上海市宜川中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

上海市宜川中学2024-2025学年高一上学期期末数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．已知全集U＝（﹣∞，1）∪[2，+∞），集合A＝（﹣1，1）∪[3，+∞），则＝　 　． 2. 不等式的解集为 . 3. 化简： 4.已知关于x的函数在区间[1，+∞）上是严格减函数，且在该区间函数值不恒为负， 则实数a＝　 　． 5．用cotα和cotβ表示cot（α+β）＝　 　． 6．已知一个扇形的周长是16，面积是12，则其圆心角的弧度＝　 　． 7.已知a∈R, 关于x的函数不是奇函数也不是偶函数，那么a的取值范围是 . 8.下列关于x的函数中，在其定义域上是增函数的是 (填序号)： . ①； ②； ③； ④； ⑤. 9.若不等式-对恒成立，则实数m的取值范围是 . 10. 已知角α、β均为锐角，且 那么当 时，＝　 　． 11．已知函数，若对于任意的正整数，在区间上存在个实数、、、、，使得成立，则的最大值为 . 12．已知函数y＝f（x）的定义域为（0，+∞），若存在常数T＞0，使得对任意的x∈（0，+∞）， 都有f（Tx）＝f（x）+T，且y＝f（x）的图像是一条连续不断的曲线，则函数y＝f（x）的值域为 . 二、选择题 13. 古人云“一层不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个( )条件是“能扫天下” A. 充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 14.已知a，b，c∈R且a≠0, 那么关于x的不等式 其解集不可能是（ ） A R B.(-2，-1)∪(2，3) C. (-2，-1) D. 15.对任意实数a和正整数k，定义集合 集合当N中的元素个数为4个时，k的值不可能是( ). A.5 B.6 C.7 D.8 16.已知定义在上的函数，对于给定集合A，若对任意，当时都有， 则称是“A封闭”函数．已知给定两个命题： ：若是“封闭”函数，则是“封闭”函数（k）． ：若是“封闭”函数，则在区间上严格减．则下列正确的判断为（    ） A．是真命题，是真命题 B．是假命题，是真命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是假命题 三、解答题 17. 在△ABC中, 已知a=2,（1）若求该三角形的外接圆半径R； （2）当时，求该三角形面积的最大值. 18．已知． （1）求的值；（2）求tan（α+β）的值． 19．已知函数是偶函数 （1）求a的值；（2）若函数的图像与函数的图像没有交点，求实数b的取值范围； （3）若函数，是否存在实数k使得的最小值为． 20． 为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度 （单位：毫克/立方米）随着时间(单位：小时)变化的函数关系式近似为．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和． 由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用． （1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1，参考数据：，） （2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后再喷洒2个单位的净化剂，设第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为(毫克/立方米)，其中． ①求的表达式；②求第二次喷洒后的3小时内空气中净化剂浓度的最小值． 21．已知函数的定义域为，现有下面两种对变换的操作： 变换：，其中；变换：，其中． （1）若，，对进行变换后得到函数，解方程； （2）若，对进行变换后得到函数，解不等式； （3）若函数在上是严格增函数，对函数先作变换，再作变换，得到函数， 对函数先作变换，再作变换，得到函数．对任意，若恒成立， 证明：函数在上是严格增函数. 上海市宜川中学2024-2025学年高一上学期期末数学试卷解析 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（﹣∞，1]∪[2，3）【分析】根据已知条件，结合补集的定义，即可求解． 【详解】全集U＝（﹣∞，1）∪[2，+∞），集合A＝（﹣1，1）∪[3，+∞）， 则＝（﹣∞，1]∪[2，3）．故答案为：（﹣∞，1]∪[2，3）． 2.【详解】不等式00. 3.cosα【分析】根据诱导公式以及同角三角函数的关系化简即可． 【详解】原式＝＝＝cosα． 4.a=-1或0【分析】先进行分离变形，然后结合反比例函数的单调性即可求解． 