平分线的性质．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE＝PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得OP平分∠AOB． 【解答】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴PE＝PF， ∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上． 10．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝　35　°． 【考点】角平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线． 【答案】见试题解答内容 【分析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB∠DAB，计算即可． 【解答】解：作MN⊥AD于N， ∵∠B＝∠C＝90°， ∴AB∥CD， ∴∠DAB＝180°﹣∠ADC＝70°， ∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD， ∴MN＝MC， ∵M是BC的中点， ∴MC＝MB， ∴MN＝MB，又MN⊥AD，MB⊥AB， ∴∠MAB∠DAB＝35°， 故答案为：35 【点评】本题考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系．并说明理由． 【考点】角平分线的性质．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据角平分线的性质得到DC＝DE，证明Rt△FCD≌Rt△BED，根据全等三角形的性质证明； （2）证明Rt△ACD≌Rt△AED，根据全等三角形的性质证明． 【解答】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DC＝DE， 在Rt△FCD和Rt△BED中， ， ∴Rt△FCD≌Rt△BED（HL）， ∴CF＝EB； （2）解：AB＝AF+2BE， 理由如下：在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC＝AE， ∴AB＝AE+BE＝AF+FC+BE＝AF+2BE． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 12．如图，点D在边BC的延长线上，∠ACE＝28°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD于点H，且∠CEH＝62°． （1）证明：AE平分∠CAF； （2）若AB＝8，CD＝10，AC＝6，且S△ABE＝16，求△ACD的面积． 【考点】角平分线的性质；三角形的面积．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】（1）证明见解析； （2）32． 【分析】（1）如图，过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得EM＝EH、CE平分∠ACD、EN＝EH，最后根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据S△ACD＝S△ACE+S△CED结合已知条件可得EM＝4，最后运用三角形的面积公式即可解答． 【解答】（1）证明：过E点作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N， ∵BE平分∠ABC， ∴EM＝EH， ∵∠ACE＝28°，∠CEH＝62°， ∴∠HCE＝90°﹣∠CEH＝90°﹣62°＝28°＝∠ACE， ∴EN＝EH， ∴EM＝EN， ∴AE平分∠CAF； （2）∵AB＝8，CD＝10，AC＝6，且S△ABE＝16， ∴， ∴EM＝4， ∴EN＝EH＝EM＝4， ∴S△ACD＝S△ACE+S△CED ＝32， ∴△ACD的面积为32． 【点评】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． 13．如图所示，已知∠ADC+∠ABC＝180°，DC＝BC．求证：点C在∠DAB的角平分线上． 【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】证明题． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先作CE⊥AB，CF⊥AD的延长线，垂足分别为E、F，利用∠ADC+∠ABC＝180°，∠ADC+∠CDF＝180°，得出∠ABC＝∠CDF，进而证得△CBE≌△CDF，得出FC＝EC，即可求得结论． 【解答】证明：如图，作CE⊥AB，CF⊥AD的延长线，垂足分别为E、F， ∴∠BEC＝∠DFC＝90°， ∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ADC+∠CDF＝180°， ∴∠ABC＝∠CDF， 在△CBE和△CDF中， ， ∴△CBE≌△CDF（AAS）， ∴FC＝EC， ∴点C在∠DAB的角平分线上． 【点评】此题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理的逆定理，作出辅助线构建全等三角形是解决问题的关键． 14．如图，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF和CE交于D，且BE＝CF，求证：AD平分∠BAC． 【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】证明题． 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据AAS定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DF＝DE，由此可得出结论． 【解答】证明：∵BF⊥AC于F，CE⊥AB于E， ∴∠BED＝∠CFD＝90°． 在Rt△BDE与Rt△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF（AAS）， ∴DF＝DE， ∴AD平分∠BAC． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键． 15．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F． （1）若∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，求∠BDC的度数； （2）若DE＝2，BC＝9，求△BCD的面积． 