第3章 圆 2024-2025学年北师大版九年级数学下册同步练习卷（三）

第3章 圆 2024-2025学年北师大版九年级数学下学期同步练习卷（三） 一．选择题（共10小题） 1．某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为，则改建后门洞的圆弧长是（　　） A． B． C． D． 2．如图，点A是以原点O为圆心的圆与x轴的一个交点，直线y＝kx+2k+2交⊙O于B、C两点，已知弦BC的最小值为2，则点A的坐标为（　　） A．（2，0） B． C．（3，0） D． 3．如图，点A，B，C在⊙O上，点C是劣弧的中点，若∠AOB＝160°，则∠BAC的度数是（　　） A．10° B．40° C．50° D．60° 4．若直线l与半径为6的⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d为（　　） A．d＜6 B．d＝6 C．d＞6 D．d≤6 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，，将△ABC绕着点A逆时针旋转90°得到△ADE，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 6．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，且点D是的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点E，连接AD．若AE＝8，AD＝10，则直径AB的长为（　　） A．12 B． C． D． 7．将直尺和量角器按如图方式摆放，其中AB为量角器所在半圆的直径，直尺的边缘与量角器所在半圆相切于点C，并与BA的延长线交于点D．已知点C，D在直尺上对应的刻度分别为0和3，点C在量角器上对应的外圈刻度为60°，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的一个外角，且∠CBE＝115°，则∠D的度数为（　　） A．115° B．95° C．75° D．65° 9．如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD＝2cm，则截面圆中弦AB的长为（　　）cm． A．4 B．6 C．8 D．8.4 10．如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，AC＝CE．若∠ABC＝35°，则∠EBD的大小为（　　） A．35° B．55° C．70° D．110° 二．填空题（共5小题） 11．图中的圆形方孔铜钱是我国古代的一种货币，铜钱外部圆的半径为r，内部正方形的边长为x，用含r、x的代数式表示铜钱的面积为　 　． 12．如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，4），⊙A的半径为2，P为x轴上一动点，PB切⊙A于点B，则PB最小值是 　 　． 13．如图，在⊙O中，AD⊥BC，连接AB、CD，当AB＝2，CD＝6时，则⊙O半径长为 　 　． 14．等边△ABC的边长为12，点D、E、F分别为边AC，AB，BC的中点，若分别以E，D，F为圆心，6为半径，作三个60°的扇形，则图中阴影部分的面积为 　 　． 15．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若⊙O的半径为5，则弧CD的长为 　 　． 三．解答题（共8小题） 16．如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠B＝30°，直线BD与⊙O切于点D，求∠ADB的度数． 17．素材：图1中有一座拱桥，图2是其圆弧形或抛物线形桥拱的示意图．某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高． 解决问题： （1）若桥拱形状是圆弧，该河段水位涨1.8m达到最高时，有一艘货船它漏出水面高2.2米，船体宽9米，判断它是否能顺利通行并说明理由； （2）若拱桥是抛物线形，为迎佳节，拟在图3所示的桥拱上悬挂40cm长的灯笼．要求灯笼底部距离水面不小于1m，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m．为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布，则悬挂的灯笼数量是　 　个． 18．如图，在△ABC中，CA＝CB，以BC为直径的⊙O分别与AB，AC相交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）分别延长CB，FD相交于点G，∠A＝60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的周长． 19．如图，AB＝AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与BC，AB交于D，E，过D作DF⊥AC于F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若AC与⊙O相切于点G，AC＝8，CF＝1，求⊙O的半径． 20．如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，点D是的中点，DN⊥AB于点E，交AC于点F，连接DB交AC于点G． （1）求证：AF＝DF； （2）延长GD至点M，使DM＝DG，连接AM． （i）求证：AM是⊙O的切线； （ii）若DG＝6，DF＝5，求⊙O的半径． 21．如图，在△ABC中，CA＝CB，以BC为直径的⊙O分别与AB，AC相交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）分别延长CB，FD相交于点G，∠A＝60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的周长． 22．如图，AB是⊙O的直径，AE⊥EP，垂足为E，直线EP与圆相切于点C，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC． （1）求证：AC平分∠BAD； （2）若直径AB为10，BC＝6，求AD长． 23．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点A的切线交BC的延长线于点D，E是⊙O上一点，点C，E分别位于直径AB异侧，连接AE，BE，CE，且∠ADB＝∠DBE． （1）求证：CE＝CB； （2）求证：∠BAE＝2∠ABC； （3）过点C作CF⊥AB，垂足为点F，若，求tan∠ABC的值． 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A C B D A C C 一．选择题（共10小题） 1．某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为，则改建后门洞的圆弧长是（　　） A． B． C． D． 【考点】垂径定理的应用；弧长的计算；矩形的性质．版权所有 【专题】圆的有关概念及性质；运算能力． 【答案】C 【分析】利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径BC，再利用矩形的性质证得△COD是等边三角形，得到∠COD＝60°，进而求得门洞的圆弧所对的圆心角为360°﹣60°＝300°，利用弧长公式即可求解． 【解答】解：如图，连接AC、BD相交于点O，由题意可知，CD＝AB＝2m，AD＝BC＝2m， ∵∠BDC＝90°， ∴BC是直径， ∴（m）， ∵四边形ABDC是矩形， ∴m， ∵CD＝2m， ∴OC＝OD＝CD， ∴△COD是等边三角形， ∴∠COD＝60°， ∴门洞的圆弧所对的圆心角为360°﹣60°＝300°， ∴改建后门洞的圆弧长是（m）， 故选：C． 【点评】本题考查了弧长公式，矩形的性质以及勾股定理的应用，从实际问题转化为数学模型是解题的关键． 2．如图，点A是以原点O为圆心的圆与x轴的一个交点，直线y＝kx+2k+2交⊙O于B、C两点，已知弦BC的最小值为2，则点A的坐标为（　　） A．（2，0） B． C．（3，0） D． 【考点】垂径定理；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；勾股定理．版权所有 【专题】与圆有关的位置关系；推理能力． 【答案】C 【分析】先由直线关系式得出其始终经过点P（﹣2，2），然后由弦BC的最小值为2推断出点P在⊙O内，然后由OP⊥直线BC时，点O到直线BC的距离最大，进而根据垂径定理求出BP的长度，即可由勾股定理得出OB的长度并确定点A的坐标． 【解答】解：∵直线y＝kx+2k+2＝k（x+2）+2， ∴直线y＝kx+2k+2始终经过点P（﹣2，2）． ∴OP2． 根据题意，直线y＝kx+2k+2交⊙O于B、C两点，弦BC的最小值为2，如图所示． ∵点P如果在⊙O外，弦BC的最小值为0， ∴点P（﹣2，2）应为⊙O内一点． 连接OP，当直线BC⊥OP时，点O到直线BC的距离最大． ∴在Rt△BPO中，由于BP，故此时BP长度最小． 根据垂径定理，PC＝BP，即BC长度最小． ∴BP1， ∴OB3． ∴OA＝OB＝3． 故选：C． 【点评】本题考查了点和圆的位置关系，垂径定理，直线和圆的位置关系，勾股定理，等腰直角三角形的性质等．推出直线始终经过点P及点P在⊙O内是本题的难点． 3．如图，点A，B，C在⊙O上，点C是劣弧的中点，若∠AOB＝160°，则∠BAC的度数是（　　） A．10° B．40° C．50° D．60° 【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．版权所有 【专题】与圆有关的计算；运算能力． 【答案】B 【分析】连接OC，由点C是劣弧的中点得，故∠AOC＝∠BOC，再由同弧所对圆周角是圆心角的一半即可． 【解答】解：如图，连接OC． ∵点C是劣弧的中点， ∴， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵∠AOB＝160°， ∴， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查圆心角与弧的关系，圆心角与圆周角的关系，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 4．