精品解析：黑龙江省绥化市哈尔滨师范大学青冈实验中学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

哈师大青冈实验中学20242025学年度期末考试 高一数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的概念求解出结果. 【详解】因为，所以， 故选：C. 2. 若一个扇形的半径为3，圆心角为，则这个扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形面积公式直接求解即可. 【详解】若扇形的半径为，圆心角弧度数为， 则扇形的面积为. 故选：C. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据与的大小关系比较即可 【详解】依题意得，， ， ，所以， 故， 故选：B. 4. 已知函数过定点M，点M在直线上且，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数性质确定定点坐标，结合题设有，应用基本不等式“1”的代换求目标式最小值. 【详解】由题设，恒过点，则， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以目标式最小值为. 故选：A 5. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式化简即可得出，再利用诱导公式和齐次化思想即可化简求出. 【详解】因为，所以， 若，则，不符合，故，则， 则 ． 故选：D 6. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却．1min后物体的温度是，那么该物体的温度降至还需要冷却的时间约为（参考数据：）（ ） A. 2.9min B. 3.4min C. 3.9min D. 4.4min 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的函数模型，列式并借助对数运算求解即得. 【详解】依题意，由的物体，放在的空气中冷却，后物体的温度是， 得，解得， 该物体的温度降至需要冷却的时间为，则， 于是，两边取对数得， 所以该物体的温度降至还需要冷却的时间约为. 故选：D 7. 已知函数，若方程有四个不同的实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象分析可得，，整理得，结合对勾函数运算求解. 【详解】因为， 当时，可知其对称轴为， 令，解得或； 令，解得或； 当时，令，解得或， 作出函数的图象，如图所示， 若方程有四个不同的实根， 即与有四个不同的交点，交点横坐标依次为， 则， 对于，则， 可得，所以； 对于，则，可得； 所以， 由对勾函数可知在上单调递增，得， 所以的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是画出函数图象，结合函数图象分析出，，从而转化为关于的函数； 8. 已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由在上单调递增，得，再由在上有且仅有1个零点，得或，取并集结合的前提条件，即可得答案. 【详解】当，， 因为在上单调递增，故，则； 当，，且，， 又因为在上有且仅有1个零点， 故讨论两种情况： ①， ②， 综上：的取值范围为， 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列叙述中正确的是（ ） A. 若，则 B. “，”的否定是“，” C. a，b，，则“”的充要条件是“” D. 若命题“，”为假命题，则实数m的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断A；利用存在量词命题的否定判断B；利用充要条件的定义判断C；求出m的范围判断D. 【详解】对于A，，则，则，A正确； 对于B，“，”是存在量词命题，其否定是：“，”，B错误； 对于C，若，，则，因此不是的充要条件，C错误； 对于D，命题“，”为假命题，则，为真命题，因此，解得，D正确. 故选：AD. 10. 函数的图象，如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 函数是奇函数 C. 的图象关于点对称 D. 若在上有且仅有三个零点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】化简函数解析式，由图象观察可得时，函数取最大值，由此可求，结合周期公式求周期，判断A，求函数的解析式并化简，结合正弦函数性质判断B，化简函数的解析式，结合正弦函数性质求其对称中心，判断C，求的范围，结合条件列不等式求的范围，判断D. 【详解】依题意，， 观察图象可得时，函数取最大值，又， 所以，， 解得，，而，解得， ，的最小正周期为，A错误； 是奇函数，B正确； ， ， 令，，可得，， 因此的对称中心为， 当时，函数的对称中心为，故C正确； ，，当时，， 依题意，，解得，D正确． 故选：BCD． 11. 已知函数，.下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. C. ，使得 D. ，都有 【答案】AD 【解析】 【分析】首先判断、的奇偶性，即可判断A，根据指数的运算判断B，利用作差法得到，即可判断C，再判断的单调性，结合C即可判断D. 【详解】函数，的定义域均为， 且，， 所以为偶函数，为奇函数， 则, 所以为奇函数，故A正确； 因为，， 所以，故B错误； 因为，所以， 所以不存在，使得，故C错误； 因为与在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递增， 又，所以，都有，故D正确； 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则 _________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，由内到外代入求值即可. 【详解】∵， ∴， 故答案为：. 13. 已知，，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得可得，，再根据，计算求得结果． 【详解】由，，可得，， ． . 故答案为：. 14. 已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是____. 【答案】 【解析】 【分析】从研究入手，令，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解. 【详解】使得， 令，则原不等式转化为存在， 要求实数的最大值，不妨令则，即，， 即的最大值是. 【点睛】关键点睛：对于恒成立，存在性问题，常利用整体代换，分离参数等方法将问题转化为最值问题，从而简化问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合. （1）若时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用并集，补集与并集的概念求解； （2）由得，分为与两种情况讨论，列出不等式求解. 