安徽省宿州市宿城第一初级中学2024—2025学年上学期期末测试九年级数学试题

安徽省宿州市宿城第一初级中学2024—2025学年度第一学期期末测试 九年级数学 试卷满分为 150分，考试时间为 120 分钟 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的. 1．方程的解是（    ） A． B．， C． D．， 2．在中，，，那么（   ） A． B． C． D． 3．如图是从三个方向看一个几何体所得到的形状图，则这个几何体是（    ） A． B． C． D． 4．在一个不透明的盒子中装有30个白、黄两种颜色的乒乓球，这些乒乓球除颜色外都相同． 班长进行了多次的摸球试验，发现摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.3左右，则盒子中的白色乒乓球的个数可能是（    ） A．21个 B．15个 C．12个 D．9个 5．若关于x的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限 6．已知点、在二次函数的图象上．若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．设、分别为一元二次方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．10 D．11 8．二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，垂足为，若 ，，则 的长为（   ） A． B． C． D． 10．如图菱形的边长为，，，动点P，Q同时从点A出发，都以的速度分别沿和的路经向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形的面积为y（单位：），则y与x之间的函数关系可用图象表示为（　　） A． B．C． D． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得对应抛物线的函数表达式为 ． 12．如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为 13．如图，抛物线交轴于点，和点，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，点的坐标为 ． 14．如图，在矩形中，P，Q为对角线上两点，以为对角线的正方形的顶点E，F分别在边上． （1）若，，则 ； （2）若，则的值为 ．（用含n的代数式表示） 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15．计算：． 16．【观察思考】 【规律发现】（1）请用含n的式子填空：第n个图案中，“”的个数为 ，“△”的个数可表示为 ．（除去最外层的△） 【规律应用】 （2）按上述规律，问第几个图案中，“△”的个数是“”的个数的3倍． 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17．如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，点O是格点． (1)以点O为位似中心，画出ABC的位似图形，使ABC与在点O的同侧，与ABC的位似比为2：1； (2)将（1）中的绕点逆时针旋转90°得到，画出． 18．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分．    (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作，交的延长线于点，连接若，，求的长． 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19．2024年5月，“嫦娥六号”突破月球逆行轨道设计与控制、月背智能采样和月背起飞上升等关键技术，实施月球背面自动采样返回，同时开展着陆区科学探测和国际合作，如图，在斜坡上有一瞭望台，斜坡的坡度为，坡长为50米， 雷达的高度为10米，火箭发射，雷达中心测得火箭底端点的俯角为，仅2秒的时间，测得火箭上升至的处的仰角为，请根据以上数据估算火箭发射时速度．（结果保留整数，参考数据：，，） 20．如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象分别交于、两点，点，点是线段的中点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出时自变量的取值范围． 六、(本题满分12分) 21．某校为了预防“校园欺凌”，对本校的所有学生进行校园安全教育，并对学生进行了安全教育测试（满分100分），将成绩得分用x表示，根据得分将成绩分为A．；B．；C．；D．四个等级．现选取部分学生的测试成绩，并绘制了如下尚不完整的统计图． 请根据统计图中的信息，解答下列问题． (1)共选取了__________名学生；在扇形统计图中，B等级所对应扇形圆心角的度数为__________，并补全条形统计图． (2)若该校共有2000名学生，请估计成绩位于D等级的学生人数． (3)若成绩位于A等级的4名学生中有1名来自七年级，其余3名来自九年级，现从这4名同学中任选2人，求其中一名是七年级学生，另一名是九年级学生的概率． 七、(本题满分12分) 22．如图1，四边形是正方形，点E在边的延长线上，点F在边上，且，连接交于点P，连接交于Q，连接．    (1)求证：； (2)如图2，连接，若，求的长； 八、(本题满分14分) 23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点．经过点A的直线与该二次函数图象交于点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式及点C的坐标； (2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线上方时，过点P作轴于点E，与直线交于点D，设点P的横坐标为m． ①m为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点P，使得与相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宿城第一初级中学2024—2025学年度第一学期期末测试 九年级数学 试卷满分为 150分，考试时间为 120 分钟。 