若直线l与半径为6的⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d为（　　） A．d＜6 B．d＝6 C．d＞6 D．d≤6 【考点】直线与圆的位置关系．版权所有 【专题】与圆有关的位置关系． 【答案】A 【分析】根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径，得0≤d＜6． 【解答】解：∵⊙O的半径为6，直线L与⊙O相交， ∴圆心到直线的距离小于圆的半径， 即0≤d＜6． 故选：A． 【点评】此题考查直线和圆的位置关系，熟悉直线和圆的位置关系与数量之间的联系．同时注意圆心到直线的距离应是非负数． 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，，将△ABC绕着点A逆时针旋转90°得到△ADE，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【考点】扇形面积的计算；旋转的性质；勾股定理．版权所有 【专题】圆的有关概念及性质；运算能力． 【答案】C 【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再根据S阴影＝S扇形BAD+S△ADE﹣S扇形ACE﹣S△ABC进行求解即可． 【解答】解：由勾股定理得， 由旋转的性质可得S△ADE＝S△ABC，∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴S阴影＝S扇形BAD+S△ADE﹣S扇形ACE﹣S△ABC ＝S扇形BAD﹣S扇形ACE ， 故选：C． 【点评】本题主要考查了扇形面积计算，勾股定理，熟练掌握以上知识点是关键． 6．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，且点D是的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点E，连接AD．若AE＝8，AD＝10，则直径AB的长为（　　） A．12 B． C． D． 【考点】切线的性质．版权所有 【专题】与圆有关的位置关系；图形的相似；运算能力；推理能力． 【答案】B 【分析】连接BD，OD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据切线的性质和等腰三角形的性质得到∠EAD＝∠ADO，根据平行线的性质得到AE⊥DE，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：连接BD，OD， ∵点D是的中点， ∴， ∴∠CAD＝∠DAB， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵DE是⊙O的切线， ∴OD⊥DE， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ADO， ∴∠EAD＝∠ADO， ∴AE∥OD， ∴AE⊥DE， ∴∠E＝∠ADB＝90°， ∴△ADE∽△ABD， ∴， ∴， ∴AB， 故选：B． 【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 7．将直尺和量角器按如图方式摆放，其中AB为量角器所在半圆的直径，直尺的边缘与量角器所在半圆相切于点C，并与BA的延长线交于点D．已知点C，D在直尺上对应的刻度分别为0和3，点C在量角器上对应的外圈刻度为60°，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【考点】切线的性质；扇形面积的计算；圆周角定理．版权所有 【专题】与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】D 【分析】根据题意可以得到∠AOC＝60°，OC＝OA，CD＝3，∠OCD＝90°，然后根据锐角三角函数可以求得OC的长，再根据图形可知图中阴影部分的面积为△OCD的面积﹣扇形OCA的面积，然后代入数据计算即可． 【解答】解：由题意可得， ∠AOC＝60°，OC＝OA，CD＝3，∠OCD＝90°， ∵tan∠DOC， ∴tan60°， 解得OC， ∴图中阴影部分的面积为：， 故选：D． 【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理、锐角三角函数、扇形的面积、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的一个外角，且∠CBE＝115°，则∠D的度数为（　　） A．115° B．95° C．75° D．65° 【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．版权所有 【专题】圆的有关概念及性质；运算能力． 【答案】A 【分析】根据圆内接四边形对角互补可得∠D+∠ABC＝180°，再根据邻补角互补可得∠ABC+∠CBE＝180°，进而可得∠D＝∠CBE． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠D+∠ABC＝180°， ∵∠ABC+∠CBE＝180°， ∴∠D＝∠CBE＝115°． 故选：A． 【点评】此题主要考查了圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 9．如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD＝2cm，则截面圆中弦AB的长为（　　）cm． A．4 B．6 C．8 D．8.4 【考点】垂径定理的应用；勾股定理．版权所有 【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力． 【答案】C 【分析】由垂径定理得AC＝BCAB，再由勾股定理得AC＝4cm，即可得出结论． 【解答】解：由题意得：OC⊥AB， ∴AC＝BCAB，∠OCA＝90°， 由OA＝OD＝5cm，CD＝2cm可知： OC＝OD﹣CD＝5﹣2＝3（cm）， 在Rt△OAC中，由勾股定理得： AC4（cm）， ∴AB＝2AC＝8（cm）． 故选：C． 【点评】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 10．如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，AC＝CE．若∠ABC＝35°，则∠EBD的大小为（　　） A．35° B．55° C．70° D．110° 【考点】圆周角定理．版权所有 【专题】与圆有关的计算；推理能力． 【答案】C 【分析】先根据AB为⊙O的直径得出∠ACB＝90°，再由∠ABC＝35°可得出∠A的度数，根据AC＝CE可知∠A＝∠AEC，故可得出∠ACE的度数，由圆周角定理即可得出结论． 【解答】解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ABC＝35°， ∴∠A＝90°﹣35°＝55°， ∵AC＝CE， ∴∠A＝∠AEC＝55°， ∴∠ACE＝180°﹣∠A﹣∠AEC＝180°﹣55°﹣55°＝70°， ∴∠EBD＝∠ACE＝70°． 故选：C． 【点评】本题主要考查的是圆周角定理，熟知半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．图中的圆形方孔铜钱是我国古代的一种货币，铜钱外部圆的半径为r，内部正方形的边长为x，用含r、x的代数式表示铜钱的面积为　πr2﹣x2　． 【考点】正多边形和圆；列代数式．版权所有 【专题】正多边形与圆；运算能力． 【答案】πr2﹣x2． 【分析】用圆的面积减去正方形面积即可得到答案． 【解答】解：含r、x的代数式表示铜钱的面积为：πr2﹣x2， 故答案为：πr2﹣x2． 【点评】本题主要考查了列代数式，正确进行计算是解题关键． 12．如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，4），⊙A的半径为2，P为x轴上一动点，PB切⊙A于点B，则PB最小值是 　2　． 【考点】切线的性质；坐标与图形性质．版权所有 【专题】推理填空题；与圆有关的位置关系；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】此题根据切线的性质以及勾股定理，根据垂线段最短的性质进行分析，把要求PB的最小值转化为求AP的最小值，进而可以解决问题． 【解答】解：如图，连接AB，AP． 根据切线的性质定理，得AB⊥PB． 要使PB最小，只需AP最小， 则根据垂线段最短，则AP⊥x轴于P， 此时P点的坐标是（﹣3，0），AP＝4， 在Rt△ABP中，AP＝4，AB＝2， ∴PB2． 则PB最小值是2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了切线的性质和坐标与图形的性质．此题应先将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析． 13．如图，在⊙O中，AD⊥BC，连接AB、CD，当AB＝2，CD＝6时，则⊙O半径长为 　　． 【考点】垂径定理；勾股定理．版权所有 【专题】计算题；运算能力；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】如图，连接CO，延长CO交⊙O于H，连接BH，DH，BD．首先证明DH＝BA＝2，利用勾股定理求出CH即可． 【解答】解：如图，连接CO，延长CO交⊙O于H，连接BH，DH，BD． ∵CH是直径， ∴∠CBH＝∠CDH＝90°， ∴CB⊥BH， ∵CB⊥AD， ∴AD∥BH， ∴∠ADB＝∠DBH， ∴， ∴DH＝BA＝2， 而CD＝6， 根据勾股定理CH2， ∴⊙O半径长为． 故答案为． 【点评】此题主要考查了圆周角定理及其推论，同时也利用了勾股定理，作出正确的辅助线是解题的关键． 14．等边△ABC的边长为12，点D、E、F分别为边AC，AB，BC的中点，若分别以E，D，F为圆心，6为半径，作三个60°的扇形，则图中阴影部分的面积为 　5418π　． 【考点】扇形面积的计算；等边三角形的性质．