【小问1详解】 因为，所以，又， 所以； 因为或， 所以. 【小问2详解】 因为，所以. 若，即，可得，符合题意； 若，则，无解， 综上，的取值范围是. 16. 已知． （1）求的值； （2）若，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意先求，进而可得，结合两角和差公式运算求解； （2）根据题意可得，且，结合两角和差公式运算求解. 【小问1详解】 因为，则， 可得， 所以． 【小问2详解】 由题意得，， 则， 所以. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间． （2）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1）最小正周期，单调递增区间为 （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换可得，再根据周期公式可求得最小正周期，利用正弦函数的性质即得； （2）根据正弦函数的图象及性质即得． 【小问1详解】 ∵ 最小正周期， 由，， 得，， ∴单调递增区间为； 【小问2详解】 ∵，∴， ∴，∴， ∴在上最大值为(当时取到)，最小值为(当时取到). 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）求函数在上的值域； （3）设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义与，求出参数即可； （2）由（1）得，再判断单调性，然后求解即可； （3）现将“若对任意的，对任意的，使得成立”转化为“当时，恒成立”然后分类讨论求解即可. 【小问1详解】 由题意，得到， 所以，整理得到，所以， 又，得到，解得. 所以，. 【小问2详解】 由（1）可知. 设， 则， 因为，所以，则，，， 所以，即. 所以函数在上单调递增. 又，，所以函数在上的值域为. 【小问3详解】 由（2）知，可将问题转化为，当时，恒成立. 若，则在区间上为增函数，由，得到， 若，则，此时在上恒成立， 若，则在上为减函数，由，得到. 综上可知：，即实数的取值范围为. 19. 若在函数的定义域内存在区间，使得在上单调，且在上的值域为（是常数），则称为比例精灵函数，为比例精灵值. （1）判断是否是比例精灵函数.若是，求出比例精灵值；若不是，请说明理由. （2）若是比例精灵值为1的比例精灵函数，求满足条件的区间. （3）若定义在上的函数是比例精灵值为2的比例精灵函数，求的取值范围. 【答案】（1） 不是，理由为：假设是比例精灵函数，则存在区间，使得的值域为. 因为是上的增函数，所以解得， 则不存在区间，使得的值域为，即假设不成立， 故不是比例精灵函数. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据比例精灵函数的定义及一次函数的性质求解； （2）根据比例精灵函数的定义及的单调性求解； （3）根据解析式可判断在上是增函数，由比例精灵函数的定义把问题转化为“关于的方程在内有两个不同的实根”，设，然后利用二次函数的性质求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是比例精灵值为1的比例精灵函数， 则存在区间，使得的值域为. 因为在和上单调递增， 所以是上的增函数. 所以 解得即所求区间为. 【小问3详解】 设， 因为和在上都是增函数， 所以在上是增函数. 因为在是增函数，所以在上是增函数. 因为是比例精灵值为2的比例精灵函数， 所以存在，使得的值域为， 即 所以关于的方程在内有两个不同的实根， 则关于的方程在内有两个不同的实根， 即关于的方程在内有两个不同的实根. 设，则. 设. 因为，所以. 因为，，， 当时，单调递减；当时，单调递增， 所以，解得， 即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈师大青冈实验中学20242025学年度期末考试 高一数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若一个扇形的半径为3，圆心角为，则这个扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数过定点M，点M在直线上且，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 6. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却．1min后物体的温度是，那么该物体的温度降至还需要冷却的时间约为（参考数据：）（ ） A. 2.9min B. 3.4min C. 3.9min D. 4.4min 7. 已知函数，若方程有四个不同的实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列叙述中正确的是（ ） A. 若，则 B. “，”的否定是“，” C. a，b，，则“”的充要条件是“” D. 若命题“，”为假命题，则实数m的取值范围是 10. 函数的图象，如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 函数是奇函数 C. 的图象关于点对称 D. 若在上有且仅有三个零点，则 11. 已知函数，.下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. C. ，使得 D. ，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则 _________. 13. 已知，，则的值为________. 14. 已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是____. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合. （1）若时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知． （1）求的值； （2）若，且，求的值． 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间． （2）求在区间上的最大值和最小值． 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）求函数在上的值域； （3）设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围. 19. 若在函数的定义域内存在区间，使得在上单调，且在上的值域为（是常数），则称为比例精灵函数，为比例精灵值. （1）判断是否是比例精灵函数.若是，求出比例精灵值；若不是，请说明理由. （2）若是比例精灵值为1的比例精灵函数，求满足条件的区间. （3）若定义在上的函数是比例精灵值为2的比例精灵函数，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $