专项3 图形分割与拼接-小升初奥数思维提升讲义

小升初经典奥数——图形的分割与拼接 16种类型讲练测 本章讲义在立足课本的基础上，对重难点进行引申和拓展，有机渗透各种数学思想和创新思维方法，通过剖析竞赛真题，将课本知识内联和外延、迁移和重组，使课本与竞赛一体化，使奥数不再遥不可及！ 三大板块： 经典范例——通过解题思路及技巧的点拨，领会解题原理，建立思维模型。 巩固提升——在“经典范例”的基础上强化解题能力，巩固知识点。 综合测试——提升综合能力，累积考试经验。 朱熹曰：有疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进。我期盼，通过本章讲义，让更多的孩子思维得到发展，素养得到提升！ ‌‌ 一、图形的‌分割是将一个平面图形分成两个或多个部分，而拼合则是将这些部分重新组合成一个完整的图形。这两种操作在几何学中有着重要的应用，不仅有助于理解图形的性质，还在解决几何问题时提供辅助线的方法。 在解决几何问题时，图形的分割与拼合常用于辅助线的绘制。通过合理的分割与拼合，可以简化问题的复杂性，帮助找出解决问题的线索。例如，在证明某些几何定理时，通过分割和拼合图形，可以直观地展示定理的成立条件。 通过掌握这些基本方法和技巧，可以更好地理解和应用图形的分割与拼合，提升几何问题的解决能力。 二、小正方形几种基本组合方式： 1.由3个小正方形组成的图形只有2种情况。 2.由4个小正方形组成的图形只有5种情况。 【长方形分割】 将长10cm、宽9cm 的长方形分割成若干个边长为整数厘米的小正方形,怎样能使分割成的小正方形数目尽量少? 【思维点拨】要从尽可能少的角度去分析，应该先从最大的小正方形入手。通过逐一分析计算得出小正方形边长为5厘米的2个，4厘米的2个，2厘米的2个，一共6个。 一张长13cm、宽11cm的长方形纸片，最多可以裁成多少个长5cm、宽3cm的小长方形?怎样裁? 【三角形分割】 用四种不同的方法将任意一个三角形分成四个面积相等的三角形。 【思维点拨】可以采用等底等高的底高模型或一半模型方法分割。 分割方法不唯一 用两条平行线将右图所示的等腰直角三角形划分成面积分别为1cm2、3cm2、4cm2的三部分(画图表示)。 【方格纸分割】 下图是一个3×4的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分,但要保持每个小方格的完整。 【思维点拨】根据题意分成面积相等的两部分，且保持小方格要完整，所以每部分的小方格为12÷2=6块。 1.如图是一个4×4的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分,但要保持每个小方格的完整。 2.将下列各图各自分成四个大小相等、形状相同的图形: 【带圆圈方格纸分割】 将下列各图各自分成大小、形状都相同的三块，并且每块带一个小圆圈。 【思维点拨】一共12个小正方形，要被分成大小、形状都相同的三个部分，每个部分是由4个小正方形组成的图形。由4个小正方形组成的图形有下图中的五种情况，还要求包括“○”，所以在相邻“○”的位置一定有分割线，经过尝试发现，只有“Z”形可以。 将下列各图各自分成大小、形状相同的四块，并且每块都带一个小圆圈。 【直角梯形分割】 如图是一个直角梯形，BC=2CD,试将其分成四个大小相等、形状相同的图形。 【思维点拨】因为底角为60°，所以∠C=360°-90°×2-60°=120°，所以可以把∠C平分成2个60°的角，再根据梯形上下底平行的特点进行作图。 【作法】过梯形高AD中点G作AB的平行线与过底边AB的中点E作腰BC的平行线相交于于点F，连接CF；过EF的中点作BC的垂线即可。作图如下： 右图是一个直角梯形(单位:cm)。请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形。 【基本图形分割与拼接】 试将一个正方形分成相同的四块，然后用这四块分别拼成三角形、平行四边形和梯形。 