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的. 1．方程的解是（    ） A． B．， C． D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查“因式分解法”解一元二次方程，根据方程特点，用“因式分解法”进行求解即可．解题的关键是能够根据所给方程特点选择合适的求解方法． 【详解】解： 移项得：， 因式分解得：， 解得：，． 故选：B． 2．在中，，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握三角函数的定义是解答本题的关键．设，根据勾股定理求出，然后根据余弦定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， ∴． 故选D． 3．如图是从三个方向看一个几何体所得到的形状图，则这个几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三视图的定义判断即可． 【详解】解：观察三视图，从正面看到的是两个长方形，左视图是个长方形，俯视图是三角形， 所以这个几何体是三棱柱， 故不符合题意，符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查的是根据三视图还原几何体，掌握三种视图的观察方法及简单几何体的视图形状是解题的关键． 4．在一个不透明的盒子中装有30个白、黄两种颜色的乒乓球，这些乒乓球除颜色外都相同． 班长进行了多次的摸球试验，发现摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.3左右，则盒子中的白色乒乓球的个数可能是（    ） A．21个 B．15个 C．12个 D．9个 【答案】A 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设袋中有白色乒乓球x个，列出方程求解即可． 【详解】解：设袋中有白色乒乓球x个，由题意得＝0.3， 解得x＝21． 故选：A． 【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用黄球的概率公式列方程求解得到黄球的个数． 5．若关于x的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、反比例函数的图象和性质. 先利用一元二次方程无实数根得到，解得，则，根据反比例的图象和性质即可判断反比例函数的图象所在的象限. 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得， ∴， ∴反比例函数的图象所在的象限分别位于第一、三象限， 故选：C 6．已知点、在二次函数的图象上．若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数解析式确定出抛物线的对称轴，再根据二次函数的增减性解答． 【详解】解：的对称轴为：直线， ∵， ∴时y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的增减性，二次函数的对称轴是关键． 7．设、分别为一元二次方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系即可得出，，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：∵，分别为一元二次方程的两个实数根， ∴，， 则． 故选：A． 8．二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称轴的位置确定，，由抛物线与y轴的交点位置确定，然后利用排除法即可得出正确答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵二次函数的图象的对称轴在y轴的右侧，且交y轴的正半轴， ∴，， ∴反比例函数的图象必在一、三象限， 一次函数的图象必经过一、二、四象限，故选项C符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键． 9．如图，在中，，，垂足为，若 ，，则 的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，同角的余角相等，由同角的余角相等得，则，设，则，然后通过勾股定理求出的值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， 故选：． 10．如图菱形的边长为，，，动点P，Q同时从点A出发，都以的速度分别沿和的路经向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形的面积为y（单位：），则y与x之间的函数关系可用图象表示为（　　） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解，根据题意结合图形，分别求出两个时间段的函数关系式，由抛物线开口方向判断是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 过点B作于H， ∴， ∴， 当时，由题意得，， ∴是等边三角形， 同理可得， ∴ 当时， 由菱形的性质可得， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合． 故选：． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得对应抛物线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数解析式在平移中的变化规律，根据规律“左加右减，上加下减．”进行解题即可． 【详解】解：由题意得 ， 故答案：． 12．如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键． 过A作轴于C，过B作轴于D，，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故答案为：． 13．如图，抛物线交轴于点，和点，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】将对称至，连接，与对称轴的交点即为，再根据直线的解析式与对称轴求解的坐标即可． 