精品解析：北京市顺义区2024-2025学年高三上学期期末质量监测数学试卷

北京市顺义区2024~2025学年第一学期期末质量监测 高三数学试卷 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数，，则对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若与垂直，则的值为（ ） A. B. 0 C D. 2 4. 在的展开式中，常数项为（ ） A. 12 B. 6 C. D. 5. 已知数列满足对任意的，都有．若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. “”是“对任意，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 某同学在劳动实践课中，用四块板材制作了一个簸箕（如图1），其底面挡板是等腰梯形，后侧挡板是矩形，左右两侧挡板为全等的直角三角形，后侧挡板与底面挡板垂直．簸箕的造型可视为一个多面体（如图2）．若，，，与之间的距离为28cm，则该多面体的体积是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，，为所在平面内动点，且，则的最小值为（ ） A. B. C D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为______． 12. 已知直线与圆交于不同的两点，．若的中点为，则______． 13. 已知等比数列的前项和为，则的公比为______；记，则的最小值为______． 14. 已知函数的图象关于直线对称，则常数的一个取值为______． 15. 已知函数的定义域为，若存在，对任意且，有，则称函数具有性质．给出下列四个函数： ①； ②； ③； ④． 其中所有具有性质的函数的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）若，，，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 在中，． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求最长边上的高． 条件①：，； 条件②：，的周长为20； 条件③：，． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 18. 某景点奶茶店的甲、乙、丙三款奶茶在国庆黄金周期间的日销售量数据，如下表（单位：杯）： 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 甲 60 65 66 65 67 66 63 乙 57 62 63 62 64 63 60 丙 55 60 61 60 62 61 58 （1）从10月1日至7日中随机选取一天，求该天甲款奶茶日销售量大于65杯的概率； （2）从乙、丙两款奶茶的日销售量数据中各随机选取1个，这2个数据中大于60的个数记为，求的分布列和数学期望； （3）记乙款奶茶日销售量数据的方差为，表格中所有的日销售量数据的方差为，试判断和的大小．（结论不要求证明） 19. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）不经过点的直线与椭圆交于不同的两点，，且．记，的面积分别为，，求的值． 20 已知函数． （1）求曲线在点处切线方程； （2）设，其中． （ⅰ）求证：在区间上有唯一的极值点； （ⅱ）设为在区间上的零点，为在区间上的极值点，比较与的大小，请说明理由． 21. 已知行列的数表的分量都是非零整数．若数表满足如下两个性质，则称数表为规范表： ①对任意，，，…，中有个，1个1； ②存在，使得，，…，都是正整数． （1）分别判断数表，是否为规范表；（直接写出结论） （2）当时，是否存在规范表满足？若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由； （3）当时，是否存在规范表满足？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市顺义区2024~2025学年第一学期期末质量监测 高三数学试卷 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合后可求它们的交集. 【详解】，， 故， 故选：B. 2. 在复平面内，复数，，则对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算和复数的几何意义即可得到答案. 【详解】， 则其所对应的点的坐标为. 故选：C. 3. 已知向量，，若与垂直，则的值为（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标形式可求的值. 【详解】因为且与垂直， 故，故， 故选：A 4. 在的展开式中，常数项为（ ） A. 12 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出展开式的通项后可求常数项. 【详解】展开式的通项公式为， 令得，故常数项为， 故选：A. 5. 已知数列满足对任意的，都有．若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件赋值可求得结果. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别画出的图像，结合图像即可求解； 【详解】分别画出的图像， 为的交点横坐标， 为的交点横坐标， 为的交点横坐标， 结合图像可知： 故选：B 7. 已知点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出动点的轨迹方程（双曲线的右支），再根据渐近线方程可求参数的范围. 【详解】因为，故在双曲线的右支上， 而半焦距，实半轴长为， 故双曲线右支的方程为：，故渐近线方程为， 而直线与双曲线右支有公共点，故， 故选：D. 8. “”是“对任意，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据两者之间的推出关系可判断条件关系. 【详解】若，则， 当时，，故； 当时，，故； 当时，， 故能推出； 反之，若对任意，， 因为时，，故，故即； 而时，，故，故即； 时显然成立，故， 故对任意，能得到， 故“”是“对任意，”的充要条件， 故选：C. 9. 某同学在劳动实践课中，用四块板材制作了一个簸箕（如图1），其底面挡板是等腰梯形，后侧挡板是矩形，左右两侧挡板为全等的直角三角形，后侧挡板与底面挡板垂直．簸箕的造型可视为一个多面体（如图2）．若，，，与之间的距离为28cm，则该多面体的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将几何体的体积转化为四棱锥和三棱锥的体积后可得正确的选项. 【详解】 因为四边形为矩形，故，而平面平面， 平面平面，平面， 故平面， 在平面中过作，垂足为，则， 同理可证平面， 而，故， ， 故几何体的体积为， 故选：C. 10. 在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可证，延长至，使得，则为的垂直平分线，根据对称可求的最小值. 【详解】 因为，故，故， 故，所以， 延长至，使得，连接，则为的垂直平分线， 故，故， 当且仅当共线时等号成立， 而， 故的最小值为， 故选：B. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据解析式得到关于自变量的不等式组，其解为函数的定义域. 【详解】由题设有，故， 故答案为：. 12. 已知直线与圆交于不同的两点，．若的中点为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂径定理可求弦长. 【详解】设圆心为，则，圆的半径为，则， 设的中点为，则， 而，故， 故答案为：. 13. 已知等比数列的前项和为，则的公比为______；记，则的最小值为______． 【答案】 ①. 2 ②. ## 【解析】 【分析】求出可得公比并求出的通项，结合与1的大小关系可求的最小值. 【详解】因为，故，而， 故公比，故，故， 故的最小值为， 故答案为： 14. 已知函数的图象关于直线对称，则常数的一个取值为______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由题意，求出的一个值后代入验证即可求解. 【详解】图象关于直线对称， ，即，. 令，得， ， 符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 15. 已知函数的定义域为，若存在，对任意且，有，则称函数具有性质．给出下列四个函数： ①； ②； ③； ④． 其中所有具有性质的函数的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用导数可判断①②④具有性质，结合函数图象可判断③不具有性质. 【详解】当时，即为， 故在的左侧，的图象在处切线下方； 当时，即为， 故在的右侧，的图象在处切线上方； 对于①，的图象如图所示： 取，而，故， 曲线在处的切线方程为， 当时，，当时，，故①具有性质； 对于②，取，而，故，而 曲线在处的切线方程为， 设，则（不恒为零）， 故在上为增函数，而， 故当时，，即； 当时，，即； 故②具有性质； 对于③，的图象如图所示，由图可得函数图象始终在切线的下方， 故③不具有性质； 对于④，取，则， 故，而， 故曲线在处的切线方程为： ， 令， 则， 设， 则， 故当或时，； 当时，， 故在，上为增函数， 在为减函数， 当时，，故， 而，结合的单调性可得恒成立， 故为上的增函数，而， 故当时，， 即 当时，， 即， 故④具有性质. 故答案为：①②④. 【点睛】思路点睛：对于函数新定义问题，可以根据新定义结合导数展开讨论，也可以结合函数图象的性质数形结合讨论. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）若，，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明，利用线线平行推出线面平行即可； （2）易知，则以A为原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求两平面夹角余弦值. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接, 因E、F分别为、的中点.，则 又故即得四边形为平行四边形, 则,因平面，平面，故平面； 【小问2详解】 因为在直三棱柱中，，，所以AB⊥AC， 所以两两垂直， 则以A为原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 又，， 所以 ， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以 设平面一个法向量为， 则，令，则， 所以， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17. 在中，． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求最长边上的高． 条件①：，； 条件②：，的周长为20； 条件③：，． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】（1） （2）选条件②③时，最长边上的高为. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理可得，结合辅助角公式可求； （2）条件①中三角形不唯一，若选条件②，则可以通过余弦定理求出两边，故可求最长边上的高；若选条件③，利用正弦定理可求边，再由余弦定理求得，故可求最长边上的高. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 而为三角形内角，故，故， 所以，而， 故即. 【小问2详解】 若选①，则，，由余弦定理可得， 整理得到：，故或， 因为三角形不唯一，故舍； 若选②，则，的周长为20， 故，由余弦定理得，故， 故最长边为，该边上的高为； 若选③，则，，由正弦定理得， 故，由余弦定理可得， 解得或(舍)，以下同选条件②. 18. 某景点奶茶店的甲、乙、丙三款奶茶在国庆黄金周期间的日销售量数据，如下表（单位：杯）： 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 甲 60 65 66 65 67 66 63 乙 57 62 63 62 64 63 60 丙 55 60 61 60 62 61 58 （1）从10月1日至7日中随机选取一天，求该天甲款奶茶日销售量大于65杯的概率； （2）从乙、丙两款奶茶的日销售量数据中各随机选取1个，这2个数据中大于60的个数记为，求的分布列和数学期望； （3）记乙款奶茶日销售量数据的方差为，表格中所有的日销售量数据的方差为，试判断和的大小．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）根据表中数据可求频率，从而可求概率； （2）先求出“乙款奶茶日销售量大于60杯”、“丙款奶茶日销售量大于60杯”的概率，再根据独立事件的概率可求的分布列和数学期望. （3）根据方差公式可求和，从而可比较它们的大小. 【小问1详解】 对于甲款奶茶，7天中共有3天销量大于65， 设为：“该天甲款奶茶日销售量大于65杯”，则. 【小问2详解】 设为：“乙款奶茶日销售量大于60杯”，为：“丙款奶茶日销售量大于60杯”， 则，， 而可取，则， 而，故， 故的分布列为： 故. 【小问3详解】 乙款奶茶日销售量数据的平均值为， 故， 同理可得表格中所有的日销售量数据的平均值为， ，而，故 19. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）不经过点的直线与椭圆交于不同的两点，，且．记，的面积分别为，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出椭圆的基本量后可求椭圆方程； （2）设直线的斜率为，直线的斜率为，则利用同构可求直线过定点，据此可求面积的比值. 【小问1详解】 由题设有，而，故，所以， 故椭圆方程为：. 【小问2详解】 由题设的斜率存在且不为零，设其斜率为， 则，由可得， 故，故，， 设的斜率为，同理，， 由题设与轴不平行，故设方程为： 故， 整理得到：，而， 故，故，故恒过定点， 所以，所以， 所以即 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，其中． （ⅰ）求证：在区间上有唯一的极值点； （ⅱ）设为在区间上的零点，为在区间上的极值点，比较与的大小，请说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）；答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的意义求出切线的斜率，再由点斜式得到切线方程即可； （2）（ⅰ）求导后构造函数，再求导，分析单调性结合零点存在定理可证； （ⅱ）利用函数的极值点分析的单调性得到，再由零点和极值点得到，构造函数，求导分析单调性可得； 【小问1详解】 函数的定义域， ，，， 所以曲线在点处的切线方程，即. 【小问2详解】 （ⅰ）证明：，， 令，则， 因为，所以，所以， 所以在区间上单调递增， 因为， 所以在区间上存在唯一一个零点，使得， 所以在区间上有唯一的极值点. （ⅱ）由（ⅰ）可知，在区间上有唯一的极值点， 即有， 当时，单调递减；当，单调递增； 又，而， 所以在区间上没有零点，在上存在唯一一个零点m， 所以， 因为，又， 所以， 令， 则， 所以在区间上单调递增， 所以， 又，且当时，单调递增， 所以由单调性可得. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的第一小问关键是求导后能够再次构造函数求导，结合零点存在定理判断；本题第二问的第二小问关键是能利用零点和极值点得到，然后构造函数，利用导数和单调性判断自变量范围. 21. 已知行列的数表的分量都是非零整数．若数表满足如下两个性质，则称数表为规范表： ①对任意，，，…，中有个，1个1； ②存在，使得，，…，都是正整数． （1）分别判断数表，是否为规范表；（直接写出结论） （2）当时，是否存在规范表满足？若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由； （3）当时，是否存在规范表满足？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）B 是规范表；C 不是规范表． （2）不存在，理由见解析； （3） 的最小值是 2025 ． 【解析】 【分析】（1）直接根据规范表的定义判断即可； （2）利用反证法假设存在规范表 满足 ，分析得到矛盾的结论即可； （3）先构造再估计，再证明出，则得到最小值. 【小问1详解】 数表，， 当时，，，中有个，1个1； 当时，，，中有个，1个1； 满足条件①； ，当时，，，均为正整数，满足条件②， 综上B规范表； 数表，， 当时，，，中有个，2个1；不满足条件①， 则C不是规范表． 【小问2详解】 不存在．用反证法． 假设存在规范表满足， 令，则； 另一方面，根据性质（1）：， 即对任意； 另一方面，由条件②，存在，使，矛盾． 所以假设不成立，即不存在符合题意规范表． 【小问3详解】 存在符合题意的规范表． ①构造：考虑满足如下条件的数表， 其中， 并且当时，相邻两列与， 满足对成立， 则数表为符合题意的规范表； ②估值：以下证明，当为偶数且时， 规范表满足. 事实上，用表示规范表第行中的个数， 其中为偶数，令，则， 从而，据此可知为偶数，为奇数． 设为规范表，则为奇数． 另一方面，由条件（1）知相邻两行有个分量符号相反， 据此可知第行与第行至多有2个分量符号相反，即， 所以，， ， 这表明．综合①②所述，的最小值是． 因为，所以的最小值是2025． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用反证法证明出不存在这样的规范表. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$