北京市通州区2024-2025学年高三上学期期末摸底考试数学试卷

2025年北京市通州区高三上学期期末数学试卷 本试卷共9页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1. 已知全集，集合，则 A. B. C. D. 2. 若复数满足，其中为虚数单位，则 A. B. C. D. 3. 已知函数，则 A.是偶函数，且在上是增函数 B.是偶函数，且在上是减函数 C.是奇函数，且在上是增函数 D.是奇函数，且在上是减函数 4. 在二项式的展开式中，常数项为 A. B. C. D. 5. 圆与圆的位置关系是 A.相交 B.内切 C.外切 D.外离 6. 设为的一个排列，则满足的不同排列的个数为 A. B. C. D. 7. 已知直线，双曲线，则“”是“直线与双曲线无交点”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8. 如图某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，先需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为元，则该零部件的防腐处理费用是 A.元 B.元 C.元 D.元 9. 关于函数，有下列命题： ①若，则； ②的图象可由向左平移得到； ③若且，则一定有； ④函数的图象关于直线对称. 其中正确命题的个数有 A. B. C. D. 10. 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且，下列说法正确的是 A.当时，数列为递减数列 B.数列不可能为等比数列 C.当，，都有 D.当时，，，都有 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11. 已知函数，则_________. 12. 三个班共有120名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）： A班 6 6.5 7 7.5 8 8 B班 6 7 8 9 10 11 12 C班 4 6.5 8 8.5 10 12.5 13.5 估计A班的人数有_________人；设B班体育锻炼时间的方差为，C班体育锻炼时间的方差为，则_________（填：）. 13. 已知抛物线的焦点为，点在上，若，则线段的中点的横坐标为_________. 14. 已知是同一平面上的三个向量，满足，，则与的夹角等于_________；若与的夹角为，则的最大值为_________. 15. 如图，正方形和正方形所在的平面互相垂直. 为中点，为正方形内一点（包括边界），且满足，为正方形内一点（包括边界），设，给出下列四个结论： ①，使； ②，使； ③点到的最小值为； ④四棱锥体积的最大值为. 其中正确结论的序号是_________. 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16.（本小题13分） 在中，. （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，边上中线的长为2，求的面积. 17.（本小题14分） 如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，平面， 是的中点. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值. 条件①：平面平面； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答， 按第一个解答计分. 18.（本小题13分） 为服务北京城市副中心三大文化建筑（北京艺术中心，北京城市图书馆和北京大运河博物馆）游客差异化出行需求，北京市交通委于2024年开通三大文化建筑周边自动驾驶微公交接驳服务. 无人驾驶微公交每辆车满载可乘坐9名乘客，为预测未来某站点在客流量高峰期乘车人数的规律，收集了以往某个客流量高峰期连续20辆微公交的乘车人数数据. 如下： 车次序号 乘车人数 110号 8 9 9 9 8 9 9 9 9 7 1120号 9 9 8 9 9 9 9 9 7 8 用频率估计概率. （Ⅰ）试估计该站点客流量高峰期微公交乘车人数为9人的概率； （Ⅱ）假设微公交乘车人数相互独立，记为未来该站点客流量高峰期两辆微公交乘车人数之和，求的分布列及数学期望； （Ⅲ）假设客流量高峰期该站点每辆微公交乘车人数只受前一辆微公交乘车人数影响，若该站点连续两辆微公交都满载9人的概率不低于，则需要缩短连续两辆微公交的时间间隔，判断公交公司在客流量高峰期是否需要缩短发车间隔.（写出结论，不用说明理由） 19.（本小题15分） 已知椭圆，以椭圆的一个焦点和短轴端点为顶点的三角形是边长为2的等边三角形. （Ⅰ）求椭圆的方程及离心率； （Ⅱ）斜率存在且不为0的直线与椭圆交于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点. 在轴上是否存在定点，使得（为坐标原点）？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 20.（本小题15分） 已知在点处与轴相切. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）若，求证. 21.（本小题15分） 定义：若正整数能表示成（为正整数且）的形式，则称为“型数”，也称具有“结构”. 若数列中的项均为“型数”，则称数列为“型数列”. （Ⅰ）写出这四个数中的“型数”； （Ⅱ）若为等差数列，且，，求证中任意一项均不为“型数”； （Ⅲ）若数列，均为“型数列”，设，求证数列为“型数列”. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$