【思维点拨】要拼成三角形，必须要把正方形分割成4个大小形状相同的直角三角形。 作图如下： 1.试将任意一个矩形分成三块,然后拼成一个三角形 2.试将任意一个三角形分成三块，然后拼成一个长方形。 3.试将任意一个凸四边形分成四块，然后拼成一个平行四边形。 【方格纸分割与拼接】 试将一个4×9的长方形分割成两个大小相等、形状相同的图形,然后拼成一个正方形。 【思维点拨】图形变换后面积不变，长方形的面积等于正方形的面积为4×9=6×6，可以得出变换后正方形的边长为6。 作图如下： （剪拼方法不唯一） 1.将下列各图各自分成四个形状、大小都相同的图形然后各拼成一个正方形: 2.将右图分成两块,然后拼成一个正方形。 【多个图形分割与拼接】 将两个相同的正方形纸片剪成若干块，然后拼成一个大正方形。 【思维点拨】分割一个三角形再相拼或两个三角形同时分割成两部分再相拼。 作图如下： 1.将两个边长分别为a,b(a≠b)的正方形纸片剪成若干块,然后拼成一个大正方形。 2.将下图所示的图形剪拼成一个中间有一个方孔的正方形。 【多边形分法】 用对角线把正六边形分成互不重叠的四个三角形，共有多少种不同的分法?(注:通过旋转或翻转可以相互得到的分法,认为是同一种分法。) 【思维点拨】有3种作图方法。 作图如下： 1.用对角线将正七边形分成互不重叠的五个三角形，共有多少种不同的分法?(注:通过旋转或翻转可以相互得到的分法认为是相同的分法。) 2.在一个圆周上有七个点，正好将圆周七等分。以这些点为顶点作三角形,可以作出多少个等腰三角形? 【方格纸分法】 有一块4×4的正方形网格4cm纸，要求沿格线将它分割成大小、形状完全相同的两部分。问:共有多少种不同的分法? 【思维点拨】有22种，如果允许旋转和翻转，则最基本的有6种（1、3、7、11、15、19）。作图如下： 如图是一个4×4的黑白相间的棋盘，把它沿格线分成形状不同或黑白格布局不同的若干块，最多能分成多少块? 【三角形分法】 用两个如左下图所示的相同的直角三角形，可以拼成多少种不同的四边形? 【思维点拨】直角边重合2种，斜边重合2种，共有4种。作图如下： 1.用一块长100m、宽5dm的长方形布裁剪成如右上图(单位:dm)所示没有接头的卫生巾,最多可以裁剪出多少条这样的卫生巾? 2.用四个同样的不等腰的直角三角板拼出一个外面是正方形,里面有正方形孔的图形,有多少种不同的方法? 【图形的拼法】 拼成一个正方形最少要用多少个如图所示的图形? 【思维点拨】因为原题图形有3个小正方形，所以拼成的正方形应是3的倍数。 作图如下： 1.能否用15个如图所示的图形拼成一个 9×5的长方形? 2.现有若干个边长为1、边长为2、边长为3的小正方形,从中选择一些小正方形拼成一个边长为4的大正方形，所有不同的拼法共有多少种?(注:只要选择的各种小正方形的数目相同就算相同的拼法。) 【相连电影票的撕法】 小明买了6张不同的电影票（见左下图），他想撕下相连的4张，共有多少种不同的撕法? 【思维点拨】4张组合起来的图形有四种形状。形如A、B、C、D的依次有4、2、2、2种。 小明有8张连在一起的电影票(如右上图),他自己要留下四张连在一起的票，其余的送给别人。他留下的四张票可以有多少种不同情况? 【点的个数】 从右图的9个交叉点中选择若干个点,使得其中任意4点都不是某个正方形(其边与原正方形的边平行)的四个顶点，这样的点最多能选择几个? 【思维点拨】根据题意，中点是每个正方形公共点，所以要拿掉；大正方形要拿掉一个点，中间的正方形也要拿掉1个点。 1.左下图中以黑点为顶点共有14个正方形。要使这14个正方形都被破坏,至少要拿掉多少个黑点? 2.在右上图的16个交叉点上放置棋子,使得其中任意4枚棋子都不是某个矩形(其边与原正方形的边平行)的顶点。这样的点最多能选择几个? 3.如左下图所示，直线L上最多能找到多少个点，使它与A,B一起组成等腰三角形的三个顶点? 【图形的摆法】 用12根长1cm的小棍摆成一个面积为6cm2的多边形(至少用三种方法)。 【思维点拨】周长为2cm ，面积为6cm2的多边形，根据平移法的方法，可以得出周长为12的长方形的周长，长与宽的和可以为12÷2=6cm。6=4+2=3+3。 作图如下： 1.用12根长1cm的小棍摆成一个面积为5cm2的多边形(至少用五种方法)。 2.每根火柴长4cm，用16根火柴围成5个正方形(如右图)。现在只准移动4根火柴，使移动后的图形中出现两个周长都是32cm的正方形。请画出三种移动后的图形来。 【涂色的方法】 给下图的每个小方格分别涂上红色或蓝色，共有多少种不同涂法?(注:两种涂法,经过旋转后颜色的相对位置相同,就认为是相同的涂法。) 【思维点拨】有4蓝，3蓝1红，2蓝2红（2种），1蓝3红，4红六种涂色方法。 1.有一批规格相同的均匀圆棒，每根划分成相同的四节,每节用红、黄、蓝三种颜色中的一种来涂。问:可以得到多少种着色不同的圆棒? 2.在4×4的方格纸中,把部分小方格涂成红色，然后划掉其中的2行与2列。如果无论怎样划都至少有一个红色的小方格没有被划掉,那么至少要涂红多少个小方格? 满分：100分 时间：60分钟 （第1～3题每题10分，其余每题7分，共100分） 1.将下列各图各自分成两个大小相等、形状相同的图形: 2.将下列各图各自分割成八个形状大小都相同的图形: 3.将下列各图各自分成两块,然后各拼成一个正方形。 4.将左下图分成大小、形状都相同的四块，并且每块带黑子和白子各一个。 5.有一块长4.8m、宽3m的长方形地毯,现要把它放到长4m、宽3.6m的房间中。请将它剪成形状、大小都相同的两块,使其正好铺满房间。 6.将一个4×4的正方形分割成三块，其中只有一块是正方形,并用它们拼成一个8×2的长方形。 7.用不超过9条线段将一个正方形分割成面积相等的10部分，同学们一定能够找出许多种分割方法。在这些分割方法中，请你找出分割线的长度总和最长与最短的两种分割方法。 8.有四个同样的面积为10cm2的直角三角形,每个三角形的两条直角边的长都是大于1的整厘米数，用这四个直角三角形围成含有两个正方形图案的图形。在可以围成的所有正方形图案中,求最小的正方形的面积和最大的正方形的面积。 9.有许多边长为1cm、2cm、3cm的正方形硬纸片。用这些硬纸片拼成一个长5cm、宽3cm的长方形的纸板,共有多少种不同的拼法?(注:通过旋转及翻转能相互得到的拼法认为是相同的拼法。) 10.一张正方形纸，只要按右图的虚线折叠起四个角，就可将其余部分覆盖住，既无重叠又无空隙。那么一张任意三角形的纸，怎样折叠起三个角，才能将其余部分覆盖住,既无重叠又无空隙?请画图表示。 11.平面上取四个点，使这四个点两两之间的距离只有两个不同数值(如右上图中，A，B，C，D四点，AB=BC=AC，AD=BD=DC)，则这四点的取法可以有多少种?(注:形状相同,大小不同的图形算一种取法。) 12.一个正方形纸片，剪去一个角后，剩下的部分有几个角(画图表示各种情况)? 13.有长度为1cm、2cm、…、9cm的木棍各1根,从中选出若干根,共可以围成几种不同边长的正方形? 【巩固提升】参考答案 一张长13cm宽11cm的长方形纸片，最多可以裁成多少个长5cm、宽3cm的小长方形?怎样裁? 【思维点拨】要从最多的角度去分析，尽量减少浪费纸片。 用两条平行线将右图所示的等腰直角三角形划分成面积分别为1cm2、3cm2、4cm2的三部分(画图表示)。 【思维点拨】总面积为4×4÷2=8（平方厘米），所以4平方厘米占总面积的一半，再把其中的一半分成4份，每份就是1平方厘米，3份就是3平方厘米。有两种分法： 1.如图是一个4×4的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分,但要保持每个小方格的完整。 作图如下： 2.将下列各图各自分成四个大小相等、形状相同的图形: 将下列各图各自分成大小、形状相同的四块，并且每块都带一个小圆圈。 作图如下： 右图是一个直角梯形(单位:cm)。