【考点】角平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】（1）125°； （2）9． 【分析】（1）根据角平分线的定义，及三角形内角和定理即可求出结论； （2）利用角平分线性质得出DE＝DF，再利用三角形面积公式即可求出． 【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠ABC＝40°， ∴， ∵CD平分∠ACB，∠ACB＝70°， ∴， ∴∠BDC＝180°﹣20°﹣35°＝125°． （2）BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，DE＝2， ∴DF＝DE＝2． ∵BC＝9， ∴． 【点评】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，角平分线的性质，熟练掌握各性质是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ （尖子生篇）1.4 角平分线 一．选择题（共5小题） 1．如图，直线MN⊥PQ，垂足为O，点A是射线OP上一点，OA＝2，以OA为边在OP右侧作∠AOF＝24°，且满足OF＝4，若点B是射线ON上的一个动点（不与点O重合），连接AB，作△AOB的两个外角平分线交于点C，在点B在运动过程中，当线段CF取最小值时，∠OFC的度数为（　　） A．90° B．69° C．24° D．66° 2．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为15，AB＝6，DE＝3，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．2 3．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围城的一块三角形平地ABC上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在（　　） A．△ABC三边中线的交点 B．△ABC三个角的平分线的交点 C．△ABC三边高线的交点 D．△ABC三边垂直平分线的交点 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝6，AB＝15，则△ABD的面积是（　　） A．15 B．30 C．45 D．60 5．如图，△ABC的面积为12cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（　　） A．4cm2 B．5cm2 C．5.5cm2 D．6cm2 二．填空题（共5小题） 6．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD为△ABC的角平分线，若点D到边AB的距离为3，则的值为　 　． 7．如图，AD是△BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝32，DE＝4，AB＝9，则边AC的长是 　 　． 8．如图，三角形ABC的三边AB，BC，CA的长分别是30，40，50，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于 　 　． 9．如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E，AD⊥BC于点D，CE交AD于F，EM平分∠BEC交AD延长线于M，连接BM，CM．若∠DFC+∠ABM＝180°，AB＝16，CF＝8，则BE＝　 　，△EMC的面积为　 　． 10．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点O，OD⊥OA交AB于点D，OE⊥OC交BC于点E，连接DE，AC＝7，BC＝8，△BDE的周长为6，则AB的长为 　 　． 三．解答题（共5小题） 11．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求证：DE平分∠ADC； （2）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积． 12．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF 求证：AD平分∠BAC． 13．如图，画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC，将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别相交于点E、F，试猜想PE、PF的大小关系，并说明理由． 14．如图，已知△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，过点D作DE⊥BC于点E． （1）若∠BAC＝68°，求∠BDC的度数； （2）连接AD，求证：AD平分∠CAM． 15．图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE． （1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝5，AC＝8，△ABC的面积是45，求AB的长和BP：CP的值． 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 答案 B B B C D 一．选择题（共5小题） 1．如图，直线MN⊥PQ，垂足为O，点A是射线OP上一点，OA＝2，以OA为边在OP右侧作∠AOF＝24°，且满足OF＝4，若点B是射线ON上的一个动点（不与点O重合），连接AB，作△AOB的两个外角平分线交于点C，在点B在运动过程中，当线段CF取最小值时，∠OFC的度数为（　　） A．90° B．69° C．24° D．66° 【考点】角平分线的性质；垂线段最短．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】B 【分析】作CE⊥PQ于E，CG⊥MN于G，CH⊥AB于H，连接OC，由角平分线性质定理得CE＝CH＝CG，再由角平分线的判定知，点C在∠AOB的平分线上，则可求得∠FOC＝21°；当FC′⊥OC′于C′，则C′F≤CF，即CF的最小值为C′F，此时点C与C′重合，从而求得此时∠OFC的度数． 【解答】解：如图，作CE⊥PQ于E，CG⊥MN于G，CH⊥AB于H，连接OC， ∵AC平分∠PAB，CE⊥PQ，CH⊥AB， ∴CE＝CH， 同理可得：CG＝CH， ∴CE＝CG， ∴OC平分∠AOB，即点C在∠AOB的平分线上， ∴∠AOC＝45°， ∵∠AOF＝24°， ∴∠FOC＝45°﹣24°＝21°， 如图，作FC′⊥OC′于C′，则C′F≤CF， 即CF的最小值为C′F，此时点C与C′重合， ∴∠FC′O＝90°， ∴∠OFC′＝90°﹣21°＝69°， ∴当线段CF取最小值时，∠OFC的度数为69°． 