版权所有 【专题】矩形 菱形 正方形；正多边形与圆；与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据中点的定义以及正三角形、菱形的性质和判定方法可得四边形ADFE是菱形，求出菱形的高，再根据菱形面积以及扇形面积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：如图，过点E作EH⊥AC于点H， 由题意可得，AE＝BE＝DE＝EF＝DF＝FC＝6， ∴四边形ADFE是菱形， 在Rt△AEH中，AE＝6，∠A＝60°， ∴EHAE＝3， ∴S阴影①＝S菱形ADFE﹣S扇形FED ＝6×3 ＝186π， ∴S阴影＝3S阴影① ＝5418π． 故答案为：5418π． 【点评】本题考查等边三角形的性质，扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法以及正三角形的性质和菱形的判定方法是正确解答的关键． 15．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若⊙O的半径为5，则弧CD的长为 　π　． 【考点】弧长的计算；圆周角定理；圆内接四边形的性质．版权所有 【专题】圆的有关概念及性质；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据圆周角的性质，计算出弧CD所对的圆心角度数，按照公式求出弧长即可． 【解答】解：如图，连接OA、OD、OC， ∵∠B＝58°，∠ACD＝40°． ∴∠AOC＝2∠B＝116°，∠AOD＝2∠ACD＝80°， ∴∠DOC＝36°， ∴弧CD的长为． 故答案为：π． 【点评】本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是关键． 三．解答题（共8小题） 16．如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠B＝30°，直线BD与⊙O切于点D，求∠ADB的度数． 【考点】切线的性质；圆周角定理．版权所有 【专题】圆的有关概念及性质；运算能力． 【答案】120°． 【分析】连接OD，根据切线的性质得到∠ODB＝90°，进而求出∠DOB，再根据圆周角定理求出∠A，最后根据三角形内角和定理即可求得答案． 【解答】解：如下图，连接OD， ∵BD是⊙O的切线，D为切点， ∴∠BDO＝90°， ∵∠B＝30°， ∴∠DOB＝60°， ∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ADO30°， ∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣30°﹣30°＝120°， ∴∠ADB＝120°． 【点评】本题考查圆的切线的性质，三角形的内角和定理，圆周角定理，熟练掌握以上知识点是关键． 17．素材：图1中有一座拱桥，图2是其圆弧形或抛物线形桥拱的示意图．某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高． 解决问题： （1）若桥拱形状是圆弧，该河段水位涨1.8m达到最高时，有一艘货船它漏出水面高2.2米，船体宽9米，判断它是否能顺利通行并说明理由； （2）若拱桥是抛物线形，为迎佳节，拟在图3所示的桥拱上悬挂40cm长的灯笼．要求灯笼底部距离水面不小于1m，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m．为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布，则悬挂的灯笼数量是　7或8　个． 【考点】圆的认识；二次函数的应用．版权所有 【专题】圆的有关概念及性质；推理能力． 【答案】（1）能顺利通行； （2）7或8． 【分析】（1）画出图形，根据题意可知，CT＝1.8+2.2＝4（m），TM＝CT+CM＝11.5（m），由勾股定理可得GK＝2TK＝49.8（m），即可得到答案． （2）根据该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m，灯笼长0.4m，可知悬挂点的纵坐标的最小值是﹣1.8m，即可知悬挂点的横坐标的取值范围是：﹣6≤x≤6；方案一：从顶点处开始悬挂灯笼，根据﹣6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，可知共可挂7盏灯笼；方案二：从距顶点0.8m处开始挂灯笼，可知共可挂8盏灯笼． 