【详解】由已知，x≠﹣2，又函数在区间[1，+∞）上是严格减函数，且函数值不恒为负， 所以，解得-1，又因为所以a=-1或0.故答案为：a=-1或0. 5.【分析】利用两角和与差的三角函数公式求解． 【详解】cot（α+β）＝＝＝＝． 6.6或.【分析】直接利用扇形的周长公式和面积公式建立方程组，进一步求出圆心角的大小． 【详解】设扇形的半径为r，扇形的弧长为l，所以，解得或； 当r＝2，l＝12时，利用l＝rθ，解得θ＝6；当r＝6，l＝4时，利用l＝rθ，解得． 【点晴】本题考查的知识要点：扇形的周长和面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题． 7. .【详解】若函数为奇函数，则即 解得；若函数为偶函数，则即，解得 , 故函数不是奇函数也不是偶函数时，a的取值范围为. 8.下列关于x的函数中，在其定义域上是增函数的是 (填序号)： . ①； ②； ③； ④； ⑤. 8. ③⑤.【详解】①函数在和上是增函数，但在定义域上不是增函数；②函数在定义域上不是增函数；③函数在定义域R上是增函数； ④函数在和，+上是增函数，但在定义域R上不是增函数； ⑤函数在定义域R上是增函数.故填③⑤. 9.若不等式-对恒成立，则实数m的取值范围是 . 9.，+【详解】由题意：不等式-对恒成立，又因为， 所以 恒成立，设则是对勾函数， 且在时取得最大值为所以m的取值范围是，+故答案为：，+. 10. 已知角α、β均为锐角，且 那么当 时，＝　 　． 10. 【详解】由得 ，则 由角α，β均为锐角，且 得 则于是所以 .故答案为： 11．已知函数，若对于任意的正整数，在区间上存在个实数、、、、，使得成立，则的最大值为 . 11．6【详解】因为，∴在区间上最大值为，最小值为， ，即m的最大值为6. 12．已知函数y＝f（x）的定义域为（0，+∞），若存在常数T＞0，使得对任意的x∈（0，+∞）， 都有f（Tx）＝f（x）+T，且y＝f（x）的图像是一条连续不断的曲线，则函数y＝f（x）的值域为 . 【分析】设g（x）＝f（x）﹣m，m∈R，可知g（x）具有性质P（T），分g（1）＝0，g（1）＞0 和g（1）＜0三种情况，结合零点存在性定理得出g（x）在（0，+∞）上存在零点，即可证明． 【详解】设n∈N*，因为f（Tx）＝f（x）+T，所以f（Tnx）＝f（x）+nT，设g（x）＝f（x）﹣m，m∈R， 因为g（Tx）＝f（Tx）﹣m＝f（x）﹣m+T＝g（x）+T，所以g（x）具有性质P（T），g（Tn•x）＝f（x）+nT﹣m，令x＝1得，g（Tn）＝f（1）+nT﹣m，①若 g（1）＝f（1）﹣m＝0，则函数g（x）在（0，+∞）存在零点； ②若g（1）＝f（1）﹣m＜0，即f（1）＜m时，当时，g（） ＝f（1）+n0T﹣m＞f（1）+T（）﹣m＝0，即g（）＞0，所以 g（x）在区间（0，+∞）存在零点； ③若 g（1）＝f（1）﹣m＞0，即f（1）＞m，因为f（x）＝f（Tnx）﹣nT，所以 f（Tn）＝f（1）﹣nT， 所以 g（Tn）＝f（1）﹣nT﹣m，当时， g（）＝f（1）﹣n0T﹣m＜f（1）﹣T（）﹣m＝0，即g（）＜0， 所以g（x）在区间（0，+∞）存在零点； 综上所述，∀m∈R，g（x）＝f（x）﹣m 都存在零点，即都有 f（x）＝m∈R，即函数y＝f（x）的值域为R． 13．B【详解】由题意知"能扫天下"是"能扫一屋"的充分条件，即"能扫一屋"是"能扫天下"的必要条件，故选B. 14．A【详解】a，b，c∈R且a≠0, 关于x的不等式 当a=1，b=c=3时，不等式①的解集为(-2，-1)，排除C； 当a=，b=--，c=-时，不等式①的解集为(-2，-1)∪(2，3)，排除B； 当a=-1，b=3，c=-3时，0恒成立，不等式①的解集为，排除D；故选A. 15.对任意实数a和正整数k，定义集合 集合当N中的元素个数为4个时，k的值不可能是( ). A.5 B.6 C.7 D.8 15． B【详解】由题意得，集合M中的元素为,即在区间 [a，a+2π]上等间隔地取k个点,集合N中的元素为，即函数y=sinx在区间[a，a+2π]上等间隔地取k个点所得的函数值.因为N中的元素个数为4个,即函数y=sinx在区间[a，a+2π]上等间隔地取k个点所得的函数值有4个，所以k＞4，所以k的最小值为5， 当k=5时，在[a，a+2π]上等间隔地取5个点,此时N中的元素个数为4个，故k可以为5，排除A； 当k=6时，在[a，a+2π]上等间隔地取6个点，此时N中的元素个数为5个,故k不可能为6,故选B； 当k=7时,在[a，a+2π]上等间隔地取7个点，此时N中的元素个数为4个,故k可以为7,排除C； 当k=8时,在[a，a+2π]上等间隔地取8个点，此时N中的元素个数为4个，故k可以为8,排除D.故选B. 16.已知定义在上的函数，对于给定集合A，若对任意，当时都有， 则称是“A封闭”函数．