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线的判定与性质、垂线段最短等知识，熟练掌握角平分线的判定与性质，添加适当的辅助线是解此题的关键． 2．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为15，AB＝6，DE＝3，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．2 【考点】角平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】B 【分析】作DF⊥AC于F，则DF＝DE＝3，再根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝15列式计算即可得解． 【解答】解：如图，作DF⊥AC于F， 由条件可知DF＝DE＝3， ∵△ABC的面积为15， ∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝15，即， ∴， ∴AC＝4， 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线定理是关键． 3．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围城的一块三角形平地ABC上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在（　　） A．△ABC三边中线的交点 B．△ABC三个角的平分线的交点 C．△ABC三边高线的交点 D．△ABC三边垂直平分线的交点 【考点】角平分线的性质．版权所有 【专题】三角形；几何直观；推理能力． 【答案】B 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可确定度假村的修建位置． 【解答】解：设∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作OP⊥AB于P，OQ⊥BC于Q，OR⊥AC于R，如图所示： ∴OP＝OQ，OQ＝OR， ∴OP＝OQ＝OR， ∴点O在∠BAC的平分线上，点O就是度假村的位置， ∴度假村应修建在△ABC三个角的平分线的交点上． 故选：B． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，解决问题的关键是理解角平分线上的点到角两边的距离相等． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝6，AB＝15，则△ABD的面积是（　　） A．15 B．30 C．45 D．60 【考点】角平分线的性质；作图—基本作图．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】C 【分析】作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质得到DE＝CD＝6，再根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案． 【解答】解：作DE⊥AB于点E， ， 由题意可知，AD是∠CAB的平分线， ∵∠C＝90°， ∴DC⊥AC， ∵DE⊥AB，CD＝6， ∴DE＝CD＝6， ∵AB＝15， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，作图﹣基本作图，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 5．如图，△ABC的面积为12cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（　　） A．4cm2 B．5cm2 C．5.5cm2 D．6cm2 【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力． 【答案】D 【分析】根据已知条件证明△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质可得AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出，代入求值即可． 【解答】解：延长AP交BC于点E， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠EBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠EPB＝90°， 在△ABP和△EBP中， ， ∴△ABP≌△EBP（ASA）， ∴AP＝PE， ∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP， ∴S△PBCS△ABC12＝6（cm2）， 故选：D． 【点评】本题考查全等三角形的判定，角平分线的性质，关键是全等三角形判定定理的熟练掌握． 二．填空题（共5小题） 6．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD为△ABC的角平分线，若点D到边AB的距离为3，则的值为　2　． 【考点】角平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】2． 【分析】作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，作CG⊥AB于点G，根据角平分线的性质得DE＝DF＝3，根据∠BAC＝60°，得CGAC，根据△ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积，得AB•CGAB•×3AC×3，再化简即可得出答案． 【解答】解：如图，作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，作CG⊥AB于点G， ∵AD为△ABC的角平分线，点D到边AB的距离为3， ∴DE＝DF＝3， ∵∠BAC＝60°， ∴CGAC， ∵△ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积， ∴AB•CGAB•×3AC×3， ∴AB•AC＝3（AB+AC）， ∴2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 7．如图，AD是△BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝32，DE＝4，AB＝9，则边AC的长是 　7　． 【考点】角平分线的性质；三角形的面积．