【详解】解：根据对称轴公式，可得：，解得：， 即抛物线的解析式为：， 将代入得：， 抛物线的解析式为：； 顶点坐标 ； 连接交直线于点， 此时 最小，点即为所求 ， 由，， 设直线的解析式为，将点代入得， ， 解得：， ∴直线： 当时：， ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 14．如图，在矩形中，P，Q为对角线上两点，以为对角线的正方形的顶点E，F分别在边上． （1）若，，则 ； （2）若，则的值为 ．（用含n的代数式表示） 【答案】 【分析】（1）连接交于点O，由勾股定理求出，由矩形的性质可得出，，，由正方性质的性质可得出，证明，由相似三角形的性质可得出，进一步即可求出． （2）由矩形的性质和正方形的性质证得，由全等三角形的性质进一步得出，由相似三角形的性质可得出，设，则，，则． 【详解】解：（1）连接交于点O， ∵，， ∴， ∵是矩形， ∴，，， ∵是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 得， ∴． （2）∵是矩形， ∴，， ∴， ∵是正方形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， 由（1）． 得， 设，则， ∴ 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定以及性质，相似三角形的判定以及性质， 掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式、算术平方根等考点的运算． 【详解】解：， ， ， ． 16．【观察思考】 【规律发现】（1）请用含n的式子填空：第n个图案中，“”的个数为 ，“△”的个数可表示为 ．（除去最外层的△） 【规律应用】（2）按上述规律，问第几个图案中，“△”的个数是“”的个数的3倍． 【答案】（1） （2）17 【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键． （1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）第1个图案中有“”个，“△”个； 第2个图案中有“”个，“△”个； 第3个图案中有“”个，“△”个； 第4个图案中有“”个，“△”个； ∴第n个图案中有“”个，“△”个； 故答案为：． （2）解：依题意设第x个图案中，“△”的个数是“”的个数的3倍， ∴， 解得：（舍去）或． 故第17个图案中，“△”的个数是“”的个数的3倍． 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17．如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，点O是格点． (1)以点O为位似中心，画出ABC的位似图形，使ABC与在点O的同侧，与ABC的位似比为2：1； (2)将（1）中的绕点逆时针旋转90°得到，画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用位似变换的性质，分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可． 【详解】（1）如图，图形即为所作； （2）如图，图形即为所作． 【点睛】本题考查作图-位似变换，旋转变换等知识，解题的关键是掌握位似变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型． 18．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分．    (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作，交的延长线于点，连接若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，等量代换得到，根据菱形的判定定理即可得到结论； （2）根据垂直的定义得到，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形； （2）解：， ， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ． 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19．2024年5月，“嫦娥六号”突破月球逆行轨道设计与控制、月背智能采样和月背起飞上升等关键技术，实施月球背面自动采样返回，同时开展着陆区科学探测和国际合作，如图，在斜坡上有一瞭望台，斜坡的坡度为，坡长为50米， 雷达的高度为10米，火箭发射，雷达中心测得火箭底端点的俯角为，仅2秒的时间，测得火箭上升至的处的仰角为，请根据以上数据估算火箭发射时速度．（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】火箭发射时速度约为425米/秒 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作于点，延长交的延长线于点，设，则，利用勾股定理求出的值，再利用正切的定义求出、，即可得解． 【详解】解：过点作于点，延长交的延长线于点， 在中，坡度为，米， 设，则， ∴， ∴ ∴米，米， ∵， ∴米， ∵， ∴， ∵， ∴米， ∴米， ∴（米/秒） 答：火箭发射时速度约为425米/秒． 20．如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象分别交于、两点，点，点是线段的中点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出时自变量的取值范围． 【答案】(1)； (2)6 (3)或者 【分析】（1）将代入，即可求出反比例函数解析式；根据点为的中点，点横坐标为0，点纵坐标为0，点，求出点坐标为，再利用待定系数法即可作答； （2）联立，求出的坐标． 再利用即可作答； （3）根据图象，数形结合即可作答． 【详解】（1）将代入， 得：， 解得， 即反比例函数解析式为：； ∵点为的中点，点横坐标为0，点纵坐标为0，点， ∴点坐标为， 将、代入一次函数， 得：， 解得：， 即一次函数解析式为：； （2）∵， ∴， 联立， 解得，， 即的坐标． 又∵， 则的面积是， 即所求面积为6； （3）时自变量的取值范围即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，如图， 结合图象可得：或者． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，利用函数图像解不等式．