已知给定两个命题： ：若是“封闭”函数，则是“封闭”函数（k）． ：若是“封闭”函数，则在区间上严格减．则下列正确的判断为（    ） A．是真命题，是真命题B．是假命题，是真命题C．是真命题，是假命题D．是假命题，是假命题 16．C【分析】通过定义进行证明若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数，命题为真命题， 再举出反例得到命题为假命题.【详解】命题：若是“封闭”函数，即对，都有， 对于集合，任意的，使得，则，而 ，所以，故一定是“封闭”函数，命题正确； 命题：不妨设，，当时，， 此时是“封闭”函数，但为单调递增区间，命题是假命题.故选：C. 17. 在△ABC中, 已知a=2,（1）若求该三角形的外接圆半径R； （2）当时，求该三角形面积的最大值. 17.（1）R=2或1；（2）2+. 【详解】（1）∵， ∵0 =或即2R===4或2，该三角形的外接圆半径R=2或1； （2） ∵，，0∵====4， b=4，c=4=4=2， bc=22+，该三角形面积的最大值为. 18．已知． （1）求的值；（2）求tan（α+β）的值． 【分析】（1）利用cos ＝cos[（α﹣）﹣（﹣β）]，求出相关的三角函数值即可求解； （2）求出相关角的范围，利用tan（α+β）＝，求解即可． 【详解】（1）cos（α﹣）＝﹣，且α∈（，π），β∈（0，），α﹣∈（）， ∴sin（α﹣）＝＝，sin（﹣β）＝，且α∈（，π），β∈（0，）， ﹣β∈（），cos（﹣β）＝＝， cos ＝cos[（α﹣）﹣（﹣β）]＝＝﹣； （2）α∈（，π），β∈（0，）．α+β∈（），∈（）， ∵cos ＝﹣，∴∈（），sin＝＝， tan＝，tan（α+β）＝＝＝＝． 【点晴】本题考查二倍角公式的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，注意角的范围，考查计算能力． 19．（1）；（2）；（3）存在.【分析】（1）由奇函数的性质求解即可得出答案； （2）将题意转化为无解,令，由的单调性求出的值域即可求出 实数b的取值范围；（3）令，则，，讨论，和，求出，即可得出答案.【详解】（1）∵函数是偶函数，∴， 即恒成立，∴，∴； （2）若函数的图像与函数的图像没有交点，则方程无解， 即无解，令, ∵在上是单调减函数，且，∴， ∴； （3）由题意，，令则，， ∵函数的图像开口向上，对称轴为，则 ①当即时，当时，函数的最小值，解得； ②当即时，当时，函数的最小值，解得（舍去）； ③当即时，当时，函数的最小值，解得（舍去）； 综上所述，存在满足条件． 20．（1），（2）①（），②28毫克/立方米. 【分析】（1）根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，浓度， 分类讨论解出即可；（2）①由题意可得（）， ②由于可化为，然后利用基本不等式可求出其最小值. 【详解】（1）根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，浓度， 则当时，由，得，所以，当时，由， 得，，得，所以， 综上，，所以一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达小时； （3）①由题意可知，第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后的浓度为（毫克/立方米）， 所以第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为（）； ②（），当且仅当，即时取等号，所以第二次喷洒小时时空气中净化剂浓度达到最小值 28毫克/立方米.【点睛】此题考查了函数的实际应用、分段函数的意义和性质、基本不等式、分类讨论的思想， 考查分析问题的能力，解题的关键是正确理解题意，求出 （），然后利用基本不等式求出其最小值，属于较难题 21．（1）；（2）或；（3）证明见解析. 【分析】（1）根据函数的变换可得函数解析式，解方程即可；（2）根据函数的变换可得函数解析式，即可得不等式 ，分情况解不等式即可；（3）根据函数变化可得函数解析式，由可得 ，由， 可知且，结合函数在上是严格增函数，可知当时，， 即可得，再利用定义法证明函数单调性. 【详解】（1）由已知可得，又，即，解得； （2） 由已知，又，即，由已知，则当，即时，，解得或， 即或；当，即时，，即， 不等式恒成立，即；综上所述，或； （3） 由题意对函数先作变换可得， 再作变换，得到函数， 对函数先作变换可得，再作变换，得到函数， 所以对任意，，当时，，又函数在上是严格增函数，则，即，由于， 可知且，若其中，则，即当时，， 任取，令，存在，使，由函数在上是严格增函数， 可知，则， 依此类推可得，即，即函数在上是严格增函数. 成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$