请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形。 作图如下： 1.试将任意一个矩形分成三块,然后拼成一个三角形。 2.试将任意一个三角形分成三块，然后拼成一个长方形。 3.试将任意一个凸四边形分成四块，然后拼成一个平行四边形。 作图如下： 1.将下列各图各自分成四个形状、大小都相同的图形然后各拼成一个正方形: 作图如下： 2.将右图分成两块,然后拼成一个正方形。 作图如下： 1.将两个边长分别为a,b(a≠b)的正方形纸片剪成若干块,然后拼成一个大正方形。 作图如下： 2.将下图所示的图形剪拼成一个中间有一个方孔的正方形。 【思维点拨】有两种剪拼方法。见下图 1.用对角线将正七边形分成互不重叠的五个三角形，共有多少种不同的分法?(注:通过旋转或翻转可以相互得到的分法认为是相同的分法。) 【思维点拨】互不重叠的三角形，共有4种不同的分割方法。作图如下： 2.在一个圆周上有七个点，正好将圆周七等分。以这些点为顶点作三角形,可以作出多少个等腰三角形? 【思维点拨】以每一个点为顶点都有3个等腰三角形。作图如下： 如图是一个4×4的黑白相间的棋盘，把它沿格线分成形状不同或黑白格布局不同的若干块，最多能分成多少块? 【思维点拨】由一格、两格、三格构成的图形只有左下图所示的7种，共有16格，可按右下图划分（方法不唯一）。 1.用一块长100m、宽5dm的长方形布裁剪成如右上图(单位:dm)所示没有接头的卫生巾,最多可以裁剪出多少条这样的卫生巾? 【思维点拨】如右图所示,每块5×5(dm2)的布可以裁成4条卫生巾,所以共可裁成卫生巾：4×(100÷0.5)=800(条)。 2.用四个同样的不等腰的直角三角板拼出一个外面是正方形,里面有正方形孔的图形,有多少种不同的方法? 【思维点拨】有三种情况：第一以三角形两条直角边的和为拼成的大正方形的边长；第二以直角三角形的斜边为拼成的大正方形的边长；以直角三角形的较长的一条直角边为拼成的大正方形的边长（有重叠部分）。见下图 1.能否用15个如图所示的图形拼成一个 9×5的长方形? 拼法如下： 2.现有若干个边长为1、边长为2、边长为3的小正方形,从中选择一些小正方形拼成一个边长为4的大正方形，所有不同的拼法共有多少种?(注:只要选择的各种小正方形的数目相同就算相同的拼法。) 【思维点拨】用小正方形拼成边长为4的大正方形有六种情形： (1)1个3×3,7个1×1; (2)1个2×2,12个1×1; (4)3个2×2,4个1×1; (3)2个2×2,8个1×1; (6)16个1×1； (5)4个2×2。 小明有8张连在一起的电影票(如右上图),他自己要留下四张连在一起的票，其余的送给别人。他留下的四张票可以有多少种不同情况? 【思维点拨】形如A、B、C、D的依次有10,6,3,6种。如下图所示 1.左下图中以黑点为顶点共有14个正方形。要使这14个正方形都被破坏,至少要拿掉多少个黑点? 【思维点拨】以下是一种拿法：（至少拿掉4个） 2.在右上图的16个交叉点上放置棋子,使得其中任意4枚棋子都不是某个矩形(其边与原正方形的边平行)的顶点。这样的点最多能选择几个? 【思维点拨】9个，下图是一种选法。 3.如左下图所示，直线L上最多能找到多少个点，使它与A,B一起组成等腰三角形的三个顶点? 【思维点拨】以AB为底，有1个；以AB为腰有两种情况：第一种是以A为顶点，有2个；以B为顶点，有2个。 1.用12根长1cm的小棍摆成一个面积为5cm2的多边形(至少用五种方法)。 作图如下： 2.每根火柴长4cm，用16根火柴围成5个正方形(如右图)。现在只准移动4根火柴，使移动后的图形中出现两个周长都是32cm的正方形。请画出三种移动后的图形来。 作图如下： 1.有一批规格相同的均匀圆棒，每根划分成相同的四节,每节用红、黄、蓝三种颜色中的一种来涂。问:可以得到多少种着色不同的圆棒? 【思维点拨】用1,2,3分别表示红、黄、蓝三种颜色,则本题与“用1,2,3可以组成多少个不同的四位数(数字可以重复)?”