熟练掌握待定系数法是解（1）的关键，求出点C的坐标是解（2）（3）的关键． 六、(本题满分12分) 21．某校为了预防“校园欺凌”，对本校的所有学生进行校园安全教育，并对学生进行了安全教育测试（满分100分），将成绩得分用x表示，根据得分将成绩分为A．；B．；C．；D．四个等级．现选取部分学生的测试成绩，并绘制了如下尚不完整的统计图． 请根据统计图中的信息，解答下列问题． (1)共选取了__________名学生；在扇形统计图中，B等级所对应扇形圆心角的度数为__________，并补全条形统计图． (2)若该校共有2000名学生，请估计成绩位于D等级的学生人数． (3)若成绩位于A等级的4名学生中有1名来自七年级，其余3名来自九年级，现从这4名同学中任选2人，求其中一名是七年级学生，另一名是九年级学生的概率． 【答案】(1)50；，补全条形统计图见解析 (2)估计成绩位于D等级的学生共有640人 (3) 【分析】（1）由条形统计图与扇形统计图的数据关联，利用D等级数据即可得到答案；再由B等级人数所占比例即可得到B等级所对应扇形圆心角的度数，从而补全条形统计图； （2）利用样本中成绩位于D等级的学生人数占比即可估计该校共有2000名学生的情况； （3）根据题意，列表得到所有等可能的结果，由概率公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由条形统计图与扇形统计图中D等级数据可得（人）； 则B等级所对应扇形圆心角的度数为； C等级的学生人数：人， 补全条形统计图如下： （2）解：该校共有2000名学生，则成绩位于D等级的学生人数为（人）， 估计成绩位于D等级的学生共有640人； （3）解：设七年级学生为，九年级学生分别为，列表如下： 由表可知，所有等可能的情况有12种，其中一名是七年级学生，另一名是九年级学生的情况有6种，则． 【点睛】本题考查概率与统计综合，涉及条形统计图与扇形统计图的数据关联求样本容量、某项对应扇形圆心角的度数、由样本估计总体、补全条形统计图、列举法就概率等，熟练掌握统计图表及列举法求概率的方法是解决问题的关键． 七、(本题满分12分) 22．如图1，四边形是正方形，点E在边的延长线上，点F在边上，且，连接交于点P，连接交于Q，连接．    (1)求证：； (2)如图2，连接，若，求的长； 【答案】(1)证明见解析 (2)①   ② 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和全等三角形的判定是解题的关键． （1）过点E作交的延长线于点G，证明，即可得到结论； （2）①连接，证明,则，得到是等腰直角三角形，由（1）知：点Q是的中点，则，证明，则，得到，设，根据勾股定理，得，得到，，Q是的中点，即可得到；②过F作，证明四边形是矩形，进一步得到，设，则，证明，则，得到，求出，得到，证明，得到，则，即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图1，过点E作交的延长线于点G，    ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴； （2）解：如图2，连接，    ∵四边形是正方形， ∴ ∵， ∴, ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， 由（1）知：点Q是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， 根据勾股定理，得， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵，Q是的中点， ∴； 八、(本题满分14分) 23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点．经过点A的直线与该二次函数图象交于点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式及点C的坐标； (2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线上方时，过点P作轴于点E，与直线交于点D，设点P的横坐标为m． ①m为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点P，使得与相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①时，长度最大为；②存在，或 【分析】（1）把点O，A，B代入求解，利用待定系数法求出直线解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐标； （2）①根据P、D的坐标求出，然后根据二次函数的性质求解即可；②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出，然后分，两种情况讨论，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可． 【详解】（1）∵二次函数经过，，， ∴将三点坐标代入解析式得 ， 解得：，，， ∴二次函数的解析式为：； ∵直线经过A、B两点，设直线解析式为：， ∴将A、B两点代入得， 解得：，， ∴直线解析式为：， ∵点C是直线与y轴交点， ∴令，则， ∴． （2）①∵点P在直线上方， ∴， 设， ， ∴ ， ， ∵ ∴当时， 是最大值； ②存在，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， 当时， ， ∴ ∴轴 ∴P的纵坐标为3， ∴把代入，得， 解得：，， ∴， ∴， ∴P的坐标为； 法一：当时， ， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由①知， ∵， ， ∴， ∵， ∴， 解得，（舍）， ∴； 方法二：当△PBD∽△AOC时， ∴， 过B作轴，作，作， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ∴， 解得，（舍）， ∴， ∴； ， 方法三：如图，过B作于F， 则，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴P的坐标为 综上，存在点P使与相似，此时P的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键。 2 学科网（北京）股份有限公司 $$