【解答】解：（1）如图： 根据题意可知，CT＝1.8+2.2＝4（m）， 由任务3可知，MK＝12.5m，CM＝12.5﹣5＝7.5（m）， ∴TM＝CT+CM＝11.5（m）， ∵TK2＝MK2﹣TM2， ∴TK（m）， ∴GK＝2TK＝49.8（m）， ∵9.8m＞9m， ∴能顺利通行，船航行线路是船的中心线沿MN航行； （2）∵该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m，灯笼长0.4m， ∴当悬挂点的纵坐标y≥﹣5+1.8+1+0.4＝﹣1.8， 即悬挂点的纵坐标的最小值是﹣1.8m， 当y＝﹣1.8时，x2＝﹣1.8， ∴x＝±6， ∴悬挂点的横坐标的取值范围是：﹣6≤x≤6； 方案一：如图3（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼， ∵﹣6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m， ∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，1.6×4＞6， 若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，1.6×3＜6， ∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼， ∵灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂7盏灯笼， 方案二：从距顶点0.8m处开始挂灯笼，如图4， ∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，0.8+1.6×（5﹣1）＞6， 若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，0.8+1.6×（4﹣1）＜6， ∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼， ∵灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂8盏灯笼， 故答案为：7或8． 【点评】本题考查了二次函数和圆的综合应用，解题的关键是能把实际问题转化为数学问题，掌握二次函数，圆的相关性质． 18．如图，在△ABC中，CA＝CB，以BC为直径的⊙O分别与AB，AC相交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）分别延长CB，FD相交于点G，∠A＝60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的周长． 【考点】切线的判定与性质；弧长的计算；等腰三角形的性质；圆周角定理．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力． 【答案】（1）证明过程见详解； （2）． 【分析】（1）要证明DF是⊙O的切线，则可考虑证明OD⊥DF，连接OD，由同圆中半径相等，结合AC＝BC，利用等边对等角推理得到∠ODB＝∠BAC，则OD∥AC，此时结合DF⊥AC即可得证； （2）观察阴影部分，可将问题转化为求扇形BOD的弧长与DG、BG的和，结合已知可得∠DOB＝60°，根据含30°角的直角三角形的性质求出DG、OG，接下来根据弧长公式计算出的长，问题即可解答． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵OB＝OD， ∴∠ABC＝∠ODB， ∵AC＝BC， ∴∠ABC＝∠BAC， ∴∠ODB＝∠BAC， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴DF⊥OD， ∵OD是⊙O的半径， ∴DF是⊙O的切线； （2）解：∵∠A＝60°，AC＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∵∠ACB＝60°， ∴OD∥AC， ∴∠DOB＝∠ACB＝60°， ∵OD＝OB＝6，∠DOB＝60°， ∴∠G＝90°﹣∠BOD＝30°， ∴OG＝2OD＝12， ∴DG6， ∴， ∴阴影部分的周长＝DG+BG的长度＝6． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，是一道综合题，难度中等． 19．如图，AB＝AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与BC，AB交于D，E，过D作DF⊥AC于F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若AC与⊙O相切于点G，AC＝8，CF＝1，求⊙O的半径． 【考点】切线的判定与性质．版权所有 【专题】与圆有关的位置关系；推理能力． 【答案】（1）见解析； （2）⊙O的半径为3． 【分析】（1）连接OD，由AB＝AC，利用等边对等角得到一对角相等，再由OB＝OD，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到OD与AC平行，根据DF垂直于AC，得到DF垂直于OD，即可确定出DF为圆O的切线； （2）连接OG，由AC为圆O的切线，利用切线的性质得到OG垂直于AC，利用三个角为直角且邻边相等的四边形为正方形得到ODFG为正方形，且边长为3，设AB＝AC＝x，表示出OA与AG，在直角三角形AOG中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为AC的长． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵OB＝OD， ∴∠B＝∠ODB， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF， 则DF为圆O的切线； （2）解：设⊙O的半径为r，连接OG， ∵AC与圆O相切， ∴OG⊥AC， ∴∠OGF＝∠GFD＝∠ODF＝90°，且OG＝OD， ∴四边形ODFG为的正方形， ∵AB＝AC＝8，则有AG＝8﹣r﹣1＝7﹣r，AO＝8﹣r， 在Rt△AOG中，利用勾股定理得：AO2＝AG2+OG2，即（8﹣r）2＝（7﹣r）2+r2， 解得：r＝3， ∴⊙O的半径为3． 【点评】此题考查了切线的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． 20．如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，点D是的中点，DN⊥AB于点E，交AC于点F，连接DB交AC于点G． （1）求证：AF＝DF； （2）延长GD至点M，使DM＝DG，连接AM． （i）求证：AM是⊙O的切线； （ii）若DG＝6，DF＝5，求⊙O的半径． 【考点】切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．版权所有 【专题】圆的有关概念及性质；运算能力． 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）证明见解析，（ii）⊙O的半径为． 【分析】（1）如图，连接AD，证明，可得∠ABD＝∠CAD，证明，可得∠ADN＝∠ABD，进一步可得结论； （2）（i）证明∠ADB＝90°＝∠ADM，可得AD是MG的垂直平分线，可得AM＝AG，∠M＝∠AGD＝∠GAB+∠B，∠MAD＝∠GAD，而∠GAD＝∠B，可得∠MAD＝∠B，进一步可得结论；（ii）证明DE∥AM，可得△GDF∽△GMA，求解AM＝10，，结合，可得答案． 【解答】（1）证明：如图，连接AD， ∵点D是的中点， ∴， ∴∠ABD＝∠CAD， ∵DN⊥AB，AB为⊙O的直径， ∴， ∴∠ADN＝∠ABD， ∴∠ADN＝∠CAD， ∴AF＝DF． （2）（i）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°＝∠ADM， ∴∠B+∠BAD＝90°， ∵DM＝DG， ∴AD是MG的垂直平分线， ∴AM＝AG， ∴∠M＝∠AGD＝∠GAB+∠B，∠MAD＝∠GAD， 而∠GAD＝∠B， ∴∠MAD＝∠B， ∴∠MAD+∠BAD＝∠B+∠BAD＝90°， ∴∠BAM＝90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴AM是⊙O的切线； （ii）解：∵DG＝6， ∴DM＝DG＝6， ∵DN⊥AB，∠MAB＝90°， ∴DE∥AM， ∴△GDF∽△GMA， ∴， ∵DF＝5， ∴AM＝10， ∴， ∴， ∴， ∴⊙O的半径为． 【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，弧与圆心角之间的关系，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键． 21．如图，在△ABC中，CA＝CB，以BC为直径的⊙O分别与AB，AC相交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）分别延长CB，FD相交于点G，∠A＝60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的周长． 【考点】切线的判定与性质；弧长的计算；等腰三角形的性质；圆周角定理．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力． 【答案】（1）证明过程见详解； （2）． 【分析】（1）要证明DF是⊙O的切线，则可考虑证明OD⊥DF，连接OD，由同圆中半径相等，结合AC＝BC，利用等边对等角推理得到∠ODB＝∠BAC，则OD∥AC，此时结合DF⊥AC即可得证； （2）观察阴影部分，可将问题转化为求扇形BOD的弧长与DG、BG的和，结合已知可得∠DOB＝60°，根据含30°角的直角三角形的性质求出DG、OG，接下来根据弧长公式计算出的长，问题即可解答． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵OB＝OD， ∴∠ABC＝∠ODB， ∵AC＝BC， ∴∠ABC＝∠BAC， ∴∠ODB＝∠BAC， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴DF⊥OD， ∵OD是⊙O的半径， ∴DF是⊙O的切线； （2）解：∵∠A＝60°，AC＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∵∠ACB＝60°， ∴OD∥AC， ∴∠DOB＝∠ACB＝60°， ∵OD＝OB＝6，∠DOB＝60°， ∴∠G＝90°﹣∠BOD＝30°， ∴OG＝2OD＝12，则， ∴， ∴． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，是一道综合题，难度中等． 22．如图，AB是⊙O的直径，AE⊥EP，垂足为E，直线EP与圆相切于点C，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC． （1）求证：AC平分∠BAD； （2）若直径AB为10，BC＝6，求AD长． 