有些类似。显然,用1,2,3可以组成34=81(个)不同的四位数,但81并不是本题的解。因为在这些四位数中，一个数可以与它的反序数不同，例如1112与其反序数2111就是两个不同的四位数。但在本题中,由于圆棒是均匀的,所以1112与2111表示的是同一种涂色方法。在这81个四位数中,因为有下列9个数与其反序数相同： 1111,2112,3113,1221,2222,3223,1331,2332,3333, 所以有81-9=72(个)数与其反序数不同。这72个数按互为反序数分为36组,每组的两个数表示同一种涂色方法。 所以本题的解为9+36=45(种)。 2.在4×4的方格纸中,把部分小方格涂成红色，然后划掉其中的2行与2列。如果无论怎样划都至少有一个红色的小方格没有被划掉,那么至少要涂红多少个小方格? 【思维点拨】至少要涂色7个。作图如下：（答案不唯一） 【经典测试】参考答案 1.将下列各图各自分成两个大小相等、形状相同的图形: 作图如下： 2.将下列各图各自分割成八个形状大小都相同的图形: 作图如下： 3.将下列各图各自分成两块,然后各拼成一个正方形。 作图如下： 4.将左下图分成大小、形状都相同的四块，并且每块带黑子和白子各一个。 作图如下： 5.有一块长4.8m、宽3m的长方形地毯,现要把它放到长4m、宽3.6m的房间中。请将它剪成形状、大小都相同的两块,使其正好铺满房间。 作图如下： 6.将一个4×4的正方形分割成三块，其中只有一块是正方形,并用它们拼成一个8×2的长方形。 作图如下：（答案不唯一） 7.用不超过9条线段将一个正方形分割成面积相等的10部分，同学们一定能够找出许多种分割方法。在这些分割方法中，请你找出分割线的长度总和最长与最短的两种分割方法。 【思维点拨】最长与最短的分割方法分别见左、右下图,其中最短方法中的分割线长度总和为原正方形边长的4.4倍。 作图如下： 8.有四个同样的面积为10cm2的直角三角形,每个三角形的两条直角边的长都是大于1的整厘米数，用这四个直角三角形围成含有两个正方形图案的图形。在可以围成的所有正方形图案中,求最小的正方形的面积和最大的正方形的面积。 【思维点拨】满足题意的直角三角形有下图所示的两种: 在围成的所有正方形中,左下图阴影正方形的面积最小,为(5-4)2=1(cm2);右下图的面积最大,为(10+2)2=144(cm2)。 9.有许多边长为1cm、2cm、3cm的正方形硬纸片。用这些硬纸片拼成一个长5cm、宽3cm的长方形的纸板,共有多少种不同的拼法?(注:通过旋转及翻转能相互得到的拼法认为是相同的拼法。) 【思维点拨】有一个边长为3cm纸片的有如下3种拼法： 有两个边长为2cm纸片的有如下4种拼法： 其它拼法有3种： 10.一张正方形纸，只要按右图的虚线折叠起四个角，就可将其余部分覆盖住，既无重叠又无空隙。那么一张任意三角形的纸，怎样折叠起三个角，才能将其余部分覆盖住,既无重叠又无空隙?请画图表示。 【思维点拨】假定△ABC 的三个顶角中∠B最大，沿中位线MN折叠(见下图),此时点B与点L重合,△AML与△LNC都是等腰三角形，再沿MD和NE折叠即可。 11.平面上取四个点，使这四个点两两之间的距离只有两个不同数值(如右上图中，A，B，C，D四点，AB=BC=AC，AD=BD=DC)，则这四点的取法可以有多少种?(注:形状相同,大小不同的图形算一种取法。) 【思维点拨】下图中，粗线为相等的线段，细线为相等的线段。 12.一个正方形纸片，剪去一个角后，剩下的部分有几个角(画图表示各种情况)? 【思维点拨】有下面三种情况： 13.有长度为1cm、2cm、…、9cm的木棍各1根,从中选出若干根,共可以围成几种不同边长的正方形? 【思维点拨】因为(1+2+…+9)÷4=11.25＜12,所以,边长≤11cm。因为边长6cm的正方形只能用长度不大于6cm 的木棍围,而1+2+…+6=21＜6×4=24。 所以,边长≥7 cm。 2 学科网（北京）股份有限公司 2 2 2 2 1 1 2 $$