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】7． 【分析】根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出△ABD的面积，求出△ADC面积，即可求出答案． 【解答】解：过D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE＝DF＝4， ∵S△ABDAB×DE＝18，△ABC的面积为32， ∴△ADC的面积为32﹣18＝14， ∴AC×DF＝14， ∴AC×4＝14， ∴AC＝7， 故答案为：7． 【点评】本题考查的是角平分线的性质和三角形的面积，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键． 8．如图，三角形ABC的三边AB，BC，CA的长分别是30，40，50，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于 　3：4：5　． 【考点】角平分线的性质；三角形的面积．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】3：4：5． 【分析】过点O作OD⊥BC于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥AB于点F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD＝OE＝OF，然后利用三角形面积的计算公式表示出S△ABO、S△BCO、S△CAO，结合已知，即可得到所求的三个面积的比． 【解答】解：过点O作OD⊥BC于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥AB于点F． 由条件可知：OD＝OE＝OF， ∵△ABC的三边AB、BC、AC长分别为30、40、50， ∴S△ABO：S△BCO：S△CAO ＝BA：CB：CA ＝30：40：50 ＝3：4：5． 故答案为：3：4：5． 【点评】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是关键． 9．如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E，AD⊥BC于点D，CE交AD于F，EM平分∠BEC交AD延长线于M，连接BM，CM．若∠DFC+∠ABM＝180°，AB＝16，CF＝8，则BE＝　4　，△EMC的面积为　72　． 【考点】角平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】4，72． 【分析】先证明△BEM≌△EFM可得EB＝EF，再证明△AEF≌△CEB可得AE＝EC、S△BEM＝S△EFM；设EB＝EF＝x，则AE＝16﹣x，CE＝8+x，则16﹣x＝8+x，即可求得BE；易得，根据等高模型可得，即，进而求得S△EFM＝12；如图：过M作MG⊥EC，运用三角面积公式可求得MG＝12，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：∵∠DFC+∠ABM＝180°，∠DFC+∠DFE＝180°， ∴∠MFE＝∠MBE， ∵EM平分∠BEC， ∴∠BEM＝∠FEM， 又∵ME＝ME， ∴△BEM≌△EFM（AAS）， ∴EB＝EF，S△BEM＝S△EFM， ∵∠AEF＝∠CEB＝90°， ∴∠EAE＝∠ECB， 又∵EB＝EF， ∴△AEF≌△CEB（AAS）， ∴AE＝EC， 设EB＝EF＝x，则AE＝16﹣x，CE＝8+x， ∴16﹣x＝8+x， ∴x＝4， ∴BE＝EF＝4，AE＝CE＝12， ∴，， 由题意可得： ，即， ∴， ∴S△EFM＝12； 如图：过M作MG⊥EC， ∴，即，解得：MG＝12， ∴△EMC的面积为． 故答案为：4，72． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的高等知识点，灵活运用等高模型解决三角形面积问题成为解题的关键． 10．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点O，OD⊥OA交AB于点D，OE⊥OC交BC于点E，连接DE，AC＝7，BC＝8，△BDE的周长为6，则AB的长为 　5　． 【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；运算能力． 【答案】5． 【分析】延长DO交AC于点M，延长EO交AC于点N，根据ASA定理可得△AOD≌△AOM，△COE≌△CON，再由SAS定理得出△EOD≌△NOM，由全等三角形的对应边相等可得出结论． 【解答】解：延长DO交AC于点M，延长EO交AC于点N， ∵AO是∠BAC的平分线， ∴∠OAD＝∠OAM， ∵OA⊥OD， ∴∠AOD＝∠AOM＝90°， ∵OA＝OA， ∴△AOD≌△AOM（ASA）， 同理可得，△COE≌△CON， ∴OD＝OM，OE＝ON，AD＝AM，CE＝CN， ∵∠DOE＝∠MON， ∴△EOD≌△NOM（SAS）， ∴DE＝MN， ∵△BDE的周长为6， ∴BD+BE+DE＝6， ∴BD+BE+DE ＝AB﹣AD+BC﹣CE+MN ＝AB﹣AM+BC﹣CN+MN ＝AB﹣（AN+MN）+BC﹣（CM+MN）+MN ＝AB﹣AN﹣MN+BC﹣CM﹣MN+MN ＝AB﹣（AN+MN+CM）+BC ＝AB+BC﹣AC ＝6， ∵AC＝7，BC＝8， ∴AB+8﹣7＝6， ∴AB＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 11．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求证：DE平分∠ADC； （2）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积． 【考点】角平分线的性质．版权所有 【专题】三角形；运算能力；推理能力． 【答案】（1）答案见解答过程； （2）． 【分析】（1）过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，先通过计算得出∠FAE＝∠CAD＝40，根据角平分线的性质得EF＝EG，EF＝EH，进而得EG＝EH，据此根据角平分线的性质可得出结论； （2）设EG＝x，由（1）得：EF＝EH＝EG＝x，根据S△ACD＝15，AD＝4，CD＝8可求出x＝2.5，故得EF＝2.5，然后S△ABE＝1/2AB•EF可得出答案． 