【考点】切线的性质；垂径定理；圆周角定理．版权所有 【专题】圆的有关概念及性质；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得到OC⊥PE，则判断OC∥AE，所以∠DAC＝∠OCA，然后利用∠OCA＝∠OAC，进而得到结论； （2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再利用勾股定理计算出AC＝8，再证明Rt△ABC∽Rt△ACE，利用相似比计算出EC＝4.8，利用勾股定理得DE＝3.6，求出AE，进而即可求解． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵直线EP与圆相切于点C， ∴OC⊥PE， ∵AE⊥PE， ∴OC∥AE， ∴∠DAC＝∠OCA， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴AC平分∠BAD； （2）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90° 在Rt△ABC中，， 在Rt△ABC和Rt△ACE中， ∵∠DAC＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°， ∴Rt△ABC∽Rt△ACE， ∴，即， ∴EC＝4.8， ∴AE6.4， 连接CD， ∴CD＝BC＝6， 在Rt△DCE中，， ∴AD＝AE﹣DE＝6.4﹣3.6＝2.8． 【点评】此题属于圆的综合题，考查了圆周角定理、切线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．作出辅助线是解此题的关键． 23．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点A的切线交BC的延长线于点D，E是⊙O上一点，点C，E分别位于直径AB异侧，连接AE，BE，CE，且∠ADB＝∠DBE． （1）求证：CE＝CB； （2）求证：∠BAE＝2∠ABC； （3）过点C作CF⊥AB，垂足为点F，若，求tan∠ABC的值． 【考点】切线的性质；解直角三角形；垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】（1）答案解答过程； （2）答案见解答过程； （3）． 【分析】（1）根据AB是⊙O的直径，AD为⊙O的切线，得AD⊥AB，∠AEB＝90°，则∠ADB+∠ABD＝90°，∠AEC+∠CEB＝90°，再根据∠ABD＝∠AEC得∠ADB＝∠CEB，进而再由∠ADB＝∠DBE得∠CEB＝∠DBE，据此可得出结论； （2）连接CO并延长交BE于H，则∠AOC＝2∠ABC，由（1）的结论可知CE＝CB，则，由垂径定理得AH⊥BE，再根据AB是⊙O的直径得∠AEB＝90°，由此可得AE∥CH，则∠BAE＝∠AOC，据此可得出结论 （3）证△ABE和△OCF相似得AE：OF＝BE：CF＝AB：OC＝2，则AE＝2OF，BE＝2CF，设⊙O的半径为r，OF＝x，则AE＝2x，BF＝OB+OF＝r+x，由得，由此解出x，则BF＝r+x，然后在Rt△OCF中，由勾股定理求出CF，最后再根据锐角三角形的定义可得tan∠ABC的值． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，AD为⊙O的切线， ∴AD⊥AB，∠AEB＝90°， ∴∠ADB+∠ABD＝90°，∠AEC+∠CEB＝90°， ∵∠ABD＝∠AEC， ∴∠ADB＝∠CEB， ∵∠ADB＝∠DBE， ∴∠CEB＝∠DBE， ∴CE＝CB； （2）证明：连接CO并延长交BE于H，如图所示： ∵OB＝OC， ∴∠ABC＝∠OCB， ∴∠AOC＝∠ABC+∠OCB＝2∠ABC， 由（1）的结论可知：CE＝CB， ∴， ∴AH⊥BE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， 即AE⊥BE， ∴AE∥CH， ∴∠BAE＝∠AOC， ∴∠BAE＝2∠ABC； （3）解：∵AB是⊙O的直径，CF⊥AB， ∴∠BEA＝∠CFO＝90°，AB＝2OC， 又∵AE∥CH， ∴∠BAE＝∠AOC， ∴△ABE∽△OCF， ∴AE：OF＝BE：CF＝AB：OC＝2， ∴AE＝2OF，BE＝2CF， 设⊙O的半径为r，OF＝x， 则AE＝2x，BF＝OB+OF＝r+x， ∴S△BCFBF•CF（r+x）•CF，S△ABEAE•BE2x•2CF＝2x•CF， ∵， ∴， 即， 解得：x， ∴BF＝r+x＝r， 在Rt△OCF中，OF＝x，OC＝r， 由勾股定理得：CF， ∴tan∠ABC． 【点评】此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，理解切线的性质，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数是解决问题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$