【解答】（1）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，如图： ∵EF⊥AB，∠AEF＝50°， ∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°， ∵∠BAD＝100°， ∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°， ∴∠FAE＝∠CAD＝40°， 即CA为∠DAF的平分线， 又EF⊥AB，EG⊥AD， ∴EF＝EG， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴EF＝EH， ∴EG＝EH， ∴点E在∠ADC的平分线上， ∴DE平分∠ADC； （2）解：设EG＝x， 由（1）得：EF＝EH＝EG＝x， ∵S△ACD＝15，AD＝4，CD＝8， ∴AD•EGCD•EH＝15， 即：4x+8x＝30， 解得：x＝2.5， ∴EF＝x＝2.5， ∴S△ABEAB•EF7×2.5． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，理解角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解答此题的关键． 12．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF 求证：AD平分∠BAC． 【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】证明题． 【答案】见试题解答内容 【分析】由DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，即可判定Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），则可得DE＝DF，然后由角平分线的判定定理，即可证得AD平分∠BAC． 【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴DE＝DF， 在Rt△ADE与Rt△ADF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴∠DAE＝∠DAF， ∴AD平分∠BAC． 【点评】本题考查了角平分线的判定与全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 13．如图，画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC，将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别相交于点E、F，试猜想PE、PF的大小关系，并说明理由． 【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，求出PM＝PN，∠MPE＝∠NPF，证△PME≌△PNF即可． 【解答】解：PE＝PF， 理由是：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N， 则∠PME＝∠PNF＝90°， ∵OP平分∠AOB， ∴PM＝PN， ∵∠AOB＝∠PME＝∠PNF＝90°， ∴∠MPN＝90°， ∵∠EPF＝90°， ∴∠MPE＝∠FPN， 在△PEM和△PFN中 ∴△PEM≌△PFN， ∴PE＝PF． 【点评】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：角平分线上的点到角的两边距离相等． 14．如图，已知△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，过点D作DE⊥BC于点E． （1）若∠BAC＝68°，求∠BDC的度数； （2）连接AD，求证：AD平分∠CAM． 【考点】角平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）∠BDC＝34°； （2）证明见解析． 【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠DCN，再由三角形外角的性质可得∠ACN﹣∠ABC＝∠BAC＝68°，则，据此可得答案； （2）过点D作DP⊥BM于P，DQ⊥AC于Q，则由角平分线的性质可得DP＝DE，DQ＝DE，则DP＝DQ，由角平分线的判定定理即可证明AD平分∠CAM． 【解答】（1）解：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D， ∴∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠DCN， ∵∠BAC＝68°， ∴∠ACN﹣∠ABC＝∠BAC＝68°， ∴， ∵∠BDC＝∠DCN﹣∠CBD， ∴∠BDC＝34°； （2）证明：如图2，过点D作DP⊥BM于P，DQ⊥AC于Q， ∵DE⊥BC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE， ∴DP＝DE，DQ＝DE， ∴DP＝DQ， ∴AD平分∠CAM． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，关键是角平分线性质的熟练掌握． 15．图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE． （1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝5，AC＝8，△ABC的面积是45，求AB的长和BP：CP的值． 【考点】角平分线的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）AP是∠BAC的平分线，理由见解答； （2）AB＝7，． 【分析】（1）是；理由：由（2）SSS判定△ADF≌△AEF，然后由该全等三角形的对应角相等证得结论； （2）如图，过点P作PG⊥AC于点G．由三角形的面积公式即可求出AB，再有三角形面积相等得出BP：CP的值即可． 【解答】解：（1）AP是∠BAC的平分线，理由如下： 在△ADF和△AEF中， ， ∴△ADF≌△AEF（SSS）． ∴∠DAF＝∠EAF， ∴AP平分∠BAC． （2）如图，过点P作PG⊥AC于点G． ∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB， ∴PG＝PQ＝5． ∵S△ABC＝S△ABP+S△APCAB•PQAC•PG， ∴AB×58×5＝45． ∴AB＝10． 设三角形ABC的BC边上的高为h， ∵S△ABPAB•PQ10×5BP•h＝25，S△APCAC•PG8×5PC•h＝20， ∴，即． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式以及角平分线的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$